随机试验报告(基于小波算法的弱信号提取)

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（2）如果信号 s 是个高斯型噪声，那么其小波分解系数是互不相关的，且 服从高斯分布。 （3）如果信号 s 是一个平稳、有色、零均值的高斯型噪声序列，那么它的 小波分解系数也是高斯序列，并且对每一个分解尺度 j，其相应的系数也是一个 平稳、 有色的序列。 如何选择对分解系数具有相关性的小波是一个很困难的问题， 在目前也没有得到很好的解决。 进一步需要指出的是， 即时存在这样的一个小波， 但它对噪声的解相关性还是取决于噪声的有色性。 为了利用小波计算噪声的解想 关性，必须事先知道噪声本身的特性。 （4）如果信号 s 是一个固定的、零均值 ARMA 模型，那么对每一个小波分解 尺度 j，C（j，k）（k∈z）也是固定的、零均值 ARMA 模型，且其特性取决于尺 度 j。 （5）如果信号 s 是一个一般的噪声， ①若它的相关函数已知，则可计算系数序列 C（j，k）和 C（j，k’）； ②若它的相关函数谱已知，则可计算 C（j，k）的普及尺度 j 和 j’的交 叉谱。 2.小波阈值化 在小波域上,噪声的能量分布在所有的小波系数上,而信号的能量分布在一 小部分的小系数上,所以把小波系数分成两类:第一类是重要的、 规则的小波系数; 第二类是非重要的或者受噪声干扰较大的小波系数。给定一个阈值δ ,所有绝对 值小于某个阈值δ 的小波系数被看成“噪声”,它们的值用零代替;而超过阈值的 小波系数的数值用阈值δ 缩减后再重新取值。根据信号小波分界的这个特点,对 信号的小波系数设置一个阈值,大于它的认为属于第二类系数,可以简单保留或 进行后续操作;而小于阈值的则去掉。 这样达到了降低噪声的目的,同时保留了大 部分信号的小波系数,因此可以较好的保持信号细节。
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“软阈值化”和“硬阈值化”是对超过阈值δ 的小波系数进行缩减的两种主 要方法,如图 1、2 所示。横坐标代表信号原始小波系数,纵坐标代表阈值化后小 波系数[1] 。 图 1 表示的是“软阈值化”,用数学式表示为：
������������ =
������������������ ������
������ − ������ ， ������ ≥ ������ 0， ������ < ������
图 2 表示的是“硬阈值化”,用数学式表示为： ������������ = 3.阈值δ 的选取 阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值δ 。 如果阈值(门限) 太小,去噪后 的信号仍然有噪存在;相反,如果太大,重要信号特征将被滤掉,引起偏差。 从直观 上,对于给定小波系数,噪声越大,阈值δ 就越大。大多数阈值选择过程是针对一 组小波系数,即根据本组小波系数的统计特性,计算出一个阈值δ 。Donoho 等提 出了一种典型阈值选取方法,从理论上给出并证明阈值与噪声的方差成正比,其 大小为 :������������ = 噪声的方差。 根据基本噪声模型， 阈值的选取有以下四个规则，其中每一条规则对应于函 数 thselect 中的输入参数 tptr 的一个选项。 （1）、选项 tptr=‘rigrsure’。是一种基于 Stein 无偏似然估计原理的自 适应阈值选择。给定一个阈值 t，得到它的似然估计，再将非似然估计最小化， 就可以得到所选的阈值。这是一种软件阈值估计器。 （2）、选项 tptr=‘sqtwolog’，是一种固定的阈值形式，它所产生的阈值 为 sqrt（2*log（length（X）））。 2 log ������������ ������������ ,式中 Nj 为在第 j 层子带桑的小波系数个数,σ j 为 ������， ������ ≥ ������ 0， ������ < ������
