高中数学北师大版必修5 第三章4.2、4.3 简单线性规划及其应用 作业 Word版含解析

学习资料4．2 简单线性规划学习目标核心素养1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．（重点）2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点）1．通过学习与线性规划有关的概念，培养数学抽象素养．2．通过研究最优解的方法,提升数学运算能力．简单线性规划阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题（1)线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x,y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式（组）目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题①目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!，当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b＞0，截距最大时，z取得最大值,截距最小时，z取得最小值;当b＜0，截距最大时,z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．②解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答"四步,即（ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（ⅱ)移:运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(ⅲ)求:解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(ⅳ)答：写出答案．思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？［提示］可能唯一，也可能不唯一．(2）若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义？［提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．1．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4 B．0C．错误!D．4D［作出可行域，如图所示．联立{x＋y－4＝0，，x－3y＋4＝0，解得错误!当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4．]2．若实数x，y满足错误!则s＝x＋y的最小值为．2[如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时,s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2．］3．如图，点(x，y）在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为．1［法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大,即z的值最小,为2×1－1＝1．法二：将点A，B，C,D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小,得在A点处取得最小值为1．］4．已知点P（x，y）的坐标满足条件错误!点O为坐标原点，那么｜PO｜的最小值等于，最大值等于．2错误!［画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示,因为｜PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使｜PO|取得最小值的最优解为点A(1,1）;使｜PO｜取得最大值的最优解为点B(1，3），所以|PO｜min＝2，|PO｜max＝错误!．］线性目标函数的最值问题【例1】的最大值为．错误!［由题意画出可行域(如图所示),其中A（－2，－1)，B错误!,C（0，1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B错误!时，z取最大值错误!．]用图解法解决线性规划问题的关键和注意点，图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解,再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值.错误!1．若x ,y 满足约束条件错误!则z ＝x －2y 的最小值为 ．－5 ［画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点（3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5．]线性规划问题中的参数问题【例2】 已知变量x ,y 满足的约束条件为错误!若目标函数z ＝ax ＋y （其中a ＞0)仅在点（3,0)处取得最大值,求a 的取值范围．［解］ 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－错误!， 目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0）对应直线的斜率k 2＝－a , 若符合题意，则需k 1＞k 2．即－12＞－a ，得a ＞错误!．含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的，应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ．(12，12)【解析】 可以验证这四个点均是可行解．当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D.【答案】 C2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)． ∴z 最大＝3×3＋2＝11.【答案】 B3．(2013·福州高二检测)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OM →·OA →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2]D ．[－1，2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]．【答案】 C4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D5．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．【答案】 A 二、填空题6．(2012·课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 利用线性规划知识求解． 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3，0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3， ∴z ∈[－3，3]． 【答案】 [－3，3]7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1y －x ≤1y ≥0，则y x ＋2的取值范围是________．【解析】 yx ＋2可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x ，y )连线的斜率k ，0－00＋2≤k ≤1－00＋2，即0≤k ≤12，所以yx ＋2的取值范围为[0，12]． 【答案】 [0，12]8．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得C (1，－2)，∴z max ＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得A (3，1)， ∴z min ＝2×3－3×1＝3(取不到) 【答案】 (3，8) 三、解答题9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求目标函数z ＝2y －2x ＋4的最大值和最小值．【解】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图)．作直线l 0：2x －2y ＝0， 即x －y ＝0，把直线l 0向上平移，函数z ＝2y －2x ＋4的值随之增大． 当l 经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8.当l 经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解】 画出满足条件的可行域．(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由下图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0，0)时u 最小．又C (3，8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5，0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3，8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

2021年高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.52.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组则3x+4y的最小值是( )（A）13 （B）15 （C）20 （D）283.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组则目标函数z=x+y的最大值是( )(A)3 (B)5 (C) (D)74.已知x、y满足不等式组且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )(A)0 (B) (C) (D)1二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知点P（x,y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.8.设变量x，y满足约束条件求z=(x- )2+y2的取值范围.【挑战能力】（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足，试求的最大值.答案解析1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-，当直线过点A （3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.由得，点A坐标为（5，2）.故z max=5+2=7.4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.由得A(a，a)，由得B(1,1)，∴z max=3，z min=3a.∴a=.5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,在C处取最小值z=0-1=-1,∴z的取值范围为[-1,2].答案：[-1,2]6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-过直线的交点时，取最大值.【解析】画出可行域，可知z=x+5y在点（）处取最大值为4，解得m=3.答案：37.【解析】画出可行域(如图)，将目标函数z=2x-3y变形为y=，它表示与y=x平行、截距是-的一族平行直线，当它经过点A时，截距-最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-最小，此时z最大（取不到）.由⇒A(3,1)由⇒B(1,-2)∴过点A时，z=2×3-3×1=3过点B时，z=2×1-3×(-2)=8∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（,0)距离的平方.【解析】由作出可行域，如图阴影部分所示.z=（x-)2+y2表示可行域内的任意一点与点(，0)距离的平方.因此(x-)2+y2的最小值为点(,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=.z的最大值为点(,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=，∴z的取值范围是［, ］. 【挑战能力】【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,∴z max=2+2=4,即的最大值为4.32154 7D9A 続Qw24733 609D 悝30899 78B3 碳A40191 9CFF 鳿" _31261 7A1D 稝35449 8A79 詹B23309 5B0D 嬍37681 9331 錱。

