normal distribution 正态分布表
- 格式：pdf
- 大小：159.99 KB
- 文档页数：1
下载文档原格式
合集下载
正态分布 t分布
未知时，以样本标准差 S 代替 σ 所得到的统 计量
xμ S/ n
态分布，而是服从 t 分布(t-distribution)。 它的概率分布密度函数如下：
t 分布概率密度曲线特点: 1、t 分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 t 分布概率密度曲线。 2、t 分布概率密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称， 且在t＝0时，取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t 分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t 分布越趋近于标准正态分布。当n >50时，t 分布与标 准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准 正态分布相同；n→+∞时，t 分布与标准正态分布完全 一致。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x=
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=
1 2 3 x
x=
不同均数 均值 反映随机变量的平均水平（位置参数），向 右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴永不相交 （2）曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称 1 （3）曲线在 x=μ 处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与横轴 x所夹面积为1
例3 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估 计: (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比； (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
t 分布
利用公式，查附表得： (1) P(x＜1.64) =Φ(1.64) =0.9495 (2) P (x≥2.58) =1-Φ(2.58) =1-0.9951 =0.0049 (3) P (│x│≥2.56) =2-2Φ(2.56) =2-2×0.9948 =0.0104 (4) P (0.34＜x≤1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) = 0.9370-0.6331=0.3039 (5) P(x＜-1.82) =1-Φ(1.82) =1-0.9656 =0.0344
利用Excel的NORMSDIST计算正态分布函数表
利用Excel的NORMSDIST函数建立正态分布表董大钧，乔莉理工大学应用技术学院、信息与控制分院，113122摘要：利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数可以很准确方便的建立正态分布表、查找某分位数点的正态分布概率值,极大的提高了数理统计的效率。
该函数可返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数，将其引入到统计及数据分析处理过程中，代替原有的手工查找正态分布表，除具有直观、形象、易用等特点外,更增加了动态功能,极大提高了工作效率及准确性。
关键词：Excel；正态分布；函数；统计引言正态分布是应用最广泛的连续概率分布，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，某种产品的力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
在科学研究及数理统计计算过程中，人们往往要通过某本概率统计教材附录中的正态分布表去查找，非常麻烦。
若手头有计算机，并安装有Excel软件，就可以利用Excel的NORMSDIST( x )函数进行计算某分位数点的正态分布概率值，或建立一个正态分布表，准确又方便。
1 正态分布及其应用正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为N(μ，σ2 )。
则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
正态分布
三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
第六章 正态分布及其应用
一．正态分布
♦
正态分布（ 正态分布（normal distribution）也称
为常态分布， 为常态分布，是连续型随机变量概率分布的一 种，是在数理统计的理论与实际应用中占有最 重要地位的一种理论分布。 重要地位的一种理论分布。
♦
正态分布由棣．莫弗于1733年发现的。 正态分布由棣．莫弗于1733年发现的。拉 1733年发现的
无限延伸，但永不与基线相交。 无限延伸，但永不与基线相交。 差为１。从Ｚ＝－3至Ｚ＝＋3之间几乎分布着全 Ｚ＝－3 Ｚ＝＋3 部数据。 部数据。
♦
拐点为正负一个标准差处 ⑸．曲线的拐点为正负一个标准差处。 曲线的拐点为正负一个标准差处。
二．标准正态分布表及使用
1．标准正态分布表
♦
