直线及其方程导学案

直线的方程－两点式、截距式导学案
学习目标：1.掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围;
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
学习重点：直线方程的两点式
学习难点：两点式推导过程的理解
学习过程：
1、创设情境
直线l过两点A（1,2），B（3,5），求直线l的方程。

回忆：直线方程的点斜式、斜截式
2、提出问题：
直线l过两点A（x1,y1），B（x2,y2），(x1≠x2)求直线l的方程。

3、解决问题
直线方程的两点式:
直线方程的两点式的适用范围：
两点式的变形式：(x2―x1)(y―y1) = (y2―y1)(x―x1).
例1三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.
例2.若直线l过点（a,0），（0，b），(ab≠0)求直线l的方程
直线方程的截距式:
直线方程的截距式适用范围：
截距可以为0吗？
（练习）1.求满足下列条件的直线方程
①．求经过(1,5)A -、(4,1)B 的直线方程。

②.求经过)3,2(-A 、)4,5(B 的直线方程。

③.求经过)0,2(-A 、)4,0(B 的直线方程。

④求经过)3,0(A 、)0,5(B 的直线方程。

2．直线y kx b =+经过点(1,1)，(2,3)，求此直线的方程
3 直线l 在x 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x －y －1＝0的倾斜角的2倍，求直线l 的方程。

