高中数学竞赛几何专题从调和点列到Apollonius圆到极线

平面几何基础知识（基本定理、基天性质）1 ． 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理） (1)锐角对边的平方，等于其余两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其余两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2 ． 射影定理（欧几里得定理）3 ． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边 BC 的中点为 P ，则有 AB 2AC 22( AP 2BP 2)；222中线长： m a2b2c a．24 ． 垂线定理： ABCDAC 2 AD 2 BC 2BD 2．2 p( p a )( p b)( p bc sin A c sin B b sin C ．高线长： h ac)aa5 ． 角均分线定理：三角形一个角的均分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率．如△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ，则 BDAB ；（外角均分线定理） ．DC AC角均分线长： t a2 cbcp( p a)2bccos A（此中 p 为周长一半）．bb c26 abc2 R ，（此中 R 为三角形外接圆半径） ．． 正弦定理：sin Bsin Asin C7 ． 余弦定理： c 2a 2b 2 2ab cosC ．8 ． 张角定理：sinBACsinBADsinDAC ．ADACAB9 ． 斯特瓦尔特 (Stewart)定理：设已知△ ABC 及其底边上 B 、C 两点间的一点D ，则有 AB2·DC+AC 2·BD － AD 2·BC ＝BC · DC ·BD ．10 ． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半． （圆外角怎样转变？）11 ． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12 ． 圆幂定理：（订交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理） ：切线长定理： ）13 ． 布拉美古塔（ Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形 ABCD 中， AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必均分对边．14 ． 点到圆的幂：设 P 为⊙ O 所在平面上随意一点， PO=d ，⊙ O 的半径为 r ，则 d 2－r 2 就是点 P 对于⊙ O 的幂．过 P任作向来线与⊙ O 交于点 A 、B ，则 PA ·PB= |d 2－ r 2 |．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线， 假如此二圆订交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴” ．三个圆两两的根 轴假如不相互平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” ．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦 ( 就是两两的根轴 ) 所在直线交于一点．15 ． 托勒密（ Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD=AB ·CD +AD ·BC ，(抗命题成立 ) ．（广义托勒密定理） AB ·CD+AD ·BC ≥ AC ·BD ．16 ． 蝴蝶定理： AB 是⊙ O 的弦， M 是此中点，弦 CD 、 EF 经过点 M ，CF 、DE 交 AB 于 P 、Q ，求证： MP=QM ．17 ． 费马点： 定理 1 等边三角形外接圆上一点， 到该三角形较近两极点距离之和等于到另一极点的距离；不在等边三角 形外接圆上的点，到该三角形两极点距离之和大于到另一点的距离． 定理 2 三角形每一内角都小于120 °时，在三 角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是 120°，该点到三极点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于 120 °时，此角的极点即为费马点．18 ． 拿破仑三角形：在随意△ ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△ BCE 、△ CAF ，则 AE 、AB 、 CD 三线共点，而且 AE＝ BF ＝ CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△ BCE 、△ CAF ，它们的外接圆⊙ C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1 的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙ A 1 、⊙ B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ ABC 的三条边分别向△ ABC 的内侧作等边△ ABD 、△ BCE 、△ CAF ，它们的外接圆⊙ C 2 、⊙A 2 、⊙B 2 的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙ A 2 、⊙ B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还拥有相同的中心．19 ． 九点圆（ Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆） ：三角形中，三边中心、从各极点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各极点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆拥有很多风趣的性质 ,比如 :（ 1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（ 2）九点圆的圆心在欧拉线上 ,且恰为垂心与外心连线的中点 ;（ 3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 ．20 ． 欧拉（ Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心挨次位于同向来线（欧拉线）上．21 ． 欧拉（ Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为 R ，内切圆半径为 r ，外心与心里的距离为 d ，则 d 2=R2－2Rr ．22 ． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23 ． 重心：三角形的三条中线交于一点，而且各中线被这个点分红2： 1 的两部分； G( x A x B x C , yA yB yC )33重心性质：（1）设 G 为△ ABC 的重心，连接AG 并延伸交 BC 于 D ，则 D 为 BC 的中点，则 AG : GD2:1；（ 2）设 G 为△ ABC 的重心，则 S ABGS BCGSACG1S ABC；3（ 3）设 G 为 △ABC 的重心，过 G 作 DE ∥ BC 交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，过 G 作 PF ∥AC 交 AB 于 P ，交 BC于 F ，过 G 作 HK ∥AB 交 AC 于 K ，交 BC 于 H ，则DEFPKH 2; DE FP KH 2 ；BCCAAB3 BCCAAB（4）设 G 为△ ABC 的重心，则①BC 2 3GA 2 CA 2 3GB 2 AB 2 3GC 2 ；②GA2GB2GC21(AB 2BC 2CA 2) ；3③ PA 2PB 2 PC 2GA 2GB 2 GC 2 3PG 2 （P 为△ ABC 内随意一点）； ④到三角形三极点距离的平方和最小的点是重心，即 GA 2GB 2GC 2 最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即知足上述条件之一， 则 G 为 △ABC 的重心）．ax Abx Bcx Cay Aby Bcy CH ( cos A, cos A24 ． 垂心：三角形的三条高线的交点；acos B cos Ca cos B cos C)bcb ccos Acos B cos Ccos Acos B cos C垂心性质：（1）三角形任一极点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍；（ 2）垂心 H 对于 △ ABC 的三边的对称点，均在 △ABC 的外接圆上；（ 3） △ABC 的垂心为 H ，则 △ ABC ， △ABH ，△ BCH ，△ ACH 的外接圆是等圆；（ 4）设 O ，H 分别为 △ ABC 的外心和垂心，则BAO HAC , CBOABH , BCOHCA ．25 ． 心里：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即心里到三角形各边距离相等；I (axAbx B cx C , ay Aby BcyC)a b ca b c心里性质：（ 1）设 I 为△ ABC 的心里，则 I 到△ ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设 I 为 △ABC 的心里，则BIC901 A,AIC901B, AIB 90 1 C ；2 22（3）三角形一内角均分线与其外接圆的交点到另两极点的距离与到心里的距离相等；反之，若 A 均分线交 △ ABC外接圆于点 K ， I 为线段 AK 上的点且知足 KI=KB ，则 I 为△ ABC 的心里；（4）设 I 为△ ABC 的心里， BC a, ACb, AB c,A 均分线交 BC 于 D ，交 △ ABC 外接圆于点K ，则AI AKIK b c；IDKIKDaBCa, AC b, AB c,BC, AC,ABD,E,Fr（5）设 I 为△ ABC 的心里，I 在，内切圆半径为 ，上的射影分别为令p1(a b c) ，则① S ABCpr；②AEAF p a; BDBFp b;CE CDpc ；③2abcr pAI BI CI ．26 ． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各极点距离相等；O(sin 2 AxAsin 2Bx B sin 2Cx C , sin 2 Ay A sin 2By Bsin 2CyC )sin 2 A sin 2B sin 2Csin 2A sin 2B sin 2C外心性质：（1）外心到三角形各极点距离相等；（2）设 O 为 △ABC 的外心，则 BOC 2 A 或BOC 360 2 A ；（3） R abc ；（ 4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．4 S27 ． 旁心：一内角均分线与两外角均分线交点——旁切圆圆心；设△ ABC 的三边BC a, AC b, AB c, 令p1 bc) ，分别与 BC , AC , AB 外侧相切的旁切圆圆心记为 I A , I B , I C ，其半径分别记为r A , r B , r C ．(a2旁心性质：（1）BI A C 901 A, BI B CBI C C1 A, （对于顶角 B ， C 也有近似的式子） ；22（2）I A I B I C1 ( AC) ；2（3）设AI A 的连线交 △ABC 的外接圆于 D ，则 DI ADB DC （对于 BI B , CI C 有相同的结论）；（ 4） △ABC 是 △I A I B I C 的垂足三角形，且 △ I A I B I C 的外接圆半径 R' 等于 △ABC 的直径为 2R ．28 ． 三角形面积公式： S ABC 1ah a 1 ab sin C abc2R 2sin Asin B sin Ca 2b 2c22 2 4R4(cot A cot Bcot C )prp( p a)( p b)( p c)，此中h a 表示 BC 边上的高， R 为外接圆半径， r 为内切圆半径， p1(abc)．229 ． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：r 4Rsin A sin B sin C ; r a 4Rsin A cos B cos C , r b 4R cos A sin B cos C , r c 4R cos A cos B sin C;2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r aB r, r brC , r crB ;11 11 .tan tan C tan A tantan A tan r a r br cr2 22 22 230 ． 梅涅劳斯（ Menelaus ）定理：设 △ ABC 的三边 BC 、 CA 、AB 或其延伸线和一条不经过它们任一极点的直线的交点分别为 P 、 Q 、 R 则有BP CQ AR 1．（逆定理也建立）PC QA RB31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ ABC 的∠ A 的外角均分线交边CA 于 Q，∠ C 的均分线交边AB 于 R，∠ B 的均分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、 R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过随意△ABC 的三个极点 A 、B、 C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB 的延长线交于点 P、 Q、 R，则 P、Q、 R 三点共线．33．塞瓦 (Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为△ ABC 的边 BC、 CA、 AB 上的一点，则 AX、 BY、CZ 所在直线交于一点的充AZ BX CY要条件是··=1．ZB XC YA34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D 、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 必定过边 BC 的中点 M ．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ ABC 的内切圆和边 BC、CA、 AB 分别相切于点R、S、 T，则 AR、BS、 CT 交于一点．38．西摩松（ Simson）定理：从△ ABC 的外接圆上随意一点P 向三边 BC、CA、AB 或其延伸线作垂线，设其垂足分别是 D、E、 R，则 D、 E、 R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．对于西摩松线的定理1：△ ABC 的外接圆的两个端点P、Q 对于该三角形的西摩松线相互垂直，其交点在九点圆上．41．对于西摩松线的定理2（平和定理）：在一个圆周上有 4 点，以此中任三点作三角形，再作其余一点的对于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ ABC 的垂心为 H，其外接圆的随意点P，这时对于△ ABC 的点 P 的西摩松线经过线段 PH 的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ ABC 的外接圆上的一点P 的对于边 BC、CA、AB 的对称点和△ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 对于△ ABC 的镜象线．44．牛顿定理 1：四边形两条对边的延伸线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF ，设它们的对应极点（ A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时假如对应边或其延伸线订交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF ，设它们的对应极点（ A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时假如对应边或其延伸线订交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P、 Q、R，则 P、Q、R 对于△ ABC 交于一点的充要条件是：弧AP +弧 BQ+弧 CR=0(mod2) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设 P、Q、R 为△ ABC 的外接圆上的三点，若 P 、Q、R 对于△ABC 的西摩松线交于一点，则 A、 B、 C 三点对于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考察△ ABC 的外接圆上的一点 P 的对于△ ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P 、Q、R 的对于△ABC 的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的极点向边 BC、 CA、 AB 引垂线，设垂足分别是D、E、 F，且设边 BC、CA、AB 的中点分别是 L 、M 、N，则 D、 E、 F、L 、M、N 六点在同一个圆上，这时 L 、 M、N 点对于对于△ ABC 的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：经过△ ABC 的外接圆的一点 P ，引与△ ABC 的三边 BC、CA、 AB 分别成同向的等角的直线PD、PE 、PF ，与三边的交点分别是D、E、F，则 D、 E、 F 三点共线．54．奥倍尔定理：经过△ABC 的三个极点引相互平行的三条直线，设它们与△ ABC 的外接圆的交点分别是L、M、 N，在△ABC 的外接圆上取一点P，则 PL、PM 、PN 与△ ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延伸线的交点分别是D、E、F ，则 D、E、 F 三点共线．55．清宫定理：设 P、Q 为△ ABC 的外接圆的异于 A 、B、C 的两点， P 点的对于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是U 、V、 W，这时， QU、 QV、QW 和边 BC 、CA、 AB 或其延伸线的交点分别是D、 E、 F，则 D、 E、F 三点共线．56．他拿定理：设 P、Q 为对于△ ABC 的外接圆的一对反点，点P 的对于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U 、V、W，这时，假如 QU、 QV、QW 和边 BC 、CA、 AB 或其延伸线的交点分别是D、 E、 F，则 D、 E、F 三点共线．（反点：P、 Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延伸线的两点，假如OC2 =OQ ×OP 则称 P 、Q 两点对于圆 O 互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D 1四点，以此中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作 P 点的对于这 4个三角形的西摩松线，再从P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的极点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有 n 个点，从此中随意 n－ 1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从此中随意 n－2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点对于四个三角形△ BCD 、△ CDA 、△ DAB、△ ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同向来线上．这条直线叫做M、N 两点对于四边形ABCD 的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则M、N 两点的对于四边形 ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的对于四边形ABCD 的康托尔线、 M、L 两点的对于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、 L 三点对于四边形 ABCD 的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D 、E 五点及 M、N、L 三点，则 M、N、L 三点对于四边形 BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、 L 三点对于五边形A、 B、 C、D、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三均分，凑近某边的两条三分角线相获取一个交点，则这样的三个交点能够构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连接外切于圆的六边形ABCDEF 相对的极点 A 和 D 、B 和 E、 C 和 F，则这三线共点．67．帕斯卡（ Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边 AB 和 DE 、 BC 和 EF 、 CD 和 FA 的（或延伸线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（ Apollonius ）定理：到两定点 A 、B 的距离之比为定比 m：n（值不为 1）的点 P，位于将线段 AB 分红m：n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两头点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇 * 大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过此中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（ Miquel ）点：若 AE、AF、ED 、FB 四条直线订交于A、B、C、D、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ ABF、△ AED 、△ BCE、△ DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（ Gergonne）点：△ ABC 的内切圆分别切边AB、BC、CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72 ．欧拉对于垂足三角形的面积公式：形成的三角形的面积，其公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的随意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足SD EF| R 2 d 2 | ．SABC4 R 22009 年全国高中数学结合比赛湖北省初赛试题参照答案及评分标准说明： 评阅试卷时，请依照本评分标准。

