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福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：____ ___061041210______________总学时／周学时：51/3开课时间： 2015年9 月16 日第 3周至第18周授课年级、专业、班级：____制药本152班使用教材：__ 高等数学_同济大学第7版____教研室： _ _数学与应用数学教研室_________授课教师：____________ ___________________ 一、课程教学计划表二、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1．理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
7．了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
（二）重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射 1. 映射概念定义4.设X 、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f ,使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作f : X →Y .其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =,元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X =。
第一章:函数与极限1。
1 初等函数图象及性质1。
1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是（-∞ ，+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0，+∞ );当m = —1/2时，y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。
但不论m 取什么值，幂函数在（0,+∞）内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1。
1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1）叫做指数函数,它的定义域是区间（-∞ ，+∞)。
因为对于任何实数值x,总有a x〉0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0，1）。
若a〉1,指数函数a x是单调增加的。
若0<a〈1,指数函数a x是单调减少的.由于y=（1/a）—x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a）x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。
[如图］2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0，a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间（0,+∞)。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1，0)。
若a〉1,对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1，+∞)内函数值为正.若0<a<1,对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间(1，+∞)内函数值为负.[如图] 1。
1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[—1,1］. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
高等数学教材同济版目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的图像与性质1.1.3 常用函数的性质介绍1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的运算性质1.2.3 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数1.4 导数与微分1.4.1 导数的定义1.4.2 导数的运算法则1.4.3 高阶导数与隐函数求导1.5 中值定理与应用1.5.1 高尔定中值定理1.5.2 柯西中值定理1.5.3 利用中值定理解决问题第二章一元函数微分学2.1 函数的极值与最值2.1.1 求函数的极值2.1.2 求函数在闭区间上的最大值与最小值2.1.3 求解优化问题的应用2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的单调性与凹凸性2.2.2 求函数的拐点2.2.3 凹凸函数的性质与应用2.3 不定积分2.3.1 不定积分的定义2.3.2 基本积分表与积分法2.3.3 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法2.4 定积分2.4.1 定积分的概念与性质2.4.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的运算法则2.4.3 定积分的几何应用2.5 微分方程2.5.1 一阶常微分方程2.5.2 可降阶的高阶微分方程2.5.3 可分离变量的高阶微分方程第三章一元函数积分学3.1 定积分的计算3.1.1 分部积分法3.1.2 变量代换法3.1.3 参数方程曲线的长度与曲边梯形的面积3.2 定积分的应用3.2.1 曲线的弧长与曲率3.2.2 曲线包围的面积与体积3.2.3 质量、质心与转动惯量3.3 定积分的进一步应用3.3.1 有理函数的积分3.3.2 特殊曲线所围成的面积3.3.3 参数积分与概率密度函数第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.1.1 多元函数极限的定义4.1.2 多元函数的连续性4.1.3 多元函数连续性的充要条件4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算法则4.2.2 隐函数与参数方程的偏导数4.3 方向导数与梯度4.3.1 方向导数的定义与计算4.3.2 梯度的定义与性质4.3.3 最速下降问题与等高线的切线方向4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值判定条件4.4.2 用拉格朗日乘数法求极值4.5 重积分4.5.1 二重积分的概念与计算4.5.2 二重积分的计算方法4.5.3 三重积分的概念与计算4.5.4 三重积分的计算方法第五章多元函数积分学5.1 曲线积分5.1.1 第一类曲线积分的定义与计算5.1.2 第二类曲线积分的定义与计算5.1.3 斯托克斯公式与格林公式5.2 曲面积分5.2.1 第一类曲面积分的定义与计算5.2.2 第二类曲面积分的定义与计算5.2.3 高斯公式与斯托克斯公式的应用5.3 多元函数应用题5.3.1 质心与转动惯量5.3.2 弹性势能与电势能5.3.3 均匀分布与热力学第六章空间解析几何6.1 空间直线与平面6.1.1 直线的方程与位置关系6.1.2 平面的方程与位置关系6.1.3 直线与平面的位置关系6.2 球面与圆锥面6.2.1 球面方程与性质6.2.2 圆锥面方程与性质6.2.3 球面与圆锥面的位置关系6.3 空间曲线与曲面6.3.1 参数曲线的切线与曲面的切平面6.3.2 空间曲线的弧长6.3.3 二次曲线与二次曲面的性质6.4 空间向量与平面直线等角问题6.4.1 向量的定义与运算法则6.4.2 空间向量的数量积与夹角6.4.3 平面直线的方向余弦与法向量第七章多元函数级数与泰勒展开7.1 级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 数项级数的收敛与发散7.1.3 数项级数的运算性质7.2 幂级数7.2.1 幂级数的收敛域与收敛半径7.2.2 幂级数的性质与运算7.2.3 幂级数的应用7.3 函数展开成幂级数7.3.1 泰勒级数的定义与性质7.3.2 函数展开成泰勒级数的条件7.3.3 函数展开成泰勒级数的例子7.4 泰勒展开的应用7.4.1 高阶导数与泰勒展开7.4.2 函数的逼近与误差估计7.4.3 三角函数的傅里叶展开这是一个关于《高等数学教材同济版》的目录，它共包含七个主要章节，每个章节又分为若干小节，全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点和概念。
