第一篇 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续
高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.
第1节 集合与函数
1.1 集合
1.1.1 集合
讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.
通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.
如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.
一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.
集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成
A ={1,2,3,4,5}；
第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为
{}P x x M 具有性质|=.
例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为
{}
02|2<--=x x x A .
由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：
（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即
{} ,,,3,2,1,0n N =；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+
N ，即
{} ,,,3,2,1n N =+；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即
{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .
1.1.2 区间与邻域
在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则 （1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；
（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(； （3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；
（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(， {}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.
以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
图 1-1
在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.
定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的
邻域，记作),(0δx U ，即
{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .
在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：
图1-2
另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o
，即
{}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o
,
图形表示为（图1-3）：
图1-3
其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域. 1.2函数的概念
1.2.1函数的定义
定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则
f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y
为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即
{}D x x f y y R f ∈==),(|.
函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.
函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.
例1 求函数211
x x
y --=的定义域. 解
x
1的定义区间满足：0≠x ；2
1x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .
这两个函数定义区间的公共部分是
1001≤<<≤-x x 或.
所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.
例2 判断下列各组函数是否相同. （1）x x f lg 2)(=，2
lg )(x x g =； （2）334)(x x
x f -=，31)(-=x x x g ； （3）x x f =)(，2)
(x x g =
.
解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2
lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.
（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以
)(x f 和)(x g 是相同函数.
（3）x x f =)(，x x x g ==
2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.
函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.
在此不再多做说明.
函数举例:
例3 函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如
图1-4：
图1-4
例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：
图1-5
特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.
1.2.2 函数的性质
设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂. （1）函数的有界性
定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.
若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：
图1-6
例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 x
x f 1
)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.
（2）函数的单调性
设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.
图1-7
（3）函数的奇偶性
设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f
为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.
例如，函数2)(x x f =，由于)()()(2
2x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；
又如函数3)(x x f =，由于)()()(3
3x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图
1-8：
图1-8
从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.
(4)函数的周期性
设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有
()D l x ∈±, 且())(x f l x f =
±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数
)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们
通常说的周期是指最小正周期.
例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.
在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.
例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.
又如，狄里克雷函数
⎩
⎨⎧∈∈=c
Q x Q
x x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，c
Q l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.
1.3 反函数
在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1
-f D D f →)(，
称此对应法则1
-f 为f 的反函数.
习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作
)(),(1D f x x f y ∈=-.
例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x
的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）
图1-9
反函数的性质：
（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1
x f y -=存在，且也单调递增（减）.
（2）函数)(x f y =与其反函数)(1
x f
y -=的图形关于直线x y =对称.
下面介绍几个常见的三角函数的反函数：
正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =.
反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,2ππ，如图1-10：
9
图1-10
1.4复合函数
定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则
()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或
称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.
注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.
例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22
.在形式上可以构成复合函数
()
2arcsin 2+=x y .
但是22
+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()
2arcsin 2+=x y 没有意义.
在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.
例5 对函数x
a y sin =分解.
解 x
a y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.
例6 对函数)12(sin 2
+=x y 分解.
解 )12(sin 2
+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.
1.5初等函数
在初等数学中我们已经接触过下面各类函数： 常数函数：C y =（C 为常数）；
幂函数：)0(≠=αα
x y ；
指数函数：)10(≠>=a a a y x
且；
对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；
三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======； 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.
这六种函数统称为基本初等函数.
定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2
cot x
y =等都是初等函数.
需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数
⎩
⎨
⎧≥<-=0,0
,x x x x y ， 可表示为2x y =.
习题 1-1
1.求下列函数的定义域.
（1）21x y -=； （2）2411
x x
y -++=
； （3）2ln 2x x y -=； （4）4
3
arcsin -=x y ；
（5）45
2+-
=x y ； （6）2
)3ln(--=x x y .
