7-3 多元函数的全微分

高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。

它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。

本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。

二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。

对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。

偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。

具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。

2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。

考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。

对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。

第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、 可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，22,()x y ρρ=∆+∆是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二 、 偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。

多元函数的全微分在数学中，多元函数是指具有多个自变量和一个因变量的函数。

而全微分是研究多元函数导数性质的重要工具之一。

本文将探讨多元函数全微分的概念、计算方法以及其应用。

一、多元函数的全微分概念多元函数的全微分是指在给定点附近的微小变动中，函数值的变化量与自变量变化量之间的关系。

对于二元函数f(x, y)，它的全微分表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示对x和y的偏导数，dx和dy表示自变量的微小变化量。

二、多元函数全微分的计算方法1.全微分的计算方法一：利用偏导数对于f(x, y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别可以通过对x和y求导得到。

然后，将偏导数与自变量的微小变化量相乘，并将结果累加得到全微分df。

2.全微分的计算方法二：利用微分符号利用微分符号可以简化多元函数全微分的计算过程。

对于f(x, y)，其全微分可以表示为：df = f'(x, y) * dx + f'(x, y) * dy其中，f'(x, y)表示多元函数f(x, y)的全导数。

三、多元函数全微分的应用1.线性近似利用多元函数的全微分，可以进行线性近似的计算。

在给定点附近，可以用全微分来逼近函数值的变化量，从而得到一个线性的逼近函数。

2.误差估计在实际问题中，常常需要对测量误差进行估计。

利用多元函数的全微分，可以通过计算函数值的变化与自变量变化的关系来估计误差的大小。

3.参数优化多元函数的全微分也可以用于参数优化问题。

通过计算函数值的变化量与参数变化量之间的关系，可以找到使函数取得极值的最优参数。

四、结语多元函数的全微分是研究多元函数导数性质的重要工具，它可以用于线性近似、误差估计和参数优化等问题。

通过本文的介绍，希望读者对多元函数的全微分有基本的了解，并能在实际问题中灵活应用。

多元函数的偏导数与全微分在微积分中，我们学习了单变量函数的导数和微分，它们描述了函数在某一点的变化率和近似值。

然而，在现实生活中，很多问题都涉及到多个变量的函数，这就需要我们引入多元函数的概念。

多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数性质的重要工具。

一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一点关于某个变量的导数。

对于一个二元函数f(x, y)，它可以表示为z = f(x, y)，其中x和y是自变量，z是因变量。

在这种情况下，我们可以计算函数f对于x的偏导数和对于y的偏导数，分别记为∂f/∂x和∂f/∂y。

偏导数的计算方法与单变量函数的导数类似，只是在求导时将其他变量视为常数。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y和∂f/∂y = 2x + 2y。

这两个偏导数描述了函数f在某一点上关于x和y的变化率。

偏导数还可以进一步推广到更高维度的情况。

对于一个n元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以计算出关于每个变量的偏导数，分别记为∂f/∂x1，∂f/∂x2，...，∂f/∂xn。

这些偏导数描述了函数f在某一点上关于每个变量的变化率。

二、多元函数的全微分全微分是多元函数在某一点的线性近似。

对于一个二元函数f(x, y)，它的全微分可以表示为df = ∂f/∂x·dx + ∂f/∂y·dy。

其中，dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。

全微分可以帮助我们计算函数在某一点的微小变化量。

例如，对于函数f(x, y)= x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的全微分可以表示为df = (2·1 + 2·2)·dx + (2·1 + 2·2)·dy = 10·dx + 10·dy。

这个全微分描述了函数f在点(1, 2)附近的线性近似。

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。

多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。

xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。

)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。

在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

全微分的计算公式全微分是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在其中一点附近的变化情况。

全微分的计算公式是一种广义的求导公式，适用于多元函数以及复合函数的求导。

下面将详细介绍全微分的计算公式。

1.一元函数的全微分对于一元函数f(x)，在其中一点x=a处的全微分df可以通过求导来计算，计算公式为：df = f'(a)dx其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量的微小变化量。

例如，对于函数f(x) = x^2，在点x=2处的全微分df可以通过求导得到：f'(x)=2xdf = f'(2)dx = 2(2)dx = 4dx2.多元函数的全微分对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在其中一点P(x1=a1,x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到，计算公式为：df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数，dxi表示第i个自变量的微小变化量。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点P(2, 3)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到：∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2ydf = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = (2x)(dx) + (2y)(dy) = 4dx + 6dy3.复合函数的全微分对于复合函数f(g(x1, x2, ..., xn))，其中g(x1, x2, ..., xn)为自变量，f(t)为中间变量，t=g(x1, x2, ..., xn)。

在其中一点P(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过链式法则来计算，计算公式为：df = (∂f/∂t)(∂t/∂x1)dx1 + (∂f/∂t)(∂t/∂x2)dx2 + ... +(∂f/∂t)(∂t/∂xn)dxn其中， (∂f/∂t) 和 (∂t/∂xi) 分别表示对中间变量t和自变量xi求偏导数。