4：求过点（3，-4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程。

小结：。

高考总复习第12 讲：直线与方程§ 3.1直线的倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题 .学习过程一、课前准备复习 1：在直角坐标系中 ,只知道直线上的一点 ,能不能确定一条直线呢 ?复习 2：在日常生活中 ,我们常说这个山坡很陡峭 ,有时也说坡度 ,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢 ?二、新课导学※ 学习探究新知 1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角( angle of inclination ) .关键：①直线向上方向；② x 轴的正方向；③小于平角的正角 . 注意 :当直线与x轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” 公式是怎样的？新知 2：一条直线的倾斜角 ( )的正切值叫做这条直线的斜率 (slope).记为k tan 2 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为，则坡度的⑴当0o时，则k ；⑵当0o90o时，则k ；⑶当90o时，则k ；⑷当900180o时，则k .新知 3：已知直线上两点 P1(x1, y1), P2( x2 , y2) (x1 x2 )的直线的斜率公式： k 2 1.x2 x1 探究任务三：1.已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线的斜率时，与A,B 两点坐标的顺序有关吗？ 2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※ 典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30 ；⑵135 ；⑶60 ；⑷90变已知直线的斜率，求其倾⑴k 0；⑵k 1；⑶k 3；⑷ k 不存在例 2 求经过两点 A(2,3), B(4,7) 的直线的斜率和倾斜角 ,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角 .※ 动手试试练 1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角⑴ A(2,3), B( 1,4) ；⑵ A(5,0), B(4, 2) .练 2．画出斜率为 0,1, 1且经过点 (1,0)的直线 .练 3．判断 A( 2,12), B(1,3), C (4, 6) 三点的位置关系，并说明理由1. 任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是 [0,180 ) .2. 直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点 P 1(x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 )的坐标来求；⑶当直线的倾斜角 90 时，直线的斜率是不存在的 王新敞 3．直线倾斜角、斜率、学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ) .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测 (时量： 5 分钟 满分： 10 分) 计分 ：1. 下列叙述中不正确的是( ) .A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0o或 90 D ．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan 2. 经过 A( 2,0), B( 5,3)两点的直线的倾斜角( )A ．45B ．135C ．90D ． 603. 过点 P(－2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ( ). A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 44. 直线经过二、三、四象限， l 的倾斜角为 ，斜率为 k ，则 为 围.1，则 l 1关于 x 轴对称的直线 l 2的倾斜角 2为课后作业1. 已知点 A(2,3), B( 3, 2) ，若直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交，求直线 l 的斜率 k 的取值范围§ 3.2两直线平行与垂直的判定学习目标1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关 系； 2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以 及学生的数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习角； k 的取值范 5． 已知直线 l 1 的倾斜角为一、课前准备：复习 1：1．已知直线的倾斜角( 90 ) ，则直线的斜率为；已知直线上两点 A(x1,y1),B(x2, y2)且 x1 x2 ，则直线的斜率为.2.若直线l过(－ 2,3)和(6，－ 5)两点，则直线l 的斜率为,倾斜角为. 3．斜率为 2 的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则 a、b 的值分别为.4 ．已知 l1,l2 的斜率都不存在且 l1,l2 不重合，则两直线的位置关系.5．已知一直线经过两点 A(m,2),B( m,2m 1)，且直线的倾斜角为 60 ，则吗？y y yl1l l2l2 l1 l1 l21 2 12 1 O 2乙x甲丙新知 2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直 .1即 l1l2k1k1k2 1 王新敞1 2 1k21 2※ 典型例题例 1 已知 A(2,3), B( 4,0), P( 3,1),Q( 1,2) ，试判断直线BA与 PQ的位置关系 , 并证明你的结论.例2 已知A(1, 1),B(2,2), C(3,0)三点，求点 D的坐标，使直线CD AB，且CB// AD .变式：已知 A(5, 1),B(1,1),C(2,3) ，试判断三角形ABC的形状 .练 1. 试确定 m的值，使过点 A(m,1), B( 1,m)的直线与过点 P(1,2),Q( 5,0) 的直线⑴平行；⑵垂直练 2. 已知点 A(3,4) ，在坐标轴上有一点B ，若 k AB 2 ，求B点的坐标 .※ 学习小结：1．l 1//l 2 k 1 k 2或 l 1,l 2的斜率都不存在且不重合 .2．l 1 l 2 k 1gk 2 1或 k 1 0且l 2 的斜率不存在，或 k 2 0且l 1的斜率不存在※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ) .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测 (时量： 5 分钟 满分： 10 分) 计分 ：1. 下列说法正确的是( ) . A ．若 l 1 l 2 ，则 k 1gk 2 1B ．若直线 l 1//l 2，则两直线的斜率相等C ．若直线 l 1、 l 2的斜率均不存在，则 l 1 l 2D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2. 过点 A(1,2)和点 B( 3,2) 的直线与直线 y 1的位置关系是( A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3. 经过 (m,3) 与 (2, m)的直线 l 与斜率为 4的直线互助垂直，则 m 值为( )4. 已知三点 A(a,2), B(5,1),C( 4,2a) 在同一直线上，则 a 的值为 5． 顺次连结A( 4,3), B(2,5), C (6,3), D( 3,0) ，所组成的图形是课后作业21. 若已知直线 l 1上的点满足 ax 2y 6 0，直线 l 2上的点满足 x (a 1)y a 21 0(a 1) ， 试求 a 为何值时，⑴ l 1//l 2；⑵ l 1 l 2.2． 已知定点 A( 1,3), B(4,2) ，以 A,B 为直径的端点，作圆与 x 轴有交点 C ，求交点 C 的坐 标.A ．B ．C ． 14D ．14§ 3.2.1直线的点斜式方程学习目标1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系 .学习过程一、课前准备：复习 1．已知直线 l1,l2都有斜率，如果 l1//l2 ，则；如果 l1 l2 ，则.2．若三点 A(3,1),B( 2,k),C(8,11)在同一直线上，则k 的值为.3．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2)，则第四个顶点D 的坐标4．直线的倾斜角与斜率有何关系 ?什么样的直线没有斜率 ?问题 1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知 1：已知直线l 经过点 P(x0,y0) ，且斜率为k，则方程 y y0 k(x x0)为直线的点斜式方程 .问题 2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题 3：⑴ x轴所在直线的方程是，y轴所在直线的方程是.⑵ 经过点 P0(x0,y0) 且平行于 x 轴 ( 即垂直于y 轴 ) 的直线方程是.⑶经过点 P0(x0, y0 ) 且平行于y 轴(即垂直于 x轴)的直线方程是. 问题 4：已知直线l 的斜率为k，且与y轴的交点为 (0, b) ，求直线l 的方程.新知 2：直线l与y轴交点 (0, b)的纵坐标b叫做直线l 在y轴上的截距( intercept ).直线 y kx b 叫做直线的斜截式方程 .注意：截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标 .问题 5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论 .※ 典型例题例 1 直线过点 ( 1,2) ，且倾斜角为 135 ，求直线l的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴ 直线过点 ( 1,2) ，且平行于 x 轴的直线方程；⑵直线过点 ( 1,2) ，且平行于 x轴的直线方程；⑶直线过点 ( 1,2) ，且过原点的直线方程 .例 2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴ 斜率是3，在y 轴上的距截是－ 2 ；2⑵ 斜角是 1350，在y 轴上的距截是 0 王新敞变式：已知直线的方程 3x 2y 6 0 ，求直线的斜率及纵截距 .※ 动手试试练 1. 求经过点 (1,2) ，且与直线 y 2x 3 平行的直线方程练 2. 求直线 y 4x 8 与坐标轴所围成的三角形的面积三、总结提升：※ 学习小结1.直线的方程：⑴点斜式 y y0 k(x x0 ) ；⑵斜截式 y kx b ；这两个公式都只能在斜率存在的前提下才能使用 .学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为( ) .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测 (时量： 5 分钟满分：10 分) 计分：1.过点 (4, 2) ，倾斜角为 135 的直线方程是().A． 3x y 2 4 3 0B． 3x 3y 6 4 3 0C． x 3y 2 3 4 0 D． x 3y 2 3 4 0 2. 已知直线的方程是 y 2 x 1，则( ) .A．直线经过点 (2, 1) ，斜率为1 B．直线经过点 ( 2, 1) ，斜率为 1 C．直线经过点 ( 1, 2) ，斜率为1D．直线经过点 (1, 2) ，斜率为13.直线 kx y 1 3k 0，当k 变化时，所有直线恒过定点( ).A． (0,0) B．( 3，1) C． (1,3) D．( 1, 3)4.直线l 的倾斜角比直线 y 2 1的倾斜角大 45 ，且直线l 的纵截距为 3 ，则直线的方 22程.5.已知点 A(1,2), B(3,1) ，则线段AB 的垂直平分线的方程.课后作业1. 已知三角形的三个顶点 A( 2,2), B(3,2), C (3,0) ，求这个三角形的三边所在的直线方程2. 直线l 过点 P( 2,3)且与 x轴、y轴分别交于 A,B 两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l 的方程 .§ 3.2.3直线的一般式方程学习目标1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.学习过程一、课前准备：复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4) 则直线的方程⑵ 在 x 轴 上 截 距 为 1 ， 在 y 轴 上 的 截距为3 的 直 线 方程⑶ 已 知 点 A(1,2),则线段AB 的 垂直平 分 线 方 程是条直线 都可以用一个关于示吗复2平面直角坐标系中的x,y 的二次方程？新知 ：关于 x,y 的二元一次方程 Ax By C 0 (A ，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程， 简称一般式( general form )．注意 ：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题 1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题 4：在方程 Ax By C 0中， A,B,C 为何值时，方程表示的直线⑴平行于 x 轴；⑵平 行于 y 轴；⑶与 x 轴重合；⑷与 y 重合 .※ 典型例题例1 已知直线经过点 A(6, 4) ，斜率为 1 ，求直线的点斜式和一般式方程 2例 2 把直线l的一般式方程 x 2y 6 0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在 x 轴与y 轴上的截距，并画出图形 .变式：求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形⑴ 3x y 5 0；⑵ x y 1；⑶45x 2y 0；⑷ 7x 6y 4 0；⑸ 2y 7 0.※ 动手试试练 1. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是1，经过点A(8, 2) ；2⑵ 经过点 B(4,2) ，平行于 x 轴；⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3, 3 ；2⑷ 经过两点 P1(3, 2), P2 (5, 4) .练 2.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为 2，且｜ PA｜＝｜ PB｜，若直线 PA 的方程为 x y 1 0 ，求直线 PB 的方程三、总结提升：※ 学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：Ax By C 0(A 、B 不全为 0)；2．