几种插值法的应用和比较
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数据插补的方法一、引言数据插补是一种常见的数据处理方法,用于填补缺失值或补全不完整的数据序列。
在实际应用中,由于各种原因(如传感器故障、网络异常等),数据可能会出现缺失或不完整的情况,这时候就需要使用数据插补方法来处理这些问题。
本文将介绍几种常见的数据插补方法,并对其优缺点进行分析和比较。
二、常见的数据插补方法1. 线性插值法线性插值法是最简单、最基础的数据插补方法之一。
它假设缺失值在两个已知数据点之间,且在这两个点之间变化是线性的。
具体地,设已知两个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$,则对于 $x_1 \leq x \leqx_2$ 的任意 $x$,可以通过以下公式计算其对应的 $y$ 值:$$y = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$$线性插值法简单易懂,计算速度快,但它假设变化是线性的,在某些情况下可能会产生较大误差。
2. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种多项式插值方法,它通过已知数据点构造一个多项式函数,再用该函数计算缺失值。
具体地,设已知 $n+1$ 个点$(x_0, y_0), (x_1, y_1), \cdots, (x_n, y_n)$,则可以构造一个 $n$ 次多项式函数:$$L(x) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$对于任意 $x$,都可以用 $L(x)$ 计算其对应的 $y$ 值。
拉格朗日插值法可以精确地拟合已知数据点,但当数据量较大时计算复杂度较高,并且容易产生龙格现象(即在插值区间两端出现震荡的现象)。
3. 样条插值法样条插值法是一种分段多项式插值方法,它将整个插值区间划分为若干小区间,在每个小区间内构造一个低次数的多项式函数。
具体地,在每个小区间内,设已知两个点 $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$,则可以构造一个三次样条函数:$$S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3$$要求 $S_i(x)$ 在 $[x_i, x_{i+1}]$ 上满足以下条件:- 在插值点处,$S_i(x_i) = y_i$,$S_{i}(x_{i+1})=y_{i+1}$;- 在插值点处,$S'_i(x_{i})=S'_{i-1}(x_{i})$,即两个相邻区间的导数相等;- 在插值点处,$S''_i(x_{i})=S''_{i-1}(x_{i})$,即两个相邻区间的二阶导数相等。
几种插值法的对比研究1插值法是一种常用的数据处理方法,特别在数字信号处理和数值计算中广泛应用。
在实际应用中,选择合适的插值方法对数据的良好处理有着重要的作用。
本文将对几种常用的插值方法进行对比研究。
1. 线性插值法线性插值法是最简单也是最常用的插值方法。
它假设函数在两个已知点之间是一条直线,根据该直线与自变量的位置,即可得到插值的函数值。
线性插值法的计算简便,适用于各种连续变化的函数,但是对曲率较大的函数,有时可能会出现较大的误差。
2. 多项式插值法多项式插值法是一种高效的插值方法。
它通过已知的数据点和插值点,构造一个多项式函数。
这个多项式函数与所需求函数一样,在插值点处取相同的函数值。
多项式插值法插值精度较高,但对于高次多项式的构造和计算,不仅容易出现数值不稳定的问题,而且计算量也比较大,往往在实际应用中给计算机带来较大的负担。
样条插值法是一种优秀的插值方法。
样条插值法将整个插值区间划分为若干小区间,每个小区间内部通过一个样条函数连接在一起。
样条函数既可以满足插值的要求,又可以保持函数在区间内的连续性。
这样可以产生较好的插值效果。
相对于线性插值和多项式插值,样条插值法的误差一般较小,满足一定的平滑性要求,而且计算相对简单。
在实际应用中广泛使用。
4. 径向基函数插值法径向基函数插值法是一种数值稳定性较高的方法。
它利用径向基函数的性质,即可以逼近各种连续的函数,将一个函数表示为各个径向基函数的线性组合,建立待插值函数与径向基函数之间的关系。
当插值点趋近于数据点时,径向基函数插值法可以达到较高的精度。
径向基函数插值法的计算方法较为复杂,需要选取合适的径向基函数和其它参数,定位问题更加困难,但是计算结果却更为准确。
综合各种插值方法的优缺点,我们可以根据不同的实际需求选择不同的插值方法。
在插值研究中,需要注意插值方法的数值稳定性、计算效率、精度和平滑性等各个方面的综合考虑,以达到最优的插值效果。
各种插值法的对比研究插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。
在实际生活和科学研究中,经常会遇到需要插值的情况,例如气象预测、金融分析、图像处理等。
本文将对比介绍几种常见的插值方法,包括线性插值、多项式插值、样条插值和逆距离加权插值。
1.线性插值:线性插值是最简单的插值方法,假设两个数据点之间的值变化是线性的。
根据已知数据点的坐标和对应的值,通过线性方程推断两个数据点之间的值。
优点是计算简单快速,但缺点是对数据变化较快的情况下估计效果较差。
2.多项式插值:多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项式函数。
通过已知数据点的坐标和对应的值,使用多项式拟合方法求解多项式函数的系数,再根据该多项式求解两个数据点之间的值。
多项式插值可以准确拟合已知数据点,但在插值点较多时容易出现振荡现象,且对数据点分布敏感。
3.样条插值:样条插值是一种平滑的插值方法,通过构建分段连续的多项式函数来逼近整个数据集。
根据已知数据点的坐标和对应的值,通过求解一组多项式函数的系数,使得在相邻区间之间函数值连续,导数连续。
样条插值可以减少振荡现象,对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。
4.逆距离加权插值:逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法,根据已知数据点与插值点之间的距离,对每个已知数据点进行加权平均得到插值点的值。
该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。
逆距离加权插值简单易用,对数据点的分布不敏感,但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。
在实际应用中,选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。
若数据变化较简单、平滑,可以选择线性插值或多项式插值;若数据变化复杂,存在振荡现象,可以选择样条插值;若数据点分布较稀疏,可以选择逆距离加权插值。
此外,还有一些其他的插值方法,如Kriging插值、径向基函数插值等,它们根据不同的假设和模型进行插值,具有一定的特点和适用范围。
综上所述,对于选择合适的插值方法,需要根据具体问题和数据特点来综合考虑,结合不同方法的优缺点进行比较研究,以得到更准确和可靠的插值结果。
举例来看:可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的,某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t),这样在实际水文观测中,对测得的(n+1)个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法:若求T i 和T i+1之间任一点T ,则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。
插值公式为:T=T i +T i+12②拉格朗日(Lagrange )插值法:若求T i 和T i+1之间任一点T ,则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得,也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为:T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为:T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性,可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛(Akima )插值法:对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足:f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ,k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率,而每点的斜率和周围4个点有关,插值公式为:T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3,来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。
插值方法比较范文插值方法是数值计算中常用的一种数值逼近技术,用于通过已知数据点之间的关系来估计未知数据点的值。
在插值过程中,根据不同的插值方法,可以得到不同的近似函数,从而得到不同的结果。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值和样条插值等。
下面将对这些插值方法进行比较,包括优缺点。
首先是拉格朗日插值法,它是通过使用已知数据点的函数值来构建一个多项式,再利用这个多项式来估算未知数据点的函数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂、计算简便,而且在已知数据点分布较为均匀的情况下效果较好。
然而,拉格朗日插值法的缺点是对于较多数据点的情况,构建的多项式会非常复杂,容易导致插值结果的振荡。
此外,拉格朗日插值法对于增加或减少一个数据点都需要重新计算,不够灵活。
其次是牛顿插值法,它也是通过已知数据点的函数值来构建一个多项式,但是与拉格朗日插值法不同,牛顿插值法利用差商的概念来简化多项式的计算。
牛顿插值法的优点是可以递推计算差商,避免了重复计算,因此对于增加或减少一个数据点时比较方便。
此外,牛顿插值法的插值多项式在已知数据点分布较为稀疏的情况下效果较好。
缺点是对于较多数据点的情况,插值多项式同样会变得复杂,容易导致插值结果的振荡。
再者是埃尔米特插值法,它是拉格朗日插值法的一种改进方法。