多元函数的偏导数和全微分多元函数是数学中非常重要的一类函数，它可以同时依赖于多个变量。

在研究多元函数时，我们需要关注其偏导数和全微分这两个重要概念。

一、偏导数的定义和性质偏导数是指多元函数在某个变量上的导数。

对于二元函数f(x, y)，其偏导数可以定义为在某一点上，分别关于x和y的导数。

记作∂f/∂x 和∂f/∂y。

同样地，在三元函数中，我们可以定义三个偏导数∂f/∂x，∂f/∂y 和∂f/∂z。

偏导数的计算方法和一元函数的导数类似，只需要固定其他变量，将多元函数当作一元函数对某个变量求导即可。

偏导数有很多重要性质，以下是其中的一些：1. 混合偏导数的次序可以颠倒，即∂²f/(∂x∂y) = ∂²f/(∂y∂x)。

这个性质称为克拉默条件。

2. 如果混合偏导数∂²f/(∂x∂y) 和∂²f/(∂y∂x) 在某个点处连续，那么这两个偏导数必然相等。

3. 如果多元函数的所有偏导数都连续，那么它在定义域内必然是光滑的，也就是处处可微的。

二、全微分的概念和计算方式全微分是多元函数在某个点上的线性近似。

对于二元函数f(x, y)，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。

在三元函数中，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dz。

在计算全微分时，我们将偏导数乘以对应的变量的微分，并将它们相加。

全微分可以帮助我们近似计算函数在某个点的微小变化量。

如果一个函数在某点处连续且具有光滑的偏导数，那么全微分也是唯一确定的。

三、应用举例偏导数和全微分在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些例子：1. 梯度下降法：在机器学习中，我们常常需要优化一个目标函数。

通过计算目标函数关于各个变量的偏导数，可以确定梯度的方向，进而采取适当的步长进行迭代，最终找到目标函数的最小值。

2. 经济学中的边际效用：在经济学中，边际效用是指额外增加或减少一单位某种物品所带来的效用变化。

全微分的计算公式全微分是微分学中的一个重要概念，用于描述自变量的微小变化对应的因变量的微小变化。

全微分的计算公式包括一元函数和多元函数的情况。

一、一元函数的全微分计算公式：对于一元函数f(x)，全微分df表示函数f(x)在点x处的微小变化量，可以表示为：df = f'(x)dx其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数，dx是自变量x的微小变化量。

二、多元函数的全微分计算公式：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，全微分df表示函数f(x1,x2, ..., xn)在点(x1, x2, ..., xn)处各个自变量的微小变化量对应的因变量的总的微小变化量，可以表示为：df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn表示函数f(x1, x2, ..., xn)对应的自变量x1, x2, ..., xn的偏导数，dx1, dx2, ..., dxn分别表示自变量x1, x2, ..., xn的微小变化量。

三、计算实例：1.对于一元函数f(x)=x^2，求在点x=2处的全微分。

解：首先计算函数f(x)在点x=2处的导数：f'(x) = d(x^2)/dx = 2x代入x=2，得到f'(2)=4因此，函数f(x)在点x=2处的全微分为：df = f'(2)dx = 4dx2. 对于多元函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求在点(x, y)=(1, 1)处的全微分。

解：首先计算函数f(x,y)分别对应的自变量x和y的偏导数：∂f/∂x = d(x^2 + 2xy + y^2)/dx = 2x + 2y∂f/∂y = d(x^2 + 2xy + y^2)/dy = 2x + 2y代入(x,y)=(1,1)，得到∂f/∂x=∂f/∂y=4因此，函数f(x,y)在点(x,y)=(1,1)处的全微分为：df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy = 4dx + 4dy以上就是一元函数和多元函数的全微分的计算公式。

多元函数的偏导数与全微分在数学分析中，偏导数与全微分是研究多元函数的重要概念。

本文将从理论和实际的角度探讨多元函数的偏导数与全微分的定义、性质和应用。

一、偏导数的定义与性质偏导数是用来描述多元函数在某一变量上的变化率。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，偏导数是指在其他变量固定的情况下，关于某一变量的导数。

设有函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn是变量，对于i = 1,2,...,n，f对xᵢ的偏导数记作∂f/∂xᵢ。

偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过求极限的方式得到。

偏导数具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f, g，有∂(αf + βg)/∂x = α(∂f/∂x) + β(∂g/∂x)。

2.交换性质：对于任意的i, j，有∂(∂f/∂xᵢ)/∂xⱼ = ∂(∂f/∂xⱼ)/∂xᵢ。

3.对称性质：对于任意的i, j，如果混合偏导数∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)和∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ)在某个区域内存在且连续，那么它们相等。

二、全微分的定义与性质全微分是用来描述多元函数在某一点处的增量与变量之间的关系。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，在某个点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)处的全微分df记作：df = (∂f/∂x₁)dx₁ + (∂f/∂x₂)dx₂ + ... + (∂f/∂xn)dxn全微分的计算方法与一元函数类似，通过对每个变量求偏导数并乘以对应的微小增量得到。

全微分具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f，有d(αf + βg) = αdf + βdg。

2.链式法则：对于复合函数z = f(g(x₁, x₂, ..., xn))，其全微分可以表示为dz = (∂z/∂x₁)dx₁ + (∂z/∂x₂)dx₂ + ... + (∂z/∂xn)dxn。

3.二阶全微分：如果函数f具有二阶连续偏导数，那么df的全微分可以进一步求导得到d²f = (∂²f/∂x₁²)dx₁² + 2(∂²f/∂x₁∂x₂)dx₁dx₂ + ... + (∂²f/∂xn²)dxn²。