7-3 多元函数的全微分

1x B Gy o( ), z A
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y , ( x ) 2 ( y ) 2 , 则称函数 z f ( x, y )在点
( x , y )处 可微分,Ax By 称为函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处的 全微分.记作 dz , 即 dz Ax By .
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全 微 分
z z 习惯上, 记全微分为 dz dx dy . x y 可推广到二元以上函数
如三元函数 u f ( x , y , z ), 则
u u u d u dx dy d z . x y z
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全 微 分
xy 2 2 x y f ( x , y ) 例 0
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的 可微函数.
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全 微 分
dz Ax By
注
z Ax By o( )
全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数;
2. z与dz之差是 的 高阶无穷小.
一元函数在某点可导 可微． 多元函数在某点可导 可微．
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全 微 分
例 求函数 z y cos(x 2 y ),当x , y , 4 dx , dy 时 的 全 微 分 . 4
解
z y sin( x 2 y ), x
z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
z
z
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全 微 分
多元函数在某点可微是否保证函数在该点连续
定理3 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则函数在该点连续. 由全微分的定义有 z Ax By o( ) 可得 lim z lim Ax By o( ) 0
z Ax By o( )
当y 0时， 上式仍成立, 此时 | x |,
x z f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |), xz z li m A x 0 x x
同理可得 B
z . y
y x 解 设z f ( x , y ) ,
取x=1, y=2, x 0.04 y 0.02 由于
f (1,2) 1 f x ( x, y) yx
y 1
y f ( x , y ) x ln x, , y
f x (1,2) 2, f y (1,2) 0,
(1.04)2.02 f (1, 2) f x (1, 2)x f y (1, 2)y
如果函数z f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则该函数 z 在点( x , y )的 偏导数 z 、 必存在,且函数z f ( x , y ) x y z z 在点( x , y )的全微分为 dz x y x y
证 如果函数 z f ( x , y )在点P ( x , y ) 可微分, 则
域内有定义, x x x, y y y , 函数取得的增量
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
称为f ( x , y )在点( x , y )的全增量.
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全 微 分
全微分的定义 如果函数 z f ( x, y )在点 ( x, y)的全增量 z f ( x x, y y ) f ( x, y )可表示为
x2 y2 0
. 可导 x2 y2 0
可微
在点(0,0)处有, f x (0,0) f y (0,0) 0
当 0时, z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
因此, 函数在点(0,0)处不可微.
x y , z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] 2 2 ( x ) ( y ) 若点 P ( x , y ) 沿 y x 趋近于 (0,0), x y ( x ) 2 ( y ) 2 1 x x 则 0, 2 2 ( x ) ( x ) 2
f ( x x, y y ) f ( x , y) f x ( x, y)x f y ( x, y)y.
f ( x x, y y ) f ( x , y) f x ( x, y)x f y ( x, y)y.
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全 微 分
例 计算 (1.04)2.02 的近似值.
0
0
显然, 多元函数可微必连续
连续的定义
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全 微 分
对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：
可微
可导 连续 有极限
对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系： 可微
连续 有极限
有偏导
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函数的微分
三、全微分在近似计算中的应用
1.公式
z dz o()
) z dz . ( x , y 充分小
dz ( , )
4
z z 2 dx dy (4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
4 4
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全 微 分
x 求u y 的全微分.
答案
z
z x du y y
z 1
x z x x dx dy ln dz y y y y
5
全 微 分
二、可微的条件
1. 可微的必要条件
( 可微必可导).
定理1 如果函数 z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分,
z z 则该函数在点 ( x , y )的偏导数 、 必存在, 且 x y z z dz x y . x y
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全 微 分
第三节
全 微 分
total differentiation
全微分的定义 可微的条件
第七章 多元函数微分法及其应用
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1
全 微 分
偏导数讨论的只是某一自变量变化时
函数的变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时 函数的变化情况.
2
全 微 分
一、全微分的定义
全增量的概念
设二元函数z f ( x , y ) 在点P( x, y )的某邻
1 2 0.04 0 0.02 1.08.
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全 微 分
四、小结
全微分的定义
全微分的计算
可微分的充分条件 可微分的必要条件、 (注意：与一元函数有很大的区别) 多元函数极限、连续、偏导、可微的关系
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9
全 微 分
例 计算函数 z x 2 e xy 在点 (1,2) 的全微分.
z z xy xy 解 xe , 所以 2 x ye , y x z z dz dx dy 1 x 1 x x y y2
y2
2(1 e 2 )dx e 2dy.