点 (x 0,y 0) 在直线 Ax By C 0上 Ax 0 By 0C 0王新敞8 和 6 ，并且分别位于 x 轴和 y 轴上， 求菱形各边所在的直 2．光线由点 A( 1,4) 射出，在直线 l :2x 3y 6 0上进行反射， 已知反射光线过点 B(3, ) ， 13 求反射光线所在直线的方程 .§ 3.1两条直线的交点坐标学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标； 2. 体会判断两直线相交中的数形结合思想A ． 3y 6 0B ． 3x y 2 0C ． 3x y 6 0D ． 3x y 2 02. 若方程 Ax By C 0 表示一条直线， 则( ).A ．A 1B ． B 0C ． AB 02D ． 22 B 03已知直线 和 l 2 的夹角的平分线x 如果 l 1 的方程ax by c 0(ab 0) ，那么的方程为().A ． b x ay c 0B ． ax by c0C ． bx ay c 0D ． bx ay c04. 直 线 2x y 70 在 x 轴上 的 截 距为a ，在 y 轴 上 的 截距 为 b ， a b5. 直线 l : 2x (m 1)y 4 0 与直线 l : mx 3y3， ). 2 0 平行，则 m※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 ※ 当堂检测 1 斜率为 B.较好 C. 一般 D. 较差 (时量： 5 分钟 满分： 10 分) 计分 ： 在 x 轴上截距为 2 的直线的一般式方程是(学习评价).1. 菱形的两条对角线长分别等于 线的方程 .学习过程一、课前准备：1 ．经过点 A(1, 2) ，且与直线 2x y 1 0 垂直的直线.2 ．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线 ?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？※ 学习探究问题 1：已知两直线方程 l1 : A1x B1y C1 0，l2 :A2x B2y C2 0 ，如何判断这两条直线的位置关系？问题 2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※ 典型例题例 1 求下列两直线 l1 :3x 4y 2 0， l2 :2x y 2 0 的交点坐标 .变式：判断下列各对直线的位置关系 .如果相交，求出交点坐标⑴ l1 : x y 0 ， l2 :3x 3y 10 0；⑵ l1:3 x y 0 ， l2 :6x 3y 0；⑶ l1:3x 4y 5 0， l2:6x 8y 10 0.例 2 求经过两直线 2x 3y 3 0和 x y 2 0的交点且与直线 3x y 程. 0平行的直线方变式：求经过两直线 2x 3y 3 0和 x y 2 0 的交点且与直线 3x y 方程 . 1 0 垂直的直线例 3 已知两点 A( 2,1),B(4,3) ，求经过两直线 2x 3y 1 0和 3x 2y 1 AB中点的直线l 的方程 . 0 的交点和线段※ 动手试试练 1. 求直线 x y 2 0 关于直线 3x y 3 0 对称的直线方程练 2. 已知直线 l1 的方程为 Ax 3y C 0 ，直线 l2 的方程为 2x 3y 4 0 ，若 l1, l 2的交点在y轴上，求C的值 .三、总结提升：※ 学习小结A1x B1y C1 0 1．两直线的交点问题 . 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 1 1 1，若A2x B2y C2 0 方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行 . 2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决 .学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为( ) .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检(时5 分钟满：10 计分：1. 两直线l: x 2y 10,l:x 2y 2 0 的交点坐标为( )13 1 3 13 13A ． ( , B． ( ) ( ,) D． ( , )24 2 4 24 242. 两条直3x 2y n 0和 2x 3y 1 0 的位置关系是( ) A．平行B相交且垂直C．相交但不垂D与 n 的值有关3. 与直线 2x 3y 6 0 关于点(1, 1) 对称的直线方程是()A ． 3x 2y 2 0 B．2x 3y 7 0C． 3x 2y 12 0 D2x 3y 8 04. 光线从 M ( 2,3) 射到 x 轴上的一点 P(1,0) 后被 x 轴反射，则反射光线所在的直线方程.5. 已知点 A(5,8), B(4,1) ，则点A关于点B的对称点C 的坐标 .课后作业1. 直线 5x 4y 2m 1 0 与直线 2x 3y m 0 的交点在第四象限，求m 的取值范围2. 已知a 为实数，两直线 l1 在第一象限及x轴上 . ax y 1 0，l2 ：x y a 0 相交于一点，求证交点不可能§ 3.3.2两点间的距离学习目标1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题学习过程一、课前准备：1．直线 mx y m 0 ，无论 m 取任意实数，它都过点2．若直线 l1:a1x b1y 1与直线 l2 :a2x b2y 1的交点为 (2, 1)，则 2a1 b13．当k为何值时，直线 y kx 3 过直线 2x y 1 0与 y x 5的交点 ?问题 1：已知数轴上两点 A,B ，怎么求 A,B 的距离？问题 2：怎么求坐标平面上 A,B 两点的距离？及 A,B 的中点坐标？新知：已知平面上两点 P1( x1, y1), P2( x2 , y2 ) ，则P1P2 (x2 x1)2 (y2 y1)2. 特殊地： P(x,y) 与原点的距离为OP x2 y2.※ 典型例题例1 已知点 A(8,10), B( 4,4)求线段AB的长及中点坐标 .变式：已知点 A( 1,2), B(2, 7) ，在x轴上求一点，使 PA PB ,并求 PA的值. ※ 动手试试练 1.已知点 A(1,2), B(3,4), C (5,0) ，求证：ABC 是等腰三角形练 2.已知点 A(4,12) ，在 x轴上的点P与点A的距离等于 13，求点P的坐标 .※ 学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系 .学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为( ) .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测 (时量： 5 分钟满分：10 分) 计分：1. 两点 A( 1,3), B(2,5) 之间的距离为( ).A ． 2 3 B． 13 C． 11 D．32.以点 A( 3,0), B(3, 2),C( 1,2) 为顶点的三角形是( )三角形 .A．等腰 B．等边 C．直角 D．以上都不是3.直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和 2 x－y ＝10相交于一点，则a的值( ). A．2 B．2 C． 1 D．14.已知点 A( 1,2), B(2, 7) ，在 x 轴上存在一点P ，使 PA PB ，则PA .5.光线从点 M (－2，3)射到x 轴上一点 P(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线的方程课后作业1. 经过直线 y 2x 3和 3x y 2 03 的交点，且垂直于第一条直线2. 已知a 为实数，两直线l1：ax y 1 0，l2 ：x y a 0 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上 .§ 3.3点到直线的距离及两平行线距离学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞3．认识事物之间在一定条件下的转化 .用联系的观点看问题王新敞学习过程一、课前准备：复习 1．已知平面上两点 A(0,3), B( 2,1) ，则AB的中点坐标为，AB 间的长度为 .复习 2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为 (x0,y0) ，直线l 的方程是 l : Ax By C 0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢 ?※ 学习探究2 新知 1：已知点 P(x 0,y 0)和直线l:Ax By C 0，则点P 到直线l 的距离为： d Ax 0 By 0 C .A 2B 2注意 ：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式 .问题 2：在平面直角坐标系中，如果已知某点 P 的坐标为(x 0,y 0) ，直线方程 l : Ax By C 0 中，如果 A 0 ，或 B 0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢并画出图形来 .例 分别求出点 A(0,2), B( 1,0) 到直线 3x 0 的距离 .典型例题已知点 A(1,3), B(3,1),C( 1,0)求两平行线 l 1 ： 2x 3y 8 0 的距离 .4y问题 3：求两平行线 l 1 ： 2x 3y 8 1 0， l 2 ： 2x 3y 新知 Ax 注意0 的距离 .2：已知两条平行线直线 l 1 Ax By C 2 0，则 l 1与 l 2的距离为：应用此公式应注意如下两点：By C 1 C 10， l 2:C2d A 2 B 2(1)把直线方程化为一般式方程； (2)使 x,y 的系，求三角形 ABC 的面积 .0 ， l 2 ： 4x 6y※ 动手试试练 1. 求过点 A( 1,2) ，且到原点的距离等于 2 的直线方程2练 2．求与直线 l :5x 12y 6 0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到 直线的距离公式王新敞 王新敞学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ) .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测 (时量： 5 分钟 满分： 10 分) 计分 ：1． 求点 P( 5,7) 到直线 12x 5y 3 0 的距离( ) 2. 过点 (1,2) 且与原点距离最大的直线方程是(A. x 2y 5 0B.2x y 4 0C.x 3y 7 0D.3x y 5 03. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A ． x y 0 B ． x y 0 C ． x y 0 D ． x y 04. 两条平行线 3 x －2y －1＝0 和 3x －2 y ＋1＝0 的距离 王新敞5. 在坐标平面内，与点 A(1,2)距离为 1，且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 条.课后作业1．已知正方形的中心为 G( 1,0) ，一边所在直线的方程为 x 3y 5 0 ，求其他三边A ．1B ． 0C ． 14D ． 28 13 13所在的直线方程 .2． A,B两个厂距一条河分别为400m和100m ， A,B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供 A,B 两厂用水，要使提水站到 A,B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？§ 3.3.3章未复习提高学习目标1．掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；2．掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；3．掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用学习过程一、课前准备：复习知识点：一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义倾斜角的范围，斜率公式k ，或 . 二．直线的方程1点斜y y0 k(x x0)2．斜截式：y kx b3．两点式：y y1 x x1y2 y1 x2 x14．截距式：x y 1a b5一般Ax By C 0 三．两直线的位置关系1．两直线平行2．两直线相交 .⑴两直线垂直，⑵两直线相交3．两直线重合四．距离1．两点之间的距离公式2．点线之间的距离公式3．两平行直线之间的距离公式课后作业1．已知直线 l1 :x ay 2a 2 0,l2 :ax y 1 a0.⑴若 l1 // l 2 ，试求 a的值；⑵若 l1 l2 ，试求 a的值2．两平行直线 l1,l 2分别过点 P1(1,0)和P(0,5) ，⑴若 l1与l2 的距离为 5，求两直线的方程；⑵设 l1与l2之间的距离是d，求d的取值范围1 2 1 22.已知直线l 过 A( 2,(t 1)2),B(2,(t 1)2)两点，求此直线的斜率和倾斜角复习 2：两直线平行 (垂直 )时它们的倾斜角之间有何关系3y1. 点(3,9) 关于直线 xA． ( 1, 3)C． ( 1,3)2．方程 (a 1)x y 2a 1A．恒过定点 ( 2,3)C．恒过点 ( 2,3)和(2,3)3．已知点 (3,m) 到直线 x).A． 3 B． 3 C．4．已知 P(3, a)在过M(2, 5．将直线 y3(x 是.10 0 对称的点的坐标是( B.(17, 9) D． ( 17,9) 0(a R)所表示的直线(B．恒过定点 (2,3)D．都是平行直线3y 4 0 的距离等于 1 ，3 D． 3 或 3 331) 和 N( 3,4) 的直线上，则2) 绕点 (2,0) 按顺时针方向旋转 30o，所得的直线方程).二、新课导学：※ 学习探究问题 1：特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置关系是.(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为两直线的位置关系是.王新敞问题 2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线l1和l2 的斜率为k1和k2.⑴两条直线平行的情形．如果l1// l 2 ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知 1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即 l1//l2 k1 =k2王新敞注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．⑵两条直线垂直的情形 .如果 l1 l2 ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立。

