专题五几何中中点的妙用

中点简介中点是数学概念中的一个重要概念，常常用于表示两个点之间的中间位置。

在几何学和代数学中，中点可以用来描述线段或向量的特性。

这篇文档将介绍中点的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。

定义在平面几何中，两点A和B之间的中点是通过将线段AB分成两等分的点。

中点被定义为线段的中点，因为它恰好位于线段的中心位置。

假设线段AB的两个端点坐标为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么中点的坐标可以通过如下公式计算得到：($\\frac{x1+x2}{2}$, $\\frac{y1+y2}{2}$)性质中点具有一些重要的性质，下面列出了其中一些常见的性质：1.中点将线段分成两个等长的部分。

换句话说，从A到中点的距离等于从中点到B的距离。

2.中点的横坐标等于线段端点横坐标的平均值，纵坐标也等于线段端点纵坐标的平均值。

3.如果线段AB的中点是M，那么向量AM和向量MB的长度相等，且方向相反。

换句话说，向量AM和向量MB是互为相反向量。

4.中点所在的直线是线段AB的垂直平分线，可以将线段分成两个相等的部分。

应用实例中点在数学中有广泛的应用，下面是一些常见的应用实例：1.在几何学中，中点可以用于构建垂直平分线，帮助解决一些几何问题，比如证明两条线段相等。

2.在物理学中，中点可以用于计算物体的速度。

假设物体在某段时间内从点A到点B移动，我们可以使用点A和点B的坐标来计算出物体的速度向量，其中中点将帮助我们确定物体的位置和速度。

3.在经济学中，中点可以用于计算价格的平均值。

假设有两个价格点A和B，我们可以使用中点来计算这两个价格的平均值，从而了解价格的变化情况。

结论中点是数学中一个重要的概念，用于描述线段或向量的中心位置。

它具有一些特定的性质，如将线段等分、垂直平分线等。

在实际应用中，中点有广泛的应用，包括几何学、物理学和经济学等。

通过理解中点的概念和性质，我们能够在各个领域中更好地应用它，解决问题和提供解决方案。

中点的妙用班别：______姓名：__________学号：_______联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好地解决问题。

那么看到“中点”，你会想到什么呢？ 1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（特别是八字模型）5、有中点时，常联想“中垂线”；6、有中点时，常联想“面积相等”；7、重要方法：倍长中线。

8、中点三角形性质：已知D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，那么（1）△ABC 和△DEF 的边长关系是___________________；（2）△ABC 和△DEF 的周长关系是___________________； （3）△ABC 和△DEF 的面积关系是___________________； （4）图中有_____个三角形彼此全等；图中有______个平行四边形. 9B例1：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，O 是BC 的中点，如果在AB 和AC 上分别有一个动点M 、N 在移动，且在移动时保持AN=BM ，请你判断△OMN 的形状，并说明理由．练习：如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）.A ．B ．C ．D ．例2：如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC 与BD 相交于点O ，M 、N 分别是边BD 、AC 的中点． （1）求证：MN ⊥AC ；（2）当AC=8cm ，BD=10cm 时，求MN 的长．练习：如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，DF ⊥CE 于点M ．说明：AM=AD ．例3：已知：△ABC 中，AD 是BC 中线，E 、F 分别是AB 、AC 中点.求证：AD 、EF 互相平分.例4：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：四边形EFGH 是菱形.6595125165练习1：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．练习2：如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC上的点，且BD=EC，连接DC、BE，并分别取中点N、M，连接MN并延长交AB、AC于点F、G，求证：AF=AG.例5：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC. 练习：△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。

中点四大用法
以下是 6 条关于“中点四大用法”的内容：
1. 中点可以用来找平衡呀！就像走钢丝的时候，中点就是那根让你保持稳定的杆子。

比如你在分食物给小伙伴们的时候，找到中点，不就可以分得很公平啦！大家都开心，多好啊！
2. 中点也是划分区域的好帮手呢！嘿，你想想，要是把一个房间从中间分开，多清楚呀！像我们画地图一样，找到中点，就能把不同的地方区分开来，这不是很厉害吗，对吧？就好比把操场分成两半，一半踢足球，一半打篮球，多有序呀！
3. 中点还能帮助我们做对称呢！哇哦，对称可是很美的哦。

