2021 北京大学自主招生数学试题
51
1求证：边长为 1 的正五边形对角线长为
2
B1A
1
x 2
x
3
D
x
5
1-x
E
x4
C
略解：
三角形 ABE∽三角形DAE
x 1 x
1x
那么：x 51 2
对角线 AC=1+x=51 2
2 六边形AC1BA1CB1中 AC 1=AB 1,BC 1=BA 1,CA 1=CB 1,∠ A+ ∠ B+ ∠ C=∠ A 1+∠ B1+∠ C1求证△ABC 面积是六边形AC1BA1 CB1的一半
B1
C
A
P
C A 1
1
B
略解：如图得证
3
a1a2 a3b1b2b3
a a a2 a3a3a1b
b b2 b3 b3b1
1212
min( a1,a2 , a3 )min(b1, b2 ,b3 )
求证：max(a1, a2, a3 )max(b1, b2 ,b3 )
4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9 支南方球队总得分是北方球队的9 倍求证冠军是一支南方球队〔胜得 1 分败得 0 分〕
解：设北方球队共有x 支，那么南方球队
有x+9支
所有球队总得分为C22x9(2 x 9)(2 x8)(2 x9)( x 4)
2
南方球队总得分为
9 (2 x9)(2 x 8)9( x9)( x4)
10210
(2 x 9)( x4)
北方球队总得分为
10
南方球队内部比赛总得分 C x29
北方球队内部比赛总得分 C x2
(2 x 9)( x 4)x( x 1)
100
2
解得：11
229x11229 11 169 333
因为 (2 x 9)( x4) 为整数
10
x=6 或 x=8
当 x=6 时
所有球队总得分为 C22x 9(2 x9)(2 x8)(2 x9)( x 4) =210
2
南方球队总得分为
9 (2 x 9)(2 x 8)9( x9)( x4) 10210
=189
北方球队总得分为(2 x9)( x4)
10
=21
南方球队内部比赛总得分 C x29 =105
北方球队内部比赛总得分 C x2=15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为 11× 15=165<189
所以南方球队中至少有一支得分超过11 分．
冠军在南方球队中
当 x=8 时
所有球队总得分为C22x 9(2 x 9)(2 x8)(2 x9)( x 4) =300
2
南方球队总得分为
9 (2 x9)(2 x 8)9( x9)( x4) 10210
=270
北方球队总得分为(2 x9)( x 4) =30
10
南方球队内部比赛总得分 C x29 =136
北方球队内部比赛总得分 C x2=28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为 9 ×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9 分．冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
5 〔理科〕 O-XYZ 坐标系内体在点 (1,0,1) 设置一光源上未被照到的长度
xoy 平面系内0y 2 x2绕
xoy 平面内有一以原点为圆心的圆
y 轴旋转一周构成一个不透光立
C 被光照到的长度为2π求 C
答案：
1.求证边长为 1 的正 5 边形对角线长为〔 1+5^(1/2))/2
2.六边形 AB1CA1BC1 中， AB1=B1C ， CA1=A1B ，AC1 =BC1，角 A+ 角 B+ 角 C=角 A1+ 角 B1+ 角 C1, 求证三角形 ABC 面积是六边形面积的一半
3. a1+a2+a3=b1+b2+b3, a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3假设
min{a1,a2,a3}<=min{b1,b2,b3} 求证： max{a1,a2,a3}<=max{b1,b2,b3}
4.南方队和北方队打循环赛，南方队比北方队多9 支队伍，最后南方队总分是北方队
的九倍〔胜者得 1 分，负者得0 分〕，求证最后得分最高的是一支南方的队。
5.〔只理科生做〕
在空间坐标系oxyz 中，c 是由平面图形y-2=x^2绕y轴旋转后所得的不透光的立体图形。现在〔 1， 0， 1〕处有一点光源p。
圆 a 是以原点o 为圆心的位于x-y平面上的圆，且圆上被光源照到的局部长为 2 TT 〔派〕，求圆上阴影局部长度。
2021 年北京大学自主招生考
12月 30日，北京大学在上海市行了自主招生拔。其中的文考作文要求考生模仿官吏写 600-700
字，体出一定的新意。
据了解，全国范内，共有 6000多名考生向北大交了自主招生申材料，其中 1715 名考生通了初。
北京大学自主招生登
【文】
1.写四字短，要求偏旁部首相同。(10 分 )
2.写十字句子，每个字都是 zh,ch,sh,r。 (10 分 )
3.写一段文言 50字以内，至少 3个“之〞，且用法不同。 (10 分 )
4. 随便默写一首五言句，再将每一句增加两个字，使之成七言句。(30 分 )
5.作文：模仿官吏写 600-700 字，要体出其中的而不、雕琢堆砌、避重就和企敷衍了事。 (40 分 )
【英】
20道 (20 分 )2 篇，共10道 (40 分 )( 考生介，两道的大意：1、比麦当和高档
餐的不同，‘我’ 生日，妻子要去正式的餐，而‘我’更情麦当；2、二中，有7名英勇的黑人士兵，立下赫赫功，但没有得到相的最高荣誉。多年抗争后，在克林政期，
存的一名老兵于得到了最高荣誉。)
4英中 (20 分)( 考生介，其中一道的大意：我和妻子走在海，看着女儿在沙上、
海里嬉，棕色皮肤耀着光辉，
突然我听到背后来一名种族主者的咒声，于我
就像争上的炮声。)
4中英(20 分)(考生介，其中几道的大意：警察一直在搜一个小，最后在他叔叔家里；火都是要按出和到达，否整个路服就会陷入混乱。)
【史】
1.名解 (10 × 6分 ) 布拉格之春、徐光启、宅地法、三反五反、二二六兵、匈奴、甲骨文、
新青年、印度公司⋯⋯
2.材料分析：克思，“如果‘偶然性’完全不起作用的⋯⋯ 展的加速或延起决定
性作用的偶然性，包括站在运最前面的那些人物的性格种‘偶然情况’。〞你用所知道的
史知加以解和价，特是划句( 最后一句 )(40分 )
【政治】
1.“政通人和〞需要理好哪些关系？(10 分 ) 需要遵守什么根本原？什么？(20 分 )
2.某地政府低价村民的土地，圈起，挂上只要有就能在里面厂建房的牌子，造了巨大的“ 效益〞，被媒体暴光后被相关部。什么是效益？(10 分 )
什么造巨大“ 效益〞的政府行不被同？(10 分 )