2023年直线与方程教案高三【精选4篇】直线与方程教案高三篇一《直线的方程》教案一、教学目标知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。

二、教学重难点教学重点：点斜式方程教学难点：会使用点斜式方程三、教学用具：直尺，多媒体四、教学过程1、复习导入，引入新知我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。

2、师生互动，探索新知探究一：在平面直角坐标系中，直线l过点p（0,3），斜率k=2，q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，如ppt上图例所示。

通过上节课所学，我们可以得出什么？由于p,q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线l的斜率，可以得出公式：y-3x-0=2 那我们就可以的出方程y=2x+3 所以就有l上的任意一点坐标（x,y）都满足方程y=2x=3,满足方程y=2x+3的每一个（x,y）所对应的点都在直线l上。

因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。

3、知识剖析，深化理解我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。

设q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，由于点p,q都在l，求直线的方程。

设点p（x0，,y0），先表示出这个直线的额斜率是y-y0x-x0=k，然后可以推得公式y-y0=k(x-x0)那如果当x=x0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（x不能等于x0）1）过点，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？p(x0,y0)(x0,y0)，斜率为k的直线l上吗？2）坐标满足方程（1）的点都在经过p那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。

《2.2.2直线的两点式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的两点式方程。

本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形。

直线方程的两点式可由点斜式导出，若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程。

由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便。

在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。

解决问题的关键是理解理解直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。

教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。

发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。

【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握直线的两点式方程和截距式方程.B.会选择适当的方程形式求直线方程.C.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题. 1.数学抽象：直线的两点式方程和截距式方程2.逻辑推理：直线方程之间的关系3.数学运算：用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程4.直观想象：截距的几何意义【教学重点】：掌握直线方程的两点式及截距式【教学难点】：会选择适当的方程形式求直线方程【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角（斜率），即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。

这样，在直角坐标系中，给定一个点通过对直线几何要素及点斜式方程的回顾，提出问题，让p 0(x 0,y 0)和斜率k,可得出直线方程。

若给定直线上两点p 1(x 1,y 1)p 2(x 2,y 2),你能否得出直线的方程呢?二、探究新知 1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义 ________________就是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1点睛：1.当两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)的直线斜率不存在(x 1=x 2)或斜率为0(y 1=y 2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.2.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P 1(1,1),P 2(2,3),由两点 式可得y -13-1=x -12-1,也可以写成y -31-3=x -21-2.1. 把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y 1)(x 2-x 1)=(y 2-y 1)(x-x 1),对两点的坐标还有限制条件吗?答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.2.已知直线l 过点A(3,1),B(2,0),则直线l 的方程为 . 解析:由两点式,得y -10-1=x -32-3,化简得x-y-2=0. 答案:x-y-2=0二、直线的截距式方程 点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x 轴和y 轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 3．在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y－4＝1 C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y－3＝1 答案A解析：由截距式方程知直线方程为x －3＋y4＝1.选A. 4.直线xa 2−yb 2=1(ab≠0)在y 轴上的截距是( )A.a 2B.b 2C.-b 2D.|b|答案:C解析:原直线方程化为截距式方程为x 2a 2+y 2-b 2=1,故在y 轴上的截距是-b 2.三、典例解析例1 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC 边所在的直线方程; (2)BC 边上中线所在的直线方程.思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.解:(1)直线BC 过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得y+31+3=x -0-2-0,化简得2x+y+3=0.(2)由中点坐标公式,得BC 的中点D 的坐标为0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直线AD 过点A(-4,0),由两点式方程得y+10+1=x+1-4+1,化简得x+3y+4=0.延伸探究例1已知条件不变,求: (1)AC 边所在的直线方程; (2)AC 边上中线所在的直线方程. 解:(1)由两点式方程,得y -01-0=x -(-4)-2-(-4),化简得x-2y+4=0.(2)由中点坐标公式得AC 边的中点E(-3,12),中线BE 所在直线的方程为y -(-3)12-(-3)=x -0-3-0,化简得7x+6y+18=0. 两点式方程的应用用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.例2过点P(1,3),且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0D.x-3y+8=0思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P 在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数. 解析:设所求的直线方程为xa +yb =1(a>0,b>0),由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6, 因此有{1a+3b =1,12ab =6,解得{a =2,b =6,故所求直线的方程为3x+y-6=0.荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?思路分析将问题转化为在线段AB 上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB 的方程.这里设点P 的坐标是关键.解:以BC 所在直线为x 轴,AE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0), ∴AB 所在直线的方程为x 90+y60=1,即y=60(1-x90).∴y=60-23x.从而可设P(x,60-23x),其中0≤x≤90, ∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)(240-60+23x)=-23x 2+20x+54 000(0≤x≤90), ∴当x=-202×(-23)=15,且y=60-23×15=50时,S 取最大值为-23×152+20×15+54 000=54 150(m 2). 因此点P 距AE 15 m,距BC 50 m 时所开发的面积最大, 最大面积为54 150 m 2.归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值. 三、达标检测四、小结五、课时练【教学反思】通过本节学习，要求学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程。

2.2.2 直线的两点式方程【课前预习】知识点一y-y 1=y 2-y 1x 2-x 1(x-x 1)y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)直线的两点式方程是y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1,只有当x 1≠x 2且y 1≠y 2时,才存在两点式方程.(3)能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴,从而斜率一定存在,故可用点斜式方程表示.知识点二x a +y b=1诊断分析(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)垂直于坐标轴的直线也不可以用截距式方程表示. (2)截距式方程是两点式方程的特殊形式.(3)这样的直线通常有两条:一条过原点;另一条不过原点,且在x 轴和y 轴上的截距相等. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)因为BC 边所在的直线过两点B (5,-4),C (0,-2),所以BC 边所在直线的方程为y -(-4)-2-(-4)=x -50-5,即2x+5y+10=0. (2)设BC 边的中点为M (a ,b ),则a=5+02=52,b=-4+(-2)2=-3,所以M (52,-3),又因为BC 边上的中线所在的直线过点A (-3,2),所以BC 边上的中线所在直线的方程为y -2-3-2=x -(-3)52-(-3),即10x+11y+8=0.变式 (1)B (2)y=23x [解析] (1)经过(5,0),(2,-5)两点的直线的方程为y -0-5-0=x -52-5,整理得5x-3y-25=0.故选B .(2)由题意可知,直线l 过平行四边形ABCD 的中心,BD 的中点坐标为(3,2),又直线l 过原点,所以由两点式可得直线l 的方程为y -02-0=x -03-0,即y=23x.拓展 解:易知点A (3,2)关于x 轴的对称点为A'(3,-2),连接A'B ,由已知可得反射光线所在的直线为直线A'B , 其方程为y -6-2-6=x+13+1,即2x+y-4=0.点B (-1,6)关于x 轴的对称点为B'(-1,-6),连接AB',由已知可得入射光线所在的直线为直线AB',其方程为y+62+6=x+13+1,即2x-y-4=0.故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.探究点二例2 (1)AC (2)x+2y-2=0或2x+3y-6=0[解析] (1)当直线l 过原点时,2a-3=0,解得a=32,此时直线l 的方程为72x-y=0,直线l 在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都等于0,满足题意;当直线l 不过原点,即a ≠32时,依题意可得a ≠-2,直线l 在x 轴上的截距为3-2a a+2,在y 轴上的截距为2a-3,则3-2a a+2=2×(2a-3),解得a=-52或a=32(舍去).综上所述,a 的值为-52或32.故选AC .(2)设直线l 在x 轴上的截距为a ,则在y 轴上的截距为a-1,由题易知a ≠0且a ≠1,所以直线l 的方程为xa +ya -1=1,将点A (6,-2)的坐标代入,解得a=2或a=3,所以直线l 的方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0. (3)解:设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b. 当a ≠0且b ≠0时,直线的方程为x a +yb =1,由题可知1a +1b=1,且b=2a ,解得a=32,b=3,此时直线的方程为x 32+y 3=1,即2x+y-3=0.当a=b=0时,设直线的方程为y=kx ,由题可知k=1,此时直线的方程为y=x. 综上所述,所求直线的方程为2x+y-3=0或x-y=0.变式 解:由题意知直线l 不过原点,且直线l 在两坐标轴上的截距都存在,设直线l 的方程为x a +yb =1(a ≠0,b ≠0).由题意得{5a +2b =1,12|a ||b |=92,即{5a +2b =1,ab =9或{5a +2b =1,ab =-9, 解得{a =-152,b =65或{a =3,b =-3,∴直线l 的方程为y=425x+65或y=x-3. 拓展 解:(1)依题意设A (a ,0),B (0,b )(a ,b>0),则直线l 的方程为x a +yb =1,又直线l 过点P (2,1),所以2a +1b =1,所以2a +1b=1≥2√2ab ,可得ab ≥8,当且仅当2a =1b ,即a=4,b=2时取等号,从而S △ABO =12ab ≥4,所以△ABO 面积的最小值为4,△ABO 的面积取得最小值时直线l 的方程为x 4+y2=1.(2)由(1)可得2a +1b =1(a ,b>0),所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b )(2a +1b )=3+a b +2ba ≥3+2√ab ·2ba=3+2√2,当且仅当a b=2ba,即a=2+√2,b=√2+1时取等号,此时直线l 的方程为2+√2+√2+1=1.。