比如折一只纸鹤，找到中点对折，就能得到完美的对称形状。

你看那蝴蝶的翅膀，不也是以身体中间为点，两边对称多漂亮呀！咱做手工的时候不就经常用这个方法嘛！
4. 中点在测量的时候也超有用的呀！哎呀呀，你说量一条绳子的长度，从中间开始不就容易多了嘛。

就像我们量身高，找到中点做个标记，再往上往下量，多准确呀！难道不是吗？这方法多简单又好用！
5. 中点在解决问题的时候也能派上大用场嘞！比如说，两个人争论一个东西怎么分，找到中点不就解决啦。

就好像分一块蛋糕，从中间切开，一人一半，矛盾不就没啦！这种时候中点就是那个能让一切变得公平合理的关键呀，可不是嘛！
6. 中点有时候还是个重要的标志呢！哈哈，你想啊，比赛的时候中间那个点，多醒目呀！像跑道中间的线，那就是我们要努力奔过去的目标呀！我们生活中有时候也需要一个中点来作为目标呀，难道不是吗？这样我们才有前进的动力呀！
总之，中点的用法真的好多呀，我们可得好好利用起来！。

巧用中点解题
中点是指一条线段的正中间点，是几何中一个非常重要的概念。

在解题中，我们可以巧妙地运用中点，从而更加简单地解决问题。

1. 计算线段长度
如果我们已知线段的一个端点和中点，那么就可以轻松地计算出整个线段长度。

我们只需要将已知端点和中点之间的距离乘以2，即可得到整个线段长度。

2. 判断三角形是否等腰
如果我们已知一个三角形的两个角平分线的交点是三角形的中点，那么就可以判断这个三角形是否等腰。

因为在等腰三角形中，两个角平分线相交于三角形的中点。

3. 判断四边形是否为平行四边形
如果一个四边形的对角线的交点是这个四边形的中点，那么就可以判断这个四边形是否为平行四边形。

因为在平行四边形中，对角线互相平分。

4. 计算向量中点
如果我们已知一个向量的起点和终点，那么就可以计算出这个向量的中点。

我们只需要将向量的起点和终点坐标分别相加，再除以2，即可得到向量的中点坐标。

通过巧妙地运用中点，我们可以更加简单地解决一些几何问题和向量计算问题。

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中点的妙用一、知识回顾1、三角形中位线定理：2、直角三角形斜边上中线性质的运用二、应用举例1、直接找线段的中点，应用中位线定理例1、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM=21AB 。

2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图3所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE 的长为 。

3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理例3、如图5所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达？例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.EDB CA FG图2EDBCA FGM 图3EDCB AM图1例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC.求证：DE ∥BC.例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图4A BCEGFOD 图6FE DCBA 图1CFEDBA图24312FEBAP NMCD三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3M D四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.图4GHBE ACFD巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例 1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCF S DCE S = 4ab=，从而BEG DFG S S = ， 由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等， 因此S 四边形ABGD ab =-4ab 43⨯23=ab . 【点评】本题的难度较大，通过连接CG ，巧妙地把四边形ABGD 以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG 这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC 上取D 、E 、F ，使BD=ED=EF=FC ，连接AE 、ED 、•AF ．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB 、BC 、CA 的中点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、DF ．方案3：如答图3，分别取BC 的中点D ，CD 的中点E ，AB 的中点F ，连接AD 、AE 、DF ．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．时到达的。