利用积分公式可求出正态曲线下任何
2σ 2
公式所描述的正态曲线， 两个参数决定。 公式所描述的正态曲线，由σ和μ两个参数决定。
2．标准正态分布曲线
将标准分数代入正态曲线函数 并且， 并且，令σ＝1 则公式变换为标准正态分布函数： 则公式变换为标准正态分布函数：
1 Y= ⋅e 2π
Z2 − 2
♦
以Ｚ为横坐标，以Ｙ 为横坐标，
为纵坐标，可绘制标准正 为纵坐标， 态分布曲线。 态分布曲线。
♦
标准正态分布曲线的
纵线高度Ｙ为概率密度， 纵线高度Ｙ为概率密度， 曲线下的面积为概率。 曲线下的面积为概率。
3．标准正态分布曲线的特点
♦ ♦ ♦ ♦
⑴．曲线在Ｚ＝０处达到最高点 曲线在Ｚ＝０ Ｚ＝ ⑵．曲线以Ｚ＝０处为中心，双侧对称 曲线以Ｚ＝０处为中心， Ｚ＝ ⑶．曲线从最高点向左右缓慢下降，向两侧 曲线从最高点向左右缓慢下降， 平均数为 ⑷．标准正态分布曲线的平均数为０，标准 标准正态分布曲线的平均数
正态分布（Normaldistribution）也称“常态分布”，又名高斯分布
正态分布（Normaldistribution）也称“常态分布”，⼜名⾼斯分布常⽤希腊字母符号：
正态分布公式
曲线可以表⽰为：称x服从正态分布，记为 X~N(m,s2)，其中µ为均值，s为标zhuan准差，X∈（-∞，+ ∞ )。
其中根号2侧部分可以看成密度函数的积分为1，你就可以看成为了凑出来1特意设置的⼀个框架⽆实际意义。
标准正态分布另正态分布的µ为0，s为1。
判断⼀组数是否符合正态分布主要看 P值是否⼤于0.05。
1、∫
不定积分
不定积分的定义为：若函数f(x)在某区间 I 上存在⼀个原函数F(x)，则称F(x)+C（C为任意常数）为f(x)在该区间上的不定积分，记为
2、∮
闭合曲⾯积分
3、∝
⽆穷⼩
4、∞
⽆穷⼤
5、∨
集合符号，并
6、∧
集合符号，交
7、∑
求和符号，连加
8、∏
求积符号，连乘
9、∪
逻辑符号，并
10、≌
全等
11、∈
集合符号，属于
12、∵
因为
13、∴
所以
14、∽
相似
15、√
开⽅。
正态分布图作图指导-Normal distribution curve
1.双击Origin
Pro的图标,
2.将数据从text
文件里复制
粘贴到数据
区域
3.按照如下路
径,选择频率
分
析.Frequency
Count
4.设置起点终
点和步进,一
般步进50,单
击ok
5.选择生成的
X,Y列数据,点
击plot，按如
下路径画图,
--------------------
6.对得到的柱
形图进行颜
色调整，默认
是红色。
7.单击菜单栏
的Analysis选
项，按照图中
路径，选择高
级拟合
（Advanced
Fitting Tool）
8.在Advanced
Fitting Tool
菜单界面选
择Action-Fit
9.弹出的对话
框，选择
Active
Dateset。
10.选择100Iter，
单击Done。
11.对模型的解
释框内容进
行删除，只保
留Model，
Equation，and
R2的信息。
12.右击边框，在
属性
Properties窗
口中去掉边
框。
13.对坐标轴进
行命名
14.右击空白区
域，弹出菜单
中单击添加
Text选项，添
加本图表的
制作日期。
15.右击图标空
白区域，探出
菜单中选择
Export Page
导出图片，图
片DPI选择
200，格式选
择png or jpg
16.最后，保存数
据。
标准正态分布示意图
lgG = lg(12571032040)=lg(571032040)1/12=1/1 2(7lg5+3lg10+lg20+lg40)=0.89966
为简化计算, 可两边取对数
G = lg-1(lgG)= lg-10.89966 = 7.94
加权法: G=lg-1( lgx/ ), 当变量值个数 较多或变量值为频数表资料时
(3） （4）=（2）（3） （5）=（2）（4）
1 127
16129
• 129 131
4 524
68644
• 133 135
9 1215
164025
• 137 139
28 3829
540988
• 141 143
35 5005
715715
• 145 147
27 3969
583443
• 149 151
11 1661
250811
• 153 155
4 620
96100
• 157161 159 • 合计 •
1 159
120 17172
（ƒ）（ ƒx）
25181
2461136
（ ƒx2）
•
2461136 - （17172）2/120
• s=
•
120 - 1
•
• 三、变异系数: 又称离散系数。代号为CV。
甲的变异程度>乙组
一、极差和四分位间距
• （一）全距: R(range), 亦称极差。即一组变量 值中最大值与最小值之差。
• R甲=4.0 - 2.8 = 1.2 • R乙=3.8 - 3.0 = 0.8 • 优点: 简单明了 • 缺点: 仅考虑了资料的最大值与最小值, 不能反
正态分布（高斯分布）
正态分布（⾼斯分布）正态分布（Normal distribution）⼜名⾼斯分布（Gaussian distribution），是⼀个在数学、物理及⼯程等领域都⾮常重要的概率分布，在统计学的许多⽅⾯有着重⼤的影响⼒。
正态分布是⾃然科学与⾏为科学中的定量现象的⼀个⽅便模型。
各种各样的⼼理学测试分数和物理现象⽐如光⼦计数都被发现近似地服从正态分布。
尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多⼩作⽤加起来看做⼀个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到⼀种简单的证明)。