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A ．B ．CD ．上述三个选项都不对3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C ，2C 是离心率都为e 的椭圆，点A ，B 是分别是2C 的右顶点和上顶点，过A ，B 两点分别作1C 的切线1l ，2l ．若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（）A ．2eB ．21e -C ．21e -D ．21e 6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A ．10B ．12C ．14D ．167．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C 上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A ．最大值为4B ．最大值为4C ．最小值为4-D ．最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l 为其对应的焦点及准线，过F 作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C 上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知ABC 内接于抛物线2:=E x y ，且边,AB AC 所在直线分别与抛物线2:4=M y x 相切，F 为抛物线M 的焦点．求证：(1)边BC 所在直线与抛物线M 相切；(2)A ，C ，B ，F 四点共圆．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y+=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l 与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.29．若点(0,P Q ，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.30．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何答案一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对【答案】A【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.【详解】设圆224x y +=上一点为(2cos ,2sin )P θθ，则对应切点弦所在直线l 的方程为2cos 2sin 12xy θθ⋅+⋅=即cos 2sin 1x y θθ+=，1≥，故椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆2241x y +=围成的面积，其面积为1ππ122⨯⨯=.2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A．B．CD ．上述三个选项都不对【答案】D【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别求出22,OA OB ，再根据222AB OA OB =+，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出AB 的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由22149x y +=，得229436x y +=，化为极坐标方程为223645cos ρθ=+，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，则OA OB ⊥，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22123645cos OA ρθ==+，22222363645sin 45cos 2OB ρπθθ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以2221222363645cos 45sin AB ρρθθ=+=+++2223613361325162025sin cos 36sin 24θθθ⨯⨯==+++，当2sin 20θ=时，2AB 取得最大值，即AB所以菱形的周长的最大值为当2sin 21θ=时，2AB 取得最小值，即AB 的最小值为13，所以菱形的周长的最小值为13，所以内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是1313=.3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=【答案】C【分析】根据四边形OMPN 是平行四边形，得到2222PM PN OM ON +=+为定值，然后将取特殊位置(),0P a ，()0,P b 求解.，易知由四边形OMPN 是平行四边形，所以2222PM PN OM ON +=+为定值，取点(),0P a 时，由()1212y x a y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得24a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,24a a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,24a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22258OM ON a +=，取点()0,P b 时，由1212y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x bb y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以,2b M b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,2b N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22252OM ON b +=，所以225582a b =，即2a b =，4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】由22312516y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22241150254000x mx m ++-=，()22222500424125400160024116000m m m ∆=-⨯-=⨯->，故m而241241AB ==，故1122ABOS AB ==△2224120210241m m+-⨯==，当且仅当m=等号成立，故OAB面积的最大值为10，5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C，2C是离心率都为e的椭圆，点A，B是分别是2C的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作1C的切线1l，2l．若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则12k k的值为（）A．2e B．21e-C．21e-D．21e【答案】C【详解】不妨设22122:1x yCa b+=，222222:x yCa bλ+=(0,1)a bλ>>>，∴,(,0)(0,)A aB bλλ，11:()l y k x aλ=-代入1C的方程得：()2222322422211120b a k x a k x a k a bλλ+-+-=，()()()23222224222111Δ240a kb a k a k a bλλ=--+-=，化简得()221221bkaλ=-．22:l y k x bλ=+代入22221x ya b+=得()22222222222220b a k x a bk x a b a bλλ+-+-=．()()()222222222222Δ240a bkb a k a b a bλλ=-+-=．化简得()222221bkaλ-=．∴422124bk ka=，∴222212221b a ck k ea a-===-，6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y+=的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接,,,A B C D得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B【分析】设()11,A x y,()22,B x y，设x轴正方向旋转到与向量OA 同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示,A B的坐标，代入椭圆方程，求得223636,OA OB关于α的函数表达式，进而得到223636OA OB关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，并根据题意不妨设OA 到OB 为逆时针旋转π2,则11cos ,sin .x OA y OA αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,22cos sin ,2sin cos .2x OB OB y OB OB πααπαα⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩22149x y +=，229436x y +=,2222369cos 4sin 5cos 4OA ααα=+=+, 22223694cos 5sin 4sin OBααα=+=+,2222236362516925cos sin 36sin 23636,44OA OBααα⎡⎤=+=+∈⎢⎥⎣⎦，∴36136,2OA OB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,1442,1213ABCD S OA OB ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,当4πα=时取到最小值14413，当0α=时取得最大值12.只有选项B 中的12在此范围内7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．,121⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎝⎭【答案】D【详解】由322c N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，得22229142c c a b +<，即222222924b c a c a b +<，从而422441590a a c c -+>，得到4291540e e -+>，因此()()2231340e e -->.因为0<e <1，所以3e 2－4<0，故3e 2<1，得到0e <<.又由112||MF MN F +<恒成立，即22||a MN MF +-<恒成立，等价于()2max2||a MN MF +-<，亦即22a NF +<，等价于2a ，即2a e >.e <<二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线【答案】ABC【详解】建立如图的直角坐标设(),P x y ，则(2,0)M x ，(0,2)N y ，0x >，0y >，对于A ，当Rt △AMN 面积为定值()20k k >时，12222x y k ⋅⋅=，∴(0)x y k k ⋅=>轨迹为双曲线一支，所以A 正确．对于B ，若2(0)MN d d =>，则222222444x y d x y d +=⋅+=，(0,0)x y >>是一圆弧，所以B 正确．对于C ，当2(0)AM AN t t +=>时，222(0,0)x y t x y +=>>，即(0,0)x y t x y +=>>为空端点线段，所以C 正确．对于D ，当Rt △AMN 的周长为定值2C 时，则222x y C ++，即(0,0)x y C x y +=>>，()C x y =-+，∴22222222x y C Cx Cy xy x y +=--+++，所以2(22)2x C y Cx C -=-，2222Cx C y x C-=-轨迹为双曲线一支，所以D 错误．9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值【答案】AC【分析】利用三角换元得到P 的坐标为2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用斜率公式可求,αβ与θ的关系，化简后可得,αβ的关系，故可判断AB 的正误，根据面积公式可求S （用θ表示），故可判断CD 的正误.【详解】不妨设2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan sin tan 22(1cos )(2)cos θθαθθ==+--，tan sin tan 22(1cos )2cos θθβθθ=-=---，1||tan 2tan 2S AB θθ=⋅⋅=，因此2114tan ,tan ,221t t S t t αβ==-=-，其中tan 2t θ=．对于选项A ，1tan tan 4αβ=-为定值．对于选项B ，由于22224tantan22tan tan 1tan tan tantan 2222αβαβαβαβ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因此若tantan22αβ为定值，则tantan 22αβ+为定值，从而tan 2α和tan 2β是确定的值，矛盾，对于选项C ，D ，有()2112122tan()115122t t t t t tαβ--+==-+⋅，因此tan()S αβ⋅+是定值，cot()S αβ⋅+不是定值．10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A．最大值为4B．最大值为4C．最小值为4-D．最小值为4【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求||||PA PQ +的最值.【详解】注意到Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为(1,0)Q '-，则()()||||||44||PA PQ PA PQ PA PQ +=+-=-''+，而||PA PQ -'的取值范围是,AQ AQ ''-⎡⎤⎣⎦，即[，因此所求最大值为4，最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F 和l 为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.【答案】⎫⎪⎪⎭【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆Γ的焦准距23b c=（同侧焦点和准线），如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，设F ：()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB方程：)y x c =+，联立直线AB 和椭圆Γ可得：()222222223630b a x a cx a c a b +++-=，由韦达可得：212222212226+=-+33=+3a x x b a a c x x b a ⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由椭圆中心O 位于以AB 为直径的圆外，则有12120OA OB x x y y ⋅=+>，结合韦达定理可得：222242222422222233330333a c a b b a c a b b b a b a b a----+=>+++，所以422441030a a c c -+<，即423e 10e 40-+<，e 1<<，12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．【答案】2212016x y +=【详解】设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，整理得213x x c +=，21y y b +=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，得到212165y y x x -=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减并整理得()()()()2212122121635y y y y b b a x x x x c +---==⋅+-，整理得225a bc =．①本号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感因为()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，所以有1165280x y --=，2265280x y --=．将123x x c +=，12y y b +=-代入得()635560c b ⨯---=，整理得18556c b +=．②联立①②，且注意到a 、b 为整数，解得2c =，4b =，220a =．故所求的椭圆方程为2212016x y +=．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．【答案】4【详解】令||,|3|,|3|=-=+=z a z b z c ，则27-=a bc ．由复数的几何意义知222218+=+b c a ．所以由前两式知2()32-=b c，即||-=b c ，故||3||3||6--+=<z z ．因此z6的双曲线，14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2:a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t ≥15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.【答案】4【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCD AOB S S = △，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上，如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD Y 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --.将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：00814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或00814x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故242||21ABCDADB AOB A B S S S OP x x ===⋅-=⨯⨯YV V.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.【答案】(1)((22=149x x -+.(2)【详解】（1）如图所示,将椭圆C绕其左焦点()F 逆时针旋转90 ,得到椭圆'C,注意到在正方形FPAB 中,点B 可以看成也是由点P 绕点F 逆时针旋转90 而形成的,由于点P 在椭圆C 上运动,则点B 在椭圆'C 上运动.求B 的轨迹方程,也就是求椭圆'C 的方程.注意到椭圆'C的中心坐标为(,从而'C的方程为((22=149x x +.（2）如图所示,|||||PQ PFQF +≥当且仅当,,P F Q 三点共线,即P 运动到1P 位置时,等号成立.记椭圆C 的右焦点为)E,注意到()||||=||2||=||||6PQ PF PQ a PE PQ PE ++--+，显然有||||||=PQ PE QE -≤从而||||6PQ PF +≤+,当且仅当,,P E Q 三点共线,即P 运动到2P 位置时,等号成立.||||6PQ PF ≤+≤即PQ PF+的取值范围17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.【答案】((()()201520152014201411112411y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-【详解】易知抛物线焦点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭.设()1:1,2,4i i l y k x i ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，并与2y x =联立知点i A 、i B 的横坐标i A x 、i B x 满足关于x 的方程()2222120216i i i k k x k x -++=且i i A B x x ≠.则i ii i A B A B x =-=221i i k k +=.从而，当2i≥时，有1111i i k k -==+.记{}n F 满足121F F ==及递推关系21n n n F F F ++=+则{}n F 为斐波那契数列其通项公式为n nn F ⎡⎤⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦.下面证明：1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.由2111F k F ==，知i=1时结论成立.设i=t 时结论成立.则121111111t t t t t t t t t F F F F k k F F F +++++++=+=+==即i=t+1时结论也成立.由数学归纳法知1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.特别地，201520142014F k F =.从而，2014l的解析式为((()()201520152014201411112411y x +-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-.【注】本题亦可用不动点方法求数列{}i k 的通项.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）()21y x =-【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ．由12F PF的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭，得12F H PF ⊥．所以12531F H PF k k -⋅==-，224593c -=，解得21c =．由点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上，得2224119a b +=．结合2221a b c -==，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()2,0A -，()21,0F ．若l 的斜率不存在，则由对称性，知120k k +=，不符合要求．若l 的存在，设为k ，则l 的方程为()1y k x =-．由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．①设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以()()1212121212112222k x k x y y k k x x x x --+=+=+++++()()()12121234331122222x x k k x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+-=⋅-⎢⎥⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()221222121222834344322412824244343k x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎢⎥=⋅-=⋅-⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222222238161221122412161612k k k k k k k k k k ⎡⎤++⎛⎫+⎢⎥=⋅-=⋅-=- ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．又1212k k +=-，因此2k =，直线l 的方程为()21y x =-．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．【答案】252064x y -=【详解】用a 、b 、c 分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，则5a =，3b =，4c =，右焦点为()4,0F ，且准线方程为2a x c=，由21AFca a x c=-，22CF c a a x c=-，得1455AF x =-，2455CF x =-，根据等差性质，2AF CF BF +=，而95BF =，即12441855555x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以128x x +=．①设线段AC 的中点为D ，则其坐标为124,2y y D +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又设点T 的坐标为()0,0T x ，则AC 的中垂线DT 的方程为()12121242y y x xy x y y +--=---．因()0,0T x 在此直线上，故有()1212012042y y x xx y y +--=---，即()221201242y y x x x --=-．②又根据A 、B 在椭圆上，得()221192525y x =-，()222292525y x =-，所以()()22121212925y y x x x x -=-+-，据①，即有()22121236225y y x x -=--．③再据②③得06425x =，即点T 的坐标为64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是直线BT 的方程为252064x y -=．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）()201y x x =≤<（2）11,132⎧⎫+⎪⎪⎛⎤-⎨⎬⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭ 【详解】(1).设()(),,1,P x y M t -，易知01x ≤<.因为OP 平分MON ∠，所以OM MP PN ON==，所以)11,x x +-①)0y t y -=-.②由①②可得21y t x =-，代入①得到11x x +=-E 的方程为()201y x x =≤<.(2).记()()1,1,1,1A B -，则11,3QA QB k k ==-.直线l 的方程为1122y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，与抛物线方程2y x =联立，消去x 得()21102ky y k -+-=当直线l 与抛物线2y x =相切于点T 时，()1210k k ∆=--=，解得1,2k =当1k k ==T y =T 在曲线E 上；当212k k ==时，T y =，切点T 不在曲线E 上.若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，则有QB QA k k k <≤或k =，故所求k的取值范围为1,13⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【答案】（1）24()(0)y p x p y =-≠；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ，设l 的直线方程为()(0)2p y k x k =-≠.由得222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=.设M ､N 的横坐标分别为12x x 、，由21222pk p x x k ++=，得22122222,()2222P Px x pk p pk p p px y k k k k+++===-=，而PQ l ⊥，故PQ 的斜率为1k -，PQ 的方程为2212()2p pk py x k k k +-=--.代入0Q y =得222223222Q pk p pk px p k k ++=+=.设动点R 的坐标为(),x y ，则:21()21()22p Q P Qp x x x p k p y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，因此222()4(0)p p x p y y k-==≠，故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.（2）显然对任意非零整数t ，点2((41),)p t pt +都是L 上的整点，故L 上有无穷多个整点.反设L 上有一个整点(),x y 到原点的距离为整数()0m m ≥，不妨设0,0x y >>，则:22224()x y m y p x p ⎧+=⎨=-⎩①②，因为p 是奇质数，于是|p y ，从②可推出|p x ，再由①可推出|p m .令111,,x px y py m pm ===，则有22211121141x y m y x ⎧+=⎨=-⎩③④，由③，④得2211114x x m -+=，于是2211(81)(8)17x m +-=，即()()111181881817x m x m +++-=，于是111181817,8181x m x m ++=+-=，得111x m ==，故10y =，有10y py ==，但L 上的点满足0y ≠，矛盾!因此，L 上任意点到原点的距离不为整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ的方程为(260x y +-+-=．【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210r x ryx y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r yx y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x ryr -+-+-=，即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x r y r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y +-+-=．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+，直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=，故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++，因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++，即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||))24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅，其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=+3183⎛≤ ⎝⎭当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而求出离心率.【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a k k a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x ax ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+，于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭．所以直线OD 的方程为()221a x y a k =--．设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l 直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭，由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey Fa b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,22D a ⎛- ⎪ ⎪⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C上，故22222311a a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=-，解得a =于是1C的离心率为3c e a ==．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=．(2)设A 、B 、P 的坐标分别为()()()1122,,,,0,x y x y t ．由PA mAF = 知121m x m =+，11ty m=+．又点A 在椭圆C 上，则22211184m t m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得222840m m t +-+=．由PB nBF =，同理得到222840n n t +-+=．由于A 、B 不重合，即m n ≠，故m 、n 是二次方程222840x x t +-+=的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为12x yt+=，即()22t y x =--，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得()2222244160t xt x t +-+-=，()()42221642416321280t t tt ∆=-+-=+>，所以221212224416,22t t x x x x t t -+=⋅=++，而1212122QAB S t x x t x x ∆=⋅⋅-=⋅-()()22222121212=4QAB S t x x t x x x x ∆⎡⎤=-+-⎣⎦()42222216166422t t tt t ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥++⎣⎦()2222321282t t t +=⋅+．()2243212t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥+⎣⎦由已知，点P 不在椭圆C 的内部，得2t ，即24t ，所以2QAB S ∆的最小值为82563299⨯=，故三角形QAB 面积的最小值为163．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．【答案】43t =【详解】设(),P x y 为圆O 上任意一点，则由题意知PA k PB=．即222PA k PB =，于是()()()()22222x m y n k x s y p ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，整理得()()()()22222222222222111k s m kp nmn k s p x y x y k k k --+-++--=---．因此点P 的轨迹是一个圆．因为(),P x y 为圆上任意一点，所以此圆与圆22:4O x y +=必为同一个圆，于是有()22201k s m k --=-，()22201k p nk --=-，()()22222241mn k s p k +-+=-，整理得20k s m -=，20k p n -=，所以()()()()()22222424222222222411m n k s p k sk p k s p ks p k k +-++-+==+=--．因为s ，*p N ∈，所以21s ≥，21p ≥，从而22242k s p =≤+．又因为1k >，所以1s p ==，22k =，2m n ==．因此将()2,2A ，()1,1B ，代入3y x t =-，得43t =．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.【答案】(1)2211612x y +=(2)0,2⎛ ⎝⎭【详解】（1）由椭圆C 的离心率为12，知12c a =，于是112BF a c OF ===，所以1=30F BO ∠︒，1=60BFO ∠︒，11=120BF A ∠︒，又AB ===，且11BA F ∆所以11==2sin sin1203AB BF A ∠⨯︒，解得=2c ，因此，=4a，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为x ty m =+，由22=++=11612x ty m x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得()2223463480t y mty m +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，由（1）知，()14,0A -，()24,0A ，所以122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理，123434OA QA k k k k ⋅=⋅=-，因为()142353k k k k +=+，所以()2323335443k k k k --=+，()2323233543k k k k k k +-⋅=+，由l 与x 不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，()()1212209440y y ty m ty m ++-+-=，于是()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，()()()222223486920949403434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或=4m ，因为P ､Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -，。