2.2.2直线的两点式方程导学案【学习目标】1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标【自主学习】知识点一 直线方程的两点式，知识点二 直线方程的截距式知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.【合作探究】探究一 直线的两点式方程【例1】已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M (52，－3)，又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.归纳总结：(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．【练习1】若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 【答案】 －2解析 由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.探究二 直线的截距式方程【例2-1】过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0【答案】 A解析 设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.归纳总结：求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值 【例2-2】过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 【答案】 B解析 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.归纳总结：如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况【练习2-1】直线l 过点P (43，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.【练习2-2】过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数多条 【答案】 B解析 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.探究三 直线方程的应用【例3】设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1.故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．归纳总结：(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解． (2)根据斜率和截距的取值列式求解．【练习3】已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程． 解 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－(－5)＝－38，过点A (－5,0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)，即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示 【答案】 D解析 斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D. 2．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限 【答案】 B解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 3．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b【答案】 B解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0 【答案】 B 解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13， AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 【答案】 B解析 设直线方程为x a ＋y－a ＝1或y ＝kx ，将P (2,3)代入求出a ＝－1或k ＝32.所以所求的直线方程为x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.6．利用斜二测画法，作出直线AB 的直观图如图所示，若O ′A ′＝O ′B ′＝1，则直线AB 在直角坐标系中的方程为( )A ．x ＋y ＝1B ．x －y ＝1C ．x ＋y2＝1D ．x －y2＝1【答案】 D解析 由斜二测画法可知在直角坐标系中，A (1,0)，B (0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x －y2＝1. 7．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【答案】 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合． 二、填空题8．已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．【答案】 ±2解析 由x a ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6，所以a ＝±2.9．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______． 【答案】 x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析 设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.10．过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为________．【答案】 x ＝3 y ＝－211．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是__________________________________________________________． 【答案】 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)． 则l 的方程为x 2＋y6＝1.三、解答题12．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程． 解 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1.∵直线过点P (－5，－4)， ∴－5a ＋－4b ＝1，①于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.13．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.B 组 能力提升一、选择题1.已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图所示，则( )A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a ＜0，b ＞0C ．若c ＜0，则a ＞0，b ＜0D ．若c ＜0，则a ＞0，b ＞0 【答案】D[由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－a b ，直线在x ，y 轴上的截距分别为－c a ，－cb .由题图，k ＜0，即－a b ＜0，∴ab ＞0.∴－c a ＞0，－cb ＞0，∴ac ＜0，bc ＜0.若c ＜0，则a ＞0，b ＞0；若c＞0，则a ＜0，b ＜0.]2．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．不经过原点的直线都可以表示为x a ＋yb＝1B ．若直线与两轴交点分别为A 、B 且AB 的中点为(4,1)则直线l 的方程为x 8＋y2＝1C ．过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y ＝x 或x ＋y ＝2D ．直线3x －2y ＝4的截距式方程为x 43＋y－2＝1【答案】BCD[A 中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A 错；B 中，AB 的中点为(4,1)，那么A (8,0)，B (0,2)的直线方程为x 8＋y2＝1，故B 对；C 中过原点时，直线为y ＝x ，不过原点时直线为x ＋y ＝2，故C 对；D 中，方程3x －2y ＝4可化为x 43＋y－2＝1，故D 对．]二、填空题3．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________． 【答案】3或－3[设直线方程为4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线与两坐标轴的截距分别是－d 3，－d 4， 依题意得，12×⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪－d 4＝6， ∴d ＝±12.故直线在x 轴上的截距为3或－3.]4．若A (2,5)，B (4,1)，则直线AB 的方程为________；设直线AB 与两坐标轴的交点为A 、B 且点P (x ，y )在线段AB 上，则xy 的最大值为________．【答案】2x ＋y －9＝0 818[由两点式得y －15－1＝x －42－4整理为2x ＋y －9＝0.又P (x ，y )在AB 上， ∴x ＞0，y ＞0，∴xy ＝12(2x )·y ≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝12⎝⎛⎭⎫922＝818， 所以xy 的最大值为818.] 5．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．【答案】 x ＋y ±6＝0，x －y ±6＝0解析 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.三、解答题6．已知直线l 过点P (4,1)，(1)若直线l 过点Q (－1,6)，求直线l 的方程；(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．[解] (1)l 过点P (4,1)，Q (－1,6)．由两点式可得y －16－1＝x －4－1－4，整理得x ＋y －5＝0，这就是直线l 的方程．(2)当在两轴上的截距均为0时，l 的方程为y ＝14x 即x －4y ＝0. 当直线l 在两轴上的截距均不为零时，根据条件可设为x a ＋y 2a＝1， 把(4,1)代入4a ＋12a＝1， 解得a ＝92. ∴l 的方程为2x ＋y －9＝0.综上可知，直线l 的方程为2x ＋y －9＝0或x －4y ＝0.7．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解 作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程得y －4－2－4＝x ＋11＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。

