第二章：实数
【无理数】
1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个
条件。
2.常见无理数的几种类型：
（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；
ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间
依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数
π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,
π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，
39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）
9π3.有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写
成分数形式。例：（1）下列各数：
①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±3
2
-
…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有
＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：
1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，
a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根
a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根
00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两
a
个互为相反数的值，表示为：。a ±例：（1）下列说法正确的是 （ ）
A ．1的立方根是；
B ．；（
C ）、的平方根是； （
D ）、01±24±=813±没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、981±=14.314.3-=-ππ3927-=-2
35=-（3）的算术平方根是 。（4）若有意义，则
2)3(-x x -+___________。
=+1x （5）已知△ABC 的三边分别是且满足，求c 的取值范围。
,,,c b a b a ,0)4(32=-+-b a （6）（提高题）如果x 、y 分别是4－
的整数部分和小数部分。求x － y 的值.
3平方根：
1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称
a x =2x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)
0(≥±=a a x 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根
例（1）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是
（2）当x 时，
x 有意义。
x 23－（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？3. 的性质
与22)0()(a a a ≥ （1）（2）中，a 可以取任意实数。如
77)0()2
2=≥=）如：（a a a ||2a a =5
|5|52==3
|3-|3-2
==）（例：1.求下列各式的值
（1） （2） （3）
272
7-）（2
49-）（2.已知，那么a 的取值范围是
。3.已知2＜x ＜3,化简
1)12-=-a a （=-+|3|)-22x x （。
【立方根】
3
叫做三次方根）记为，读作，3次根号a 。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
3a 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.
例：（1）64的立方根是 （2）若，则b 等于
9.28,89.233==ab a （3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④
3±y y =3364。
()483
2
±=±其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个比较两个数的大小：
方法一：估算法。如3＜＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0.
10方法三：乘方法.如比较的大小。
3362与例：比较下列两数的大小
（1）
（2）2
1
23-10与5325与【实数】
定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对
值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是
（a≠0）；实数a 的绝对值a
1
|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
⎩
⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大
于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们
的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算
顺序与有理数的一
实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的
（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