埃尔米特插值法不仅利用已知数据点的函数值,还利用已知数据点的导数值来构建插值函数,从而提高了插值的精度。
埃尔米特插值法的优点是可以通过已知数据点的导数值来更好地拟合函数的特点,从而得到更准确的插值结果。
缺点是在计算过程中需要求解一系列线性方程组,计算量较大。
最后是样条插值法,它是常用的插值方法之一、样条插值法通过将插值区间划分为若干小区间,在每个小区间上构建一个低次多项式,通过满足一定的光滑性条件来保证插值函数的平滑性。
样条插值法的优点是插值函数的平滑性较好,能够解决拉格朗日插值法和牛顿插值法的振荡问题。
缺点是在计算过程中需要求解大规模的线性方程组,计算量较大。
插值法的应用与比较信科1302 万贤浩 132710381格朗日插值法在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式.数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现,不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年,拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法,从此他的名字就和这个方法联系在一起.1.1拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点:(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9),拉格朗日多项式:)(x L (黑色)穿过所有点.而每个基本多项式:)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点,并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ,对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式,则有无穷个,因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.对某个多项式函数,已知有给定的1+k 个取值点:),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着自变量的位置,而i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:)()(0x l y x L j kj j ∑==,其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i ij i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ , 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1,在其它的点i x ,j i ≠ 上取值为0. 例:设有某个多项式函数f ,已知它在三个点上的取值为:• 10)4(=f , • 25.5)5(=f , •1)6(=f ,要求)18(f 的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式:())64)(54()6)(5(0----=x x x l ;())65)(45()6)(4(1----=x x x l ;())56)(46()5)(4(2----=x x x l ;然后应用拉格朗日插值法,就可以得到p 的表达式(p 为函数f 的插值函数):)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯=x x x x x x)13628(412+-=x x ,此时数值18就可以求出所需之值:11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的1+k 个点:),(),,(00k k y x y x 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1,而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样,多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y , 而在其他点取值都是0.而多项式()∑==kj jj x ly x L 0)(就可以满足∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()( ,在其它点取值为0的多项式容易找到,例如:)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+- ,它在点j x 取值为:)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ .由于已经假定i x 两两互不相同,因此上面的取值不等于0.于是,将多项式除以这个取值,就得到一个满足“在j x 取值为1,而在其他点取值都是0的多项式”:)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx l --------=--=++--∏, 这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个,因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式:1p 和2p ,它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x --- 的倍数.因此,如果这个差21p p -不等于0,次数就一定不小于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差,它的次数也不超过k ,所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.1.3性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10 (由某一组n x x x <<< 10 确定)可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间:[]X n K 的一组基底.首先,如果存在一组系数:n λλλ,,,10 使得,01100=+++=n n l l l P λλλ ,那么,一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100 的拉格朗日插值多项式,另一方面p 是零多项式,所以取值永远是0.所以010====n λλλ ,这证明了n l l l ,,,10 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式,恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10 构成了[]X n K 的一组基底.拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的(都是n 次多项式).1.4优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,当插值点增加或减少一个时,所对应的基本多项式就需要全部重新计算,于是整个公式都会变化,非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外,当插值点比较多的时候,拉格朗日插值多项式的次数可能会很高,因此具有数值不稳定的特点,也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值,但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象,解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中,运用多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---= ,图(2)拉格朗日插值法的数值稳定性:如图(2),用于模拟一个十分平稳的函数时,插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差(图中的14至15中间) 可以将拉格朗日基本多项式重新写为:∏≠=--=kji i i j jj x x x x x l x l ,0)(1)()(,定义重心权∏≠=-=k ji i i j j x x ,0)(1ω,上面的表达式可以简化为:jjj x x x l x l -=ω)()(,于是拉格朗日插值多项式变为:j kj jjy xx x l x L ∑=-=0)()(ω , (1)即所谓的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时,将每个j ω都除以)(1+-k j x x ,就可以得到新的重心权1+k ω,计算复杂度为)(n O ,比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值,可以得到:∑=-=∀kj jjx x x l x g x 0)()(,ω,因为1)(≡x g 是一个多项式. 因此,将)(x L 除以)(x g 后可得到:∑∑==--=k j jjk j jjx x x x x L 00)(ωω, (2)这个公式被称为重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了(1)式容易计算的特点,并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是,结合切比雪夫节点进行插值的话,可以很好地模拟给定的函数,使得插值点个数趋于无穷时,最大偏差趋于零.同时,重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的,而第二型拉格朗日插值是向前稳定的,并且勒贝格常数很小.3.