正态分布出现在许多区域统计:例如, 采样分布均值是近似地正态的，既使被采样的样本总体并不服从正态分布。
另外，常态分布信息熵在所有的已知均值及⽅差的分布中最⼤，这使得它作为⼀种均值以及⽅差已知的分布的⾃然选择。
正态分布是在统计以及许多统计测试中最⼴泛应⽤的⼀类分布。
在概率论，正态分布是⼏种连续以及离散分布的极限分布。
正态态分布最早是亚伯拉罕·棣莫弗在1734年发表的⼀篇关于⼆项分布⽂章中提出的。
拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》拉普拉斯定理。
（Theorie Analytique des Probabilites）中对棣莫佛的结论作了扩展。
现在这⼀结论通常被称为棣莫佛－拉普拉斯定理。
拉普拉斯在误差分析试验中使⽤了正态分布。
勒让德于1805年引⼊最⼩⼆乘法这⼀重要⽅法；⽽⾼斯则宣称他早在1794年就使⽤了该⽅法，并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字可以追溯到Jouffret他在1872年⾸次提出这个术语"钟形曲⾯"，⽤来指代⼆元正态分布（bivariate normal）。
正态分布这个名字还被Charles S. Peirce、Francis Galton、Wilhelm Lexis在1875分布独⽴的使⽤。
正态分布
正态分布(Normal distribution)随机变量的概率分布随机变量的类型(数理统计)连续型变量：变量在某一实区间内任意取值；离散型变量：变量只能取有限个数或可列个数。
应用统计分为：数值变量和分类变量，对应于定量资料和定性资料（含等级资料）。
描述随机变量的两个函数●概率密度函数用f(X)表示，对于离散型变量f(X)是变量取X值的概率，常用P(X)表示。
●分布函数变量取小于等于X值所占的比例，显然：有()0F X≥'()()F X f X=()()xF X f X dX-∞=⎰正态分布正态分布（normal distribution ），也称高斯分布（Gaussian dist.），是最常见、最重要的一种连续型分布。
若一个随机变量的概率密度函数为则称这种分布为正态分布。
式中，π为圆周率；e 为自然对数的底。
其中的参数µ是均数，σ是标准差，正态分布可记为X ～Ν(µ,σ)。
正态分布的分布函数为：de Moivre(德)首先提出正态分布的概率曲线具有下述特点（1）正态分布只有一个高峰，高峰的位置在X＝μ处。
（2）分布以均数为中心，中间高，两头低，左右完全对称的钟型曲线。
（3）正态分布的两个参数（μ和σ）分别决定了分布的位置和形状。
其中μ是位置参数，σ是形状参数。
当σ恒定时，μ愈大，正态曲线向右移动；反之，μ愈小，正态曲线向左移动。
若μ恒定，σ愈大（数据愈离散），正态曲线显得愈“矮胖”；反之，σ愈小(数据愈集中），正态曲线显得愈“瘦高”。
（5）对任一正态变量X 进行如下线性变换则u 一定服从于均数为零，标准差为1的正态分布，记为u ～N （0，1），称为标准正态分布（standard normal distribution ），其密度函数u 被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate ）。
此性质在实际工作中极为重要，给应用工作者提供了极大的方便。
正态分布z值表
正态分布z 值表 ---- 见最下文首先我们得先来了解一下什么是正态分布：1.正态曲线(normal curve)35 30 25 120"|5 10图2・1 图3・1 图3・2正态曲线是簇曲线，呈对称钟形，均数所在处最高，两侧逐渐下 降,两端在无穷处与横轴无限接近。
横坐标常使用观察值组段，纵坐 标常使用频数、频率及概率密度（频率与组!?巨之比\2.正态分布特征曲线概率密度函数：]_（用_小/（X ） =C 2/_ 8 < X V +8c \J2TI式中，有4个常数，M 为总体均数，o 为总体标准差，TT 为圆周率，e 为自然对数 的底数,其中|J 、o 为不确定的常数，称为正态分布的参数。
M 是位置参数，决定着正态曲线在X 轴上的位置； a 是形状参数，决定着正态曲线的分布形状由此决定的正态分布记作N （（JQ 2）。
3.84.0 4.2 4.4 “ 4.85.0 52 5.4 5.6 52 6 红紗畝故(xlOTL)2252015105g*s仅X为随机变量。
曲线位置形状与面积特征：正态分布曲统(5=1)标准差一样规定了曲线的形状相同，而均数不同，会使得曲线在均数不变，标准差改变，标准差小的曲线变异度小，曲线形状就高瘦一点;标准差大的变异度大，曲线形状就矮胖一点。
标准正态分布均数为0标准差为1的正态分布被称为标准正态分布(standard normal distribution)o对于任意一个服从正态分布N (|j , L)的随机变量，可做标准化转换。
X — JJz = --------a通过标准化转换后，任意一个正态分布曲线下面积求解问题都能转换成标准正态分布曲线下面积求解问题。
如下所示:2 •标准正态分布的应用当Z的取值范围为(Z1,Z2)时，概率(面积)计算公式应为:P(Z1<Z<Z2) =cp ( Z2 ) - cp ( Z1)因为统计表中只有Z值的左侧尾部面积，所以根据上图所示，当Z>0时应有:q)(Z) =l-cp( -Z)所以对于一个一般的正态分布问题，我们可以先通过标准化转换求得Z值，然后查表找到所对应的值后代入面积公式即可进行求解。
正态分布(normal distribution)
正态分布
(normal distribution)
3.1 随机变量
变量和随机变量
变量取值的相对频率说明了具有某个性质 的观察对象的出现的可能性。
随机变量
离散型：性别、血型、子女数、事故数 连续型：身高、体重