中点是几何学中一个基本概念，它在许多数学和几何问题中都有重要的应用。

在本文中，我们将探讨中点的定义、性质和一些常见的应用。

一、中点的定义中点是指一条线段的两个端点之间的中间位置点。

在一条线段AB上，记中点为M，则AM=MB。

简而言之，中点就是将一条线段分成两个相等部分的点。

二、中点的性质 1. 中点分割线段中点将一条线段分割成两个相等的部分。

这意味着，如果AM=MB，则M是线段AB的中点；反之亦然，如果M是线段AB的中点，则AM=MB。

2.中点和线段长度的关系线段的长度等于两个端点之间的距离。

如果线段AB的长度为d，则AM=MB=d/2。

也就是说，线段长度的一半就是线段中点到任一端点的距离。

3.中点构成的线段平行于原线段如果线段AB的中点为M，构造线段MC，使得MC与AB重合，那么MC与AB平行。

这是因为中点将线段分成两个相等的部分，所以MC和AB有相同的长度和方向，因此它们平行。

三、中点的应用 1. 平行线的构造中点的概念常用于线段平行线的构造中。

给定线段AB和一点C，在点C处通过线段AB的中点M，可作出平行于线段AB的线段MC。

2.三角形的性质中点在研究三角形的性质时也起到关键作用。

例如，在等腰三角形中，中点是底边的中点；在等边三角形中，中点是边的中点。

3.证明几何定理中点的概念在证明几何定理时也经常被使用。

例如，证明平行线与三角形内一条边的中点连线构成平行线。

四、中点的推广除了线段，中点的概念还可以推广到其他几何图形中。

例如，三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点构成的线段的中点。

总结：中点是几何学中一个基本的概念，它具有许多重要的性质和应用。

通过了解中点的定义、性质和应用，我们能够更好地理解和应用几何学中的一些基本概念和定理。

无论是在解决几何问题还是在证明几何定理时，中点都扮演着重要的角色。

因此，对中点的认识和理解是进行几何学学习的基石之一。

中点的妙用（一）
一．学习目标 (一) .与中点有关的一类几何问题的研究。

（二）.掌握中点有关的知识。

（三）.体会转化的思想在几何变换中的运用。

（四）.掌握常见的一类基本图形。

联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点
时，你会产生哪些联想呢？相信你学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

二．自学案（例题讲解）
（一）已知：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线交BC 于D,且BD=CD,
求证：AB=AC,AD ⊥BC
思想和方法：
思想和方法：
思想和方法：
本题的知识及方法的总结：
C D
D D
C C
（二）、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。

且. ∠MON=90°O为斜边BC的中点.求证：BM2+CN2=MN2
方法及思想：方法及思想：方法及思想：
三．小结:
四．训练案
如图所示，在三角形ABC中，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长。

中点的八大用法
1. 计算中点
中点是两个数的平均值，可以用公式计算：
中点 = (数1 + 数2) / 2
例如，数1为2，数2为6，则中点为 (2+6)/2 = 4。

2. 判定中点
当两个数都已知，可以利用中点的定义来判定任意一个数是否为这两个数的中点。

如果这个数等于这两个数的平均值，则它是中点。

3. 求线段中点
在几何中，我们可以利用中点的概念来确定一个线段的中点。

只需要将线段两端点的横纵坐标分别相加除以2，就可以得到线段的中点坐标。

4. 拆分线段
通过线段的中点，可以将线段等分为两个长度相等的部分。

这种拆分方法在数学和计算机图形学中经常使用。

5. 布局设计
在设计中，中点可以作为布局的基准点，使设计更加对称美观。

例如，在网页设计中，中点可以用来排版页面元素使得页面看起来更加整洁。

6. 统计学
在统计学中，对于一组数据，可以找到它们的中点并计算出平均值，以便评估数据的分布情况和趋势。

7. 物理学
在物理学中，中点可以用来描述物体的质心。

质点系统的质心是它们所有的质量的平均位置，而且它的运动符合牛顿第一定律。

8. 艺术创作
在艺术创作中，中点可以用来创造视觉上的平衡和对称。

例如，在绘画和雕塑中，艺术家通常会使用中点来确定物体的比例关系和对称性。

精典专题五中点问题一．考情分析二．知识回顾1.与中点有关的内容与中点有关的内容主要包括三角形的中位线、梯形的中位线、直角三角形斜边上的中线等.（1）等腰三角形底边的中线、底边的高与顶角的角平分线“三线合一”。