3．2．2 直线的两点式方程班级：_______姓名：_______ 教学目标1、知识与技能（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围;（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化;（2）培养学生用联系的观点看问题.教学重、难点重点：直线方程两点式和截距式.难点：两点式的推导过程以及斜率k 不存在或斜率k =0时对两点式的讨论及变形.探究（一）：直线的两点式方程思考1:由一个点和斜率可以确定一条直线，还有别的条件可以确定一条直线吗？思考2:设直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，则直线l 斜率是什么？结合点斜式直线l 的方程如何？思考3:方程)(112121x x x x y y y y ---=-写成比例式可化为121121x x x x y y y y --=--，此方程叫做直线的两点式方程，该方程在结构形式上有什么特点？点P 1、P 2的坐标满足该方程吗？思考4:若两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，则直线P 1P 2的方程如何？知识探究（二）：直线的截距式方程思考1:若直线l 经过点A (a ，0)，B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程如何？思考2:直线l 的方程可化为1=+b y a x ，其中a ，b 的几何意义如何？思考3:方程1=+bya x叫做直线的截距式方程，过原点的直线方程能用截距式表示吗？思考4:若直线l在两坐标轴上的截距相等，且都等于m，则直线l的方程如何？知识探究（三）：中点坐标公式思考1:已知x轴上两点P1(x1，0)，P2(x2，0)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？思考2:已知y轴上两点P1(0，y1)，P2(0，y2)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？思考3:已知两点P1(0，y)，P2(x，0)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？思考4:已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？理论迁移：例1 已知三角形的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.例2求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例3 求经过点P(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.例4 已知直线l经过点P(1，2)，并且点A(2，3)和点B(4，-5)到直线l的距离相等，求直线l的方程.随堂练习:1.求过下列两点的直线的两点式方程:(1) P1(2，1)，P2(0，-3); (2) A(0，5)，B(5，0).2．根据下列条件求直线的方程,并画出图形.(1)在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3;(2)在x轴上的截距是-5，在y轴上的截距是6.小结与反思:本节课你学到什么知识、方法、技巧，有什么体会和困惑？课后作业:P100习题3.2A组:4 P100习题3.2A组:8 P100习题3.2A组:9 P100习题3.2A组:11 P101习题3.2B组:1 自我评价：。

《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。

3.2.2直线的两点式方程课前自主预习知识点一 直线的两点式方程知识点二 直线的截距式方程知识点三 线段P 1P 2的中点坐标公式若P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)且线段P 1P 2的中点M的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ □1x ＝x 1＋x 22，□2y ＝y 1＋y 22.1.要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2.直线的截距式方程为x a ＋y b ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)斜率不存在的直线有两点式方程．( )(2)与x 轴平行的直线没有两点式方程．( )(3)过原点的直线没有截距式方程．( )(4)过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程是y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P 97，T 1)过A (1,1)，B (2,3)的直线的两点式方程为________．(2)过C (0,2)，D (－3,0)的直线的截距式方程为_____________________________________________________．(3)已知E (1,5)，F (－1,3)，则线段EF 的中点坐标为________．答案 (1)y －13－1＝x －12－1 (2)x －3＋y 2＝1 (3)(0,4) 3.(教材改编，P 97，T 3)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )A.x ＋y ＝5B.x －y ＝5C.x ＋y ＝5或x －4y ＝0D.x －y ＝5或x －4y ＝0答案 C课堂互动探究探究1 直线的两点式方程例1 已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求AC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解 过点A (－5,0)，C (0,2)的两点式方程为y －02－0＝x －(－5)0－(－5)，整理得2x －5y ＋10＝0，这就是AC 边所在直线的方程．AC 边上的中线是顶点B 与AC 边中点D 连线．设线段AC的中点为D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5＋02＝－52，y ＝0＋22＝1，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，1.由两点式得直线BD 的方程为y －(－3)1－(－3)＝x －3－52－3，整理可得8x ＋11y ＋9＝0.此即为AC 边上的中线所在直线的方程．[条件探究] △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)AC 所在直线的方程；(2)BC 边的中线所在直线的方程．解 (1)由直线方程的两点式得y －03－0＝x －(－3)－2－(－3)， 所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.(2)因为B (2,1)，C (－2,3)，所以线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的中线所在直线的方程是y －20－2＝x －0－3－0，整理得2x －3y ＋6＝0. 拓展提升求直线的两点式方程适用范围及注意事项(1)已知不垂直两轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程．(2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来造成的，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误.【跟踪训练1】 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2，2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解 ∵A (2，－1)，B (2,2)，A ，B 两点横坐标相同，∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，∴由直线的两点式方程可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0. ∵B (2,2)，C (4,1)，∴由直线的两点式方程可得直线BC 的方程为y －12－1＝x －42－4，即x ＋2y －6＝0. 探究2 直线的截距式方程例2 直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由已知a ＋b ＝12.①又直线l 过点(－3,4)，∴－3a ＋4b ＝1.② 由①②解得⎩⎨⎧ a ＝9，b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝－4，b ＝16.故所求的直线方程为x 9＋y 3＝1或x －4＋y 16＝1， 即x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.[条件探究] 在本例中若改为截距之积为6，又如何求直线l 的方程？解 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由已知ab ＝6.①又直线l 过点(－3,4)，∴－3a ＋4b ＝1.②由①②解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝－4.故所求直线方程为x 3＋y 2＝1或x －32＋y －4＝1，即2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.拓展提升用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论.【跟踪训练2】 已知直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．解 由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋02＝4，0＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)．由直线的截距式方程得l 方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.探究3 与截距有关的问题例3 已知直线过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．解 设直线与两坐标轴的交点为(a,0)，(0，b )．(1)当ab ≠0时，直线方程为x a ＋y b ＝1.由点P 在此直线上，有2a ＋3b ＝1，①又由已知得|a |＝|b |，②联立方程①②可得a ＝b ＝5或a ＝－1，b ＝1.所以直线方程为x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0.(2)当a ＝b ＝0时，直线过原点和P (2,3)，易知直线方程为3x －2y ＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.拓展提升截距式方程的适用范围(1)在解答本题过程中易出现不考虑截距可能为0而漏解的错误，导致这种错误的原因是对截距的概念理解不深和对截距式方程l 的适用范围把握不准．(2)如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.【跟踪训练3】 (1)求经过点A (－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程；(2)求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解 (1)①当直线l 在坐标轴上的截距不为零时，设其方程为x a ＋y －a ＝1.将A (－3,4)代入上式，有－3a ＋4－a＝1，解得a ＝－7，所以所求的直线方程为x －y ＋7＝0.②当直线l 在坐标轴上的截距都为零时，显然可设直线方程为y＝kx ，将点A (－3,4)代入可得k ＝－43，所以此时直线方程为4x ＋3y＝0.综上所述，所求直线方程为x －y ＋7＝0或4x ＋3y ＝0.(2)由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时，直线l 的方程为2x －5y ＝0.当直线l 在坐标轴上的截距不为零时，设直线l 的方程为x 2a ＋y a ＝1，将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上，所求直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0.探究4 直线方程的综合应用例4 若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l 的方程．解 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.①若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线的方程为x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线的方程为x ＋y ±6＝0. ②若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线的方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线的方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.拓展提升利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论.【跟踪训练4】 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －3＝3，显然k >0时不成立． 解得k 1＝－23，k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.1.直线的两点式方程方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．(1)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，显然后者比前者所表示直线的范围缩小了，但后者便于记忆和应用，所以，采用后者作为公式．(2)当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式方程．若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线的方程为x －x 1＝0；若y 1＝y 2，x 1≠x 2，则直线的方程为y －y 1＝0.(3)在记忆和使用两点式直线方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．2.直线的截距式方程我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b .方程xa＋yb＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．(1)截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，以及不能表示与坐标轴平行的直线．(2)直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如x 2－y3＝－1就不是截距式直线方程．(3)由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便．(4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x 轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负．课堂达标自测1.下列语句中正确的是()A.经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D.经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示答案B解析A中直线当斜率不存在时，不能表示，A错；B正确；C 中方程不能表示与坐标轴平行的直线；D中方程不能表示斜率不存在的直线.2.直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有()A.a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5C.a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5答案B解析令y＝0，则a＝2.令x＝0，则b＝－5，故选B.3.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A.－32B．－23 C.25D．2答案A解析直线的方程为y－91－9＝x－3－1－3，化为截距式为x－32＋y3＝1，则直线在x轴上的截距为－32.4.过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．答案3x＋2y－6＝0解析设直线方程为xa＋yb＝1，则a＋b＝5，且过(0,3)，∴3b＝1，∴b＝3，a＝2，∴所求直线的方程为3x＋2y－6＝0.5.△ABC 的三个顶点A (－4,0)，B (0,2)，C (4，－4)，求这个三角形的三边所在的直线方程．解 k AC ＝－4－04－(－4)＝－12， 由点斜式方程得，直线AC 的方程为y －0＝－12(x ＋4)，即x ＋2y ＋4＝0. ∵A (－4,0)，B (0,2)．由截距式方程得直线AB 的方程为x －4＋y 2＝1，即x －2y ＋4＝0. ∵B (0,2)，C (4，－4)，由两点式方程得直线BC 的方程为y －2－4－2＝x －04－0，即3x ＋2y －4＝0. ∴三边AC ，AB ，BC 所在直线的方程分别为x ＋2y ＋4＝0，x －2y ＋4＝0,3x ＋2y －4＝0.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.直线的截距式方程可表示除过原点外的所有直线B.x 2－y 3＝1与x 2＋y 3＝－1是直线的截距式方程C.直线的斜截式方程都可以化为截距式D.在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x 2＋y －3＝1 答案 D解析 因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A 错误．因为方程x 2－y 3＝1与x 2＋y 3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B 错误．因为斜截式的直线包含截距为0的情况，因此不可以化为截距式，如直线y ＝2x ，所以C 错误．直线在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3，根据直线的截距式方程，可得直线的方程为x 2＋y －3＝1，所以D 正确. 2.过点P (1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )A.4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 当直线经过原点时，直线的方程为2x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝a 或x －y ＝b .把(1，－2)代入可得a ＝－1或b ＝3，可得直线方程为x ＋y ＝－1，x －y ＝3.综上：满足条件的直线共有3条，分别是2x ＋y ＝0，x ＋y ＝－1，x －y ＝3.3.直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12abB.12|ab |C.12abD.12|ab |答案 D解析 令x ＝0，得y ＝1b ；令y ＝0，得x ＝1a .S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ＝12|ab |.故选D. 4.两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图象可能是图中的哪一个( )答案 B解析 两直线斜率同号，故选B.5.若3x 1－4y 1－2＝0,3x 2－4y 2－2＝0，则过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线方程是( )A.4x ＋3y －2＝0 B ．3x －4y －2＝0C.4x ＋3y ＋2＝0 D ．3x －4y ＋2＝0答案 B解析 由题意得A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的坐标都满足方程3x －4y －2＝0，所以过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线方程是3x －4y －2＝0.二、填空题6.已知m ∈R ，过定点A 的动直线是x ＋my ＝0，过定点B 的动直线是mx －y －m ＋3＝0，则过点A 和点B 的直线方程是________．答案 y ＝3x解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)，则过点A (0,0)和点B (1,3)的直线方程是y ＝3x .7.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，P (x ，y )在直线AB 上，则x＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.8.一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为________、________.答案 2x －y －4＝0 2x ＋y －4＝0解析 ∵点A (3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3，－2)，∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴对称点B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3， 即2x －y －4＝0.∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.三、解答题9.在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.B 级：能力提升练10.直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．解 (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，又因为直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2， 所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝4，b 1＝3或⎩⎨⎧ a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.。