随机变量的概率分布
概率函数（Probability Function)，或者 说概率密度函数（Probability Density Function) 、密度函数 分布函数(Distribution Function)。用此 函数的大小来说明变量取某些值的可能性 当变量的取值包括了所有可能的取值时， 分布函数值为1 当变量具备了以上两个函数之后，称它具 有某种分布（Distribution)
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 3 1 2 1
3
3.2.4正态曲线下面积的分布规律
-
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
f (X )
1
2
e
( X 值表 表中的面积是指p(u<x), 也记作 φ（x）
标准正态分布曲线下面积(u)
u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
u 0
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
3.2.5 正态分布的应用
1．估计参考值范围(reference interval) 参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
(normal distribution)
3.1 随机变量
变量和随机变量
变量取值的相对频率说明了具有某个性质 的观察对象的出现的可能性。
随机变量
离散型：性别、血型、子女数、事故数 连续型：身高、体重
随机变量的概率分布
概率函数（Probability Function)，或者 说概率密度函数（Probability Density Function) 、密度函数 分布函数(Distribution Function)。用此 函数的大小来说明变量取某些值的可能性 当变量的取值包括了所有可能的取值时， 分布函数值为1 当变量具备了以上两个函数之后，称它具 有某种分布（Distribution)
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 3 1 2 1
3
3.2.4正态曲线下面积的分布规律
-
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
f (X )
1
2
e
( X 值表 表中的面积是指p(u<x), 也记作 φ（x）
标准正态分布曲线下面积(u)
u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
u 0
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
3.2.5 正态分布的应用
1．估计参考值范围(reference interval) 参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
医学统计学(第2章)正态分布
dx
（2-18） ）
F（X）
p(a〈x〈b)
0 12.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.00
正态分布曲线下面积的含义
1.表示变量值（x）在a-b区间变量值所占 1.表示变量值 表示变量值（ 全部（总体）变量值的比例或概率 比例或概率(p)。 全部（总体）变量值的比例或概率(p)。 2变量值在整个曲线下的面积为100%,或 变量值在整个曲线下的面积为100%,或 出现的概率为1 出现的概率为1。
第五节 医学参考值范围的制定
一、概念 医学参考值是指包括绝大多数“ 医学参考值是指包括绝大多数“正 常人” 的各种生理及生化指标常数， 常人 ” 的各种生理及生化指标常数 ， 也 称正常值。 称正常值。 正常值是指在一定范围内波动的值， 正常值是指在一定范围内波动的值， 医学上常用95% 医学上常用95%的范围作为判定正常或 异常的参考标准。 异常的参考标准。
二、 标准正态分布
1.标准正态分布及标准化变量值（u） 标准正态分布及标准化变量值（ ） 标准正态分布及标准化变量值 任何正态分布的X值通过 值转换后,称为标 任何正态分布的 值通过u值转换后 称为标 准化的正态分布， 准化的正态分布，即u ~N（ µ=0 ， σ2=1） （ ） 概率密度函数为： 。概率密度函数为： 2
Φ(−u) 表示从－∞到- u值对应曲线范围 表示从－ 值分布比例。 内X值分布比例。
例1： ：
Φ(u = −1) = 0.1587 Φ(µ =1) =1− Φ(u = −1)
=1− 0.1587 = 0.8413
例2：标准正态变量值u=（-1，1）和u= 标准正态变量值u=（ 1.96，1.96）区间内面积各为多少？ （ -1.96，1.96）区间内面积各为多少？
标准正态分布
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
10
计算
已知u～N(0，1)，试求：
(1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(standard normal distribution)
(u )
(u )
1 2
1 2
e
u
e
u2 2
1 2 u 2
du
随机变量u服从标准正态分布，记作u～
N(0，1)
7
标准正态分布
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机
变量x，都可以通过标准化变换 u=(x-μ)／σ