第1章函数与极限1.1 复习笔记一、映射与函数1．集合（1）集合概念集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。
常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
（2）表示集合的方法通常有以下两种：①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。
（3）常见的集合①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈且P与q互质}；⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。
（4）集合的关系①包含关系设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。
规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。
若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。
②等价关系若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。
（5）集合的运算①并、交、差a．并集设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即。
b．交集由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即。
c．差集由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即。
函数的概念,常见的函数〔有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数〕、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式习题 1－1：4,5,8,9,15,16数列极限的定义,数列极限的性质<惟一性、有界性、保号性习题 1－2：1,4,5,6函数极限的定义与基本性质〔极限的保号性、极限的惟一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等〕习题 1－3：1,2,4无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以与与极限的关系习题 1－4：4,6,7极限的运算法则<6 个定理以与一些推论>习题 1－5：1,2,3,4,5两个重要极限〔要牢记在心,要注意极限成立的条件, 不要混淆,应熟悉等价表达式〕 ,函数极限的存在问题〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕 ,利用函数极限求数列极限,利用夹逼准则求极限,求递归数列的极限.习题 1－6：1,2,4无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数与分段函数的概念,了解反函数与隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质与其图形,了解初等函数的概念.5．理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以与函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质与四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限 , 掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷穷小、 k 阶无穷小〕 ,重要的等价无穷小〔特别重要, 一定要烂熟于心〕以与它们的重要性质和确定方法. 习题 1－7：1,2,3,4函数的连续性,间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕 ,判断函数的连续性〔连续性的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性〕和间断点的类型.习题 1－8：2,3,4,5连续函数的运算与初等函数的连续性<包括和,差, 积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性>习题 1－9：3,4,5,6理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理<零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法习题 1－10：1,2,5总复习题一： 1,2,3,4,5,9,10,11,12导数的定义、几何意义,单侧与双侧可导的关系,可导与连续之间的关系〔非常重要,时常会浮现在选择题中〕 ,函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定义求导与其合用的情形,利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法线方.习题 2－1：6,7,9,11,14,15,16,17,18,19,20复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数,由复合函数求导法则导出的微分法则, 〔幂、指数函数求导法,反函数求导法〕 ,分段函数求导法. 大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念〔含左连续与右连续〕 ,会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕,并会应用这些性质．1.理解导数和微分的概念, 理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,程习题 2－2：2,3,5,7,8,10,11,14高阶导数求法〔归纳法,分解法,用莱布尼兹法则〕习题 2－3：2,3,10,11,12由参数方程确定的函数的求导法,隐函数的求导法, 相关变化率习题 2－4：,1-11函数微分的定义,微分的几何意义,微分运算法则习题 2－5：2,3,4总复习题二： 1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念, 会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数, 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以与反函数的导.微分中值定理与其应用〔费马定理与其几何意义,罗尔定理与其几何意义,拉格朗日定理与其几何意义、柯西定理与其几何意义〕习题 3－1：5－12洛比达法则与其应用习题 3－2：1－4泰勒中值定理,麦克劳林展开式习题 3－3：1－7,10求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进习题 3－4：1,2,4,5,8,9, 12,13,14,15函数的极值,<一个必要条件,两个充分条件>,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题,与最值问题有关的综合题习题 3-5:1,4,5,6,7简单了解利用导数作函数图形〔普通出选择题与判断1．理解并会用罗尔<Rolle> 定理、拉格朗日 <Lagrange> 中值定理和泰勒 <Taylor>定理,了解并会用柯西<Cauchy> 中值定理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念, 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法与其应用．