2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？
（1）2
lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =
；
（3）x x f =)(，x
e x g ln )(=； （4）x x
f =)(，)sin(arcsin )(x x
g =.
3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.
（1）)(2
x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f . 4.设()5312
++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f .
5.判断下列函数的奇偶性.
（1）x x y tan sin ⋅=； （2）(
)
1lg 2++
=x x y ；
（3）2
x x e e y -+=； （4）)1(3
+=x x y ；
（5）⎩
⎨⎧>+≤-=0,10
,1x x x x y .
6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.
7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.
（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；
（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2
cos =.
8.求下列函数的反函数.
（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；
（3）x x e e y +=1； （4）),(2
sin
2ππ-∈=x x
y ；
（5）⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2
x x x x x y x .
9.下列函数是有哪些函数复合而成的.
（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3
x y +=；
（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2
sin x e y =.
10.设2
)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.
第2节 极限
极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.
2.1 数列的极限
2.1.1 数列的概念
定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
第n 项n a 叫做数列的一般项或通项.
例如
,2
1
,,81,41,21n ； ,)1(,
,41,31,21,11
n
n ----；
,1
,,43,32,21+n n ； ,)
1(,,1,1,11
+--n
都是数列，它们的一般项依次为
n
21，n n 1)1(--，1
+n n ，1)1(+-n . 我们可以看到，数列值n a 随着n 变化而变化，因此可以把数列{}n a 看作自变量为正整数n 的函数，即
.),(+∈=N n n f a n
另外，从几何的角度看，数列{}n a 对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取a 1，a 2， ，n a ， ，在数轴上表示为（图1-11）：
图1-11
2.1.2 数列极限的定义
数列极限的思想早在古代就已萌生，我国《庄子》一书中著名的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，用圆内接多边形的
面积去逼近圆的面积，都是极限思想的萌芽.
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作圆的内接正十二边形，其面积记为2A ；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为3A ；依次进行下去，一般把内接正1
2
6-⨯n 边形的面积记为n A ，可得一系列内接正多边形的面积：
1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，
它们就构成一列有序数列.可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，n A 也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列{}n A 当∞→n 时的极限.
在上面的例子中，数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n 21如图1-12：
图1-12
当∞→n 时，
n 21无限接近于常数0，则0就是数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 21当∞→n 时的极限. 再如数列⎭⎬⎫⎩⎨
⎧+1n n ：当∞→n 时，1+n n 无限接近于常数1，则1就是数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+1n n 当
∞→n 时的极限；而数列{}1)1(+-n ：当∞→n 时，1)1(+-n 在1和-1之间来回震荡，无法
趋近一个确定的常数，故数列{}
1)1(+-n 当∞→n 时无极限.由此推得数列的直观定义：
定义2 设{}n a 是一数列，a 是一常数.当n 无限增大时（即∞→n ），n a 无限接近于
a ，则称a 为数列{}n a 当∞→n 时的极限，记作
a
a n n =∞
→lim 或 a n →a （n →∞）．
在上例中，
021lim =∞→n n ，11lim =+∞→n n n ，.0)1(lim 1
=--∞→n
n n
对于数列{}n a ，其极限为a ，即当n 无限增大时，n a 无限接近于a .如何度量n a 与a 无限接近呢？
一般情况下，两个数之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值a b -来度量，并且
a b -越小，表示a 与b 越接近.
例如数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--n n 1)1(，
通过观察我们发现n a n n 1
)1(--=当n 无限增大时，n a 无限接近0，即0是数列n a 当∞→n 时的极限.下面通过距离来描述数列{}n a 的极限为0.
由于
,1
)1(01n
n a n n =-=--
当n 越来越大时，n
1
越来越小，从而n a 越来越接近于0. 当n 无限增大时，n a 无限接近于0.
例如，给定
100
1
，要使10011<n ，只要100>n 即可.也就是说从101项开始都能使
100
1
0<-n a
成立. 给定
10000
1
，要使1000011<n ，只要10000>n 即可.也就是说从10001项开始都能使
10000
1
0<-n a
成立.