P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
14
由表4—2可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126 头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推 断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的
= 1, ..., n)为相互独 立，都服从标准正态分布，则定义： 2 i zi2 , i = 1, ..., n 变量2服从自由度等于n卡方分布（chi – square distribution）。
19
卡方分布曲线
图4-1 不同自由度下的2分布
图4-2 2分布的 上侧和下侧分位数 示意图
P(x<μ-1.96σ)=P(x>μ+1.96σ)=0.025
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
10
计算
已知u～N(0，1)，试求：
(1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(standard normal distribution)
(u )
(u )
1 2
1 2
e
u
e
u2 2
1 2 u 2
du
随机变量u服从标准正态分布，记作u～
N(0，1)
7
标准正态分布
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机
变量x，都可以通过标准化变换 u=(x-μ)／σ
P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
14
由表4—2可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126 头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推 断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的
= 1, ..., n)为相互独 立，都服从标准正态分布，则定义： 2 i zi2 , i = 1, ..., n 变量2服从自由度等于n卡方分布（chi – square distribution）。
19
卡方分布曲线
图4-1 不同自由度下的2分布
图4-2 2分布的 上侧和下侧分位数 示意图
P(x<μ-1.96σ)=P(x>μ+1.96σ)=0.025
医学统计学4 正态分布与参考值
X
f(X)
a
b
b
X
P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a)
a
f(X)
f ( x) N (0,1)
a
a
0
-a
X
F (a) f ( x)dx
F (a) f ( x)dx 1 F (a)
a
三. 曲线下面积
u -3.0 -2.9 …… -2.5 …… -1.9 …… -0.1 0.0 0.00 0.0013 0.0019 …… 0.0062 …… 0.0287 …… 0.4602 0.5000 0.01 0.0013 0.0018 …… 0.0060 …… 0.0281 …… 0.4562 0.4960 0.02 0.0012 0.0018 …… 0.0059 …… 0.0274 …… 0.4522 0.4920 …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
16
12
1000
3000 1000 5000
10
15
9.0 16.5 16.0
15-60 5.5‰ >60 16.0‰ 合计 8.2‰
35 63
15
40
7500
41.5
SMR=63/7 4.5=0.864 间接标化率 =8.2‰×0.864=6.9‰
SMR=40/41.5 =0.964 间接标化率 =8.2‰×0.964=7.9‰
（1012/L ）频数分布图
f(x) .3 .2
.1
.0 0 f(x) .3 .2 .1 2 4 6 8 10
x
.0
0 2 4 6 8 10
x
正态分布
第二章 正态分布
182
0.013112
186
0.004181
190
0.000962
194
0.000160
x
f(x)
147
0.000122
150
0.000886
153
0.004479
156
0.015790
159
0.038837
162
0.066645
165
0.079788
168
0.066645
171
0.038837
174
一、正态分布(normal distribution)
•
正态分布以均数所在处频数最多，两侧逐
渐减少，但永不为零，左右完全对称。其图形
为近似钟形。
•
正态分布的表示方法为N(μ,σ2)。其中μ为
均数,是正态分布的位置参数；σ2是方差，反
映了正态分布的形态。有了这两个参数，即可
绘制出正态分布的图形。
2020/1/30
• 对于本例的问题，采用标准正态分布来解决就 简单多了。
• 首先，计算x1=160cm和x2=180cm时的u值：
u1
1601701.43 7
u2
1
801 7
701.43
2020/1/30
标准正态分布曲线下面积的计算
2020/1/30
三、标准正态分布
• 查表9-8（标准正态分布曲线下的面积）得： • Φ(-1.43)=0.0764 • 身高不超过160cm的人数=10 000×0.0764=764（
形分布，以均数所在处频数最多，
• ①位置不同，男性身高的均数大于女性，故图形 靠右；
• ②高低不同，男性身高的方差大于女性，故变量 值更分散，图形更低平。