分段线性插值对于分段线性插值,我们看一下下面的情况.3.1问题的重诉已知211)(xx g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值,绘出插值结果图形,并观察插值误差.1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值;2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值;3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值;4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中,已知数据通常是离散的,如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值,就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下:(1)利用已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ;将Y X ,作为两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数,可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值(本题采用3次多项式插值),3次样条插值法和分段线性插值.(2)分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6,6],并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象,并与原函数)(x g 的图象进行对比.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题,本题可以作出如下假设:(1)假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量,叙用插值函数计算.(2)为了得到理想的对比函数图象,假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6,6],分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<= 10,已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k ==;求一个分段函数)(x I k ,使其满足:(1) k k h y x I =)(,),1,0(n k =;(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k =1111)(++++--+--=k kk kk k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的,但其一阶导数是不连续的. 于是即可得到如下分段线性插值函数:)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时,且当时舍去时,且当n i x x x x x x x i x x x xx x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解在MATLAB 中实现分段线性插值,最近点插值,3次多项式插值,3次样条插值的命令为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1,’method ’)函数根据X ,Y 的值,计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X 1是一个向量或标量,描述欲插值点,Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法,包括:linear :分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接,然后在直线让选取对应插值点的数.nearest :近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic :3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式,然后根据多项式进行插值. spline :3次样条插值.在每个分段(子区间)内构造一个3次多项式,使其插值函数除满足插值条件外,还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab 工具软件编写代码,并分别画出图形如下: (一)在[-6,6]中平均选取5个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-50510-0.500.513次样条插值-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值(二)在[-6,6]中平均选取11个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81(三)在[-6,6]中平均选取21个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81-10-551000.20.40.60.813次多项式插值(四)在[-6,6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.813次多项式插值3.6 分段插值方法的优劣性分析从以上对比函数图象可以看出,分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上,光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续,则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下,阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性,也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点:优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性,(舍入误差影响不大),数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续),从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。
各种插值法的对比研究插值法是一种利用已知数据点推算缺失数据点的方法,常用于信号处理、图像处理和数据分析等领域。
在实际应用中,选择合适的插值方法非常重要,因为它直接影响到结果的准确性和可靠性。
本文将对常见的插值方法进行对比研究。
线性插值是最简单和最常用的插值方法之一、它假设数据点之间的变化是线性的,根据已知数据点之间的斜率和距离,可以推算出缺失数据点的值。
线性插值的优点是计算简单,适用于等间距的数据点。
然而,线性插值可能会导致插值曲线不光滑,并且在非等间距数据点或缺失数据点较多的情况下效果不佳。
拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法。
它通过构造一个满足已知数据点的多项式函数,然后根据该函数求解出缺失数据点的值。
拉格朗日插值的优点是可以精确地通过所有已知数据点,适用于非等间距和较稀疏的数据。
然而,拉格朗日插值存在“龙格现象”,即在数据点较多或高次插值时,插值函数会出现大幅度振荡。
牛顿插值与拉格朗日插值相似,也是基于多项式插值的方法。
不同之处在于,牛顿插值使用被称为“差商”的系数来构建插值多项式。
牛顿插值的优点是计算简单,可以实时更新插值多项式以适应新的数据点。
然而,牛顿插值也存在“龙格现象”。
样条插值是通过连接已知数据点来构建平滑的插值曲线的方法。
它通过选择适当的插值函数和控制点,保持插值曲线在已知数据点间的连续、光滑性。
样条插值的优点是可以抑制龙格现象,产生更平滑的插值曲线,并且适用于非线性变化的数据。
然而,样条插值的缺点是计算复杂度较高,可能导致过度拟合和过度平滑的问题。
Kriging 插值是一种基于地理空间的插值方法,它利用已知数据点的空间关联性来推算未知数据点的值。
Kriging 插值的优点是可以利用数据点之间的空间自相关性,适用于地理信息系统和地质学等领域的数据插值。
然而,Kriging 插值的缺点是计算复杂度高,并且对数据点的空间分布和空间自相关性的假设要求较高。
总的来说,选择合适的插值方法需要综合考虑数据的特点、插值精度和计算复杂度等因素。
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科,广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中,我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点,推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn),我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下:(1)根据已知数据点构造Lagrange插值多项式:L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中,Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i(2)计算未知点x对应的函数值y:y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂,计算方便。
然而,它也存在着一些问题,比如插值多项式的次数较高时,多项式在插值区间外的振荡现象明显,容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn),我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下:(1)计算差商:f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)(2)根据已知数据点构造Newton插值多项式:N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1(3)计算未知点x对应的函数值y:y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广,可以方便地添加新的数据点进行插值。
