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初二数学竞赛试题及答案一
（说明：本卷可使用计算器，考试时间120分钟，满分120分）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、使b a b a +=-成立的条件是（ ）
A 、ab ＞0
B 、ab ＞1
C 、ab ≤0
D 、ab ≤1
2、某商品的标价比成本价高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）
A 、p p +100
B 、p
C 、p p +100100
D 、
p p -100100 3、有一种足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成，
黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，
则白皮的块数是（ ）
A 、22
B 、20
C 、18
D 、16
4有5名学生在这三个项目的测试中都没有达到优秀，
A 、35
B 、37
C 、40
D 、48
5、甲、乙、丙三个学生分别在A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若：①甲不在A 校学习；②乙不在B 校学习；③在B 校学习的学数学；④在A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（ ）
A 、甲在
B 校学习，丙在A 校学习 B 、甲在B 校学习，丙在
C 校学习
C 、甲在C 校学习，丙在B 校学习
D 、甲在C 校学习，丙在A 校学习
6、已知：a 、b 是正数，且a+b=2 ）
A B C D
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、已知2x =a, 3x =t, 则 24x = (用含a,t 的代数式表示)
8、已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点F 在BC 上，
则点F 到另外两边的距离和是
9、已知0199952=--x x ，则代数式21)1()2(23+-+---x x x 10、如图，正方形ABCD 的面积为256，
点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，
直角△CEF 的面积为200，则BE ＝ .
11、把7本不同．．的书分给甲、乙两人， 甲至少要分到2本，乙至少要分到1本，
两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有 种.
12、如果用两个1，两个2，两个3，两个4，要求排成具有以下特征的数列：一对1之间正好有一个数字，一对2
之间正好有两个数字，一对3之间正好有三个数字，一对4之间正好有四个数字，请写出一个正确答案 .
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三、解答题（每小题15分，共60分）
13、某商店有A 种练习本出售，每本零售为0.30元，一打（12本）售价为3.00元，买10打以上的，每打还可以
按2.70元付款.
（1）初二（1）班共57人，每人需要1本A 种练习本，则该班集体去买时，最少需要付多少元？
（2）初三年级共227人，每人需要1本A 种练习本，则该年级集体去买时，最少需付多少元？
14、请观察式子
1×2×3×4＋1=52 2×3×4×5＋1＝112
3×4×5×6＋1＝192
……
（1）猜想20000×20001×20002×20003+1＝（ ）2
（2）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明. 15、如图：四边形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ABC ＝30°，
∠ADC ＝60°.试探索以AB 、BC 、BD 为边，
能否组成直角三角形，并说明理由.
16、设四位数abcd 是一个完全平方数，且12+=cd ab
[参答]
1、C
2、C
3、B
4、C
5、A
6、A
7、a 3t 8、4.8 9、2004
10、12 11、49 12、41312432或23421314
13、（1）可买5打或4打9本，前者需付款3.00×5＝15.00，后者只需付款3.00×4＋0.3×9＝14.7元.
故该班集体去买时，最少需付14.7元.
（2）227＝12×18＋11，可买19打或18打加11本，前者需付款2.70×19＝51.3；后者需付款2.70
×18＋0.3×11＝51.9元，比前者还要多付0.6元.故该年级集体去买，最少需付51.3元.
14、（1）400060001
（2）对于一切自然数n ，有n （n+1）(n+2)(n+3)+1＝(n 2+3n+1)2.证略
故20000×20001×20002×20003＋1＝（200002＋3×20000＋1）2.
＝4000600012
精品文档 15、证明：以BC 为边作等边△BCE ，连结AE 、AC.
因为∠ABC ＝30°，∠CBE ＝60°，所以∠ABE ＝90°，
所以AB 2＋BE 2＝AE 2 ①，AD ＝DC ，∠ADC ＝60°，
所以△ADC 是等边三角形.
因为在△DCB 和△ACE 中，DC ＝AC ，
∠DCB ＝∠DCA ＋∠ACB ＝∠ECB ＋∠ACB ＝∠ACE ，
而BC ＝CE ，所以△DCB ≌△ACE ，所以BD ＝AE ，
而BC ＝BE ，由①式，得BD 2＝AB 2＋BC 2
16、设2m abcd =，则32≤m ≤99. 又设x cd =，则12+=x ab . 于是100（2x ＋1）＋x ＝m 2，201x= m 2－100 即67×3x ＝（m+10）(m －10).
由于67是质数，故m ＋10与m －10中至少有一个是67的倍数.
（1）若m ＋10＝67k （k 是正整数），因为32≤m ≤99，
则m+10=67,即m ＝57.
检验知572＝3249，不合题意，舍去.
（2）若m －10＝67k （k 是正整数），则m －10＝67，m ＝77. 所以，5772==abcd 929.
