同济大学高等数学第七版1-3函数极限

f ( x) A ,
那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
1 故取 X 3 , 则当 | x | X 时 , 有 2 1 x3 1 3 2x 2
成立. 由极限的定义可知:
1 x3 1 lim . 3 x 2 x 2
y
sin x 0 例7 证 明 lim x x
y
sin x x
O
sin x 证 0, 要使 0 成立. x 1 sin x sin x 1 解不等式 0 , 只要 x x | x| | x| 解 出| x | 1 即 | x | , 取 X 1 , 当 | x | X时, 有 sin x sin x 故 lim 0. 0 , x x x
0
右极限 0, 0, 使得 x0 x x0 时,
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x ) A
x x0
或
f ( x0 ) A.

注 { x 0 x x0 }
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
y f ( x)
y
| f ( x ) A | A f ( x) A
A
当 | x | X时, 有
0,X 0,
X
O

X
x
当x X或x X时, 函数 y f ( x ) 图形
完全落在:
2的带形区域内 . 以直线y A为中心线 , 宽为
(3) 左、右极限中至少有一个不存在.
找找例题！
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 o 1 y x 1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
x 0 x 0
例5. 设函数
4 x 1 9 ,
lim 4 x 1 9
x2
3. 左、右极限(单侧极限) 例如,
y 1 x y
y x2 1
1 x, x 0 设 f ( x) 2 x 1, x 0
lim f ( x ) 1.
x0
1
O
x
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
第三节
函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下 两种情况： 一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 即x x0时, f ( x )的极限
二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，
即x 时, f ( x )的极限
一、自变量趋向有限值时函数的极限
x x0
证明 lim4 x 1 9
x2
证 0, 由于 4 x 1 9 4 x 2 要使 4 x 1 9 解不等式, 解出 x 2 ( ) 只要 x 2 , 可取 4 4 当0 x 2 时, 有
对于此邻域内的 x,
x0 x0 x0
x
对应的函数图形位于这一带形区域内.
一般说来, 论证 lim f ( x ) A,应从不等式
f ( x ) A 出发, 推导出 x x0 应小于怎
样的正数, 这个正数就是要找的与 相对应的 ,
找到 就证明完毕. 这个推导常常是困难的. 但是, 注意到我们不需要找最大的 ,所以 可把 f ( x) A 适当放大些, 变成易于解出
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x2 x 1 1 求 f ( x) x 1 在 x = 1 处的左、右极限. 2 x 1 x 1
则直线 y A是函数y f ( x ) 的图形的 水平渐近线(horizontal asymptote).
例6
1 x 1 证明：lim . 3 x 2 x 2
3
证
0,
1 x3 1 1 1 要 , 即要 , 即 | x| 3 , 3 3 2x 2 2| x| 2
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1. 定义 :
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得 x 满足不等式 x X 时,所对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式
3
| f ( x ) 5 |
lim( 3 x 1) 5
x 1 2. 例3 证明 lim x 1 x 1
2
分析： 函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点 是否有极限并无关系．
x2 1 2 x 1 证 f ( x) A x 1
任给 0,
证 f ( x) A
x x0
x x0 x x0 x x0 x0

0, 要使 f ( x ) A
即只要x x0 x0 且x 0
取 min x0 , x0 当0 x x0 时,
有 x x0 , lim x x0 .
恒有 f ( x ) A .
注：
(1) 定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素：
①正数ε， ②正数δ， ③不等式
| f ( x ) A |
(0 | x x0 | )
(2) f ( x ) 有没有极限，与 f ( x ) 在点 x0 是否有定义无关 (3) δ与任意给定的正数ε有关。
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x2 1 lim 2. x 1 x 1
x2 1 当0 x x0 时, 就有 2 , x 1
可用 x x0 x0 保证 例4 证明 : 当x0 0时, lim x
x x0
x0 .
解
x 1
2 lim f ( x ) lim x 1 x 1
y
1
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 0
x 1
1 2
O
1
x
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
例2 证明 证
lim( 3 x 1) 5
x 2
| f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
要使 | f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |

于是 0 ( ) 当0 | x 2 | 时 3 恒有
x 2
有定义. 若 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有
f ( x) A
则称x x0时函数 f ( x)有极限 A, 记作
lim f ( x ) A, 或 f ( x ) A( x x0 ). x x
0
" " 定义
x x0
lim f ( x) A 0, 0, 使当0 x x 0 时,
x x0
lim f ( x ) A
+
左极限f ( x0 )和右极限f ( x0 )均存在 且 f ( x0 ) f ( x0 ) A
此性质常用于判断分段函数当x趋近于 分段点 时的极限.
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一：
(1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等；
2( x 2 1) 考察x 1时,函数f ( x ) 的变化趋势 x 1
这个函数虽在x=1处 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 常数4为f(x)当x→1 时 f(x) 的极限。
y
4
o
1
x
怎样用数学语言刻划 x x0 , 函数f ( x ) 无限接近 于确定值A？
使当x X时,恒有| f ( x) A |
lim f ( x ) A lim f ( x ) A且 lim f ( x ) A x
x
x
例5 讨论极限 lim arctan x 是否存在?
x
解 显然有
x
lim arctanx
— x从左侧无限趋近 x0 , 记作 x x0 ;
+ x从右侧无限趋近 x0 , 记作 x x 0 .
左极限 0, 0, 使得 x0 x x0时,
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x ) A 或 f ( x0 ) A. x x
x
x2 1 1. 试证 xlim 2 x 1
x2 1 2 2 证 注意 当x 0时, 有 x 2 1 1 x 2 1 2 , x 2 x2 1 0, 为了使 2 1 , 只要使 2 , x 1 x
x

2
, lim arctanx
x

2
,
可见 lim arctan x
和
x
y
2
lim arctan x
y arctan x
x

虽然都存在, 但它们不相等. 故 lim arctan x 不存在.
x

2
3. lim f ( x ) A的几何意义
x
x x0
x x0 的式子, 找到一个需要的 .
例1
证明 lim x x0 .
x x0
证
Fra Baidu bibliotek
0, 取 , 则当 0 | x x0 | 时, | x x0 |
成立 , 故 lim x x0 .
x x0
这是证明吗？
非 常 非 常 严 格 ！
f ( x ) A 表示 f ( x) A 任意小 ;
x x0
. 0 x x0 表示x x0的过程

O

x0
U ( x0 , )
x0
x

x0
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1.定义
定义1 ( ) 设函数 f ( x )在点x0某去心邻域内
2. lim f ( x ) A的几何意义
x x0
0, 0, 当 0 x x0 , f ( x ) A
0, 作出带形区域
A y A
必存在x0的去心邻域
0 x x0 ,
y
A A A
O
y f ( x)
2. 另两种情形
(1) x 情形: lim f ( x ) A
x
设f ( x )在x a上有定义 . 0, X 0,
使当x X时, 恒有| f ( x) A |
f ( x) A (2) x 情形: xlim
设f ( x )在x a上有定义 . 0, X 0,