（2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；.（3）梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）弦的中点与垂径定理；2.中点四边形（1）顺次连接四边形四边的中点得到一个平行四边形；（2）顺次连接对角线相等的四边形四边的中点得到一个菱形；（3）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点得到一个矩形；（4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点得到一个正方形；三．重点突破类型一：直角三角形斜边的中线（B）【典型例题1】如图1在△ABC和△ABD中，已知∠=∠=∠,E F分别为边AB和CD的中点，求证：,ACB ADB Rt⊥EF CD.〖搭配练习〗（A ）1．如图2，在四边形ABCD 中，,ABC ADC Rt ∠=∠=∠P 为线段AC 的中点，连接,,.BD PB PD 试问：PBD ∠与PDB ∠有何关系？说明理由.（C ）2．如图3，在锐角△ABC 中，AD CE 、分别是BC AB 、边上的高，AD CE 、相交于F ，BF 的中点为P ，AC 的中点为Q ，连接PQ 、.DE 求证：直线PQ 是线段DE 的垂直平分线.类型二：中线倍长的用法（A ）【典型例题2】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，求证：()1.2AD AB AC <+（B ）【典型例题3】如图6，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BF 交AD 于点E ，交AC 于点F ，且满足AF EF =，求证：.BE AC =〖搭配练习〗（A ）1．三角形的两边长分别为3和5，试求第三边的中线长x 的取值范围.（B ）2． 如图7，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DA AC ⊥于点A ，120BAC ∠=︒， 求证：2.AB AC =（C ）3．如图8，在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，且.ED DF ⊥求证：.BE CF EF +>类型三：三角形的中位线与梯形的中位线（A ）【典型例题4】如图9在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，点E 是BC 边上的中点，3,5AB AC ==，试求线段DE 的长.（C ）【典型例题5】如图10，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC BD ⊥于O ，试判断AB CD +与AD BC +的大小，并证明你的结论.〖搭配练习〗（C ）1．如图11，在△ABC 中，BE 、CD 分别为ABC ∠与ACB ∠的平分线，AM CD ⊥于点M ，AN BE ⊥于点N ，连接MN ，求证：MN ∥BC .（B ）2. 如图12，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ,中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF =18 cm ，MN =8 cm ，求AB 的长.（B ）3. 如图13，AE 为正方形ABCD 中BAC ∠的平分线，AE 分别交BD 、BC 于点F 、E ，AC 、BD 相交于点O . 求证：1.2OF CE =类型四：四边形的中点（B）【典型例题6】如图14，△ABC与△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，分别取AB、BD、DE、EA边的中点M、N、P、Q，连接MN、NP、PQ、QM，试判断四边形MNPQ的形状，说明理由.（B）【典型例题7】如图15，在菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥C D于点P，则∠FPC= ( )A. 35°B45° C. 50° D. 55°〖搭配练习〗（A）1．如图16，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．10 D．11（B）2．如图17，在□ABCD中,AD=2AB,M是AD的中点，CE⊥AB于点E，∠CEM=40°，则∠DME是（）A.150°B.140°C.135°D.130°（B）3．如图18，已知：梯形ABCD中，AB//CD，且BM⊥CM，M是AD的中点，试说明AB＋CD=BC.（B ）4．已知：如图19，在正方形ABCD 中，Q 在CD 上，且DQ=QC ，P 在BC 上，且AP=CD ＋CP .求证：AQ 平分∠DAP .类型五：弦的中点与垂径定理（A ）【典型例题8】如图20，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F.求证：EC=DF.〖搭配练习〗（A ）1．如图21，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB =10cm,CD =6cm ，则AC 的长为（ ）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm（A ）2．如图22，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦AB CD ⊥，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分D ．随C 点的移动而移动（B ）3．如图，已知：在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，CD CE ⊥交AB 于E ，CD DF ⊥交AB 于F ．求证：BF AE =．（B ）4．如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅四．复习建议作为几何的基础，中点是解决其他综合问题的必备知识，是几何证明以及几何计算的重要的辅助工具。

