插值法的应用与比较
信科1302 万贤浩 13271038
1格朗日插值法
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起.
1.1拉格朗日插值多项式
图1
已知平面上四个点：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零.
对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差
))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.
对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：
),(00y x ,……,),(k k y x ,
其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值.
假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
)()(0
x l y x L j k
j j ∑==，
其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
)()
()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j k
j i i i
j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=
++--≠=∏ ， 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：
• 10)4(=f ， • 25.5)5(=f ， •
1)6(=f ，
要求)18(f 的值.
首先写出每个拉格朗日基本多项式：
())64)(54()
6)(5(0----=x x x l ；
())65)(45()
6)(4(1----=x x x l ；
())
56)(46()
5)(4(2----=
x x x l ；
然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：
)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=
)
56)(46()
5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯
=x x x x x x
)13628(4
12
+-=
x x ，
此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .
1.2插值多项式的存在性与唯一性
存在性
对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ， 而在其他点取值都是0.而多项式()∑==
k
j j
j x l
y x L 0
)(就可以满足
∑==++++==k
i j j j i y y x l y x L 0
000)()( ，
在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：
)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+- ，
它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ .由于已经假定i x 两两互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：
)
()
()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x l --------=--=++--∏
， 这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性
次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式
)())((10k x x x x x x --- 的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就一定不小于
1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以
021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.
1.3性质