调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.类型3：证明直线过定点或三点共线【例4】如图, 过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆x225+y29=1的切线PM和PN, 切点分别为M,N, 连结MN.(1)当点P在直线l上运动时, 证明：直线MN恒过定点Q;(2)当MN⎳l时, 定点Q平分线段MN.【例5】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点, G为E的上顶点, AG⋅GB=8,P为直线x=6上的动点, PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点.类型4:证明两直线垂直【例6】已知A (-2,0),B (2,0), 点C 是动点, 且直线AC 和直线BC 的斜率之积为-34.(1)求动点C 的轨迹方程;(2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P , 与直线x =4相交于点Q , 且F (1,0), 求证:∠PFQ =90∘.类型5:证明向量数量积(或线段长度之积)为定值【例7】如图, 椭圆有两顶点A (-1,0),B (1,0), 过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点, 并与x 轴交于点P , 直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |=322时, 求直线l 的方程A (-1,0);(2)当点P 异于A 、B 两点时, 求证：OP ⋅OQ 为定值.类型6:与斜率有关的定值问题【例8】设P x0,y0为桞圆x24+y2=1内一定点(不在坐标轴上), 过点P的两条直线分别与椭圆交于点A,C和B、D, 且AB⎳CD.(1)证明:直线AB的斜率为定值;(2)过点P作AB的平行线, 与椭圆交于E、F两点, 证明：点P平分线段EF.【例9】如图, 椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0 的离心率为22, 直线l:y=12x与椭圆E相交于A、B两点, AB=25,C、D是椭圆E上异于A、B的任意两点, 且直线AC、BD相交于点M, 直线AD、BC相交于点N, 连结MN.(1)求椭圆E的方程;(2)求证：直线MN的斜率为定值.【例10】四边形ABCD是椭圆x23+y22=1的内接四边形, AB经过左焦点F1,AC,BD交于右焦点F2, 直线AB与直线CD的斜率分别为k1,k2.(1)证明:k1k2为定值;(2)证明：直线CD过定点, 并求出该定点的坐标.类型7:等角问题【例11】设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时, 求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点, 证明:∠OMA=∠O MB.【例12】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F, 点-1,32在椭圆C上, 过原点O的直线与椭圆C相交于M、N两点, 且|MF|+|NF|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设P(1,0),Q(4,0), 过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A、B两点, 证明:∠APO=∠BPQ类型8:三斜率成等差数列引理:二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线PQ交于点P,Q, 定点O在直线PQ上, PQ与O点关于曲线C的极线交于点R. 曲线C上有两动点A,B, 且直线AO、BO分别交曲线Γ于点C, D, 直线AB，CD分别交PQ于点M,N. 则M,O,N,R成调和点列.【证明】延长XO交BC于点E, 由定理5可知：B,E,C,Y成调和点列(完全四边形中的调和点列), 故M,O,N,R也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).【例13】椭圆C:x2a2+y2b2=1,P的坐标是x0,0,Q点在P关于椭圆的极线x=a2x0上. 过P作直线交椭圆于点A,B. 求证：直线AQ,PQ,BQ的斜率成等差数列.该结论对于拋物线, 双曲线同样适用. 特别地，当Q点在x轴上时, 就是等角线, 此时PQ斜率为0 , PQ平分∠AQB.【例14】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过焦点F任作一直线交椭圆C于A,B两点, 交F相应的准线于点M,P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点, 则直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.【例15】如下图, 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点为A1,B1,Q为直线x=m上一点, QA1,QB1分别于椭圆交于点A,B, 过点P作直线交桞圆于A,B两点, 直线AB与x轴交于点P, 与直线x=m交于点M, 记直线QA1,QB1,QP的斜率分别为k1,k2,k0, 则:(1)k1,k0,k2成等差数列;(2)x P x Q=a2.【例16】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32, 离心率e=12.(1)求椭圆的方程;(2)设P是直线x=4上任意一点, AB是经过椭圆右焦点F的一条弦(不经过点M). 记直线PA,PF,PB的斜率依次为k1,k2,k3. 问：是否存在常数λ, 使得k1+k3=λk2. 若存在, 求λ的值;若不存在, 说明理由.调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】B .【解析】因为 ax +by =1 是圆 x 2+y 2=1 的切点弦方程, 所以直线与圆相交, 故选 B .类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【答案】 x9+y 2=1.【解析】该题实质上就是求椭圆 x 29+y 25=1 内一点 M (1,2) 对应的极线方程，答案为 x9+y 2=1.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB|=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.【答案】 (1)x 24+y 22=1;(2) 见解析.【解析】(1)由题意得：c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b 2 ，解得a 2=4b 2=2 ，所求椭圆方程为x24+y 22=1.(2) 解法 1: 定比点差法设点 Q 、A 、B 的坐标分别为 (x ,y ),x 1,y 1 ,x 2,y 2由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |, 则 λ>0 且 λ≠1又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 从而 AP =-λPB ,AQ=λQB 于是 4=x 1-λx 21-λ,1=y 1-λy 21-λ,x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,从而:4x =x 21-λ2x 221-λ2⋯⋯⋯⋯(1)y =y 21-λ2y 221-λ2⋯⋯⋯.. (2)又点 A 、B 在椭圆 C 上，即:。

极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)近3年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷卷，第22题,调和线束平行截取中点证明中点问定点2022年新高考I卷，第21题调和线束平行截取中点已知中点与平行求定点2020年全国I卷，第22题自极三角形问题证明直线过定点题型解读【题型1】极点极线【题型2】调和点列模型【题型3】自极三点形与a2模型【题型4】斜率成等差模型【题型5】调和线束，平行截中点高考真题再现1(2023年全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53，点A-2,0在C上．(1)求C的方程；(2)过点-2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点．2(2020全国高考Ⅰ卷20)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；x 29+y 2=1(2)证明：直线CD 过定点.32,03(2022·全国乙卷高考真题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1 两点．(1)求E 的方程；y 24+x 23=1(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．高考模拟·新题速递【题型1】极点极线二次曲线的极点极线(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0y b2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.1过点（3，1）作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 、B 则直线AB 的方程为()A.2x +y −3=0B.2x −y −3=0C.4x −y −3=0D.4x +y −3=02已知点P 为2x +y =4上一动点．过点P 作椭圆x 24+y 23=1的两条切线，切点分别A 、B ，当点P 运动时，直线AB 过定点，该定点的坐标是．3(2024·广东湛江·一模)已知点P 为直线x -y -3=0上的动点，过P 作圆O :x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为A ，B ，若点M 为圆E :x +2 2+y -3 2=4上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最大值为．4(2024·湖南衡阳·二模)(多选)已知圆C :x 2+y 2=4,P 是直线l :x +y -6=0上一动点，过点P 作直线PA ,PB 分别与圆C 相切于点A ,B ，则()A.圆C 上恰有一个点到l 的距离为22B.直线AB 恒过点23,23C.AB 的最小值是473D.四边形ACBP 面积的最小值为214【题型2】调和点列模型一、调和点列的充要条件如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)AC BC =AD BD ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD 二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点P 作任意直线，与椭圆交于M ,N ，与极线交点M 则点M ,D ,N ,P 成调和点列，若点P 的极线通过另一点D ，则D 的极线也通过P ．一般称P 、D 互为共轭点．1(2024江南十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x 轴的交点为1,0 ，其中一条渐近线的倾斜角为π3.(1)求C 的标准方程；x 2-y 23=1(2)过点T 2,0 作直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，在线段AB 上取一点E 满足AE ⋅TB =EB ⋅AT ，证明：点E 在一条定直线上.2(安徽高考)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1(-2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |∙|QB |=|AQ |∙|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．3已知F 1、F 2分别为椭圆C 1:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53.(1)求椭圆C 1的方程;y 24+x 23=1(2)已知点P (1,3)和圆O :x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1).求证:点Q 总在某定直线上. 答案：x +3y =3【题型3】自极三点形与a2模型如图, 设P是不在圆雉曲线上的一点, 过P点引两条割线依次交二次曲线于E,F,G,H四点, 连接对角线EH,FG交于N, 连接对边EG,FH交于M, 则直线MN为点P对应的极线. 若P为圆雉曲线上的点, 则过P 点的切线即为极线.同理, PM为点N对应的极线, PN为点M所对应的极线. 因而将△MNP称为自极三点形. 设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点, 则PA, PB恰为圆锥曲线的两条切线.从直线x=t上任意一点P向椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右顶点A1,A2引两条割线PA1,PA2与椭圆交于M,N两点，则直线MN恒过定点a2t ,0．2024杭州二模1已知A,B是椭圆E:x24+y2=1的左，右顶点，点M m,0m>0与椭圆上的点的距离的最小值为1．(1)求点M的坐标．(2)过点M作直线l交椭圆E于C,D两点(与A,B不重合)，连接AC，BD交于点G．(ⅰ)证明：点G在定直线上2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-3,0)，且过点P32,134.(1)求椭圆C的标准方程；x24+y2=1(2)已知A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q,A2Q分别交椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.深圳二模1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32，且焦距F1F2 =23，线段AB,CD分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E的方程；x24+y2=1(2)若N(s,t)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ经过定点．①s=1,t≠±32，直线NA,NB与椭圆E的另一交点分别为P，Q；4,0②t=2,s∈R，直线NC,ND与椭圆E的另一交点分别为P，Q．0,1 22023广州白云区高三统考1已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F2,0，直线y=x-1与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为-1 2．(1)求双曲线的方程；(2)设A1，A2为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．2(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4, 求点P的轨迹；(2)设x1=2,x2=13，求点T的坐标；(3)设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点.(其坐标与m无关)【题型4】斜率成等差模型如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点P m ,0 ，直线l 过点P (极点)且与椭圆交于不同的两点A ,B ，与直线x =a 2m(极线)交于M ，显然A ，P ，B ，M 四点形成调和点列(1)点N 为直线x =m 上任意一点，则k AN +k BN =2k MN ．(2)若点Q 为直线x =a 2m上一点，则k AQ +k BQ =2k PQ(3)若点P 0,m ，直线l 过点P (极点)且与椭圆交于不同的两点A ,B ，Q 为直线y =a 2m 上一点，则1k AQ+1k BQ =2k PQ2024·湖北十一校第二次联考1已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F1为左焦点，且△ABF1的面积为3 2．(1)求椭圆M的标准方程：答案：x24+y23=1(2)设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点．(ii)若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，求证：2k QN-k QC为定值，并求出此定值(其中k QN、k QC分别为直线QN和直线QC的斜率)．2024届广东省四校联考1过原点O 的直线交椭圆E ：x 29+y 2b2=1(b >0)于A ，B 两点，R 2,0 ，△ABR 面积的最大值为25.(1)求椭圆E 的方程x 29+y 25=1(2)连AR 交椭圆于另一个交点C ，又P 92,m (m ≠0)，分别记PA ，PR ，PC 的斜率为k 1，k 2，k 3，求k 2k 1+k 3的值.2013江西卷1已知椭圆方程为x 24+y 23=1.设P 是直线x =4上任意一点，AB 是经过椭圆右焦点F 的一条弦.记直线PA ，PF ，PB 的斜率依次为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1+k 3=λk 2.若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【题型5】调和线束，平行截中点(1)调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。

阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法．阿波罗尼斯(Apollonius 约公元前262~192)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2a λ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．性质2：因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．性质4：过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．性质6：过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图④，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE =12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．【典例刨析】1.(2022·河北盐山中学高二期中)已知两定点A -2,1 ，B 2,-1 ，如果动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.2.(2022四川涪陵月考)若ΔABC 满足条件AB =4,AC =2BC ，则ΔABC 面积的最大值为__________．3.已知圆O ：x 2+y 2=9，点B -5,0 ，在直线OB 上存在定点A (不同于点B )，满足对于圆O 上任意一点P ，都有PAPB 为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求PAPB．4.在平面直角坐标xOy 中，已知点A 1,0 ,B 4,0 ，若直线x -y +m =0上存在点P 使得PA =12PB ，则实数m 的取值范围是_______．5.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足PAPB =3，则PA 2+PB 2的最大值为( )A.16+83B.8+43C.7+43D.3+36.(2022四川·成都外国语学校高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A -1,0 ，B 2,0 ，圆C :x -2 2+y -m 2=14m >0 ，在圆上存在点P 满足PA =2PB ，则实数m 的取值范围是( )A.22,62B.54,212C.0,212D.52,212【针对训练】7.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，O 1:x -4 2+y 2=4，动点P 在直线x +3y -b =0上，过P 点分别作圆O ,O 1的切线，切点分别为A ,B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．8.已知A ,B 是平面上两个定点，平面上的动点C ,D 满足|CA |CB=|DA|DB =m ，若对于任意的m ≥3，不等式CD≤k AB 恒成立，则实数k 的最小值为______．9.已知点A (0,1)，B (1,0)，C (t ,0)，点D 是直线AC 上的动点，若|AD |≤2|BD|恒成立，则最小正整数t =__________.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，圆O 1：(x +4)2+y 2=4，动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______.11.在平面直角坐标系xOy 中，M ,N 是两定点，点P 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，满足：PM =2PN ，则MN 的长为.12.(2022辽宁·高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.参考答案1.【答案】40π【分析】设P (x ,y )，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设P (x ,y )，由题设得：(x +2)2+(y -1)2=2[(x -2)2+(y +1)2]，∴(x -6)2+(y +3)2=40，故P 的轨迹是半径为40的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π2.【答案】163【分析】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理可得cos B =16+x 2-(2x )22×4×x =16-3x 28x由三角形任意两边之和大于第三边得x +2x >4x +4>2x ，解得43<x <4，即169<x 2<16∴S ΔABC =12⋅4⋅x ⋅sin B =2x 1-cos 2B =2x 1-16-3x 2 264x 2=2569-916x 2-809 2当x 2=809时，ΔABC 面积取最大值163故答案为：163【点睛】本题主要考查了求三角形面积的最值，涉及余弦定理的应用，属于中档题.3.【答案】A -95,0 ，PA PB=35【分析】根据两点距离的坐标运算可得10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，进而得10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，即可求解.【详解】设P (x ,y ),A (a ,0),a ≠-5，设PA PB=λ>0故PA PB=x -a 2+y 2x +52+y2=λ，且x 2+y 2=9，化简得：10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，该式对任意的x ∈-3,3 恒成立，故10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，解得a =-95λ=35或a =-5λ=1 (舍去)，故PA PB=35，A -95,0 4.【答案】-22,22【分析】根据PA =12PB 得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线x -y +m =0上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设P (x ,y )则PA =(x -1)2+(y -0)2,PB =(x -4)2+(y -0)2，因为PA =12PB ，所以有(x -1)2+(y -0)2=12(x -4)2+(y -0)2，同时平方，化简得x 2+y 2=4，故点P 的轨迹为圆心在(0,0)，半径2为的圆，又点P 在直线x -y +m =0上，故圆x 2+y 2=4与直线x -y +m =0必须有公共点，所以|m |1+1≤2，解得-22≤m ≤2 2.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的轨迹，并能求出点的轨迹方程.5.【答案】A【分析】设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，由PA PB=3，可得点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，又PA 2+PB 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，因为PA PB=3，所以x +1 2+y 2x -12+y2=3，即x -2 2+y 2=3，所以点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，因为PA 2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，所以x 2+y 2 max =2+3 2=7+43，所以2x 2+y 2+1 max =16+83，即PA 2+PB 2的最大值为16+83，故选：A .6.【答案】D【分析】设P x ,y ，根据PA =2PB 求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设P x ,y ，因为点A -1,0 ，B 2,0 ，PA =2PB ，所以x +12+y 2=2x -2 2+y 2即x 2+y 2-6x +5=0，所以x -3 2+y 2=4，可得圆心3,0 ，半径R =2，由圆C :x -2 2+y -m 2=14可得圆心C 2,m ，半径r =12，因为在圆C 上存在点P 满足PA =2PB ，所以圆x -3 2+y 2=4与圆C :x -2 2+y -m 2=14有公共点，所以2-12≤3-2 2+m 2≤2+12，整理可得：94≤1+m 2≤254，解得：52≤m ≤212，所以实数m 的取值范围是52,212，故选：D .7.【答案】-203,4.【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2PA ，∴x -42+y 2-4=2x 2+y 2-1，∴(x -4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+83x -163=0，圆心坐标为-43,0 ,半径为83，∵动点P 在直线x +3y -b =0上，满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+83x -163=0相交，∴圆心到直线的距离d =-43-b 1+3<83，∴-43-163<b <-43+163，即实数b 的取值范围是-203,4 .【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.【答案】34【分析】建立坐标系，得点C ,D 的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设AB =1，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A 0,0 ,B 1,0 ，设C x ,y ,∴x 2+y 2x -1 2+y2=m ⇒x -m 2m 2-1 2+y 2=m 2m 2-1 2故动点C ,D 的轨迹为圆，由CD≤k AB 恒成立，则k ≥CD max =2m m 2-1=2m -1m≥34故答案为34【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题9.【答案】4【解析】设点D x ,y ,根据|AD |≤2|BD|列出关于D x ,y 的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点D x ,y ,因为点D 是直线AC 上的动点,故y -1x =-1t⇒x +ty -t =0.由|AD |≤2|BD |得x 2+y -1 2≤4x -1 2+y 2 ,化简得x -43 2+y +13 2≥89.依题意可知,直线AC 与圆x -43 2+y +13 2=89至多有一个公共点,所以43-43t 1+t 2≥89,解得t ≥2+3或t ≤2- 3.所以最小正整数t =4.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属于中档题.10.【答案】-283.【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到PO 1 =2PO ，求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．【详解】由题意得：O (0,0)，O 1(-4,0)，设P (x ,y )，如下图所示∵PA 、PB 分别是圆O ，O 1的切线，∴∠PBO 1=∠PAO =90°，又∵PB =2PA ，BO 1=2AO ，∴△PBO 1∽△PAO ，∴PO 1 =2PO ，∴PO 1 2=4PO 2，∴(x +4)2+y 2=4(x 2+y 2)，整理得x -43 2+y 2=649，∴点P (x ，y )的轨迹是以43,0 为圆心、半径等于83的圆，∵动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，∴该直线l 与圆x -43 2+y 2=649相切，∴圆心43,0 到直线l 的距离d 满足d =r ，即43+b 12+(22)2=83，解得b =203或-283，又因为b <0，所以b =-283．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11.【答案】32【分析】不妨就假设M ,N 在x 轴上，设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，由PM =2PN 可得x 2+y 2+2m -8n3x +4n 2-m 23=0，然后和方程x 2+y 2=1对比，就可以求出m ,n 【详解】由于M ,N 是两定点，不妨就假设M ,N 在x 轴上如图所示：设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，PM =2PN ，∴PM 2=4PN 2，∴(x -m )2+y 2=4(m -n )2+y 2 ，即x 2-2mx +m 2+y 2=4x 2-8nx +4n 2+4y 2，3x 2+(2m -8n )x +3y 2+4n 2-m 2=0，x 2+y 2+2m -8n 3x +4n 2-m 23=0与x 2+y 2=1表示同一个圆.∴2m -8n =0m 2-4n 23=1∴{m =2n =12或m =-2n =-12∴MN =32.故答案为：32.【点睛】本题考查的是圆的方程和点的轨迹方程的求法，较简单.12.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)。

第15章 调和点列设两点C 、D 内分与外分同一线段AB 成同一比例，即AC ADCB DB=，则称点C 和D 调和分割线段AB ，或称点C 是点D 关于线段AB 的调和共轭点,亦称点列A 、B ,C 、D 为调和点列，若从直线AB 一点P 引射线PA 、PC 、PB 、PD，则称线束PA 、PC 、PB 、PD 为调和线束．调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质．1～③性质l 设A 、C 、B 、D 是共线四点,点M 是线段AB 的中点，则C 、D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下述六个条件之一：图15-1DB CMA（1)点A 、B 调和分割CD ；（2)112AC AD AB+=； (3）22AB CD AD BC AC DB ⋅=⋅=⋅; (4）CA CB CM CD ⋅=⋅； （5）DA DB DM DC ⋅=⋅； （6）22MAMB MC MD==⋅．证明（1）AC AD CA CBA CB DB AD BD =⇔=⇔、B 调和分割CD ；（2）AC AD AC AD AB AC AD ABCB DB AB AC AD AB AC AD --=⇔=⇔=-- 112AC AD AB⇔+=；（3)()AC ADAC DB BC AD BC AC CB BD CB DB=⇔⋅=⋅=⋅++ 22AC DB AC DB BC AC BC BC BD ⇔⋅=⋅+⋅++⋅ ()()AC CB BD BC AB CD =+⋅+=⋅ 22AB CD AC DB BC AD ⇔⋅=⋅=⋅；①沈文选．线段调和分割的性质及应用[J]．中学教研（数学），2009（9）：28-33． ②沈文选，肖登鹏．调和点列的性质与一类竞赛题的证明[J]．数学通讯，2009（6）：43-46． ②沈文选，羊明亮．线段的调和分割在证明两角相等的应用[J]．中学教学研究，2009（8）：31-33．(4）122ABAD MBAB CD BC AD CD BC BC⋅=⋅⇔==AC CD MC AC MCCA CB CM CD CD CB CD CB+⇔=⇔=⇔⋅=⋅；(5）122ABAC MBAB CD AC BD CD BD BD⋅=⋅⇔==AC CD MB DB AD MDCD DB CD BD++⇔=⇔=DA DB DM DC⇔⋅=⋅；（6）AC AD AM MC MD AM CB DB BM MC MD BM ++=⇔=-- 2222AM MC MD AM AM MD AM MC MD AM MC AM ++=⇔=--22=MC MD MA MB ⇔⋅=．性质2 设A 、C 、B 、D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA 、PC、PB 、PD ,则C 、D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下述两个条件之一：（1）线束PA 、PC 、PB 、PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；（2）另一直线l 分别交射线PA 、PC 、PB 、PD 于点A '、C '、B '、D '时,点C '、D '调和分割线段A B ''．证明（1)如图15-2，不失一般性,设过点B 作GH AP ∥交射线PC 于G ,交射线PD 于H ．图15-2H 'B'G 'C 'y lGBCADHPAC ADCB DB=⇔注意GH AP ∥,有AP AC AD APGB CB DB BH===GB BH⇔=．(2）如图15—2，不失一般性,设过点B '作G H AP ''∥交射线PC 于G ',交射线PD于H '，则G H GH ''∥．AC ADBCB DB =⇔为GH 的中点⇔注意G H GH ''∥，知B '为G H ''的中点A C A P A P A D C CB G B B H D B '''''''⇔===⇔''''''''、D '调和分裂线段A B ''．推论l 梯形的两腰延长线的交点，两对角线的交点,调和分割两底中点的联线段，证明 如图15—3,在梯形BCEF 中，BF CE ∥，A 是两腰延长线的交点，D 是两对角线的交点,联结AD并延长交BF于M，交CE于N，则BM MD MF NE DN CN ==,BM AM MFCN AN NE==，即BM MF NE CN =，BM MFCN NE=．此两式相乘,相除得22BM BF =，22CN NE =，即BM M F =，CN NE =，亦即M 、N 分别为BF 、CE 的中点．图15-3NDMFBCEA联结ME ，则对线束EA 、EM 、ED 、EN 来说,BF NE ∥且BM M F =，则由性质2（1）知A 、D 调和分割线段MN ．（当然也可由AM BF MDAN CE DN==而证．） 推论2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割． 此即为第14章中的性质2，下面另证如下．证明 如图15—4，在完全四边形ABCDEF 中,AD 、BF 、CE 是其三条对角线,设直线AD 交BF 于M ，交CE 于N ．若BF CE ∥，则由推论1知,点M 、N 调和分割线段AD ．若BF ∥CE ，如图15—4，设直线BF 与直线CE 交于点G ．联结AG ,过点D 作直线TL CG ∥交AC 于T ，交AE 于S ，交BG 于K ,交AG 于L ,则分别在BCG △、ACG △、FCE △中，有TD CE DK EG =,TS CE SL EG =，DS CESK EG =． 于是TD TS DS TS DS TDDK SL SK SL SK KL-====-，从而DK KL =． 图15-4SQ DK FTP B MI H LGJE NCA又过点M 作MH CG ∥交AG 于+，则M H D L ∥．联结AK 并延长交M H 于I ，交NG 于J ,则由K 为DL 的中点,知I 为M H 的中点,J 为NG 的中点，在梯形MNGH中，点K 在MG 上，则由推论1知，A 、K 调和分割IJ ，即有AI AJIK JK =． 于是，由平行线性质，有AM ANMD ND=，即知M 、N 调和分割线段AD ． 联结DG 并延长交AC 于点P ，交EF 于点Q ，则上述证明知，在完全四边形GFBDCE 中，Q 、P 调和分割线段GD ．对线束AC 、AN 、AE 、AG ,由性质2（2），知M 、G 调和分割BF ，N 、G 调和分割CE ．注：当BF CE ∥时，也可看作直线BF 与CE 相交于无穷远点G ，此时,亦有M、G 调和分割BF ，N 、G 调和分割CE ．推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边（或其延长线）相交,所得线段被此对角线所在直线上的交点平分．证明 如图15-5，点M 、N 、G 为完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD 、BF、CE 所在直线的交点，过点M 与CE 平行的直线,与EB 、EA 交于点I ，J，与CA ，CF 交于点T 、S ,分别对线束EA 、EM 、ED ；CA 、CM 、CD 、CN 应用性质2(1）知MI MJ =，MJ MS =．图15-5CP同理，可证过点N 与BF 平行的直线的情形,过点G 与AD 平行的直线的情形．性质3 对线段AB 的内分点C 和外分点D ,以及直线AB 外一点P ，给出如下四个论断：①PC 是APB ∠的平分线； ②PD 是APB ∠的外角平分线； ③C 、D 调和分割线段AB ； ④PC PD ⊥．以上四个论断中,任意选取两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题．证明（1）由①、②推出③、④，此时有AC PA AD CB PB DB==，显然PC PB ⊥． (2）由①、③推出②、④．此时，可过点C 作EF PD ∥交射线PA 于点E ,交射线PB 于点F ，如图15—6．则由性质2(1)知EC CF =,从而知PC EF ⊥，亦知PC PD ⊥，亦即有PD 平分APB ∠的外角．（3）由①、④推出②、③．此时,推知PD 是APB ∠的外角平分线，由此即知C 、D 调和分割线段AB ．(4）由②、③推出①、④．此时,结论显然成立．图15-6DBF CAE P(5）由②、④推出①、③．此时，不妨设APC α∠=，BPC β∠=．由PC PD ⊥知90APD α∠=︒+，90BPD β∠=︒-，由正弦定理(或共角比例定理）有sin sin sin cos sin sin sin cos PA PA APC AC AD PA APD PA PB PB BPC CB DB PB BPD PB ααββ⋅⋅∠⋅∠⋅=====⋅⋅∠⋅∠⋅,亦即有sin cos sin cos cos sin 0sin()0sincos αααβαβαβαβββ=⇔⋅-⋅=⇔-=⇔=． 从而知PC 平分APB ∠，由此亦推知PD 是APB ∠的外角平分线。

