随机信号实验
--高斯过程的产生
赵骏
一、实验目的
掌握产生具有一定相关性的高斯过程的方法。
二、实验内容
（1）产生协方差函数为()ταστ-=e C 2,0>α的高斯过程。
（2）分析其概率密度函数错误！未指定书签。、均值、方差、相关函数和功率谱。
三、实验仪器和设备
（1）计算机一台。
（2）Matlab 软件。
四、实验原理
一般情况下，认为所要进行仿真的随机过程都满足平稳性和各态历经性。严格的说，产生的随机序列并非是随机过程的样本函数，但是可以近似地认为是一个样本函数。 仿真协方差函数为ταστ-=e C 2)(的高斯过程的方法如下：
1．产生N 个均值为0，方差为1并且相互独立的高斯分布随机数n x 。
2．根据递推公式
n n n x e y e y ατατσ211----+=
计算出一组随机数n y ，其中初值为0y ，采样间隔是τ。
3．如果要仿真的随机信号数学期望不为0，将数学期望加到随机数上，就可以得到对应均值和方差的随机过程或随机序列的一个样本，生成随机序列样本函数。
4．估计随机信号的期望和方差分别为
∑-=∧
=1
0)(1N n X n x N m ， 2
10)(1∑-=∧∧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=N n X X m n x N D 。 5．计算产生的随机过程的自相关函数为
∑--=∧+=10)()(1)(τττN n n x n x N R 。
6．计算产生的随机过程的功率谱密度为 2210)(1)(1)(ωωωX N
e n x N S N n n
j X ==∑-=-∧。 7．利用自相关函数傅立叶变换计算随机信号的理论功率谱密度和估计值进行比较。理论方法计算功率谱密度为
ττωωτd e R S j X X ⎰∞
∞--=)()(。
五、实验步骤与结果记录
（1）高斯过程的产生
按照实验原理中所描述的产生高斯过程的步骤，编写实验程序如下： clc,clear
N=250;
alp=1;
sig=1;
delt=1;
a=1;
mm=zeros(1,N);
x1=rand(1,N);
x2=rand(1,N);
x3=a.*sqrt(-2*log(x1)).*cos(2*pi*x2)+mm; %产生随高斯分布的随机数 y(1)=sig*x3(1);
for n=2:N %产生高斯过程一个样本 y(n)=exp(-alp)*y(n-1)+sig*sqrt(1-exp(-2*alp*delt))*x3(n); end
i=1:N;
plot(i,y);
hold on ;
plot(i,mm,'-');
title('高斯过程样本函数')
运行程序后得到如图1所示的高斯过程的样本函数。
050100150200250
高斯过程样本函数
图1 高斯过程的样本函数
（2）高斯过程统计特性的分析
以上已经产生了高斯过程的一个样本函数，设其具有各态历经性，则可以利用这个样本函数的统计特性来近似代替整个高斯过程的统计特性。
首先，根据公式
∑-=∧
=1
0)(1N n X n x N m 计算样本的均值。程序如下：（接着上面的程序）
M=0;
for i=1:N
M=M+y(i);
end
M=M/N
计算得出样本的均值为0.0102，进而可以近似地认为该高斯过程的均值也