一般地，不论给定的正数ε多么的小，总存在一个正整数N ，使得当N n >时，不等式
ε<-a a n
都成立.这就是数列n
a n n 1
)1(--=当∞→n 时极限的实质.
根据这一特点得到数列极限的精确定义.
定义 3 设{}n a 是一数列，a 是一常数.如果对任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，不等式
ε<-a a n
都成立，则称a 是数列{}n a 的极限，或称数列{}n a 收敛于a .记作a a n n =∞
→lim .
反之，如果数列{}n a 的极限不存在，则称数列{}n a 发散.
在上面的定义中，ε可以任意给定，不等式ε<-a a n 表达了n a 与a 无限接近程度.此外N 与ε有关，随着ε的给定而选定.N n >表示了从1+N 项开始满足不等式ε<-a a n .
对数列{}n a 的极限为a 也可以略写为：
.,.0,0lim εε<->>∃>∀⇔=∞
→a x N n N a a n n n 有时当
数列{}n a 的极限为a 的几何解释：
将常数a 与数列 ,,,,21n a a a 在数轴上用对应的点表示出来，从1+N 项开始，数列
{}n a 的点都落在开区间),(εε+-a a 内，而只有有限个(至多只有N 个)在此区间以外（图
1-13）.
图1-13
例1 证明数列极限0)1(lim 1
=--∞→n
n n .
证明 由于
,1
0)1(1n
n a a n n =--=--
对0>∀ε，要使
,0)1(1
ε<---n
n 即,1ε<n .1ε>n 取,1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=εN 当N n >时，有
.0)1(1ε<---n n 由极限的定义知 .0)1(lim 1
=--∞→n
n n
例2 证明数列极限2
3
1213lim =++∞→n n n .
证明 由于
,41
241241231213n
n n n n a a n <+=+-=-++=
- 对0>∀ε，要使
,2
3
1213ε<-++n n 即
,41ε<n .41ε>n 取,41⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=εN 当N n >时，有
.231213ε<-++n n 由极限的定义知 2
31213lim
=++∞→n n n .
注：在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重要的是要指出对于任意给定的正数
ε，正整数N 确实存在，没有必要非去寻找最小的N .
例3 证明数列极限021
lim =∞→n
n .
证明 由于
,2
1021n n n a a =-=
- 对)1(0<>∀εε设，要使
,02
1
ε<-n 即
,21ε<n 取对数得2ln ln ε->n .取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=2ln ln εN ，当N n >时，有.021ε<-n 由极限的定义知
021
lim
=∞→n
n .
2.2 数列极限的性质
定理1(极限的唯一性) 收敛数列的极限必唯一.
证明 （反证法）假设同时有a a n n =∞
→lim 及b a n n =∞
→lim , 且b a ≠，不妨设a <b .
按极限的定义, 对于2
a b -=ε>0, 由于a a n n =∞→lim ，存在充分大的正整数1N , 使当
1N n >时, 有
2
a
b a a n -=
<-ε , 有
2
a
b a n +<
. 由于b a n n =∞
→lim ，存在充分大的正整数2N , 使当2N n >时, 有
2
a
b b a n -=
<-ε , 有
n a b
a <+2
. 取{}21N ,N max N =，则当N n >时，同时有2
a b a n +<和n a b
a <+2成立，这是不可能的，
故假设不成立.收敛数列的极限必唯一.
定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{}n a 收敛, 那它一定有界. 即对于收敛数列{}n a ，必存在正数M ，对一切+
∈N n ，有.M a n ≤
证明 设a a n n =∞
→lim ， 根据数列极限的定义, 取ε =1, 存在正整数N , 当N n >时, 不等
式
1<-a a n
都成立. 于是当N n >时,
a a a a a a a a n n n +<+-<+-=1.