第18章 圆中的极点、极线在平面解析几何中，介绍了如下直线方程的几何意义：对于一已知点00(,)M x y 和一已知圆C ：222x y r +=，直线l 的方程200x x y y r +=（*）的几何意义有如下3种情形：当点00(,)M x y 在圆C 上时，方程(*)表示为经过点M 的圆的切线，切点为00(,)M x y ．当点00(,)M x y 在圆C 的外部时，方程(*)表示为过点M 的两条切线的切点弦直线．点00(,)M x y 在切点弦的中垂线上．当点00(,)M x y 在圆C 的内部，且M 不为圆心时，方程(*)表示为过点M 的对应点（即以点M 为中点的弦端点的两条切线的交点N ），且与以M 为中点的弦平行的直线．为了讨论问题的方便，对于上述三种情况，统称点M 与对应的直线l 为关于圆C 的极点与极线（可推广到圆锥曲线）． 事实上，如图18-1，点M 、N 为一双对应点，且满足条件：2OM ON r ⋅=．Or(l )(N )M (M )NT 2lT 1图18-1注：满足条件2OM ON r ⋅=（O 为圆心，r 为圆的半径）的点的变换，称为反演变换． 因此，一般地，有定义1 设O 是平面上一个定圆（半径为r ），点M 、N 为满足条件2OM ON r ⋅=的对应点（或反点），则过点N 且垂直于OM 的直线l 称为点M 关于O 的极线，点M 称为直线l 关于O 的极点．显然，对于平面上不过圆心O 的直线l 关于O 的极点是圆心O 在直线l 上的射影关于O 的对应点（反点）．由定义1可以看出，给定了平面上的一个圆，除圆心外，平面上每一点都有唯一确定的极线；除过圆心的直线外，平面上每一条直线都有唯一确定的极点．因而极点与极线是平面上除圆心以外的点与平面上除过圆心的直线以外的直线间的一个一一对应关系．在普通平面上，圆心没有极线，过圆心的直线没有极点． 由此亦可知，当点M 在O 上时，点M 的极线就是O 在M 的切线，切线的极点就是切点；当点M 在O 外时，点M 的极线就是过点M 所引O 的两条切线的切点弦直线；与O 相交的直线的极点就是O 在交点处的两条切线的交点；当点M 在O 内且不为圆心时，点M 的极线在圆外，是过点M 的对应点（反点）N ，且与以M 为中点的弦平行的直线；O 外的直线l 的极点可以这样得到：过O 作ON l ⊥于N ，过N 作O 的两条切线得切点1T 、2T ，切点弦12TT 的中点M 即为直线l 的极点．于是，我们有性质1 设A 、B 两点关于O 的极线分别为a ，b ，若点A 在直线b 上，则点B 在直线a 上．证明 如图18-2，若A 、B 是O 的两个互反点，则结论显然成立．若A 、B 不是O 的两个互反点，由于点A 在点B 的极线b 上，因而O 、A 、B 三点不共线．A'B图18-2设A 、B 关于O 的反点分别为A '、B '，则由2OA OA r OB OB ''⋅==⋅，知A 、A '、B 、B '四点共圆． 由于点A 在直线b 上，所以AB OB '⊥，从而BA OA ''⊥，这说明直线BA '即为点A 的极线a ，故点B 在点A 的极线a 上．由性质1知，若点A 在点B 的极线上，则点B 在点A 的极线上，或者说，如果直线a 通过直线b 的极点，则直线b 通过直线a 的极点．于是，即知对于给定的一个圆，圆心以外的任意一点A 的极线是过点A 但不过圆心的任意两条直线的极点的连线；不过圆心的任意一条直线l 的极点是直线l 上的不同两点的极线的交点，从而，亦有推论 1 如果若干个点共线，则这些点的极线共点；如果若干条直线共点，则这些直线的极点共线． 定义2 如果点A 关于O 的极线通过点B ，而点B 关于O 的极线通过点A ，则称A 、B 两点关于O 共轭．性质 2 A 、B 两点关于O 共轭的充分必要条件是以AB 为直径的圆与O 正交． 证明 必要性．如图18-3所示，设A 、B 两点关于O 共轭，则点B 在点A 的极线l 上，设直线OA 与l 交于点A '，则点A '为点A 的反点．因为AA l '⊥，所以，点A '在以AB 为直径的圆O '上．设O 的半径为r ，O 与O '的一个交点为P ，因O '通过O 的一对反点A 、A '，则由一对反点的几何意义，有OA OA '⋅22r OP ==，由此即知，OP 为O '的切线（切割定理的逆定理），即OP O P '⊥．故O 与O '正交．充分性．如图18-3所示，设以AB 为直径的圆O '与O 正交，即若O '与O 的一个交点为P 时，OP 为O '的切线．设O 的半径为r ，直线OA 与O '交于另一点A '，则由切割线定理，有OA OA '⋅22OP r ==，由此，即知A '为点A 关于O 的反点．由于AB 是O '的直径，所以BA OA ''⊥，从而直线BA '是点A 的线段，再由性质1知点A 必在点B 的极线上．因此，A 、B 两点关于O 共轭．图18-3性质3 设P 、Q 调和分割线段AB ，圆O 是过P 、Q 两点的任意一个圆，则A 、B 两点关于O 共轭． 证明 如图18-4，设O '是以AB 为直径的圆，由P 、Q 调和分割线段AB ，有AP AQPB QB=，即AP QB ⋅-0AQ PB ⋅=．（*）B图18-4注意：AP O P O A ''=-，QB QO O B ''=+，AQ AO QO ''=-，PB PO O B ''=+． 于是，由(*)式，有()()()()0OP OA QO O B AO QO PO O B '''''''-+--+=． 将上式展开，注意AO O B ''=，得2O P O Q AO O B AO '''''⋅=⋅=． 从而，知P 、Q 两点关于O '为反点．若设M 为O 与O '的一个交点，则O M O A ''=，即O P O Q ''⋅=2O M '．由切割线定理的逆定理知O M '为O 的切线．于是，知O 与O '正交，由性质2即知A 、B 两点关于O 共轭．性质4 从不在圆上的一点（异于圆心）P 引一条直线与已知圆交于A 、B 两点，且与P 关于已知圆的极线交于点Q ，则P 、Q 调和分割弦AB ． 证明 当点P 在已知圆O 外时，如图18-5(1)．PA图18-5过点P 作O 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，从而直线MN 为点P 关于O 的极线，则点Q在直线MN 上．联结AM 、AN 、BM 、BN ，则由PMA PBM △∽△，有MA PM PABM PB PM==， 即有 22M A P MP AP A B M P BP M P B=⋅=① 同理， 22NA PABN PB =． 于是，有 MA NABM BN=． ② 又ANQ MBQ △∽△，AMQ NBQ △∽△， 有AN AQ MB MQ =，AM MQNB BQ=． 于是，由上式及②式，有22MA AM NA AM NA BM BM BN NB MB=⋅=⋅MQ AQ AQBQ MQ BQ=⋅=． ③ 由①、③得PA AQ PB BQ =，或AP AQPB QB=，即有P 、Q 调和分割弦AB ． 当点P 在已知圆O （异于圆心O ）内时，如图18-5(2)．作以点P 为中点的弦12TT ，分别作点1T 、2T 处的切线交于P '，过点P '作与OP 垂直的直线MN ，则MN 为点P 关于O 的极线，且点Q 在直线MN 上．此时，由性质1，知点Q 关于O 的极线过点P ，于是，P 、Q 关于O 互为反点，问题转化为前述情形（即点P 在O 外情形），即有QB QABP AP=．亦即有AP AQ PB QB =． 性质5 从不在圆上的一点(异于圆心O )P 引二条直线与已知O 相交得两条弦AB 、CD ，则直线AD 与直线BC 的交点R 在点P 关于O 的极线上． 证明 当点P 在已知圆O 外时，如图18-6(1)、(2)．同性质4中图18-5(1)得点P 关于O 的极线MN ．联结AM 、AN 、BM 、BN 、CM 、CN 、DM 、DN ．T T 2N MP'R (4)(3)(2)(1)2R P MMNC图18-6设直线AD 与直线MN 交于点1R ，则111111sin sin MBR R BN S MR MB MBR MB MCR N S BN R BN BN CN⋅===⋅⋅△△∠∠． ① 设直线BC 与直线MN 交于点2R ，同理， 有22MR MD MAR N DN AN=⋅． ② 由PMB PAM △∽△，PBN PNA △∽△， 有 M B P MP NB N A M P A N A N A===， 即M B M AB N N A=． ③ 同理，MD MCDN CN=． ④ 由①、②、③、④得1212MR MR R N R N =，即12MR MR MN MN =． 从而1R 与2R 重合于点R ．故点R 在点P 关于已知圆的极线MN 上．当点P 在已知圆O 内(异于圆心O )时，如图18-6(3)、(4)．同性质4中图18-5(2)，得点P 关于O 的极线MN ．此时，由图18-6(1)、(2)中情形的证明知，点R 关于O 的极线为12TT ，且点P 在弦12TT 上．由性质1，知R 在点P 关于O 的极线MN 上．推论2 同性质5的条件，则直线AC 与直线BD 的交点在点P 关于已知圆的极线上． 推论3 过不在圆上的一点(异于圆心O )P 引两条割线PAB 、PCD ．若直线BC 与AD 交于点Q ，直线AC 与BD 交于点R ，则直线QR 是点P 关于O 的极线． 事实上，也可这样证明：如图18-7，设直线QR 与AB 、CD 分别交于点E 、F ．图18-7对ABQ △及截线PCD 、对ABQ △及点R 分别应用梅涅劳斯定理和塞瓦定理，有1BC QD APCQ DA PB⋅⋅=，1BC QD AE CQ DA EB ⋅⋅=，由此两式得AP AEPB EB=．即知P 、E 调和分割BA ，由性质3知P 、E 关于O 共轭，所以，点E 在点P 的极线上． 同理，点F 也在点P 的极线上． 故直线QR 是点P 关于O 的极线．定义3 如果一个三角形的顶点都是另一个三角形的边所在直线的极点（关于同一圆），则称这两个三角形共轭．如果一个三角形的每一个顶点都是对边所在直线的极点，则称这个三角形是自共轭三角形（或极点三角形）．性质 6 设A 、B 、C 、D 是一圆上的四点，若直线AB 与CD 交于点P ，直线BC 与AD 交于点R ，直线AC 与BD 交于点R ，则PQR △是一个自共轭三角形（或极点三角形）． 证明 由推论3知QR 是点P 的极线，RP 是点Q 的极线．从而，由性质1，知PQ 是点Q 的极线．故PQR △是一个自共轭三角形（或极点三角形）．性质7 （极点公式）凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点P ，延长BC 、AD 交于点Q ，AC 与BD 交于点R ，设O 的半径为R ，则22222RP OR OP R =+-，22222RQ OR OQ R =+-，2222PQ OP OQ R =+-．证明 如图18-8，延长PR 至K ，使得PR RK BR RD ⋅=⋅，则知P 、D 、K 、B 四点共圆，从而BKR BKP BDC BAR ===∠∠∠∠，即知A 、B 、R 、K 四点共圆．图18-8即有PR PK PB PA ⋅=⋅．此式与PR PK BR RD ⋅=⋅相减得()PR PK RK PB PA BR RD -=⋅-⋅． 即2RP =点P 对O 的幂一点R 对O 的幂()()2222OP R R OR =---2222OP OR R =+-．同理，22222RQ OQ OR R =+-． 设BPC 交PQ 于点M ，则C M PC B A CD Q ==∠∠∠，知C 、M 、Q 、D 四点共圆，从而PM PQ ⋅22PC PD OP R =⋅=-，22QM QP QC QB OQ R ⋅=⋅=-．此两式相加得22222PQ OP OQ R =+-．推论4 如图18-8，O 是自共轭三角形（或极点三角形）PQR 的垂心．事实上，由极点公式，有22222RP OR OP R =+-，22222RQ OR OQ R =+-两式相减得222RP RQ OP -=-2OQ ．由定差幂线定理，知OR PQ ⊥．由22222PQ OP OQ R =+-，2222PR OP OR R =+-两式相减得2222PQ PR OQ OR -=-，由定差幂线定理，知OP OR ⊥．故知O 为PQR △的垂心．性质8 从不在圆上的一点（异于圆心）P 引三条直线依次交圆于A 、B 、C 、D 、G 、H ．直线GH 与点P 关于圆的板线交于点Q ，直线GH 与直线AC 、BD 分别交于点E 、F ，则P 、Q 调和分割线段EF ． 证明 如图18-9，按性质4中的图作出点P 关于已知圆的极线MN ．设直线MN 交直线AB 于点K （或交直线CD 于点K '），则由性质4，知PA PB AK BK =，（或PC PDCK DK =''），即知P 、K ，A 、B （或P 、K '、C 、D ）为调和点列．Q A(C)FAM QDMB(D )T2T1FEHMNKP'QGPFK K'NCHMRGEDBPAG CQDDB NKFB QHHNARMPCGPMR(BE(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)图18-9当AC BD∥时，即有PE PA PB PFEQ AK BK FQ===，亦即P、Q，E、F为调和点列．当AC BD时，可设直线AC与BD交于点R，则由推论3，知R、M、N三点共线．注意到P、K、A、B(或P、K'、C、D)为调和点列，此时RP、RK，RA、RB为调和线束（或RP、RK'，RC、RD为调和线束），由调和线束的性质知P、Q，E、F为调和点列．推论5 同性质8的条件，则111121111PG PH PE PF PQ EQ QF GQ QH+=+==-=-．事实上，由性质4，有PG GH GQ QH PQ PG PH PQGQ HQ PG PH PG PH--=⇔=⇔=1122PQ PQPG PH PG PH PQ⇔+=⇔+=．由性质8，即知112PE PF PQ+=．由P E P F P E P F P Q E QE QF Q E Q Q F E Q-=⇔=⇔112PQ QFQF EQ QF PQ+=⇔-=．同理112GQ QH PQ-=．例1 （1997年CMO试题）四边形ABCD内接于圆O，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q，过Q作圆O的两条切线，切点分别为E、F．求证：P、E、F三点共线．证明如图18-10，显然，直线EF为点O关于O的极线．又由推论3知，点Q的极线通过点P．故P、E、F三点共线．A图18-10例2 （2004年罗马尼亚国家队选拔赛题）设ABC △的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F ，直线DE 与AB 交于点P ，直线DF 与AC 交于点Q ，I 为ABC △的内心，BE 与CF 交于点J ．求证：IJ PQ ⊥．证明 如图18-11，考虑ABC △的内切圆I ，因点C 的极线是DE ，点P 在直线DE 上，所以，点P 的极线过点C ．又点P 的极线过点F ，所以，直线CF 即为点的极线．图18-11同理，点Q 的极线是直线BE ．从而，CF 与BE 的交点J 的极线是PQ ．即知JPQ △为极点三角形，故IJ PQ ⊥．例3 （1994年IMO35试题）ABC △是一个等腰三角形，AB AC =．假如(i)M 是BC 的中点，O 是直线AM 上的点，使得OB 垂直于AB ；(ii)Q 是线段BC 上不同于B 和C 的一个任意点；(iii)E 在直线AB 上，F 在直线AC 上，使得E 、Q 相F 是不同的三个共线点．求证：OQ 垂直于EF ，当且仅当QE QF =． 证明 如图18-12，以O 为圆心，OB 为半径作圆，则由OB AB ⊥知BE 切O 于B ．又A B A C =，O 为BC中垂线上的点，则知FC 切O 于点C ．CFH OG QEB A图18-12设EF 交O 于点G 、H ，参见图18-9(8)，对于O 内的点Q ，应用推论5，则有1111QG QH QE QF+=+1111QG QH QE QF⇔-=-．于是， OG EF QG QH QE QF ⇔=⇔=⊥．例4 （2008年印度国家队选拔赛题）设ABC △的内切圆Γ与BC 切于点D ，D '是圆Γ上的点，且DD '为圆Γ的直径，过D '作圆Γ的切线与AD 交于点X ，过X 作圆厂的不同于XD '的切线，切点为N ．证明：BCN △的外接圆与圆Γ切于点N ． 证明 由于D '与X 不重合，知AB AC ≠． 不妨设AB AC >，如图18-13，设圆Γ与AC 、AB 分别切于点E 、F ，且设直线FE 与直线BC 交于点K ，则K 是点A 关于圆Γ的极线FE 上的点，由性质1，知A 也是点K 关于圆Γ的极线上的点． 又点D 在点K 关于圆Γ的极线上，所以，点K 关于圆Γ的极线为AD ．K 'KFD 'X NPEQCBA图18-13同理，设直线D N '与BC 交于点K '，则K '关于圆Γ的极线为DX ．由于AD 与DX 为同一条直线，因此，K '重合于K ．注意到B 、C 、D 、K 为调和点列，且90D ND '=︒∠，由调和点列的性质，知ND 平分BNC ∠． 设NB 、NC 分别与圆Γ交于点P ，Q ，则D 为弧PQ 的中点，于是PQ BC ∥．由XNP PQN BCN ==∠∠∠，知XN 与BCN △的外接圆切于点N ．从而，BCN △的外接圆与圆Γ切于点N ．例5 （1989年IMO30预选题）证明：双心四边形（既有外接圆，又有内切圆的四边形）的两个圆心与其对角线的交点共线．证明 如图18-14，设四边形ABCD 内接于O ，外切于I ，对角线AC 与BD 交于点G ，且I 分别与AB 、BC 、CD 、DA 切于点S 、T 、U 、V ，由牛顿定理，知SU 与TV 也交于点G ．QA图18-14若四边形ABCD 为梯形，则结论显然成立，三点共线于两底中点的连线．若四边形ABCD 不为梯形，则可设直线AB 与CD 交于点P ．直线AD 与BC 交于点Q ．于是，直线PQ 是点G 关于O 的极线．对于I 来说，直线SV 的极点为P ，直线TV 的极点为Q ，直线PQ 是点G 关于I 的极线．因此，由推论4，知OG PQ ⊥，IG PQ ⊥．故O 、I 、G 三点共线．例6 （2009年中国国家队选拔赛题）设D 是ABC △的边BC 上一点，满足CAD CBA =∠∠．O 经过B 、D ，并分别与线段AB 、AD 交于点E 、F ，BF 与DE 交于点G ，M 是AG 的中点．求证：CM ⊥AO ． 证法1 如图18-15，联结EF 并延长交BC 于点P ，设直线GP 分别交AD 、直线AC 于点K ，L ，则由推论4知GL AO ⊥． ①OLPM G E F NBK D CI A图18-15又GP 是点A 关于O 的极线，则由性质4， 知A F A DA F D K A D F K F K D K=⇔⋅=⋅ ()()AK DK AK AF =+-2()AF DK AK AK AF DK ⇔⋅=-+ ()AK FK DK AK DF =⋅+=⋅ 2AF DK AK DF ⇔⋅=⋅．注意到B 、D 、F 、E 共圆，有CAD CBA DBA EFA ===∠∠∠∠，从而知直线EFP ∥直线ACL ，即有 对ADC △及截线KPL 应用梅涅劳斯定理，有1AL CP DK LC PD DA⋅⋅=． ④ 将②、③代入④式得2ALLC=．注意到2AG AM =，即知MC 是AGL △的中位线． 于是MC GL ∥．注意到①，故知CM AO ⊥．证法2 如图18-15，同证法1有GP AO ⊥．①及EP AC ∥有NP NTPC TA=． ⑤ 由性质8，知A 、G 调和分割TN ， 即T G N GA G A TA T A N A T-=⇔ 2NGAT NG NG AG=⇒⋅+()AG NG AG AT =+-2NT NGMG TN TA GM=⋅⇔=． ⑥ 由⑤、⑥有NP NGPC GM=，从而有GP MC ∥． 再注意到①，故知CM AO ⊥． 例7 （《数学通报》2011(2)数学问题1892）如图18-16，过O 外一点P ，作O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，再任意引O 的两条割线PCD 、PEF ，DE 与CF 相交于Q 点，AE 与BC 相交于M 点，AF 与BD 相交于N 点，AE 交CD 、CF 分别于G 、H 两点，BC 交EF 、ED 分别于I 、K 两点，AF 交CD 、FD 分别于X 、Y 两点，BD 交EF 、CF 分别于U 、V 两点．求证：(1)A 、Q 、B 三点共线；(2)G 、Q 、U 三点共线，X 、Q 、I 三点共线；(3)Y 、H 、P 三点共线，V 、K 、P 三点共线；(4)N 、Q 、M 、P 四点共线．W图18-16证明 (1)参见图18-6(1)，由性质5，即知A 、Q 、B 三点共线．(2)设直线AE 与直线DB 交于点R ，由性质5，知点R 在点Q 关于O 的极线上．设直线UQ 交点Q 关于O 的极线PR 于点W ，交直线AE 于点1G ，则对过点Q 的三条直线AB 、DE 、UQ 应用性质8，知W 、Q 、1G 、U 成调和点列；又设直线UQ 与直线CD 交于点2G ，则对过点Q 的三条直线AB 、CF 、UQ 应用性质8，知W 、Q ；2G 、U 成调和点列．于是，知点1G 、2G 重合于点G ．故G 、Q 、U 三点共线．同理，X 、Q 、I 三点共线．(3)设直线PY 交点P 关于O 的极线AB 于点T ，交AE 于点1H ，交CF 于2H ，分别对过点P 的三条直线PA 、PEF 、PY 及PCD 、PEF 、PY 应用性质8，则知P 、T 、1H 、Y 及P 、T 、2H 、Y 均为调和点列．于是，知点1H 、2H 重合于点H ．故Y 、H 、P 三点共线．同理，V 、K 、P 三点共线． (4)设直线NQ 交点Q 关于O 的极线RP 于点P '，交AE 于点1M ，交CB 于点2M ，对过点Q 的三条直线AB 、CF 、DE 应用性质8，知P '、Q 、1M 、N 及P '、Q 、2M 、N 分别为调和点列．于是，知1M 、2M 重合于点M ，即知M 、Q 、N 三点共线． 同理，P 、M 、N 三点共线． 故N 、Q 、M 、P 四点共线．练习十八1．设A 、B 、C 、D 是一圆上的四点．证明：如果圆在A 、B 两点的两条切线的交点在直线CD 上，则圆在C 、D 两点的两条切线的交点在直线AB 上．2．过O 内一点M 任作非直径的两弦AB 、CD ．设A 、B 两点的两条切线交于点P ，在C 、D 两点处的两条切线交于点Q ．求证：OM PQ ⊥．3．设P 、Q 是O 外两点，分别过P 、Q 作O 的切线PA 、PB 、QC 、QD ，其中A 、B 、C 、D 为切点．直线PA 与QC 交于点E ，直线PB 与QD 交于点F ，圆心O 在直线PQ 上的射影为M ．求证：OM 平分EMF ∠．4．设圆Γ分别与四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 切于点P 、Q 、R 、S ．直线AR 与圆Γ的另一交点为E ，且PE QR ∥．求证：BEQ RES =∠∠．5．设四边形ABCD 内接于O ，直线AB 与CD 交于点P ，直线BC 与直线AD 交于点Q ．过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E ，AE 的中点为M ．求证：OP QM ⊥．6．（2008年中国国家队选拔赛题）ABC>，它的内切圆切BC边于点E，联结AE交内切△中，AB AC圆于点D（不同于点E），在线段AE取异于点E的一点F，使得CE CF=，联结CF交延长交BD于点G．求证：CF FG=．7．以锐角VAB△的AB边为直径作半圆O交VA于点E，交VB于点D．过V作半圆O的切线VT、VS，切点为T、S，联结TS交VO于点G．过G作半圆O的割线交O于P、Q两点，则VO平分PVQ∠．8．ABC△的内切圆分别切BC、CA、AB边于点D、E、F，联结AD交内切圆于点K，过K作内切圆的切线分别与直线DF、DE交于点G、H．求证：直线AD、BH、CG共点．9．设I是ABC△内切圆的交点作内切圆的切线交直线BC于点D．类似地△的内心，过线段IA与ABC得到点E、F．求证：D、E、F三点共线．10．设ABCD为圆Γ的外切四边形，对角线AC交圆Γ于E、F两点．求证：圆Γ在E、F两点的切线与另一条对角线BD共点或互相平行．。