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中,插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下,用一些方法建立一个函数,该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种,其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn),其中x1 < x2 < ... < xn,那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi,i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为:p(x) = Σyi li(x)其中,li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足:li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为:li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法,可以在给定数据点的情况下,快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法,牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn),牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先,定义一个差商:f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x),其中:qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
各种插值方法比较插值是一种常见的数据处理技术,用于估计缺失数据或填充数据空缺。
在数据分析、统计学和机器学习等领域中,插值可以帮助我们处理缺失数据或者对连续数据进行平滑处理。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值、Kriging插值等。
1.线性插值:线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法,基于原始数据中的两个点之间的直线来估计缺失点的值。
这种方法适用于数据分布较为均匀的情况,但对于非线性的数据,可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。
2.多项式插值:多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据,从而估计缺失点的值。
多项式插值方法具有较高的灵活性,可以在不同的数据点之间产生平滑曲线,但在数据点较多时,可能会导致过拟合问题。
3.样条插值:样条插值是一种常见的插值方法,它通过使用分段多项式函数来拟合数据,从而在数据点之间产生平滑曲线。
样条插值方法克服了多项式插值的一些问题,同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。
4. Kriging插值:Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法,它考虑了数据点之间的空间关系,并使用半变异函数来估计缺失点的值。
Kriging插值方法适用于具有空间相关性的数据,例如地理信息系统中的地形数据或环境监测数据。
除了上述常见的插值方法之外,还有一些其他的插值方法,如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。
5.逆距离加权插值:逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大,它根据数据点之间的距离来计算权重,并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。
逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况,但对于噪声较大或异常值较多的数据,可能会导致估计值的不准确。
6.最近邻插值:最近邻插值方法简单和直观,它假设与缺失点距离最近的已知点的值与缺失点的值相同。
这种方法适用于数据点之间的空间相关性较强,但在数据点分布不均匀或者缺失点周围的数据点值变化较大的情况下,可能会导致估计值的不准确。
拉格朗日插值法牛顿插值法
摘要:
1.插值法的概念和作用
2.拉格朗日插值法原理和应用
3.牛顿插值法原理和应用
4.两种插值法的优缺点比较
正文:
一、插值法的概念和作用
插值法是一种数学方法,通过已知的数据点来预测未知数据点的一种技术。
在科学计算和工程应用中,常常需要根据有限个已知数据点,来估计某个函数在其他点上的值。
插值法正是为了解决这个问题而诞生的。
二、拉格朗日插值法原理和应用
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日基函数的插值方法。
它的基本原理是:在给定的区间[a, b] 上,选取一个基函数,然后通过求解一组线性方程,得到基函数在各数据点上的值,最后用这些值来近似函数在待求点上的值。
拉格朗日插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域。
三、牛顿插值法原理和应用
牛顿插值法,又称为牛顿前向差分法,是一种基于差分的插值方法。
它的基本原理是:通过对已知数据点的函数值进行差分,然后使用牛顿迭代公式来求解差分后的函数在待求点上的值。
牛顿插值法具有较高的精度,适用于各种函数,特别是对于单调函数和多项式函数,效果尤为显著。
四、两种插值法的优缺点比较
拉格朗日插值法和牛顿插值法各有优缺点。
拉格朗日插值法的优点是适用范围广,可以插值任意类型的函数,但计算过程较为复杂;牛顿插值法的优点是计算简便,精度高,但对于非线性函数或多峰函数,效果可能不佳。
因此,在实际应用中,需要根据具体情况选择合适的插值方法。
科学计算器插值法使用指导插值法是一种用于数学和科学计算的常见技术,用于估计在一组离散数据点之间的值。
它在各种领域,如工程、物理学、生物学和金融学等,都有广泛的应用。
本文将向您介绍插值法的使用指导。
1. 插值法的基本原理插值法是通过使用已知离散数据点来估计未知数据点的值。
这些已知数据点通常是在一个均匀或不均匀的网格上测得的。
插值方法可以分为多种类型,如线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2. 线性插值法线性插值法是最简单的插值方法之一,假设已知数据点(x0, y0)和(x1, y1),要估计一个点(x, y)。
线性插值法使用这两个已知数据点之间的直线来估计未知点的值。
线性插值的公式如下:y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)3. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种更精确的插值方法,它使用一个多项式函数来逼近已知数据点。
假设有n+1个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn),拉格朗日插值的多项式表示如下:L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中,li(x)是拉格朗日插值的基函数,定义如下:li(x) = Π(j ≠ i) (x - xj) / (xi - xj)4. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法,它使用一个插值多项式来逼近已知数据点。
假设有n+1个已知数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn),牛顿插值的多项式表示如下:P(x) = y0 + c0(x - x0) + c1(x - x0)(x - x1) + ... + cn(x - x0)(x -x1)...(x - xn-1)其中,cn是差商的系数,通过递归的方式计算。
差商的一般公式如下:f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+k] - f[xi, xi+1, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)5. 插值法的注意事项在使用插值法时,需要注意以下几点:- 插值方法的选择:根据实际问题和数据特点,选择合适的插值方法。
插值方法优缺点的比较及选择比较不同插值方法的优缺点需要考虑多个方面,包括方法的精度、稳定性、计算成本、可扩展性等。
以下是一些常见的比较方法:1.精度比较:比较不同插值方法的预测精度,可以使用均方根误差、平均绝对误差、相关系数等指标进行评估。
精度较高的方法更优。
2.稳定性比较:比较不同插值方法在不同数据集和不同参数下的表现,可以使用交叉验证、反复试验等方法进行评估。
稳定性较好的方法更优。
3.计算成本比较:比较不同插值方法的计算复杂度和计算时间,可以使用时间复杂度和空间复杂度等指标进行评估。
计算成本较低的方法更优。
4.可扩展性比较:比较不同插值方法在大规模数据和复杂模型下的表现,可以使用可扩展性和并行化等指标进行评估。
可扩展性较好的方法更优。
在实际应用中,可以根据具体的需求和数据情况选择合适的比较方法。
如果对精度要求较高,可以选择精度较高的方法;如果对计算资源有限制,可以选择计算成本较低的方法;如果需要处理大规模数据或复杂模型,可以选择可扩展性较好的方法。
同时,也可以通过实验比较不同方法的优缺点,选择最适合的方法来处理数据。
以下为您推荐几种插值方法:1.多项式插值:以一个多项式的形式来刻画经过一系列点的曲线。
该基函数的一个优点是当增加一个新的插值节点时,只需在原有基函数的基础上增加一个新的函数即可。
但随着节点数逐渐增加,插值曲线可能会出现不稳定的现象。
2.分段插值:为了解决高次插值多项式的缺陷,常用的方法是分段插值。
这种方法把插值区间分为若干个子区间,并在每个子区间上构造低次插值多项式。
常见的分段插值法有分段线性插值和三次Hermite插值等。
3.三次样条插值:此法利用分段插值绘制通过节点的曲线,有效地避免了龙格现象。
4.最近邻插值法:优点在于计算量较小,运算速度快,但重新采样后灰度值有明显的不连续性,图像质量损失较大。
5.双线性插值法:考虑待测样点周围四个直接邻点对该采样点的相关性影响,得到较好的近似式,克服了最近邻插值灰度值不连续的特点,但未考虑到各邻点间灰度值变化率的影响,具有低通滤波器的性质,从而导致缩放后图像的高频分量受到损失,图像边缘在一定程度上变得较为模糊。