取{}
a a a a M N +=1,,,,max 21 ，那么数列{}n a 中的一切n a 都满足不等式.M a n ≤.这就证明了数列{}n a 是有界的.
定理2说明了收敛数列一定有界，反之不成立. 例如，数列{}
n )1(-有界，但是不收敛. 定理3(收敛数列的保号性)
如果a a n n =∞
→lim , 且0>a (或0<a ), 那么存在正整数N , 当N n >时, 有0>n a (或
0<n a ).
证明 就0>a 的情形. 由数列极限的定义, 对02
>=a ε,+
∈∃N N , 当N n >时, 有
2
||a a a n <
-, 从而
n a a
<<
2
0.
推论 如果数列{}n a 从某项起有0≥n a (或0≤n a ), 且a a n n =∞
→lim , 那么0≥a (或
0≤a ).
定理4(夹逼准则) 如果数列{}n a 、{}n b 及{}n c 满足下列条件: (1)),2,1( =≤≤n c a b n n n , (2)a b n n =∞
→lim , a c n n =∞
→lim ,
那么数列{}n a 的极限存在, 且a a n n =∞
→lim .
证明 因为a b n n =∞
→lim , a c n n =∞
→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃01>N , 当
1N n >时, 有
εε+<<-a b a n .
又02>∃N , 当2N n >时, 有
εε+<<-a c a n .
现取{}21,m ax N N N =, 则当 N n > 时, 有
εε+<<-a b a n , εε+<<-a c a n
同时成立. 又因),2,1( =≤≤n c a b n n n , 所以当N n > 时, 有
εε+<≤≤<-a c a b a n n n ,
即 ε<-||a a n . 这就证明了a a n n =∞
→lim .
例4 求证0)(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++++∞→n n n n n . 证明 由于
2
2222)(1)1(11)(n n
n n n n n n n ≤+++++≤+ ，
而0
)(lim
2
=+∞→n n n
n ，0lim 2=∞→n n n ，由夹逼准则知，
0)(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++++∞→n n n n n . 如果数列{}n a 满足条件
≤≤≤≤≤+121n n a a a a ,
就称数列{}n a 是单调增加的. 如果数列{}n a 满足条件
≥≥≥≥≥+121n n a a a a ,
就称数列{}n a 是单调减少的.
单调增加和单调减少数列统称为单调数列.
定理5(单调有界准则) 单调有界数列必有极限.
例5 求数列 ，，，，111111++++的极限. 解 证明数列的有界性.
令，111+++= n a 则，n n a a +=+11 其中11=a ，222<=a .设2<k a ，则
2311<<+=+k k a a .
由归纳法知，对所有的+
∈N n ，有，20<<n a 故{}n a 有界.
证明数列的单调性. 已知11=a ，22=
a ，则12a a >.设1->k k a a ，则
011111
1
11>+++-=
+-+=--+k k -k k -k k k k a a a a a a a a .
由归纳法知，对所有的+
∈N n ，有，n n a a >+1故{}n a 单调递增.
由单调有界准则知，数列{}n a 存在极限，设为a . 在n n a a +=+11两边取极限，得
a a +=1,
解得251+=
a 或251-=a .由于收敛数列保号性知2
5
1-=a 舍去. 故所求数列的极限是
2
51+.
2.3 函数的极限
由于数列{}n a 可以看做是自变量为n 的函数：+∈=N n n f a n ),(.所以数列{}n a 的极限为a ，可以认为是当自变量n 取正整数且无限增大时，对应的函数值)(n f 无限接近于常数a .对一般的函数)(x f y =而言，在自变量的某个变化过程中，函数值)(x f 无限接近于某个确定的常数，那么这个常数就叫做)(x f 在自变量x 在这一变化过程的极限.这说明函数的极限与自变量的变化趋势有关，自变量的变化趋势不同，函数的极限也会不同. 下面主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限.