高中联赛难度几何 100 题及其解答解答人：文武光华数学工作室 田开斌第一题、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于 A 、B ，PCD 为⊙O 一条割线，CO 交⊙O 于另一点 E ，AC 、EB 交于点 F ，证明：CD 平分∠ADF。

F证明方法一：如图，延长 ED 交 CA 于 K ，根据条件知四边形 CADB 为调和四边形，故ED 、EC 、EA 、EB 构成一组调和线束，进而知 K 、C 、A 、F 构成一组调和点列。

而 KD⊥CD， 故 CD 平分∠ADF 。

PF证明方法二：如图，连结 OA 、OB 、AB 、BC ，因为∠AFB = ∠ACE − ∠BEC =∠AOE−∠BOC=180°−∠AOC−∠BOC=∠APC，且PA = PB ，故点 P 为△ABF 的外心。

于是知222∠PFA = ∠PAC = ∠PDA ，所以 P 、A 、D 、F 四点共圆。

又PA = PF ，故 CD 平分∠ADF。

F第二题、如图，AB 为⊙O直径，C、D 为⊙O上两点，且在 AB 同侧，⊙O在C、D 两处的切线交于点 E，BC、AD 交于点 F，EF 交AB 于M，证明：E、C、M、D 四点共圆。

B证明：如图，延长 AC、BD 交于点 K，则BC⊥AK，AD⊥BK，从而知 F 为△KAB 的垂心。

又在圆内接六边形 CCADDB 中使用帕斯卡定理，知 K、E、F 三点共线，从而KM⊥AB于M。

于是知∠CMF = ∠CAF = ∠CDE，所以 E、C、M、D 四点共圆。

B第三题、如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上两点，且在 AB 同侧，⊙O 在 C 、D 两处的切线交于点 E ，BC 、AD 交于点 F ，EB 交⊙O 于点 G ，证明：∠CEF = 2∠AGF 。

B证明：如图，根据条件知∠CFD =AB +CD =(180°−A C )+(180°−BD ) = ∠CAB + ∠DBA =22∠ECF + ∠EDF ，且EC = ED ，故点 E 为△CFD 外心。