3.2.2 直线的两点式方程导学案2.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ y ＝ .知识点一 利用两点式求解直线方程例1已知△ABC三个顶点A(1,1)，B(－2，－1)，C(3，－3)，求△ABC三条边所在直线的方程及AB边的中线所在直线方程．点评当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．变式训练1已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2，1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3)BC边上的中线AE所在直线的方程．知识点二直线的截距式方程的应用例2求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．点评(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况．变式训练2求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．知识点三综合应用例3 光线通过点A(－2,4)，经直线l ：2x －y －7＝0反射，若反射光线通过点B(5,8)．求入射光线和反射光线所在直线的方程．变式训练3 光线经过点A(1,2)射到y 轴上，反射后经过点B(4，－3)，求反射光线所在直线的方程．课时作业一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)来表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1来表示 D ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．过点(－1,1)和点(3,9)的直线在x 轴上的截距是( )A ．－32B ．－23 C.25 D ．24．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )A.x －3＋y 4＝1B.x 3＋y －4＝1C.x －3－y 4＝1 D.x 4＋y －3＝1 5．过点(5,2)，且在x 轴上的截距(直线与x 轴交点的横坐标)是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空题6．过(2,5)、(2，－5)两点的直线方程是________．7．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________．8．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l 的截距式是______________．三、解答题9．已知直线l经过点E(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程．10．已知三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．。

高中数学直线及其方程教案教学目标：
1. 了解直线的基本定义及性质；
2. 掌握直线的方程表示方法；
3. 熟练运用直线的方程解决具体问题。

教学重点：
1. 直线的基本性质；
2. 直线的方程表示方法。

教学难点：
1. 利用直线方程解决实际问题。

教学准备：
1. PowerPoint课件；
2. 教案复印件；
3. 钢笔、白板、擦拭布。

教学步骤：
一、引入（5分钟）
1. 引导学生回顾直线的基本概念；
2. 提出问题：如何表示直线的方程？
二、提出问题（10分钟）
1. 介绍直线的一般方程：Ax + By + C = 0；
2. 说明直线斜率的概念以及直线的斜截式方程；
3. 讲解直线的截距式方程及解题方法。

三、示范演练（15分钟）
1. 解答直线方程表示问题；
2. 演示如何根据直线方程解决相关问题。

四、练习与拓展（15分钟）
1. 学生互相讨论并解答相关问题；
2. 综合应用直线方程解决复杂问题。

五、总结与反思（5分钟）
1. 总结直线的方程表示方法及应用；
2. 提醒学生巩固相关知识，勤加练习。

教学反馈：
1. 课后布置作业：完成相关练习题；
2. 下节课继续巩固直线方程的应用。

教学延伸：
1. 注重学生自主学习，鼓励他们通过查阅资料和练习巩固所学知识；
2. 引导学生思考及解决实际应用问题，拓展直线方程的应用范围。

第三章 3.2 直线的五种形式的方程（老师版） 编号039【学习目标】1.娴熟把握直线方程的五种形式的特点和适用范围.2.体会一般式与直线的其他方程形式之间的关系.3.会应用五种形式求直线的方程，提高运算求解的力量.【学习重点】重点：各种直线方程的的形式特点和适用范围难点：各种直线方程的局限性，把握求直线方程的机敏性 【基础学问】1.直线的点斜式方程 过点P （0x ,0y ）,斜率为k 的直线l 的方程为：()00x x k y y -=-斜率存在的直线方程为()00x x k y y -=-；斜率不存在的直线方程为x x =或-0=x x2.直线的斜截式方程 斜率为k ，且与y 轴的交点为()b ，0的直线l 的方程为：b kx y += 。

其中我们把直线l 与y 轴的交点()b ，0的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距。

也称纵截距。

纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数。

直线方程的斜截式其实是点斜式在00=x 时的特殊状况。

对于直线1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=有①1l //2l ⇔21k k =，且21b b ≠②1l ⊥2l ⇔121-=k k3.直线的两点式方程 经过两点1P()11y x ，，2P ()22y x ，（其中21x x ≠，21y y ≠）直线l 方程为：121121x x x x y y y y --=--若21x x =，21P P 与x 轴垂直，此时的直线l 的方程为1x x =；若21y y =，1P 2P 与y 轴垂直，此时的直线l 的方程为1y y =4.直线的截距式方程 经过点A ()0，a ，B ()b ，0的直线l 方程为：1=+b ya x ，其中a 、b 分别为直线在x 、y 轴上不为零的截距。