初中数学中点的5大用法
在初中数学中，点是基本的几何概念，有着广泛的应用。

以下是初中数学中点的五大用法：
表示位置：点是表示空间中一个确定位置的数学工具。

在坐标系中，一个点通常由坐标（x，y）表示，其中x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

这有助于几何图形的绘制和定位。

线段的中点：点常用于表示线段的中点。

中点是线段上距离两端相等的点。

通过中点，可以进行线段的等分、划分和相关计算。

图形的顶点：在图形中，点被用来表示多边形的顶点。

多边形是由一系列连接的线段组成，其中每个顶点都是一个点。

函数图像上的点：在函数图像上，点表示函数在特定输入值处的输出值。

这有助于可视化函数的性质、变化趋势和关键点。

平面图形的构造：点用于平面几何图形的构造。

通过在平面上标记点，可以绘制线段、角、多边形等图形。

点的位置和关系是几何构造的基础。

这些用法涵盖了初中数学中点的主要应用领域，帮助学生理解和运用几何概念。

通过点的概念，学生能够更好地理解和分析几何图形，同时点也是引入坐标系和代数概念的重要媒介。

1。

中点的妙用（上篇）中点条件是平面几何中非常常见的条件，如何利用好中点条件顺利解题？看到中点我们应该联想到什么呢？请看例题。

例题讲解：【例1】（2013·江西）在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程.【分析】观察图形，很容易猜想到MD与ME相等，设法以MD，ME为边构造全等三角形就OK了。

如何构造呢？关键是巧用M是中点这一条件。

【解答】(1) MD=ME的理由是：分别取AB,AC的中点F,G，连接DF,MF,EG,MG。

∵M是BC的中点又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线∴FM=EG（巧妙之处就在此！）同理可证DF=MG∵AF∥MG,MF∥AG∴四边形AFMG是平行四边形∴∠AFM=∠AGM又∵∠DFA=∠EGA=90°∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA即∠DFM=∠MGE，又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS）∴MD=ME(2)MD⊥ME的理由是：（利用第(1)问全等结论，同学们自己试一试吧！）方法提炼：我们知道，中学共学习了三个等于线段一半的定理，它们是：①30°所对的直角边等于斜边一半②直角三角形斜边上的中线等于斜边一半③三角形的中位线等于第三边的一半其中定理②,定理③均与中点有关！再加上中点的定义，面对中点条件，我们自然而然采取下列策略：1.倍长中线法2.构造中位线3.构造直角三角形斜边中线变式练习：在任意△ABC中，分别以AB和AC为边向△ABC的外侧作等边三角形，如图所示，I,J,K分别是AD,BC,AE的中点，判断△IJK的形状并证明。

解题感悟：有道是：见到中点有三法一是构造中位线二是构造斜中线三是倍长构全等中点的妙用（中篇）我们学习了中点模型的一道经典例题，介绍了面对中点时可采取的策略，即倍长构造全等（8字型），构造中位线以及构造直角三角形斜边中线。

专题五 中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到 中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？ 1等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质； 2、 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” ； 3、 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” ； 4、 两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全 等三角形）； 5、 有中点时常构造垂直平分线； 6、 有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）7、 倍长中线 8、 圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一” 的性质 1、如图 1 所示，在△ ABC 中，AB=AC=5 , BC=6，点 M 为BC 中点， 6 A .- 5 MN 丄AC 于点 9 B .- 5N ，贝U MN 等于（）12 16 C . — D .—5 5 二、直角三角形中遇到斜边上的中点， 常联想“斜边上的中 线，等于斜边的一半” 2、如图，在Rt" ABC 中，/ A=90 ° ,AC=AB,M AB 上。

且AN=BM , O 为斜边BC 的中点，试判断^ 并说明理由.、N 分别在 OMN 的形状, AC 、 3、如图，正方形ABCD 的边长为2,将长为2的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动. 果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按 A T B T C T D T A 滑动到点A 为止，同时点F 从点 发，沿图中所示方向按 B T C T D T A T B 滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ A. 2 B ： 4 —兀 C.兀 DM -1精品文库三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD 的对角线M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，如图所示，在三角形 ABC 中，AD 是三角形 ABC / BAC 的角平 分线，BD 丄AD ，点D 是垂足，点 E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求 DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB // CD , BC // AD , DE 丄 BE , DF=EF ，甲从 B 出发, 沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙 B 出发，沿着 BC 、CE 、EF 的方向 运动，如果两人的速度是相同的， 且同时从B 出发，则谁先到达F 点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形 ABCD 中，CD // AB ，对角线 AC 、BD 相交于点NACD=60°，点 S 、P 、Q 分别是 DO 、AO 、BC 的中点.求证：△ SPQ 是等边三角形。

中点的妙用(中考数学中的基本模型一中点模型)成都市双庆中学杨双复习目标：理解中点在几何图形中的应用，并学会利用中点模型解决问题；教学重点：让学生掌握用总结出的中点模型解决与之有关的几何问题；教学难点：学会认识中点模型，如何巧妙、灵活地添加辅助线解题。