2.3.1 自变量∞→x 时函数的极限
引例 观察函数x
x
y sin =
当+∞→x 时的变化趋势（图1-14）.
图1-14
从图1-14可以看出，当x 无限增大时，函数
x
x
sin 无限接近于0（确定的常数）. 由此推得函数)(x f 在+∞→x 时极限的直观定义：
定义4 设)(x f 当 x 大于某一正数时有定义，当 x 无限增大时,函数值)(x f 无限接近于一个确定的常数A ,称A 为)(x f 当 x →+∞时的极限. 记作
A x f x =+∞
→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f ．
引例中，.0sin lim
=+∞→x
x
x
类比于数列极限的定义推得当+∞→x 时函数)(x f 的极限的直观定义：
定义5 设)(x f 当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当X x >时，不等式
ε<-A x f )(
都成立，则称A 是函数)(x f 在+∞→x 时的极限，记作
A x f x =+∞
→)(lim .
对定义5的简单叙述：
.)(,.0,0)(lim εε<->>∃>∀⇔=+∞
→A x f X x X A x f x 有时当
类比当+∞→x 时函数)(x f 的极限定义，当-∞→x 时函数)(x f 的极限定义： 定义6 设)(x f 当 x -大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数
ε，总存在正数X ，使得当X x -<时，不等式
ε<-A x f )(
都成立，则称A 是函数)(x f 在-∞→x 时的极限，记作
A x f x =-∞
→)(lim .
对定义6的简单叙述：
.)(,.0,0)(lim εε<--<>∃>∀⇔=-∞
→A x f X x X A x f x 有时当
在引例中，.0sin lim
=-∞→x
x
x
结合定义5和定义6，推得函数)(x f 在∞→x 时的极限定义：
定义7 设)(x f 当 ||x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当X x >时，不等式
ε<-A x f )(
都成立，则称A 是函数)(x f 在∞→x 时的极限，记作
A x f x =∞
→)(lim .
对定义7的简单叙述：
.)(,.0,0)(lim εε<->>∃>∀⇔=∞
→A x f X x X A x f x 有时当
结合定义7，函数)(x f 在∞→x 时的极限存在的充要条件是：
.)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==⇔=+∞
→-∞
→∞
→
例6 证明0sin lim =∞→x
x
x .
证明 由于
,1
sin 0sin )(x
x x x x A x f ≤=-=
- 对0>∀ε，要使
,)(ε<-A x f
即
,1
ε<x
.1ε>x 取,1ε=X 当X x >时，有,)(ε<-A x f 由极限的定义知
0sin lim
=∞→x
x
x .
从几何上看，A x f x =∞
→)(lim 表示当X x >时，曲线)(x f y =位于直线ε-=A y 和
ε+=A y 之间（图1-15）.
图1-15
这时称直线A y =为曲线)(x f y =的水平渐近线. 例如 0sin lim
=∞→x x x ，则0=y 是曲线x
x
y sin =的水平渐近线.
2.3.2 自变量0x x →时函数的极限
引例1 观察函数1)(+=x x f 和1
1)(2--=x x x g 在1→x 时函数值的变化趋势（图1-16）：
图1-16
从图1-16中得出，函数1)(+=x x f 和11
)(2--=x x x g 在1→x 时函数值都无限接近于
2，则称2是函数1)(+=x x f 和1
1
)(2--=x x x g 在1→x 时的极限.
从上例中看出，虽然)(x f 和)(x g 在1=x 处都有极限，但)(x g 在1=x 处不定义. 这说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关. 因此，在后面的定义中假定函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义，函数)(x f 在0x x →时函数极限的直观定义：
定义7 函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义.当0x x →时，函数)(x f 的函数值无限接近于确定的常数A ，称A 为函数)(x f 在0x x →时的极限.