2021-2022年高中数学竞赛辅导资料《直线和圆，圆锥曲线》一．直线与圆1,两点间的距离公式:设,则12PP =; 2,线段的定比分点坐标公式:设,点分的比为,则 , 3,直线方程的各种形式(1),点斜式:; (2),斜截式:; (3),两点式: (4),截距式: ;(5),一般式:不同为零);(6)参数方程:为参数,为倾斜角,表示点与之间的距离) 4,两直线的位置关系设11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=(或111222:,:l y k x b l y k x b =+=+).则 (1),且(或且); (2),(或).5,两直线的到角公式与夹角公式: (1),到角公式:到的到角为,则,(); (2),夹角公式:与的夹角为,则,(). 6,点到直线的距离:. 7,圆的方程(1),标准方程:,其中为圆心坐标,R 为圆半径;(2),一般方程:220x y Dx Ey F ++++=,其中,圆心为, 半径为.(3),参数方程: ,其中圆心为,半径为R. 二．圆锥曲线椭圆 双曲线 抛物线定义 与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定 直线的距离相等标准方程(或), (或) (或) 参数方程(或) (或) (或)焦点或或或正数a,b,c,p的关系() ()离心率准线(或) (或) (或) 渐近线(或)焦半径(或)(,),(点在左或下支)(或)统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值的点的集合,(注:焦点要与对应准线配对使用)三．解题思想与方法导引.1,函数与方程思想2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理例题讲解1．在平面直角坐标系中,方程为相异正数),所表示的曲线是（）2．平面上整点(坐标为整数的点)到直线的距离中的最小值是（）A, B, C, D,3．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线,若此直线与抛物线交于A,B两点,弦AB的中垂线与轴交于P点,则线段PF的长等于（）A, B, C, D,4．若椭圆上一点P到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P点坐标为（）A, B, C, D,5．过椭圆中心的弦AB,是右焦点,则的最大面积为（）A, B, C, D,6．已知P为双曲线上的任意一点,为焦点,若,则（）A, B, C, D,7．给定点,已知直线与线段PQ(包括P,Q在内)有公共点,则的取值范围是.8．过定点作直线交轴于Q点,过Q点作交轴于T点,延长TQ至P点,使,则P点的轨迹方程是.9．已知椭圆与直线交于M,N两点,且,(为原点),当椭圆的离心率时,椭圆长轴长的取值范围是.10．已知是椭圆的两个焦点,M是椭圆上一点,M到轴的距离为,且是和的等比中项,则的值等于.11．已知点A为双曲线的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,是等边三角形,则的面积等于.12．若椭圆()和双曲线有相同的焦点,P为两条曲线的一个交点,则的值为.13．设椭圆有一个内接,射线OP与轴正向成角,直线AP,BP的斜率适合条件.(1),求证:过A,B的直线的斜率是定值;(2),求面积的最大值.14．已知为常数且),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得的面积恒为36.设的重心为G,点M在射线OG上,且满足.(1),求的最小值;(2),求动点M的轨迹方程.15．过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.(1),求PQ中点R的轨迹L的方程;(2),证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.课后练习1．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积是（A）（B）（C）（D）2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（A）（B）（C）（D）3．若实数x, y满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x2+y2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) (D)4．直线椭圆相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点P共有(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个5．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是A B6．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C．D．7．方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线8．在椭圆中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。

从Apollonius 圆到极线三角形我们知道，到一点的距离为定长的点的轨迹是圆，到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭 圆，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线， 那么到两定点距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？求到两点距离之比为定值的点的轨迹。

(为方便，我们设比值为2.)我们可以用解析法做：设各点坐标如下 A(—c,0), B(c,0), P(x, y),则....... .............. .. ，一 、一 AP 一 我们当然也可以用几何法解。

如图，设一=2,则我们首先在AB 直线上确定满足此条件的BPAP 1•=2,知PR,PP 2分别为L PAB 中BPPR _L PR ,即P 点的轨迹为以RR 为直径的圆。

如图所示。

一般的，至V 两定点距离之比为定值k( k>0且k#1 )的点的轨迹为圆，我们称为Apolonius圆，为古希腊数学家 Apolonius 最先提出并解决。

他在许多问题中有重要应用。

例1.如图，过圆 O 外一点P 作其切线 PA PB, OP 与圆和AB 分别交于I 、M , DE 为过M 的任意弦。

求证：I 为LPDE 内心。

AP BP=2, ,..(x - c)2 y 2225C 2 2 4C 2 、” .. 、 = 2j(x —c) + y ,,■. (x ——) + y =(一),这点的轨迹为圆心, 3 3,4c、2 点，显然内部外部各有一点满足条件AP i BP iAP 2 BP 2=2,然后设P 点为轨迹上一点，则连接AP iPR,PP 2 ,由—BP iP 的内外角平分线，显然分析：当然要用内心定义证明I为角分线交点。

证法1:由垂直和射影定理及相交弦定理有：2EM*MD= BM =OM*MP，故PDOE四点共圆，又OD=OE,贝U 21=22，即直线PD、PE 关于PO对称，则截弧相等，即DI平分ZPDE，则I为PDE内心，证毕。

证法2：容易发现本题本质即为Apollonius圆。

适用标准从交比到调解点列到Apollonius圆到极线极点2010 年 10 月 17 日结束的2010 年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形ABC的外心为O，K 是边 BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段 AK 延伸线上一点，直线BD 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M ．求证：若 OK ⊥ MN ，则 ABDC四点共圆．AOCKBDMN图 1此题很有难度，参照答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常有而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中层见迭出。

本文拟系统的介绍交比、调解点列、完整四边形、 Apollonius 圆、极线等射影几何的重要观点及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭露此类问题的前因后果，并在文中给出上题的一种简短了然的直接证明。

知识介绍定义 1线束和点列的交比：如图2，共点于O 的四条直线被随意直线所截的有向线段比AC / BC称为线束 OA 、 OC、 OB 、OD 或点列 ACBD 的交比。

[1]AD BD定理 1线束的交比与所截直线没关。

ODBA C图 2证明：本文用 [ABC] 表示 ABC面积，则AC/BC[ AOC] / [ BOC]AD BD[ AOD] [ BOD]CO sin AOC CO sin COBDO sin AOD /BODDO sinsin AOC / sin COB sin AOD sinBOD进而可知线束交比与所截直线没关。

AC BC 定义 2调解线束与调解点列： 交比为 -1，即的线束称为调解线束，点列称为ADBD调解点列。

明显调解线束与调解点列是等价的， 即调解线束被随意直线截得的四点均为调解点列，反之，调解点列对随意一点的线束为调解线束。

定理 2 调解点列常有形式： （O 为 CD 中点）2 1 1（1）、ADABAC（ 2）、OC 2OB OA * (3) 、 AC*AD=AB*AO(4) 、 AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略。