4．会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的数.图形题〕 ,对其中的渐进线和间断点要熟练掌握.习题 3－6：2,4弧微分,曲率的概念,曲率圆与曲率半径习题 3-7：1-5总复习题三： 1,2,4,6,7,8,10,11,12,20原函数与不定积分的概念与基本性质〔它们各自的定义,之间的关系,求不定积分与求微分或者导数的关系〕 ,基本的积分公式,原函数的存在性习题 4－1：1,7换元积分法习题 4－2 全部分部积分法习题 4－3 全部有理函数的积分习题 4－4 全部积分表的使用总习题四全部定积分的概念与性质<可积累在定理><定积分的7 个性质习题5－1：4,10,13微积分的基本公式积分上限函数与其导数牛顿－莱布尼兹公式习题5－2：1－12定积分的换元法与分部积分法习题5－3：1,2,3,4,6,7反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分拐点以与水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形．5．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径．1．理解原函数的概念 , 理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质与定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．1．理解定积分的概念．2．掌握定积分的基本公式 , 掌握定积分的性质与定积分中值定理,3．理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿－莱布尼茨公式．4．掌握换元积分法与分部积分法．.习题：5－4：1－3反常积分的审敛法总复习题五：1,3,4,5,6,7,10,13定积分元素法定积分的几何应用〔求平面曲线的弧长 ,求平面图形的面积,求旋转体的体积 ,求平行截面为已知的立体体积,求旋转曲面的面积〕习题 6－2：1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15,16,21,22定积分在物理学上的应用〔变力沿直线所做的功 ,水压力,引力〕习题 6-3：1-12总复习题六： 1－6微分方程的基本概念〔微分方程与其阶、解、通解、初始条件和特解〕习题 7-1：1,2,3,4,5可分离变量的微分方程<可分离变量的微分方程的概念与其解法 >习题 7-2：1,2齐次方程〔一阶齐次微分方程的形式与其解法〕习题 7－3：1,2一阶线性微分方程,伯努利方程习题 7—4：1,2可降阶的高阶微分方程习题1,2高阶线性微分方程〔微分方程的特解、通解〕习题 7-6：1-4常系数齐次线性微分方程〔特征方程,微分方程通解5．了解广义反常积分的概念, 会计算广义反常积分．会用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积与侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等1．了解微分方程与其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2．掌握变量可分离的微分方程与一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会解二阶可降解的微分方程．5．理解线性微分方程解.中对应项〕习题 7-7：1,2常系数非齐次线性微分方程〔会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以与它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程〕的性质与解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.习题 7-8：1,27．会解自由项为多项式、欧拉方程习题 7-9指数函数、正弦函数、余弦函数以与它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．总复习题七： 3,4,5,7,10 8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．向量与其线性运算习题 8-1: 1-19数量积、向量积、混合积习题 8-2：1,2,3,6,7,9曲面与其方程习题 8－3：1-11空间曲线与其方程习题 8-41-8平面与其方程习题 8-51-9 1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念与其表示.2.掌握向量的运算〔线性运算、数量积、向量积、混合积〕,了解两个向量垂直、平行的条.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式, 掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程与其求法.5．会求平面与平面、平面与件直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相空间直线与其方程习题 8-61-15总习题八： 1-21 互关系〔平行、垂直、相交等〕解决有关问题.6．会求点到直线以与点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程与其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和普通方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.多元函数的基本概念〔二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理〕习题 9— 1：5,6,7,8偏导数<偏导数的概念,二阶偏导数的求解 >,习题 9—2：1,2,3,4,6,7,8,9全微分〔全微分的定义,可微分的必要条件和充分条件〕 ,习题 9—3：1,2,3,5多元复合函数的求导法则〔多元复合函数求导,全微分形式的不变性〕习题 9—4：1—12隐函数的求导公式〔隐函数存在的 3 个定理〕习题 9—5：1—101．理解多元函数的概念, 理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续的概念以与有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念 ,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性.4．理解方向导数与梯度多元函数微分学的几何应用〔空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线〕习题 9—6：4—12方向导数与梯度习题 9—7：1-8,10多元函数的极值与其求法〔多元函数极值与最值的概念,二元函数极值存在的必要条件和充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值〕习题 9—8：1—12总复习题九： 1-18二重积分的概念与性质〔二重积分的定义与 6 个性,习题 10－1：1,4,5二重积分的计算法〔会利用直角坐标计算二重积分, 会利用极坐标计算二重积分〕 ,习题 10－2：1,2, 4,6,7,8,11,12,13,14,15三重积分的概念,三重积分的计算〔会利用直角坐标计算三重积分,会利用柱面坐标计算三重积分,会利用球面坐标计算三重积分〕的概念,并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6．了解隐函数存在定理, 会求多元隐函数的偏导数.7．了解空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线的概念 ,会求它们的方.8．理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值 ,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.1．理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质, 了解二重积分的中值定.2．