几种插值法的应用和比较插值法的应用与比较信科1302 万贤浩 132710381格朗日插值法在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式.数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现,不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年,拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法,从此他的名字就和这个方法联系在一起.1.1拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点:(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9),拉格朗日多项式:)(x L (黑色)穿过所有点.而每个基本多项式:)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点,并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ,对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式,则有无穷个,因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.对某个多项式函数,已知有给定的1+k 个取值点:),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着自变量的位置,而i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:)()(0x l y x L j kj j ∑==,其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i i j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ΛΛ, 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1,在其它的点i x ,j i ≠ 上取值为0.例:设有某个多项式函数f ,已知它在三个点上的取值为:•10)4(=f , •25.5)5(=f , • 1)6(=f ,要求)18(f 的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式:())64)(54()6)(5(0----=x x x l ; ())65)(45()6)(4(1----=x x x l ; ())56)(46()5)(4(2----=x x x l ; 然后应用拉格朗日插值法,就可以得到p 的表达式(p 为函数f 的插值函数):)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯=x x x x x x )13628(412+-=x x , 此时数值18就可以求出所需之值:11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的1+k 个点:),(),,(00k k y x y x K 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1,而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样,多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ,而在其他点取值都是0.而多项式()∑==kj j j x l y x L 0)(就可以满足∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()(ΛΛ,在其它点取值为0的多项式容易找到,例如:)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+-ΛΛ,它在点j x 取值为:)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ΛΛ.由于已经假定i x 两两互不相同,因此上面的取值不等于0.于是,将多项式除以这个取值,就得到一个满足“在j x 取值为1,而在其他点取值都是0的多项式”:)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--∏ΛΛ, 这就是拉格朗日基本多项式.唯一性次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个,因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式:1p 和2p ,它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x ---Λ的倍数.因此,如果这个差21p p -不等于0,次数就一定不小于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差,它的次数也不超过k ,所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.1.3性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10Λ(由某一组n x x x <<<Λ10 确定)可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间:[]X n K 的一组基底.首先,如果存在一组系数:n λλλ,,,10Λ使得,01100=+++=n n l l l P λλλΛ,那么,一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100Λ的拉格朗日插值多项式,另一方面p 是零多项式,所以取值永远是0.所以010====n λλλΛ,这证明了n l l l ,,,10Λ 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式,恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10Λ 构成了[]X n K 的一组基底.拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的(都是n 次多项式).1.4优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,当插值点增加或减少一个时,所对应的基本多项式就需要全部重新计算,于是整个公式都会变化,非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外,当插值点比较多的时候,拉格朗日插值多项式的次数可能会很高,因此具有数值不稳定的特点,也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值,但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象,解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中,运用多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---=Λ,图(2)拉格朗日插值法的数值稳定性:如图(2),用于模拟一个十分平稳的函数时,插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差(图中的14至15中间)可以将拉格朗日基本多项式重新写为:∏≠=--=kj i i i j j j x x x x x l x l ,0)(1)()(,定义重心权∏≠=-=kj i i i j j x x ,0)(1ω, 上面的表达式可以简化为:jjj x x x l x l -=ω)()(, 于是拉格朗日插值多项式变为:j k j j j y x x x l x L ∑=-=0)()(ω , (1)即所谓的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时,将每个j ω都除以)(1+-k j x x ,就可以得到新的重心权1+k ω,计算复杂度为)(n O ,比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值,可以得到:∑=-=∀k j j j x x x l x g x 0)()(,ω,因为1)(≡x g 是一个多项式.因此,将)(x L 除以)(x g 后可得到:∑∑==--=kj j j k j j j x x x x x L 00)(ωω, (2)这个公式被称为重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了(1)式容易计算的特点,并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是,结合切比雪夫节点进行插值的话,可以很好地模拟给定的函数,使得插值点个数趋于无穷时,最大偏差趋于零.同时,重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的,而第二型拉格朗日插值是向前稳定的,并且勒贝格常数很小.3.分段线性插值对于分段线性插值,我们看一下下面的情况.3.1问题的重诉已知211)(x x g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值,绘出插值结果图形,并观察插值误差.1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值;2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值;3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值;4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中,已知数据通常是离散的,如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值,就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下:(1)利用已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ;将Y X ,作为两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数,可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值(本题采用3次多项式插值),3次样条插值法和分段线性插值.(2)分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6,6],并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象,并与原函数)(x g 的图象进行对比.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题,本题可以作出如下假设:(1)假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量,叙用插值函数计算.