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如何进行相应的拓展， 是主要的研究方向，未来这一领域的成果将大大丰富小波 去噪的内容。 目前小波去噪方法所取得的成功不仅将大大拓宽小波去噪方法的应用领域， 而且在推动这些领域研究发展的同时，必将从这些领域的应用中反馈新的问题， 从而会进一步丰富小波去噪的内容和推动小波去噪的发展。 3) 小波算法的应用及方向 在通信及计算机过程控制系统中，对信号进行实时采样是很重要的环节。但 由于信号在激励、传输和检测过程中，可能不同程度地受到随机噪声的污染，特 别在小信号采集和测量中，噪声干扰显得尤其严重。因此，如何消除实际信号中 的噪声， 从混有噪声的信号中提取有用信息一直是信息学科研究的焦点之一。傅 里叶变换是一种经典方法， 适用于诸多场合。 但由于傅里叶变换是一种全局变换， 无法表述信号的时域局部性质， 而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的 性质。 为了更有效地处理非平稳信号，人们提出了小波变换这种新的信号分析理 论。小波变换是一种信号的时频分析，他具有多分辨率的特点，可以方便地从混 有强噪声的信号中提取原始信号，被誉为分析信号的显微镜。所以论文研究如何 应用小波变换的理论，利用 Matlab 软件在计算机上实现了信号的噪声消除，从 混有噪声的实际信号中提取了原始信号。 MATLAB 中的小波工具包提供了全面的小波变化及其应用的各种功能，其中 小波去噪方面实现 Donoho-Johnstone 等的去噪算法，而且可以选择使用图形界 面操作工具或者去噪函数集合两种形式，图形界面操作工具直观易用，而利用函 数集合可以实现更灵活强大的功能。利用小波去噪函数集合在中 MATLAB 作了一 系列实验，体现出了小波去噪的强大功能。 尽管小波去噪方法现在已经成为去噪的重大分支和主要研究方向， 但是在另 类噪声分布(非高斯分布)下的去噪研究还不够， 目前国际上开始将注意力投向这 一领域，其中，非高斯噪声的分布模型、高斯假设下的小波去噪方法在非高斯噪 声下如何进行相应的拓展， 是主要的研究方向，未来这一领域的成果将大大丰富 小波去噪的内容。 4) 选取小波算法来进行虑噪的目的 本次实验从设计到实现， 主要都是以小波算法为基础，通过这样的算法来实 现滤除噪声主要是出于以下几个目的的考虑：
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（3）、选项 tptr=‘heursure’，是前两种阈值的综合，所选择的是最优预 测变量阈值。如果信噪比很小，而 SURE 估计有很大的噪声，此时就需要采用这 种固定的阈值形式。 （4）、选项 tptr=‘minimaxi’，也是一种固定的阈值选择形式，它所产生 的是一个最小均方差的极值，而不是误差。
二． 选题的背景及目的
1) 小波算法的背景及现状 自 20 世纪 80 年代提出以来，在数字信号处理领域，小波变换算法正在掀起 研究热潮，已在信号分析、图像处理及压缩编码、量子物理、边缘检测和非线性 科学等领域得到了迅速发展，成为信号处理的一种强大工具。 小波分析是近十几年来发展起来的一种新的数学理论和方法， 目前已被成功 地应用于许多领域。 作为一种新的时频分析方法，小波分析由于具有多分辨分析 的特点， 能够聚焦到信号的任意细节进行多分辨率的时频域分析， 因而被誉为 “数 学显徽镜”。 法国地球物理学家 Morlet 于 1984 年提出了一种新的线性时频分析方法—— 小波分析理论,为机械故障诊断中的非平稳信号分析,弱信号提取,信号滤波等提 供了一条有效的途径。 利用小波分析所具有的时频局部化特性选择合适的小波函 数,建立小波去噪模型,并结合当前在信号处理和分析领域应用广泛的 MATLAB 软 件, 通过计算机进行仿真,完成了小波去噪的 MATLAB 实现。1995 年 Donoho 和 Johnstone 提出了小波收缩去噪的技术，他们研究的是在叠加性高斯白噪声环境 下检测出真实信号的情况， 利用正交小波变换和高斯随机变量的性质对信号的小 波分解系数做阈值量化，无失真的还原出真实信号。 2) 小波算法的发展趋势 小波去噪方法现在已经成为去噪的重大分支和主要研究方向， 但是在另类噪 声分布(非高斯分布)下的去噪研究还不够， 目前国际上开始将注意力投向这一领 域，其中，非高斯噪声的分布模型、高斯假设下的小波去噪方法在非高斯噪声下
随机信号分析
实验报告
基于小波算法的弱信号提取研究
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团队成员——
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目录