在定义7中，函数)(x f 的函数值无限接近于某个确定的常数A ，表示A x f -)(能任意小，在此同样可以通过对于任意给定的正数ε，ε<-A x f )(表示. 而0x x →可以表示为δ<-<00x x （δ>0），δ体现了x 接近0x 的程度. 由此得到函数)(x f 在0x x →时函数极限的精确定义：
定义8 函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数ε，总存在正数
δ，当x 满足不等式δ<-<00x x 时，函数)(x f 满足不等式
ε<-A x f )(，
称A 为函数)(x f 在0x x →时的极限.记作
A x f x x =→)(lim 0
或)()(0x x A x f →→.
定义8简单表述为：
.)(,0,0,0)(lim 00
εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→A x f x x A x f x x 有时当
函数)(x f 在0x x →时极限为A 的几何解释：
对0>∀ε，当),(0δx U x o
∈时，曲线)(x f y =位于直线ε-=A y 和ε+=A y 之间，如图1-17：
图1-17
例7 证明C C C x x ,lim 0
=→为常数.
证明 由于
,0)(=-=-C C A x f
对0>∀ε，对0>∀δ，当δ<-<00x x 时，都有,)(ε<-A x f 故
.lim 0
C C x x =→
例8 证明.21
1
lim
21=--→x x x 证明 由于
,121
1
)(2-=---=-x x x A x f
对0>∀ε，要使ε<-A x f )(，即.1ε<-x 取εδ=，当δ<-<00x x 时，都有
,)(ε<-A x f 故
.21
1lim 21=--→x x x 在函数的极限中，0x x →既包含x 从左侧向0x 靠近，又包含从右侧向0x 靠近. 因此，在求分段函数在分界点0x 处的极限时，由于在0x 处两侧函数式子不同，只能分别讨论.
x 左侧向0x 靠近的情形，记作-→0x x . x 从右侧向0x 靠近的情形，记作+
→0x x .
在定义8中，若把空心邻域δ<-<00x x 改为00x x x <<-δ，则称A 为函数)(x f 在
0x x →时的左极限.记作
A x f x x =-→)(lim 0
或 A x f =-
)(0.
类似地，若把空心邻域δ<-<00x x 改为δ+<<00x x x ，则称A 为函数)(x f 在
0x x →时的右极限.记作
A x f x x =+→)(lim 0
或 A x f =+
)(0.
我们把左极限和右极限统称为单侧极限.
根据)(x f 在0x x →时极限的定义推出)(x f 在0x x →时的极限存在的充要条件是左、右极限都存在并且相等，即：
A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
.
例9 讨论函数
⎩
⎨
⎧>+≤-=0,10
,)(x x x x x f
当0→x 时)(x f 极限不存在.
解 函数图形（图1-18）如下：
图1-18
)(x f 载0=x 处的左极限为
0)(lim )(lim 0
0=-=--
→→x x f x x ；
右极限为
1)1(lim )(lim 0
0=+=++
→→x x f x x .
由于)(lim )(lim 0
x f x f x x +-→→≠，故)(lim 0
x f x →不存在.
2.3.3 函数的极限的性质
类比数列极限的性质，可以推得函数极限的性质.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以)(lim 0
x f x x →为代表讨论.
性质1（唯一性） 若A x f x x =→)(lim 0
，则极限值是唯一的.
性质2（局部有界性） 若A x f x x =→)(lim 0
，若存在常数0>M 及0>δ，当δ
<-<00x x 时，有M x f ≤)(.
性质3（保号性） 若A x f x x =→)(lim 0
，且0>A （或0<A ），若存在0>δ，当
δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）.
性质4（夹逼准则） 设)(x f 、)(x g 、)(x h 是三个函数，若存在0>δ，当δ
<-<00x x 时，有
)()()(x h x f x g ≤≤，A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，
则
A x f x x =→)(lim 0
.