(2)为了得到理想的对比函数图象,假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6,6],分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<=Λ10,已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k Λ==;求一个分段函数)(x I k ,使其满足:(1) k k h y x I =)(,),1,0(n k Λ=;(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k Λ=1111)(++++--+--=k kk k k k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的,但其一阶导数是不连续的.于是即可得到如下分段线性插值函数:)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时,且当时舍去时,且当n i x x x x x x x i x x x x x x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解 在MATLAB 中实现分段线性插值,最近点插值,3次多项式插值,3次样条插值的命令为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1,’method ’) 函数根据X ,Y 的值,计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X 1是一个向量或标量,描述欲插值点,Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法,包括:linear :分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接,然后在直线让选取对应插值点的数.nearest :近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic :3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式,然后根据多项式进行插值.spline :3次样条插值.在每个分段(子区间)内构造一个3次多项式,使其插值函数除满足插值条件外,还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab 工具软件编写代码,并分别画出图形如下: (一)在[-6,6]中平均选取5个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-50510-0.500.513次样条插值-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值(二)在[-6,6]中平均选取11个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81(三)在[-6,6]中平均选取21个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81-10-551000.20.40.60.813次多项式插值(四)在[-6,6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.813次多项式插值3.6 分段插值方法的优劣性分析从以上对比函数图象可以看出,分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上,光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续,则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下,阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性,也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点: 优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性,(舍入误差影响不大),数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续),从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。
常见的插值方法及其原理插值是指在已知数据点的情况下,根据其中一种规则或算法,在这些数据点之间进行预测或估计。
常见的插值方法有:拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、样条插值和Kriging插值等。
1.拉格朗日插值方法:拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它假设已知数据点的函数曲线可以由一个多项式来表示。
拉格朗日插值的原理是,通过确定多项式的系数,使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
具体地说,对于给定的一组已知数据点和对应的函数值,拉格朗日插值方法通过构造一个多项式,使得该多项式在每个数据点上的函数值等于给定的函数值。
然后,通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
2.牛顿插值方法:牛顿插值也是一种基于多项式的插值方法,其原理类似于拉格朗日插值。
它也是通过确定多项式的系数,使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
不同的是,牛顿插值使用了差商的概念,将插值多项式表示为一个累次求和的形式。
具体地说,对于给定的一组已知数据点和对应的函数值,牛顿插值方法通过差商的计算,得到一个多项式表达式。
然后,通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
3.分段线性插值方法:分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一条直线。
分段线性插值的原理是,通过连接相邻数据点之间的线段,构造一个连续的曲线。
具体地说,对于给定的一组已知数据点和对应的函数值,分段线性插值方法将曲线划分为若干小段,每一小段都是一条直线。
然后,在每个数据点之间的区域上,通过线性插值来估计未知数据点的函数值。
4.样条插值方法:样条插值是一种基于插值条件和光滑条件的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一个低次数的多项式。
样条插值的原理是,通过确定各个数据点之间的插值多项式系数,使得整个曲线在插值点上的各阶导数连续。
具体地说,对于给定的一组已知数据点和对应的函数值,样条插值方法将曲线划分为若干小段,每一小段都是一个低次数的多项式。
几种常用高程插值方法的比较数学模型摘要:一、引言1.高程插值的重要性2.几种常用高程插值方法的介绍二、高程插值方法的比较1.插值算法的基本原理2.插值精度的对比3.数据处理效率的对比4.适用场景的对比三、数学模型1.反距离权重法(IDW)2.线性插值法(Linear)3.三次样条插值法(Spline)4.克里金插值法(Kriging)四、案例分析1.数据来源及处理2.各种插值方法的应用3.结果分析与讨论五、结论1.各种高程插值方法的优缺点2.选择合适方法的建议3.对未来研究的展望正文:在地理信息系统(GIS)和地球空间数据处理领域,高程插值是一项重要的任务。
高程插值旨在通过一定的数学算法,将离散的高程点数据转化为连续的高程表面。
这对于地形分析、资源评估、城市规划等领域具有重要意义。
本文将对几种常用的成熟高程插值方法进行比较,以帮助读者在实际应用中选择合适的方法。
一、引言高程插值的重要性不言而喻。
随着科技的发展和人类对地球表面认识的不断深入,获取高精度的高程数据成为了研究的热点。
高程数据不仅可以反映地形特征,还可以为许多实际应用提供重要依据。
然而,实际测量过程中,数据采集往往受到成本、技术等因素的限制,导致数据分布不均、缺失值等问题。
因此,高程插值方法的研究和应用成为了地理信息科学领域的关键任务。
二、高程插值方法的比较1.插值算法的基本原理高程插值方法主要可以分为两类:一类是基于距离的插值方法,另一类是基于地形的插值方法。
其中,基于距离的插值方法认为离插值点越近的样本点对插值结果的影响越大,如反距离权重法(IDW);而基于地形的插值方法则利用地形特征数据进行插值,如线性插值法(Linear)、三次样条插值法(Spline)和克里金插值法(Kriging)。
2.插值精度的对比在几种常用的插值方法中,克里金插值法(Kriging)的精度相对较高,但其计算复杂度较大。
反距离权重法(IDW)和线性插值法(Linear)的插值精度相对较低,但计算简单、效率较高。
数值分析论文——几种插值方法的比较1.插值法概述插值法是函数逼近的重要方法之一,有着广泛的应用!在生产和实验中,函数()x f 或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ,此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数()x ϕ,使其近似的代替()x f ,有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermite 插值,分段插值和样条插值.这里主要介绍拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值和埃尔米特插值(Hermite 插值)。
2.插值方法的比较 2.1拉格朗日插值 2.1.1基本原理构造n 次多项式()()()()()x l y x l y x l y x l y x P n n k nk k n +⋅⋅⋅++==∑=11000,这是不超过n 次的多项式,其中基函数:()x l k =)...()()...()(()...()()...()(()1110)1110n k k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+-+-显然()x l k 满足()i k x l =⎩⎨⎧≠=)(0)(1k i k i此时()()x f x P n ≈,误差()()()=-=x P x f x R n n(x ))!1()(1)1(+++n n n f ωξ 其中ξ∈()b a ,且依赖于x ,()()()()n n x x x x x x x -⋅⋅⋅--=+101ω. 很显然,当1=n ,插值节点只有两个k x ,1+k x 时()()()x l y x l y x P k k k k i 11+++=其中基函数()x l k =11++--k k k x x x x , ()x l k 1+= kk kx x x x --+12.1.2优缺点可对插值函数选择多种不同的函数类型,由于代数多项式具有简单和一些良好的特性,故常选用代数多项式作为插值函数。