摘要-----------------------------------------p3 选题背景及目的-------------------------p3 实验原理及特点-------------------------p5 实验步骤及内容-------------------------p8 实验结论-----------------------------------p11 参考文献-----------------------------------p11 附件（源代码）-------------------------p12 心得体会-----------------------------------p24
步骤 3：小波分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度的高频系数选择一 个阈值进行软阈值量化处理。 我们用了四种不同的阈值进行消噪处理，对不同的 阈值对信号的处理结果进行比较。
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一． 摘要
在当今这个通信技术高速发展的时代，信号的传输已然是显得异常的重要， 而在传输的终端对弱信号的提取与分析则是其整个过程中的重中之重。 目前，在 弱信号提取方面应用最为广泛的便是通过小波算法滤除掺杂噪声， 从而恢复出原 始的信号。 因此， 在这个高速发展的 IT 时代， 作为通信工程专业的一名大学生， 掌握弱信号的提取方法及小波变换的除噪方法则变得非常必要， 只有对其拥有深 入的了解， 才能在这个基础上进行广泛的应用，从而为我国的通信事业增添自己 的一份力量。
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a) 通过小波去噪方法把含噪信号中的高斯白噪声分离出来。 b) 分析对比各种不同小波去噪方法的优异性，并分别仿真得出结果进行 对比。 c) 区分小波去噪中不同调用函数。 d) 小波去噪中软阈值和硬阈值对于去除含噪信号和原信号相互间的影响。
三. 实验原理及特点
针对实际应用中的小信号特别是完全被噪声淹没的的情况下的微弱信号提 取的问题， 依据白噪声信号的小波变换系数相对比有用信号的小波系数小的特点 利用小波变换对信号进行消噪提取微弱信号，小波变换能够有效的消除噪声，将 有用微弱信号从受噪声污染的信号中提取出来。 下面就介绍小波算法的原理及特 点。 普通信号的去噪工作原理是利用噪声和信号在频域上的分布的不同进行的。 在传统的基于傅氏变换的信号去噪方法中， 总是使得信号和噪声的频域带重叠部 分尽可能较小，这样在频域通过时不变滤波，就将信号和噪声区分开。但如果两 者重叠区域很大时，就无法实现去噪的效果。 将含白色高斯噪声的信号进行小波变换，有小波变换的特性可知，高斯噪声 的小波变换仍然是高斯分布的， 它均匀分布在频域尺度空间的各部分，而信号由 于其带限性，它的小波系数仅仅集中在频率尺度空间上的有限部分。 1.噪声在小波分解下的特性 总体上， 对于一维离散信号来说，其高频部分所影响的是小波分解的第一层 细节， 其低频部分所影响的是小波分解的最深层和低频层。如果对一个仅由白噪 声所组成的信号进行分析，则可得出这样的结论;高频系数的幅值随着分解层次 的增加而迅速地衰减，且其方差也有同样的变化趋势。 用 C（j，k）表示噪声经过小波分解后的系数，其中 j 表示尺度，k 表示时 间。下面将噪声看做普通信号，分析它的相关性、频谱和频率分布这三个主要特 征。 （1）如果所分析信号 s 是一个平稳的、零均值的白噪声，那么它的小波分 解系数是相互独立的。
四．实验步骤及内容
实验设计思路：
小波分解
小波系数逼近 小波系数重构
实验步骤：
步骤 1：利用 Matlab 产生正弦波加高斯白噪声信号并求高斯白噪声的自相 关函数、功率谱及频谱，并画出图形。
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步骤 2：一维信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次，然后进行 分解计算。因为我们的有用信号为正弦波，噪声为高斯白噪声，所以在这里我们 选择 db4 正交小波基进行六层分解。 然后对各个低频和高频信号进行重构并画出 重构系数的图像，进行分析。