2.4无穷大与无穷小
在研究函数的变化趋势时，经常会遇到两种特殊情形：一是函数的极限为零，二是函数的绝对值无限增大，即是本节讨论的无穷小和无穷大，以)(lim 0
x f x x →为代表讨论.
2.4.1 无穷小
若0)(lim 0
=→x f x x ，则称函数)(x f 为0x x →时的无穷小.
例如 0)1(lim 21
=-→x x ，则12
-x 是1→x 时的无穷小.01
lim
=∞→x x ，则x
1是∞→x 时的无穷小.
在此需要指出的是：（1）无穷小不是很小的数，它表示当0x x →时，)(x f 的绝对值可以任意小的函数. （2）在说一个函数是无穷小时，一定要指明自变量的变化趋势. 同一函
数，在自变量的不同变化趋势下，极限不一定为零；在常数里面. （3）0是唯一的无穷小.
2.4.2 无穷大
函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数M ，总存在正数δ，当x 满足不等式δ<-<00x x 时，函数值)(x f 满足不等式
M x f >)(，
则称函数)(x f 为0x x →时的无穷大.
按照函数极限的定义，当0x x →时无穷大的函数)(x f 极限是不存在的.为了便于叙述函数的这一性态，习惯上称作函数的极限是无穷大，记作
∞=→)(lim 0
x f x x .
若把定义中M x f >)(改为))(()(M x f M x f -<>或，称函数极限为正无穷大（或负无穷大），记作
))(lim ()(lim 0
-∞=+∞=→→x f x f x x x x 或.
在此，同样注意无穷大不是很大的数，不能和很大的数混为一谈.
例如 由于∞=→x x 1
lim
0，x
1为0→x 时的无穷大，如图1-19.
图1-19
从图形上看，当0→x 时，曲线x
y 1
=
无限接近于直线0=x . 一般地，若∞=→)(lim 0
x f x x ，则直线0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线.
在上例中，0=x 是曲线x
y 1
=的铅直渐近线.
2.4.3 无穷小的性质
性质1 A x f x x =→)(lim 0
充要条件是α+=A x f )(，其中α为0x x →时的无穷小.
证明 A x f x x =→)(lim 0
0>∀⇔ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，都有
ε<-A x f )(.
令α=-A x f )(，则εα<，即0lim 0
=→αx x ，说明α为0x x →时的无穷小.
此时α+=A x f )(.
性质2 在自变量的同一变化过程中，若)(x f 为无穷大，则
)
(1
x f 为无穷小；若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则
)
(1
x f 为无穷大. 例如 由于0)1(lim 1
=-→x x ，则∞=-→1
1
lim
1
x x . 性质3 有限个无穷小的和是无穷小.
性质4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 例10 求极限x
x x 1sin
lim 0
→. 解 由于11
sin ≤x
，是有界函数，而0lim 0=→x x .由性质4得.01sin lim 0=→x x x
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小.
习题1-2
1.根据数列的变化趋势，求下列数列的极限：
（1）21
)1(n
a n
n -=； （2）n
n n n a 2)1(2-+=； （3）2
sin
π
n n a n =； （4）11+-=n n a n .
2.根据数列极限的定义，证明： （1）0
1
lim
2=∞→n n ； （2）3
1131lim =+-∞→n n n . （3）11
lim 2=+∞→n
n n ； （4）0sin lim
=∞→n n n . 3.设a a n n =∞
→lim ，求证a a n n =∞
→lim .
4.设数列n a 有界，0lim =∞
→n n b ，求证0lim =∞
→n n n b a .
5.根据函数极限的定义，证明：
（1）424
lim
22-=+--→x x x ； （2）()312lim 2=-→x x ； （3）2121lim 22=+∞→x x x ； （4）
0sin lim =+∞→x
x
x . 6.求下列函数在指定点处的左、右极限，并判断在改点处极限是否存在. （1）x
x x f =
)(，在0=x 处； （2）⎩⎨
⎧<+>=0
,10
,cos )(x x x x x f ，在0=x 处；
（3）⎪⎩⎪⎨⎧
<+>=0
,10
,1sin )(2
x x x x
x x f ，在0=x 处. 7.指出下列函数在什么情况下是无穷小，什么情况下是无穷大. （1）1
1
)(-+=
x x x f ； （2）x x f ln )(=； （3）x x f cot )(=； （4）x
e x
f 1)(=.