极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)近3年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷卷，第22题,调和线束平行截取中点证明中点问定点2022年新高考I 卷，第21题调和线束平行截取中点已知中点与平行求定点2020年全国I 卷，第22题自极三角形问题证明直线过定点题型解读【题型1】极点极线【题型2】调和点列模型【题型3】自极三点形与a 2模型【题型4】斜率成等差模型【题型5】调和线束，平行截中点高考真题再现1(2023年全国乙卷)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）y 29+x 24=1（2）0,3【高观点简析】记B -2,3 ，点B 的极线y 3-x2=1过点A ，设极线与PQ 交于点D ，则B ，P ，D ，Q 为调和点列，AB ，AP ，AD ，AQ 为调和线束，而AB 平行y 轴，故MN 的中点为y 轴于极线的交点【详解】(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3 x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 .2(2020全国高考Ⅰ卷20)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；x 29+y 2=1(2)证明：直线CD 过定点.32,0 【高观点】延长CB ,AD 交于点Q ，AB ∩CD =E ，则△EPG 为自极三角形，故x =6为E 点的极线，则E 为32,0【详解】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB=a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)[方法一]：设而求点法证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y9x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9.同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32 所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．[方法二]【最优解】：数形结合二次曲线系方程设P (6,t )，则直线PA 的方程为y =t9(x +3)，即tx -9y +3t =0．同理，可求直线PB 的方程为tx -3y -3t =0．则经过直线PA 和直线PB 的方程可写为(tx -9y +3t )(tx -3y -3t )=0．可化为t 2x 2-9 +27y 2-12txy +18ty =0．④易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有x 2-9=-9y 2，代入④式可得27-9t 2y 2-12txy +18ty =0．故y 27-9t 2 y -12tx +18t =0，可得y =0或27-9t 2 y -12tx +18t =0．其中y =0表示直线AB ，则27-9t 2 y -12tx +18t =0表示直线CD ．令y =0，得x =32，即直线CD 恒过点32,0 ．3(2022·全国乙卷高考真题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1 两点．(1)求E 的方程；y 24+x 23=1(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．答案：(0,-2)【高观点简析】AB 为P 所对应的极线，故P ，M ，C ，N 四点成调和点列，故AP ，AM ，AC ，AN 四条线成调和线束，因为直线HM 平行AP ，且T 为HM 中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H 点必然在直线AN 上，故直线HN 过定(0,-2)【详解】(I )解：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．(II )证法一：定点为0,-2 ，证明如下：点P 1,-2 对应的极线为1⋅x 3+-2 y 4=1，即y =23x -2，即为直线AB ，则AP ,AB ;AM ,AN 为调和线束，过M 作MH ⎳AP ，交AB ,AN 于T ,H ，由调和性质可知T 为MH 中点，故直线HN 过定点0,-2 ．证法二：A 0,-2 ,B 32,-1 ，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263．求得HN方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y 12+3,y 1 ,H 3y 1+6-x 1,y 1 ，可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0，显然成立．综上，可得直线HN 过定点0,-2 ．高考模拟·新题速递【题型1】极点极线二次曲线的极点极线(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.1过点（3，1）作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 、B 则直线AB 的方程为()A.2x +y −3=0B.2x −y −3=0C.4x −y −3=0D.4x +y −3=0解析：直线AB 是点（3，1）对应的极线，则方程为3-1 x -1 +1×y =1，即2x +y -3=0．故选A ．2已知点P 为2x +y =4上一动点．过点P 作椭圆x 24+y 23=1的两条切线，切点分别A 、B ，当点P 运动时，直线AB 过定点，该定点的坐标是．解析：设点P 的坐标是（m ,−2m +4），则切点弦AB 的方程为mx4+(−2m +4)y 3=1，化简得(3x −8y )m =12−16y ，令3x −8y =12−16y =0，可得x =2,y =34，故直线AB 过定点2，34．3(2024·广东湛江·一模)已知点P 为直线x -y -3=0上的动点，过P 作圆O :x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为A ，B ，若点M 为圆E :x +2 2+y -3 2=4上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最大值为．【答案】【分析】根据意义可设P x 0,y 0 ，求出直线AB 的方程为x 0x +y -3y -3=0，且恒过定点Q 1,-1 ，所以点M 到直线AB 的距离的最大值为QE +R =7.【详解】设P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则满足x 0-y 0-3=0，x 12+y 12=3，x 22+y 22=3；易知圆O :x 2+y 2=3的圆心为O 0,0 ，半径r =3；圆E :x +2 2+y -3 2=4的圆心为E -2,3 ，半径R =2，如下图所示：易知OA ⏊PA ,OB ⏊PB ，所以OA ⋅PA=0，即x 1x 1-x 0 +y 1y 1-y 0 =0，整理可得x 1x 0+y 1y 0-3=0；同理可得x 2x 0+y 2y 0-3=0，即A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是方程x 0x +y 0y -3=0的两组解，可得直线AB 的方程为x 0x +y 0y -3=0，联立x 0-y 0-3=0，即x 0x +y -3y -3=0；令x +y =0-3y -3=0，可得x =1y =-1，即x =1,y =-1时等式x 0x +y -3y -3=0与x 0无关，所以直线AB 恒过定点Q 1,-1 ，可得QE =-2-12+3+1 2=5；又Q 在圆O 内，当AB ⏊QE ，且点M 为QE 的延长线与圆E 的交点时，点M 到直线AB 的距离最大；最大值为QE +R =5+2=74(2024·湖南衡阳·二模)(多选)已知圆C :x 2+y 2=4,P 是直线l :x +y -6=0上一动点，过点P 作直线PA ,PB 分别与圆C 相切于点A ,B ，则()A.圆C 上恰有一个点到l 的距离为22B.直线AB 恒过点23,23C.AB 的最小值是473D.四边形ACBP 面积的最小值为214【答案】BCD【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A 错误；求出直线AB 的方程可得其恒过点23,23 ，利用弦长公式可求得AB 的最小值是473，可得BC 正确；进而求得四边形ACBP 面积的最小值为214，即D 正确.【详解】易知圆心C 0,0 ，半径r =2，如下图所示：对于A ，圆心0,0 到直线l :x +y -6=0的距离为d =62=32，可得圆C 上的点到直线l 距离的最小值为32-2<22,圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32+2>22，所以圆C 上恰有两个点到l 的距离为22，即A 错误；对于B ，设P t ,6-t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，可得x 21+y 21=4,x 22+y 22=4；易知PA =x 1-t ,y 1-6+t ,CA =x 1,y 1 ，由PA ⋅CA =x 1x 1-t +y 1y 1-6+t =0，整理可得tx 1+6-t y 1=4，同理可得tx 2+6-t y 2=4，即可知A ,B 两点在直线tx +6-t y =4上，所以直线AB 的方程为tx +6-t y =4，即t x -y +6y -4=0，令x -y =06y -4=0 ，解得x =23y =23，所以直线AB 恒过定点23,23，即B 正确；对于C ，由直线AB 恒过定点23,23，当点23,23与圆心C 0,0的连线垂直于AB 时，AB 的值最小，点23,23 与圆心C 0,0 之间的距离为d 1=223，所以AB min =2r 2-d 21=473，故C 正确；对于D ，四边形ACBP 的面积为PA CA =2PA ，根据切线长公式可知PA =PC2-r 2=PC2-4，当PC 最小值，PA 最小，，所以，故四边形的面积为214，即D 正确；故选：BCD【题型2】调和点列模型一、调和点列的充要条件如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)AC BC =AD BD ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD 二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点P 作任意直线，与椭圆交于M ,N ，与极线交点M 则点M ,D ,N ,P 成调和点列，若点P 的极线通过另一点D ，则D 的极线也通过P ．一般称P 、D 互为共轭点．1(2024江南十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x 轴的交点为1,0 ，其中一条渐近线的倾斜角为π3.(1)求C 的标准方程；x 2-y23=1(2)过点T 2,0 作直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，在线段AB 上取一点E 满足AE ⋅TB =EB ⋅AT ，证明：点E 在一条定直线上.【答案】x =12【高观点-简析】显然E 在T 的极线上，故E 点轨迹为T 的极线x =12【详解】(1)根据题意，设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1，由题知a =1，b a =tan π3=3，可得b =3；所以双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)易知T 2,0 为双曲线的右焦点，如下图所示：由题知直线l 斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为k 0≤k ≤3 ，故直线的方程为y =k x -2 ，代入双曲线方程得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由韦达定理有x 1+x 2=-4k 23-k 2，x 1x 2=-4k 2+33-k 2，且x 1≤-1，1≤x 2<2，设E x 0,y 0 ，点E 在线段AB 上，所以x 1<x 0<x 2由AE ⋅TB =EB ⋅AT 可得1+k 2x 0-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2x 2-x 0 ⋅1+k 22-x 1 化简得4x 0-2+x 0 x 1+x 2 +2x 1x 2=0，代入x 1+x 2和x 1x 2并化简可得x 0=12，即存在点E 满足条件，并且在定直线x =12上.2(安徽高考)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1(-2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |∙|QB |=|AQ |∙|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．解析：(1)由题意得c 2=21a 2+1b 2=1c 2=a 2−b 2，解得a 2=4,b 2=2，所求椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)解法：已知PB PA =QBQA，说明点P ,Q 关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q 在点P 对应的极线上，此极线方程为4⋅x4+1⋅y 2=1，化简得2x +y −2=0．故点Q 总在直线2x +y −2=0．3已知F 1、F 2分别为椭圆C 1:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53.(1)求椭圆C 1的方程;y 24+x 23=1(2)已知点P (1,3)和圆O :x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1).求证:点Q 总在某定直线上. 答案：x +3y =3【高观点-简析】由题可知AP =λBP ，即APBP =AQ BQ，故点Q 在P 点的极线上【详解】(1)设M x 0，y 0 ，因为点M 在抛物线C 2上，且|MF 1|=53，所以x 02=4y 0y 0+1=53 ，解得x 0=-263y 0=23，又点M 在抛物线C 1上，所以232a2+-2632b2=1，且c =1，即b 2=a 2-1，解得a 2=4,b 2=3，所以椭圆C 1的方程y 24+x 23=1；(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，因为AP =-λPB，所以1-x 1，3-y 1 =-λx 2-1,y 2-3 ，即有x 1-λx 2=1-λ，1 y 1-λy 2=31-λ ，2，又AQ =λQB ，所以x -x 1，y -y 1 =λx 2-x ,y 2-y ，即有x 1+λx 2=x 1+λ ，3 y 1+λy 2=y 1+λ ，4，所以1 ×3 +2 ×4 得：x 12+y 12-λ2x 22+y 22 =x +3y 1-λ2，又点A 、B 在圆x 2+y 2=3上，所以x 12+y 12=3，x 22+y 22=3，又λ≠±1，所以x +3y =3，故点Q 总在直线x +3y =3上．【题型3】自极三点形与a 2模型如图, 设P 是不在圆雉曲线上的一点, 过P 点引两条割线依次交二次曲线于E ,F ,G ,H 四点, 连接对角线EH ,FG 交于N , 连接对边EG ,FH 交于M , 则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆雉曲线上的点, 则过P 点的切线即为极线.同理, PM 为点N 对应的极线, PN 为点M 所对应的极线. 因而将△MNP 称为自极三点形. 设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点, 则PA , PB 恰为圆锥曲线的两条切线.从直线x =t 上任意一点P 向椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右顶点A 1,A 2引两条割线PA 1,PA 2与椭圆交于M ,N 两点，则直线MN 恒过定点a 2t,0 ．2024杭州二模1已知A ,B 是椭圆E :x 24+y 2=1的左，右顶点，点M m ,0 m >0 与椭圆上的点的距离的最小值为1．(1)求点M 的坐标．(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于C ,D 两点(与A ,B 不重合)，连接AC ，BD 交于点G ．(ⅰ)证明：点G 在定直线上【答案】（1）3,0 （2）x =43【高观点-简析】如图，椭圆内接四边形ABCD ，连接2组对边与对角线交点，得△EGM 为自极三角形，故EG 在M 点的极线上，则G 点轨迹为x =43【详解】解(1)设P x 0,y 0 是椭圆上一点，则x 02+4y 02=4．因为PM =m -x 02+y 20=34x 0-43m 2-13m 2+1,-2≤x 0≤2 ．①若0<m ≤32,PM min =1-13m 2=1，解得m =0(舍去)．②若m >32,PM min =34⋅4-4m +m 2+1=1，解得m =1(舍去)或m =3．所以M 点的坐标位3,0 ．(2)(ⅰ)设直线l :x =ty +3,C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ．由x =ty +3x 24+y 2=1，得t 2+4 y 2+6ty +5=0．所以y 1+y 2=-6t t 2+4,y 1y 2=5t 2+4．所以y 1+y 2=-65ty 1y 2①由Δ=16t 2-80>0，得t >5或t <-5．易知直线AC 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ②直线BD 的方程为y =y 2x 2-2x +2 ③联立②③，消去y ，得x +2x -2=x 1+2 y 2x 2-2 y 1=ty 1+5 y 2ty 2+1 y 1=ty 1y 2+5y 2ty 1y 2+y 1④联立①④，消去ty 1y 2，则x +2x -2=-56y 1+y 2 +5y 2-56y 1+y 2 +y 1=-5．解得x =43，即点G 在直线x =43上．2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；x 24+y 2=1(2)已知A 1,A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ,A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ,N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】(4,0)【高观点解析】椭圆内接四边形有自极三角形模型，故MN 过x 轴上一定点，该定点的极线为x =1，故定点为(4,0)【详解】【详解】(1)椭圆的一个焦点F 1(-3,0)，则另一个焦点为F 2(3,0)，由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，所以32--3 2+1342+32-32+1342=2a ，解得a=2.又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)设Q (1,t ),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则直线A 1Q :y =t 3(x +2)，与x 24+y 2=1联立可得4t 2+9 x 2+16t 2x +16t 2-36=0，所以x A 1+x M =-16t 24t 2+9，所以x M =-16t 24t 2+9-x A 1=-8t 2+184t 2+9，所以y M =t 3-8t 2+184t 2+9+2 =12t 4t 2+9，所以M -8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9，又直线A 2Q :y =-t (x -2)，与x 24+y 2=1联立可得4t 2+1 x 2-16t 2x +16t 2-4=0，所以x A 2+x N =16t 24t 2+1，所以x N =16t 24t 2+1-x A 2=8t 2-24t 2+1，所以y N =-t 8t 2-24t 2+1-2 =4t 4t 2+1，所以N 8t 2-24t 2+1,4t4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9=-2t4t 2+3(x -4)所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为(4,0).深圳二模1已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 1,32 ，且焦距F 1F 2 =23，线段AB ,CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；x 24+y 2=1(2)若N (s ,t )是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ 经过定点．①s =1,t ≠±32，直线NA ,NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ；4,0②t =2,s ∈R ，直线NC ,ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．0,12 【高观点-简析】(2)如图，椭圆内接四边形ABQP ，连接2组对边，由自极三角形模型可知，N 点轨迹为M 点的极线，故M 4,0(3)如图，N 点的轨迹为M 点的极线方程y =2，故M 点坐标为0,12【详解】(1)由已知，c =3，点M 1,32 在椭圆上，所以1a 2+34b2=1，又因为a 2-b 2=c 2，所以a 2=4,b 2=1，所以椭圆的方程为：a 2=4,b 2=1.(2)选①，则N (1,t ),A -2,0 ,B 2,0 ，设P x P ,y P ,Q x Q ,y Q ，k NA =t 1+2=t 3,k NB =t 1-2=-t ,所以l NA :y =t3x +2 ,l NB :y =-t x -2 ,y =t 3x +2x 24+y 2=1消去y 得：9+4t 2 x 2+16t 2x +16t 2-36=0，Δ=256t 4-49+4t 2 16t 2-36 =362>0所以-2x P =16t 2-369+4t 2，所以x P =-8t 2+189+4t 2，则y P =12t9+4t 2，所以P -8t 2+189+4t 2,12t 9+4t 2，y =-t x -2x 24+y 2=1，消去y 得：1+4t 2 x 2-16t 2x +16t 2-4=0，Δ=256t 4-41+4t 2 16t 2-4 =16>0，所以2xQ =16t 2-41+4t 2，所以x Q =8t 2-21+4t 2，则y Q=4t 1+4t 2，所以Q 8t 2-21+4t 2,4t 1+4t 2，所以k PQ =12t 9+4t 2-4t1+4t 2-8t 2+189+4t 2-8t 2-21+4t2=32t 3-24t 36-64t 4=-2t 3+4t 2，所以直线PQ 的方程为：y -4t 1+4t 2=-2t 3+4t 2x -8t 2-21+4t 2，所以16y 4+8x -32 t 3+16yt 2+2x -8 t +3y =0，所以y =0,x =4，故直线PQ 恒过定点4,0 .选②，则N (s ,2),C 0,1 ,D 0,-1 ，设P x P ,y P ,Q x Q ,y Q ，k NC =2-1s =1s ,k ND =2+1s =3s ,所以l NC :y =1s x +1,l ND :y =3s x -1,y =1s x +1x24+y 2=1消去y 得：4+s 2 y 2+2s 2y +s 2-4=0，Δ=4s 4-44+s 2 s 2-4 =64>0所以y P =s 2-4s 2+4，所以x P =-8s s 2+4，所以P -8s s 2+4,s 2-4s 2+4同理：y Q =36-s 2s 2+36，所以x Q =24s s 2+36，所以Q 24s s 2+36,36-s 2s 2+36k PQ =36-s 2s 2+36-s 2-4s 2+424s s 2+36--8ss 2+4=s 2+12 ⋅12-s 216s s 2+12=12-s 216s所以直线PQ 的方程为：y -s 2-4s 2+4=12-s 216s x +8ss 2+4令x =0，则y =12-s 2+2s 2-82s 2+4 =s 2+42s 2+4=12故直线PQ 恒过定点0,12.2023广州白云区高三统考1已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F 2,0 ，直线y =x -1与其相交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为-12．(1)求双曲线的方程；(2)设A 1，A 2为双曲线实轴的两个端点，若过F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线A 1M 与直线A 2N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【高观点简析】由自极三角形模型可知，Q 点在点F 的极线上运动，故Q 点轨迹为x =a 2c =12【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)交点Q 在定直线x =12上.【详解】(1)设直线l 的方程为y =x +a ，联立y =x +ax 2a 2-y2b2=1，得y =2ab 2b 2-a 2，又e =ca=2，c 2=a 2+b 2，代入上式得y =3a ，即y B =3a ，∴S △A 1BF =12a +c ⋅3a =92，解得a =1，∴b =3，c =2，∴双曲线的方程为x 2-y 23=1．(2)当直线l 点的斜率不存在时，M 2,3 ，N 2,-3 ，直线A 1M 的方程为y =x +1，直线A 2N 的方程为y =-3x +3，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得的Q 12,32，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k x -2 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立y =k x -2x 2-y 23=1得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2-3=0，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴直线A 1M 的方程为y =y 1x 1+1x +1 ，直线A 2N 的方程为y =y 2x 2-1x -1 ，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得：x +1x -1=y 2x 1+1 y 1x 2-1 ，两边平方得x +1x -1 2=y 22x1+1 2y 21x 2-1 2，又M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 满足x 2-y 23=1，∴y 22x 1+1 2y 21x 2-1 2=3x 22-1 x 1+1 23x 21-1 x 2-1 2=x 2+1 x 1+1x 1-1 x 2-1 =x 1x 2+x 1+x 2 +1x 1x 2-x 1+x 2 +1=4k 2+3k 2-3+4k 2k 2-3+14k 2+3k 2-3-4k 2k 2-3+1=4k 2+3+4k 2+k 2-34k 2+3-4k 2+k 2-3=9，∴x +1x -12=9，∴x =12，或x =2，(舍去)综上，Q 在定直线上，且定直线方程为x =12．2(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 25=1的左右顶点为A ,B ，右顶点为F ，设过点T (t ,m )的直线TA ,TB 与椭圆分别交于点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，其中m >0,y 1>0,y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2-PB 2=4, 求点P 的轨迹；(2)设x 1=2,x 2=13，求点T 的坐标；(3)设t =9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.(其坐标与m 无关)解析：方法一(高考标准答案1)：直线AT :y =m 12(x +3)，直线BT :y =m6(x -3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立AT 与椭圆，则y 1=m 12(x 1+3)x 219+y 215=1得x 1=240-3m 280+m2y 1=40m 80+m 2，即M 240-3m 280+m 2,40m 80+m 2 ，同理N 3m 2-6020+m 2,-20m20+m 2★处理一(特殊+验证)：当x 1=x 2(MN 垂直x 轴)，解得m =210，MN 方程为x =1，过定点D (1,0)；当x 1≠x 2，k MD =40m80+m 2240-3m 280+m 2-1=10m 40-m 2,k ND =-20m20+m 23m 2-6020+m2-1=10m 40-m 2，及M ,D ,N 三点共线，即M ,N 过定点D (1,0)处理二(硬解直线方程)：由★得MN 方程为：x -240-3m 280+m 2y -40m 80+m 2=240-3m 280+m 2-3m 2-6020+m 240m 80+m 2--20m 20+m2 ，令y =0，解得x =1，即M ,N 过定点(1,0)方法二(多元未知数整体处理此法适用于过椭圆两顶点问题)：直线AT :y =m 12(x +3)，直线BT :y =m6(x -3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，带入直线AT ,BT 消去m 得y 1x 1+3×2=y 2x 2-3①由椭圆x 29+y 25=1可得：x 2-9=-95y 2，即yx +3=-95⋅x -3yy x -3=-95⋅x +3y，带入①得-95⋅x 1-3y1×2=-95⋅x 2+3y 2，即x 1-3y 1×2=x 2+3y 2②，①可变形(取倒)为x 1+3y 1=x 2-3y 2×2③(②+③)/3得：x 1-1y 1=x 2-1y 2(对比直线两点式或与(1，0)斜率)，即M ,N 过定点(1,0)方法三(极点极线)：如图，点T 的轨迹方程为x =9，即1×x9+0×y 5=1，又AM ,BN 交点在x =9上，由此可知，D (1,0)为极点, x =9为对应的极线，即AB ,MN 交点为D (1,0)，即M ,N 过定点D (1,0)方法四(伸缩(仿射)变换+调和点列)：补充知识.(1)放射变换为另一专题(2)如图，在ΔABC 中，三条高交于点F ，高的垂足DE 交AF 于G ，则A ,G ,F ,H 成调和点列，即AGGF=AHFH本题证明：如图，可将椭圆x 29+y 25=1伸缩变换为x 2+y 2=9，因为∠AMB =∠ANB =90°，则B 为ΔATF 高的交点，由上述性质运用知A ,D ,B ,E 成调和点列，即AD DB =AE BE，设D (a ,0)，则a +33-a =126，解得a =1，即M ,N过定点D (1,0)方法五(二次曲线系)：补充：二次曲线系性质：若三个二次曲线系f 1(x ,y ),f 2(x ,y ),f 3(x ,y )过4个相同的点，则一定存在两实数λ,μ，使得λf 1(x ,y )+μf 2(x ,y )=f 3(x ,y ).(可根据六个单项式系数关系求解问题)本题证明：如图，本题过A ,M ,B ,N 四点的二次曲线有抛物线x 29+y 25=1；直线AM :12y -mx -3m =0和BN :6y -mx +3m =0；直线AB :y =0和直线MN :ax +by +c =0所以λy (ax +by +c )+μ(12y -mx -3m )(6y -mx +3m )=x 29+y 25-1，观察y 与xy 的系数有λc +18mμ=0λa -18mμ=0 ，则c =-a ，所以MN :by =a (1-x )，则M ,N 过定点D (1,0)点评：2010年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分，难度可想而知，但通过高观点(仿射变换/调和点列/二次曲线系/极点极线)分析，我们会发现原来如此“简单”(直接是结论的考察)，所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。

【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。

－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。