教学过程：一、知识回顾：线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和几何图形中的中线，中位线、直角三角形斜边中线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？二、课前热身：1、如图，AD为△ABC的中线.(1)求证：AB+AC >2AD. (2)若 AB=3, AC=5,求 AD 的取值范围.2、如图，在△ABC中，AB>AC, E为BC边的中点，AD为/BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F, 交CA的延长线于G.求证：BF=GC.三、构建模型模型一如图1：在AABC中, AD是BC边上的中线. 如图2：在AABC中，D是BC边中点.方法提炼：1. 当题中出现中线时，我们经常根据需要将,使得 与 相等，这种方法叫做""。

2. 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题，这种方法叫做 a n四、模型应用例1、(2017成华区八年级下半期检测28题)(1) 在ZXABC 中，若AB=5, AC=8,则BC 边上的中线AD 的取值范围是 .(2) 如图2,在AABC 中，点D 是BC 边上的中点，DE1DF 与点D, DE 交AB 于E, DF 交AC 于点F,连接 EF,求证：BE+CF>EF.变式练习、如图，已知在梯形ABCD 中，AD 〃BC, AB=AD+BC, E 是CD 的中点. 求证：AE_LBE.小结： ________________________________________________________________________模型二如图：AB//CD,点E 是BC 的中点.图1 图2C D当题中出现平行线，且平行线间有中点，我们把这种情况叫做。

中点的妙用河南省商水县周口中英文学校刘易宁在几何证明题与求解题中，常会碰到线段或边的中点。

那么，如何利用中点快速的解答题呢？本人就这个问题谈一下中点的妙用。

一、在直角三角形中，如果有斜边的中点，常想斜边上的中线。

例1：如图1，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。

且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.分析：O为直角三角形ABC的中点，因为直角三角形斜边上的中1BC=CO.再利用其它条件线等于斜边的一半，所以连接AO，得AO=2证△AOM≌△CON,得MO=ON,且∠MON=90°,从而知道△MON的形状.解：△MON的形状是等腰直角三角形.理由如下：连接AO∵O为BC的中点，∠BAC=90°Array 1BC (直角三角形斜边上∴AO=BO=2的中线等于斜边的一半)∵AB=AC∴∠MAO=∠OAC=45°,AO⊥BC,∠C=45°∵AB=AC,AN=BN∴AM=CN在△AOM和△CON中∵AM=CN∠MOA=∠C=45°AO=CO∴△AOM≌△CON∴OM=ON ∠MOA=∠CON∵∠AON+∠CON=45°∴∠MOA+∠AON=90°即∠MON=90°∴△MON是等腰直角三角形.点拨：在直角三角形中，如果有斜边上的中点，常想构造斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解题。

本题还利用了等腰三角形“三线合一”的性质。

二．有中点时常构造垂直平分线。

例2.如图2所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠1BC。

求证：△ADC为等边三角形。

B.AC=2分析：D是BC边的中点，过点D作DE⊥BC交AB于点E.连接CE,1∠ACB,则有△EDC≌△EAC,从而则有EB=EC.有∠ABC=∠ECB=2∠BAC=90°。

故∠ACB=60°，问题得证。

数学题中出现“中点”的时候它在表达什么？
在几何图形中，与线段中点有关的问题很多，中点问题是每年中考的必考题型，一般地说，遇到中点问题，我们主要从以下五方面进行解读。

⒈还原中心对称图形（倍长中线、“8”字形全等）
由于线段本身就是中心对称图形，而中点就是他的对称中心，所以遇到线段中点问题，依托中点辅助线还原中心对称图形，这样可以将分散的条件集中起来！
⒉构造中位线
三角形中位线在位置关系和数量关系上联系三角形的有关线段，可使分散条件集中、隐含条件显现
⒊等腰三角形中的“三线合一”
“三线合一”是平面几何中非常重要的结论和解题工具，应用得当可使解题思路“柳暗花明”
4.与等面积相关的图形变换
线段中点的本意，在研究三角形的面积问题时，已经提供了底边相等的条件
⒌直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，及其与矩形、圆的结合
下面举几个例子，在不看解析的时候先自己思考一下：。