留意：1x x =，1y y =和kx y =的直线不能用截距式方程表示。

a y x =+表达的是在两坐标轴上截距相等均为a 且a 不为零的直线方程。

第三章直线与方程3.2.1 直线的点斜式方程一、学习目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式方程,了解直线方程的斜截式是点斜式的特例;培养学生思维的严谨性和相互合作意识,注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.【重点、难点】重点：直线的点斜式方程。

难点：直线的点斜式方程的应用。

二、学习过程（一）设计问题,创设情境问题1:已知直线l过点P0(1,2),且斜率为2.(1)试判断点A(3,6)和点B是否在直线l上?并思考直线l上除点P0外的所有点的坐标都满足的条件是什么?直线l外所有点的坐标都满足什么条件呢?(2)你能用直线l上任意一点P的坐标表达上面的条件吗?请尝试一下.（二）信息交流、揭示规律问题2:方程y-2=2(x-1)中的未知数x,y的含义是什么?方程y-2=2(x-1)的所有解与直线l上所有的点有什么关系?问题3:方程=2是直线l的方程吗?为什么?（三）运用规律、解决问题问题4:上面我们得到的规律能否推广到一般情形呢?请求出过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线方程.变式训练:已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),求出它的方程.问题5:上面的方程由什么确定?我们可以给这个方程起个名字吗?任意一条直线的方程都能写成点斜式吗?为什么?问题6:观察方程y=kx+b,它的形式具有什么特点?截距和距离一样吗?它和我们学过的一次函数一样吗?【典型例题】【例1】根据下列条件,求出相应直线的方程,并画出直线的草图.(1)P0(-1,1),k=-2;(2)P0(0,2),k=0;(3)过点P0(2,0),倾斜角为90°.【例2】已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论:(1)l1∥l2的条件是什么?(2)l1⊥l2的条件是什么? 【变式拓展】1、已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),求出它的方程.2、判断下列各对直线是否平行或垂直:(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;(2) l1:y=x,l2:y=-x.三、总结反思们已经学习了直线的点斜式方程，记住它的使用条件。

必修二 3.2.2直线的两点式方程【学习目标】1、学会利用两点式和截距式求直线的方程，了解直线方程的两点式和截距式的联系．2、通过独立思考、合作探究，感受数学的美，体验学习的快乐.【学习重难点】重点：利用两点式和截距式求直线方程；难点:两点式和截距式的适用范围【学法指导】1、带着问题导学中的问题通读教材P95-97页内容，作好必要的标注和笔记。

预习案一。

问题导学1、直线的两点式方程能表示平面内过任意两点的直线方程吗？2、直线的截距式方程不能表示哪些直线方程？二。

知识梳理1.直线的两点式方程．直线的两点式方程由点斜式方程导出．从两点式方程_______________中，可以看出x1≠x2，y1≠y2，即直线斜率_________(直线方程为x＝x1)或斜率为_____时(直线方程为y＝y1)，不能用两点式．2. 直线的截距式方程．直线的截距式为____________，它是由直线在x 轴和y 轴上的________确定的，其中a 叫做截距，b 叫做截距.3. 中点坐标公式已知点A（x1,y1）和点B(x2,y2)，线段AB的中点坐标为三。

预习自测1、过P1(1,3)，P2(2,4)两点的直线的方程是.2、直线2x－3y＝6在x轴、y轴上的截距分别是()A．3,2 B．－3,2 C．3，－2 D．－3，－23、点A(3,1)关于点B(－5,11)的对称点P的坐标是________．四.我的疑问：探究案合作探究探究1（直线方程的选择）例1：已知三角形的顶点为A(－5,1)，B(2，－2)，C(0,2)（1）求BC 边上的中线AM 所在直线的方程．（2）求BC 边上的中垂线方程（3）求BC 边上的高所在直线的方程探究2（平行与垂直关系的应用）例2：求经过点 A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程变式：求经过点 A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程探究3（中点公式的应用）例3：过点 P(3,0)作一直线l ，使它被两直线1l ：2x －y －2＝0 和2l ：x ＋y ＋3＝0 所截的线段 AB 以点 P 为中点，求此直线l 的方程．课堂小结：训练案当堂训练1．在x 轴、y 轴上的截距分别是32，－3的直线方程为________________． 2．过P 1(3,2)，P 2(1，－2)两点的直线的斜截式方程是( )A ．y ＝2x －4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝x －4D ．y ＝x ＋43. 已知O(0,0),A(8,0),B(0,5)为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在直线方程.4.一条光线从点P(6,4)射出，与x 轴交于点Q(2,0)，经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.。

直线方程知识归纳：一、直线的倾斜角与斜率1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件 注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）2、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；②规定：直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为00③直线倾斜角α的取值范围是：000180α≤<④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

3、直线的斜率：倾斜角不是090的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即0tan (90)k αα=≠。

它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。

注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当00α=时，0k =；当00090α<<时，0k >；当090α=时，k 不存在，当0090180α<<时，0k <。

即：斜率的取值范围为k R ∈例1、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tan α；②若直线倾斜角斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。

其中正确命题的序号为 解：①错误，当090α=时，tan α不存在；②正确；③④错误，当0090180α<<时，0k <，k 随着倾斜角的增大而增大，但比倾斜角00090α<<小；⑤不正确，090α=时，倾斜角没有正切值。

例2、已知直线的倾斜角为α，且54sin =α，求直线的斜率k 解：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒<<︒-=︒<<︒=⇒=1809034tan 90034tan 54sin ααααα 4、直线斜率的坐标公式经过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式：1212y y k x x -=- 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即1221121221()y y y y k x x x x x x --==≠-- ②特别地：当1212,y y x x =≠时，0k =；此时直线平行于x 轴或与x 轴重合；当1212,y y x x ≠=时，k不存在，此时直线的倾斜角为090，直线与y 轴平行或重合。

宁陕中学导学案（数学）高一级 班 姓名 2011年12月1日直线的方程第一课时 直线方程的点斜式:（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.学习重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

学习难点: 直线的点斜式方程的推导。

法指导：1. 依据预习案通读教材63-64页，进行知识梳理；勾画课本重点并写上提示语 ； 熟记基础知识，完成课后练习题目。

2.将预习中不能解决的问题标示出来，并填写到后面“我的疑惑”处。

3.限时20分钟完成。

问题1:在直角坐标系中,确定一条直线，应知道哪些条件？问题2：什么是直线的方程？问题3：什么是直线的方程的点斜式？问题4：什么是直线的方程的斜截式？探究（一）直线的方程思考1：若直线L 经过点P O （1，2）,且斜率为1，点P(x,y)为直线上不同于P O 的任一点,则x,y 应满足什么关系?思考2：若直线L 经过点P O （x o ，y o ）且斜率为k ，点P(x,y)为直线上不同于P O 的任一点,则x,y 应满足什么关系?能否推导出方程？思考3：（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足此方程吗？（2）坐标满足此方程的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？（3）由此你知道方程为直线方程必须满足哪两个条件吗？探究(二)直线方程的点斜式观察下面的方程，回答问题：（1）这个方程是由 确定的；（2）当直线l 的倾斜角为00时，直线方程为（3）当直线l 的倾斜角为900时，直线方程为思考1: 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？思考2：（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？:例1：求经过点),0(b 斜率为k 的直线l 的方程，画出图像。