正态分布[2-2]
![正态分布[2-2]](https://img.taocdn.com/s1/m/bb3e54a60029bd64783e2cf5.png)
(X − X) u=
S
3.曲线下对称于 的区间，面积相等。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下对称于 的区间 4.曲线下横轴上的面积为 曲线下横轴上的面积为100%或1。 曲线下横轴上的面积为 或 。
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ， ， 即均数位置，理论上： 即均数位置，理论上： µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的95% 范围内曲线下的面积占总面积的 µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的99% 范围内曲线下的面积占总面积的 实际应用中： 实际应用中： 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的95% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的99% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的
u=
X −µ
σ
二、正态分布的特征
1. 关于 心，左右对称。 左右对称。 2. 在 在 处取得概率密度函数的最大值， 处取得概率密度函数的最大值， 处有拐点，表现为钟形曲线。 处有拐点，表现为钟形曲线。即正 拐点 对称。 对称。即正态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。 态曲线在横轴上方均数处最高。
双侧---过高、 双侧 过高、过低均异常 过高
异常
正常
正常
异常
异常
正常
异常
正态分布
正态分布正态分布（normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。
若隨機變量X服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分佈，記為：則其概率密度函數為常態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。
因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。
我們通常所說的標準常態分佈是μ = 0,σ = 1的常態分佈（見右圖中綠色曲線）。
目录[隐藏]1 概要o 1.1 歷史2 正态分布的定義o 2.1 概率密度函數o 2.2 累積分佈函數o 2.3 生成函數▪ 2.3.1 動差生成函數▪ 2.3.2 特徵函數3 性質o 3.1 標準化正態隨機變量o 3.2 矩(英文:moment)o 3.3 生成正態隨機變量o 3.4 中心極限定理o 3.5 無限可分性o 3.6 穩定性o 3.7 標準偏差4 正態測試5 相關分佈6 參量估計o 6.1 參數的極大似然估計▪ 6.1.1 概念一般化o 6.2 參數的矩估計7 常見實例o7.1 光子計數o7.2 計量誤差o7.3 生物標本的物理特性o7.4 金融變量o7.5 壽命o7.6 測試和智力分佈[编辑]概要正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。
各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從常態分佈。
儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明)。
正态分布出現在許多區域統計:例如, 採樣分佈均值是近似地正態的，既使被採樣的樣本總體並不服從正态分布。
另外，常態分布信息熵在所有的已知均值及方差的分佈中最大，這使得它作為一種均值以及方差已知的分佈的自然選擇。
正态分布3
2011-11-13
医学统计学
10
标准正态分布( 标准正态分布(standard normal distribution) ) 均数为0 标准差为1的正态分布（ 均数为0，标准差为1的正态分布（图3-5）。
f (X) =
1
− ( X − µ )2
σ 2π
e
2σ 2
(−∞ < X < +∞)
⇒ ψ (u) =
医学统计学
15
标准正态分布
− 1 . 96 −1 − 2 . 58
0
+ 1 . 96 +1 + 2 . 58
常用的u值 常用的 值 曲线下面积（%） 曲线下面积（ ） 99 95 90 80 68.27 双侧u值（±） 双侧 值 2.58 1.96 1.645 1.282 1 单侧u值（±） 单侧 值 2.33 1.645 1.282 0.842
正 态 分 布
(normal distribution)
2011-11-13
医学统计学
1
120名12岁健康男孩身高(cm)的频数分布 120名12岁健康男孩身高(cm)的频数分布 岁健康男孩身高 组 段(1) 125~ 125 129~ 129 133~ 133 137~ 137 141~ 141 145~ 145 149~ 149 153~ 153 157~161 157 161 合 计
2011-11-13
医学统计学
14
标准正态分布曲线下左侧任一区间的面积： 标准正态分布曲线下左侧任一区间的面积：
φ (u ) =
1 2π
∫
u
−∞
e
u2 − 2
du
附表1 标准正态分布曲线下左侧尾部面积(u分布界值表) (u分布界值表 附表1 标准正态分布曲线下左侧尾部面积(u分布界值表)