多种插值法比较与应用(一) Lagrange 插值 1. Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式nx x jj 0X k X j j k称为Lagrange 插值基函数 2. Lagrange 插值多项式足插值条件的n 次多项式nf(xj k (x)k 0nxf (X k )(k 0j 0X kj k为Lagrange 插值多项式,称(n 1)为插值余项,其中x (x) (a,b)(二) Newton 插值 1 .差商的定义f(x)关于X i 的零阶差商f[xjf(xjf(x)关于X i , X j 的一阶差商f[X j ] f[X i ]E(x) f(X) L n (x)(n 1)T j o(X X j)l k (x)0,1, ,n设给定n+1个互异点(x k , f(x k )) , k 0,1,,n ,X i X j , i j ,满L n (X k )f(X k ),0,1,L n (X )|)X j X i依次类推,f(x)关于X i , X i 1 , .................... , X i k 的k 阶差商f[X i 1,, X i k ] f [X i ,,X i k 1]f[X i ,X i 1,, X i k ]X i k X i2. Newton 插值多项式设给定的n+1个互异点(X k , f (X k )) , k 0,1,,n , X i X j , ij ,称满足条件N n (X k )f(X k ) , k0,1,,n的n 次多项式N n (x)f[X 。
]f[X 0,X 1](X X 。
)f[X o ,X 1,,X n ]( x X 。
)(X X n 1)为Newton 插值多项式,称E(x) f(x) N n (x) f [X o ,X 1,,X n ]j n(X X j ),x [a,b]为插值余项。
(三) Hermite 插值设f(x) C 1[a,b],已知互异点X 0 , X 1,…,x n [a,b]及所对应的函 数值为f o , f 1,…,f n ,导数值为f o',(,…,f n',贝U满足条件H2n1(X i ) f i ,H 2n 1 ( X i ) f i', ' 0,1, ,n的2n 1次Hermite 插值多项式为nnH 2n1(X )f i j (x)f j' j (X)jj 0其中j(x) [1 2(x X j )l j (X j )]l j 2, j (x)(x X j )l j 2(x)称为Hermite 插值基函数,i j (x )是Lagrange 插值基函数,若f C 2n 2[a,b ],插值误差为(四) 分段插值设在区间[a,b ]上给定n+1个插值节点a x 0 x 1x n b和相应的函数值y o , y i ,…,y n ,求作一个插值函数(x),具有性质① (x) y i (i 0,1,2, ,n )。
几种常用高程插值方法的比较数学模型【最新版3篇】目录(篇1)1.引言2.常用高程插值方法介绍2.1 反距离权重法2.2 普通克里金插值法2.3 普通最小二乘法2.4 残差最小二乘法2.5 线性回归法2.6 多项式回归法3.各方法的优缺点比较4.结论正文(篇1)高程插值是在地理信息系统 (GIS) 和遥感技术中常用的数据处理方法,目的是根据已知的高程点数据,估算出其他地点的高程值。
高程插值的方法有很多种,下面将对几种常用的高程插值方法进行介绍和比较。
2.1 反距离权重法反距离权重法是一种基于距离的插值方法,其基本思想是根据距离衰减权重,对各个高程点进行加权平均。
该方法的优点是简单易行,计算速度快,但是缺点是插值结果受距离衰减系数的选择影响较大,且不能很好地处理数据中的噪声。
2.2 普通克里金插值法普通克里金插值法是一种基于网格的插值方法,其基本思想是利用周围的已知高程点,通过插值函数估算待求点的高程值。
该方法的优点是插值精度高,能够很好地处理数据中的噪声,但是缺点是计算量较大,需要进行多次迭代计算。
2.3 普通最小二乘法普通最小二乘法是一种基于最小二乘原理的插值方法,其基本思想是通过最小化误差的平方和来估算待求点的高程值。
该方法的优点是简单易行,插值精度较高,但是缺点是需要选择合适的基函数,且计算量较大。
2.4 残差最小二乘法残差最小二乘法是一种改进的普通最小二乘法,其基本思想是将待求点的残差作为基函数,通过最小化残差的平方和来估算待求点的高程值。
该方法的优点是插值精度更高,能够更好地处理数据中的噪声,但是缺点是计算量较大,需要进行多次迭代计算。
2.5 线性回归法线性回归法是一种基于线性回归模型的插值方法,其基本思想是通过线性回归模型估算待求点的高程值。
该方法的优点是简单易行,计算速度快,但是缺点是插值精度较低,不能很好地处理非线性关系。
2.6 多项式回归法多项式回归法是一种基于多项式回归模型的插值方法,其基本思想是通过多项式回归模型估算待求点的高程值。
插值法的应用与比较信科1302 万贤浩 132710381格朗日插值法在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式.数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现,不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年,拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法,从此他的名字就和这个方法联系在一起.1.1拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点:(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9),拉格朗日多项式:)(x L (黑色)穿过所有点.而每个基本多项式:)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点,并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ,对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式,则有无穷个,因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.对某个多项式函数,已知有给定的1+k 个取值点:),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着自变量的位置,而i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:)()(0x l y x L j kj j ∑==,其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i ij i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ , 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1,在其它的点i x ,j i ≠ 上取值为0. 例:设有某个多项式函数f ,已知它在三个点上的取值为:• 10)4(=f , • 25.5)5(=f , •1)6(=f ,要求)18(f 的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式:())64)(54()6)(5(0----=x x x l ;())65)(45()6)(4(1----=x x x l ;())56)(46()5)(4(2----=x x x l ;然后应用拉格朗日插值法,就可以得到p 的表达式(p 为函数f 的插值函数):)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯=x x x x x x)13628(412+-=x x ,此时数值18就可以求出所需之值:11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的1+k 个点:),(),,(00k k y x y x 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1,而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样,多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y , 而在其他点取值都是0.而多项式()∑==kj jj x ly x L 0)(就可以满足∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()( ,在其它点取值为0的多项式容易找到,例如:)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+- ,它在点j x 取值为:)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ .由于已经假定i x 两两互不相同,因此上面的取值不等于0.于是,将多项式除以这个取值,就得到一个满足“在j x 取值为1,而在其他点取值都是0的多项式”:)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx l --------=--=++--∏, 这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个,因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式:1p 和2p ,它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x --- 的倍数.因此,如果这个差21p p -不等于0,次数就一定不小于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差,它的次数也不超过k ,所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.1.3性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10 (由某一组n x x x <<< 10 确定)可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间:[]X n K 的一组基底.