8.求下列函数的极限. （1）2
1lim
22
--→x x x ； （2）x x x 1
2lim +∞→；
（3）x x x 1cos
lim 2
0→； （4）x
x x arctan lim ∞→.
9.求函数2
11
)(x
x f -=的图形的渐近线. 10.利用极限存在准则证明： （1）111lim =+
∞
→n n ； （2）121lim 222=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n n n
n ；
（3）数列2
12
1n
n a a +=+的极限存在；
（4）数列21=a ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
+n n n a a a 1211的极限存在.
第3节 极限的运算
本节讨论极限的求法，主要内容是极限的四则运算、复合函数的极限运算法则，以及利用这些法则，求某些特定函数的极限.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以)(lim 0
x f x x →为代表讨论.
3.1 极限的四则运算法则
定理1 如果B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
，则
（1）()B A x g x f x x ±=±→)()(lim 0
；
（2）()B A x g x f x x ⋅=⋅→)()(lim 0
；
（3）若0≠B ，则.)()(lim
B
A
x g x f x x =→ 证明 只证()B A x g x f x x +=+→)()(lim 0
.
由于B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
，则
α+=A x f )(，β+=B x g )(,
其中βα和是0x x →时的无穷小.于是
()())()()()(βαβα+++=+++=+B A B A x g x f .
由于βα+仍然是0x x →时的无穷小，则
()B A x g x f x x +=+→)()(lim 0
.
其它情况类似可证.
注：本定理可推广到有限个函数的情形. 例1 求(
)
.53lim 2
2
+-→x x x
解 (
)
5lim lim lim 35lim lim 3lim 53lim 2
2
2
2
2
2
22
2
2
→→→→→→→+-=+-=+-x x x x x x x x x x x x x
.155243=+⋅=-
例2 求.2
3
2lim
21-++→x x x x
解 ()
()
.62
lim 3
lim 2lim 2lim 3
2lim 2
3
2lim
1
1
21
1
21
2
1
-=-++=
-++=
-++→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x
注：在运用极限的四则运算的商运算时，分母的极限0≠B .但有时分母的极限0=B ，这时就不能直接应用商运算了. 例3 求.1
1
lim
1+--→x x x
解 由于0)1(lim 1
=+-→x x ，分母中极限为0，故不能用四则运算计算.
由于02
0)1(lim )1(lim 11lim
1
11=-=-+=-+-→-→-→x x x x x x x ，根据无穷小的性质，知 .11
lim
1∞=+--→x x x
例4 求.1
1
2lim
221-+-→x x x x 解 由于1→x 时，分子、分母的极限都为0，记作0
型.分子分母有公因子1-x ，可约去公因子1-x ，所以
.02
011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x 总结：在求有理函数除法)
()
(lim
0x Q x P x x →的极限时，
（1）当0)(0≠x Q 时，应用极限四则运算法则，)
()
()()(lim
000x Q x P x Q x P x x =
→； （2）当0)(0=x Q ，且0)(0≠x P 时，由无穷小的性质，∞=→)
()
(lim
0x Q x P x x ；
（3）当0)(0=x Q ，且0)(0=x P 时，约去使分子、分母同为零的公因子0x x -，再使用四则运算求极限.
例5 求.7
523
23lim
22-++-∞→x x x x x 解 由于∞→x 时，分子、分母的极限都为∞，记作
∞∞
型.用2x 去除分子及分母，即 .2
37
52323lim 752323lim 22
22=-++-=-++-∞→∞→x
x x x x x x x x x。