掌握二重积分的计算方法〔直角坐标、极坐标〕 , 会计算三重积分〔直角坐标、柱面坐标、球面坐标〕 .理程质〕习题 10－3：4-11 3．会用重积分求一些几何量与物理量〔平面图形的面积、重积分的应用〔会计算曲面的面积,质心,转动惯量,体积、曲面面积、弧长、质量、引力〕质心、形心、转动惯量、引力、习题 10－4：1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14功等〕 .对弧长的曲线积分〔对弧长的曲线积分的概念与性质,对弧长的曲线积分的计算〕习题 11－1：3对坐标的曲线积分〔对坐标的曲线积分的概念与性质,对坐标的曲线积分的计算,两类曲线积分之间的联系〕习题 11－2：3,4,7,8格林公式与其应用〔格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微分求积,全微分方程〕习题 11－3：1-6对面积的曲面积分〔对面积的曲面积分的概念与性质,对面积的曲面积分的计算,〕习题 11－4：4-8 对坐标的曲面积分〔对坐标的曲面积分的概念与性质,对坐标的曲面积分计算,两类曲面积分之间的联系〕习题 11－5：3,4高斯公式〔会用高斯公式,会计算通量与散度〕习题 11－6：1,2,3斯托克斯公式〔会用斯托克斯公式,会计算环流量与旋度〕习题 11－7：2,31．理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质与两类曲线积分的关系.2．掌握计算两类曲线积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数.4．了解两类曲面积分的概念、性质与两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,掌握用高斯公式计算曲面积分的方法,并会用斯托克斯公式计算曲线积分.5．了解散度与旋度的概念,并会计算.总习题十一： 1-5.常数项级数的概念和性质〔常数项级数的概念,收敛级数的基本性质〕习题 12－1：1-4常数项级数的审敛法〔正项级数与其审敛法,交织级数与其审敛法,绝对收敛与条件收敛〕习题 12－2：1-5幂级数〔幂级数与其收敛性,幂级数的运算〕习题 12－3：1.2.傅里叶级数〔函数展开成傅里叶级数,正弦级数,余弦级数〕习题 12-7:1-6 1．理解常数项级数收敛、发散以与收敛级数的和的概念, 掌握级数的基本性质与收敛的必要条件.2．掌握几何级数与P-级数的收敛与发散的条件.3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法.4．掌握交织级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以与绝对收敛与收敛的关系.6．了解函数项级数的收敛域与和函数的概念.7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半.普通周期函数的傅里叶级数〔周期为 2L 的周期函数的傅里叶级数〕习题 12-7:1,2总习题十二： 1-12 径、收敛区间与收敛域的求法.8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质〔和函数的连续性、逐项求导和逐项积分〕, 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10．掌握e x ,sin x ,cos x ,ln(1+ x) 与(1+ x)a 的麦克劳林〔Maclaurin〕展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在[一l, l] 上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0,l] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式.11 / 11。
第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即{} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即{} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则 （1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(； （3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(， {}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即{}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域. 1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x xy --=的定义域. 解x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同. （1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =； （2）334)(x xx f -=，31)(-=x x x g ； （3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂. （1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=cQ x Qx x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.1.3 反函数在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f 为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x f y -=存在，且也单调递增（减）.（2）函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =.反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义.在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数xa y sin =分解.解 xa y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数： 常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======； 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot xy =等都是初等函数.需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ；（5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y .2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =；（3）x x f =)(，xe x g ln )(=； （4）x xf =)(，)sin(arcsin )(x xg =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f . 4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f .5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ；（3）2x x e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ；（5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y .6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin2ππ-∈=x xy ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