首先,如果存在一组系数:n λλλ,,,10 使得,01100=+++=n n l l l P λλλ ,那么,一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100 的拉格朗日插值多项式,另一方面p 是零多项式,所以取值永远是0.所以010====n λλλ ,这证明了n l l l ,,,10 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式,恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10 构成了[]X n K 的一组基底.拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的(都是n 次多项式).1.4优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,当插值点增加或减少一个时,所对应的基本多项式就需要全部重新计算,于是整个公式都会变化,非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外,当插值点比较多的时候,拉格朗日插值多项式的次数可能会很高,因此具有数值不稳定的特点,也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值,但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象,解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中,运用多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---= ,图(2)拉格朗日插值法的数值稳定性:如图(2),用于模拟一个十分平稳的函数时,插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差(图中的14至15中间) 可以将拉格朗日基本多项式重新写为:∏≠=--=kji i i j jj x x x x x l x l ,0)(1)()(,定义重心权∏≠=-=k ji i i j j x x ,0)(1ω,上面的表达式可以简化为:jjj x x x l x l -=ω)()(,于是拉格朗日插值多项式变为:j kj jjy xx x l x L ∑=-=0)()(ω , (1)即所谓的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时,将每个j ω都除以)(1+-k j x x ,就可以得到新的重心权1+k ω,计算复杂度为)(n O ,比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值,可以得到:∑=-=∀kj jjx x x l x g x 0)()(,ω,因为1)(≡x g 是一个多项式. 因此,将)(x L 除以)(x g 后可得到:∑∑==--=k j jjk j jjx x x x x L 00)(ωω, (2)这个公式被称为重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了(1)式容易计算的特点,并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是,结合切比雪夫节点进行插值的话,可以很好地模拟给定的函数,使得插值点个数趋于无穷时,最大偏差趋于零.同时,重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的,而第二型拉格朗日插值是向前稳定的,并且勒贝格常数很小.3.分段线性插值对于分段线性插值,我们看一下下面的情况.3.1问题的重诉已知211)(xx g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值,绘出插值结果图形,并观察插值误差.1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值;2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值;3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值;4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中,已知数据通常是离散的,如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值,就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下:(1)利用已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ;将Y X ,作为两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数,可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值(本题采用3次多项式插值),3次样条插值法和分段线性插值.(2)分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6,6],并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象,并与原函数)(x g 的图象进行对比.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题,本题可以作出如下假设:(1)假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量,叙用插值函数计算.(2)为了得到理想的对比函数图象,假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6,6],分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<= 10,已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k ==;求一个分段函数)(x I k ,使其满足:(1) k k h y x I =)(,),1,0(n k =;(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k =1111)(++++--+--=k kk kk k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的,但其一阶导数是不连续的. 于是即可得到如下分段线性插值函数:)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时,且当时舍去时,且当n i x x x x x x x i x x x xx x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解在MATLAB 中实现分段线性插值,最近点插值,3次多项式插值,3次样条插值的命令为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1,’method ’)函数根据X ,Y 的值,计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X 1是一个向量或标量,描述欲插值点,Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法,包括:linear :分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接,然后在直线让选取对应插值点的数.nearest :近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic :3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式,然后根据多项式进行插值. spline :3次样条插值.在每个分段(子区间)内构造一个3次多项式,使其插值函数除满足插值条件外,还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab 工具软件编写代码,并分别画出图形如下: (一)在[-6,6]中平均选取5个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-50510-0.500.513次样条插值-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值(二)在[-6,6]中平均选取11个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81(三)在[-6,6]中平均选取21个点作插值:-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81-10-551000.20.40.60.813次多项式插值(四)在[-6,6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.813次多项式插值3.6 分段插值方法的优劣性分析从以上对比函数图象可以看出,分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上,光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续,则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下,阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性,也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点:优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性,(舍入误差影响不大),数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续),从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。