基础巩固某人有一栋楼房，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；小房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；装修大房间每间需要元，装修小房间每间需要元．如果他只能筹款元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大效益？有一批钢管，长度都是，要截成和两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于配套，问怎样截最合理？已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为万吨和万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运万吨煤，西车站每年最多能运万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元；乙种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元．若病人每餐至少需要单位蛋白质和单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为的钢条根，长度为的钢条根；或截成长度为的钢条根，长度为的钢条根．现长度为的钢条至少需要根，长度为的钢条至少需根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别是和，可能的亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？能力提升某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，则不同的选购方式有多少种？参考答案分析：设大房间间，小房间间，然后列出，的关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数的最值问题．解：设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则，满足(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))即(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))＝＋.作出可行域，如图所示的阴影部分．解方程组(\\(＋＝，＋＝，))得点的坐标为(，)．由于点的坐标不是整数，而最优解(，)是整点，所以可行域内点(，)不是最优解．经验证：经过可行域内的整点，且使＝＋取得最大值的整点是()和()，此时＝元，即应隔出小房间间，或大房间间、小房间间，可以获得最大利润．分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．解：设截的根，的根，根据题意，得(\\(＋≤，<，>，>，))且，∈＋.作出可行域，如图中的阴影部分．目标函数为＝＋，作一组平行直线＋＝，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过()的直线，这时＋＝.由、为正整数，知()不是最优解．在可行域内找整点，使＋＝.可知点()、()、()、()、()均为最优解．即每根钢管截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根最合理．解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费＝＋(－)＋＋(－)万元，即＝－－.其中、应满足(\\(≥，≥，－≥，－≥，＋≤，－＋(－(≤.))作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．。

第3章4.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析： 作出可行域如图所示，目标函数y ＝－12x ＋12z则过B (1,1)时z 取最小值z min ＝3答案： B2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1D.715解析： 作出可行域如图所示令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ， ∴y ＝－x ＋z 过A (4,5)时，z 取最大值z max ＝9.答案： A3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞)解析： 可行域如图阴影，y x －1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx －1＞1或yx －1＜－1. 答案： B4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析： 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z 斜率为－1的直线向上平移时z 逐渐增大则过直线2x －y －3＝0与x －my ＋1＝0的交点时z 取到最大值联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0x －my ＋1＝0可得：y ＝52m －1，x ＝3m ＋12m －1x ＋y ＝3m ＋62m －1＝9 解得：m ＝1. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析： 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0所表示的平面区域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝1，解得A (1,2)．而x 2＋y 2表示阴影部分的点到原点的距离的平方，由图可知A 点到原点的距离为5，∴x 2＋y 2的最小值为5.答案： 56．线性目标函数z ＝3x ＋2y ，在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y ≤0y ≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是________．解析：作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y ≤0y ≤a表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据图形及直线的斜率，可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．答案： [2，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分)7．设z ＝2x ＋y ，此函数解析式中变量x 、y 满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．针对上述问题，请指出该问题中的目标函数、可行解、可行域以及最优解．解析： 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域；z ＝2x ＋y 即为目标函数；阴影部分内的每一组(x ，y )均为可行解．考虑z ＝2x ＋y ，将它变形为y ＝－2x ＋z ，这是斜率为－2，随z 变化的一族平行直线，z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最大．在直线与平行域相交的条件下，即在满足约束条件时目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值；当直线截距最小时，z 的值最小，即在满足约束条件时目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值．由图可见，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的A 点时，截距最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 的坐标为(5,2)．所以z max ＝2×5＋2＝12.当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＝1.得B 的坐标为(1,1)．所以z min ＝2x ＋y ＝2×1＋1＝3.故使z ＝2x ＋y 取得最大值的最优解为(5,2)，取得最小值的最优解为(1,1)．8．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥02x －y －5≤0x ＋y －4≥0，求z ＝|x ＋2y －4|的最大值．解析： 先作出不等式组表示的平面区域，而目标函数的几何含义为该区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．当然也可观察绝对值内代数式的符号．方法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 即其几何含义为该平面区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝02x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.方法二：由图可知，区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4＞0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数取得最大值为z max ＝21.尖子生题库☆☆☆9．(10分)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，求a 的值．解析： ∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，而y ＋1x ＋1表示点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0，所以作出可行域如图所示，由题知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14⇒a ＝1.。

, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，－32≤x ≤3表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0－32≤x ≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0－32≤x ≤3x ＋y≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0－32≤x ≤3x ＋y ≤0，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.2．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：选B.可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1，1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2＝3.3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2，4)，B (－1，2)，C (1，0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )A ．[1，3]B ．[－3，1]C ．[－1，3]D ．[－3，－1] 解析：选C.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1，3]．4．直线2x ＋y ＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．因为直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－12，1 解析：选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1，1)的连线的斜率，由图可知点A (－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y取得最大值的点的坐标是________．解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0，5)时截距最大，此时z 最大．答案：(0，5)7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最大值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω如图阴影部分所示，y x＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1，2)，B (3，0)， 所以0≤yx≤2.答案：28．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故可看成直线绕点(0，1)旋转．当a ＞－1时，可行域是一个封闭的三角形区域，由12×(a ＋1)×1＝2得a ＝3.答案：39．如果由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤2－x ，t ≤x ≤t ＋1所确定的平面区域的面积为S ＝f (t )(0＜t ＜1)，试求f (t )的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP (如图)，其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，而S △OPD ＝12×1×2＝1，S △OAB ＝12t 2，S △ECD ＝12(1－t )2所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12(0＜t ＜1)．10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(2)求z＝y ＋5x ＋5的取值范围．解：作出可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝⎛⎭⎫1，53. 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5，3)． 所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率，由图可知，k BD ≤z ≤k CD .因为k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，所以z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，2615. [B.能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．无数个解析：选B.如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域．因为OA →·OB →＝x ＋y ， 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2. 2.如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.53解析：选B.由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．因为k AC ＝－35，所以a ＝35. 3．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0y ≤n x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________． 解析：先根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3，作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n ＞2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其他部分．答案：(2，＋∞)4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析：由不等式组得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x ＋2y 的最小值是1.答案：15．设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，求m 的取值范围．解：由题意知，可行域应在圆内，如图阴影部分所示，如果－m ＞0，则可行域取到x ＜－5的点，不能在圆内，故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置，此时－m ＝－43，所以m ＝43.所以0≤m ≤43.6．实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)．所以在如图所示的坐标平面aOb 内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1，2)连线的斜率． k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1.由图可知，k AD ＜b －2a －1＜k CD.所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝⎛⎭⎫14，1.(3)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．。

,[学生用书单独成册])[.基础达标]．不等式组表示的平面区域是( )．矩形．三角形．等腰梯形．直角梯形解析：选.不等式组⇔或，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选.．若，∈，且则＝＋的最小值等于( )．．．．解析：选.可行域如图阴影部分所示，则当直线＋－＝经过点(，)时，＝＋取得最小值，为＋＝.．在△中，三个顶点分别为(，)，(－，)，(，)，点(，)在△的内部及其边界上运动，则－的取值范围为( )．[，]．[－，]．[－，－]．[－，]解析：选.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数＝－的取值范围．由图求出其取值范围是[－，]．．直线＋＝与不等式组表示的平面区域的公共点有( )．个．个．个．无数个解析：选.画出可行域如图阴影部分所示．因为直线过(，)点，故只有个公共点(，)．．实数，满足不等式组则＝的取值范围是( )解析：选.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数＝表示阴影部分的点与定点(－，)的连线的斜率，由图可知点(－，)与点(，)连线的斜率为最小值，最大值趋近于，但永远达不到，故－≤＜.．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数＝＋取得最大值的点的坐标是．解析：首先作出直线＋＝，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(，)时截距最大，此时最大．答案：(，)．已知实数，满足则的最大值为．解析：画出不等式组对应的平面区域Ω如图阴影部分所示，＝表示平面区域Ω上的点(，)与原点的连线的斜率．(，)，(，)，所以≤≤.答案：．在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组的可行域，而直线－＋＝恒过点(，)，故可看成直线绕点(，)旋转．当＞－时，可行域是一个封闭的三角形区域，由×(＋)×＝得＝.答案：．如果由约束条件所确定的平面区域的面积为＝()(＜＜)，试求()的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形(如图)，其面积＝()＝△－△－△，而△＝××＝，△。

⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析[学业⽔平训练]1．设x ，y 满⾜2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最⼩值2，最⼤值3B ．有最⼩值2，⽆最⼤值C ．有最⼤值3，⽆最⼩值D ．既⽆最⼩值，也⽆最⼤值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最⼩值，即z m in ＝2，⽆最⼤值．2．设变量x ，y 满⾜x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最⼤值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：选D.作出可⾏域如图所⽰．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最⼤值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最⼤值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最⼤值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最⼤值为55.故选D.3．(2013·⾼考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满⾜约束条件x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最⼩值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B.作出不等式组表⽰的可⾏域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最⼩值．由?x ＝3，x －y ＋1＝0，得x ＝3，y ＝4，∴z m in ＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x ＋y ＝10与不等式组x ≥0y ≥0x －y ≥－24x ＋3y ≤20，表⽰的平⾯区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．⽆数个解析：选B.画出可⾏域如图阴影部分所⽰．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x ，y 满⾜y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果⽬标函数z ＝x －y 的最⼩值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B.画出x ，y 满⾜的可⾏域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使⽬标函数z ＝x －y 取得最⼩值，解?y ＝2x －1，x ＋y ＝m 得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代⼊x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满⾜条件x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最⼩值等于________，最⼤值等于________．解析：画出约束条件对应的可⾏域，如图阴影部分所⽰，∵|PO |表⽰可⾏域上的点到原点的距离，从⽽使|PO |取得最⼩值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最⼤值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2 107．(2013·⾼考⼤纲全国卷)若x ，y 满⾜约束条件x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最⼩值为________．解析：由不等式组作出可⾏域，如图阴影部分所⽰(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业⽣产甲、⼄两种产品，已知⽣产每吨甲产品要⽤A 原料3吨、B 原料2吨；⽣产每吨⼄产品要⽤A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨⼄产品可获得利润3万元．该企业在⼀个⽣产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最⼤利润是________．解析：设该企业⽣产甲产品为x 吨，⼄产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联⽴3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得?x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3，4)．故z 的最⼤值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元9．已知x ，y 满⾜条件y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2，若r 2＝(x ＋1)2＋(y －1)2(r >0)，求r 的最⼩值．解：作出不等式y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2所表⽰的平⾯区域如图：依据上图和r 的⼏何意义可知：r 的最⼩值是定点P (－1，1)到直线y ＝x 的距离，即r m in ＝|1＋1|2＝ 2.10．某⼯⼚制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需⽤薄钢板给每台仪器配⼀个外壳．已知钢板有甲、⼄两种规格：甲种钢板每张⾯积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个．⼄种钢板每张⾯积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、⼄两种钢板各⽤多少张才能⽤料最省？(“⽤料最省”是指所⽤钢板的总⾯积最⼩)解：设⽤甲种钢板x 张，⼄种钢板y 张，依题意x ，y ∈N ，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总⾯积z ＝2x ＋3y .作出可⾏域如图所⽰中阴影部分的整点．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最⼩．由⽅程组3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55得?x ＝5，y ＝5. 所以甲、⼄两种钢板各⽤5张⽤料最省．[⾼考⽔平训练]1．若实数x ，y 满⾜不等式组y ≥0x －y ≤42x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，2)D ．[－12，＋∞)解析：选C.把w ＝y －1x ＋1理解为⼀动点P (x ，y )与定点Q (－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x ＝1，y ＝0时，w m in ＝－12，且w ＜2.2．若实数x 、y 满⾜x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x＋2y的最⼩值是________．解析：由不等式组，得可⾏域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三⾓形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最⼩值0.∴z ＝3x ＋2y 的最⼩值为1.答案：13．某营养师要为某个⼉童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和6个单位的维⽣素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和10个单位的维⽣素C.另外，该⼉童这两餐需要的营养中⾄少含64个单位的碳⽔化合物，42个单位的蛋⽩质和54个单位的维⽣素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费⽤分别是2.5元和4元，那么要满⾜上述的营养要求，并且花费最少，应当为该⼉童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法⼀：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，则z 在可⾏域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.⽐较之，z B 最⼩，因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．法⼆：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，让⽬标函数表⽰的直线2.5x ＋4y ＝z 在可⾏域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最⼩值．因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．4．已知实数x 、y 满⾜x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最⼤值和最⼩值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最⼤值和最⼩值；(3)若z ＝yx，求z 的最⼤值和最⼩值．解：不等式组x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表⽰的平⾯区域如图阴影部分所⽰．由x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)；由x ＝2，x －y ＋1＝0，得x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)；由x ＝2，x ＋y －3＝0，得? x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最⼤，z 也最⼤，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最⼩，z 也最⼩，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最⼤值为7，最⼩值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂⾜为N ，则直线l 的⽅程为y ＝x .由?y ＝x ，x ＋y －3＝0，得?x ＝32，y ＝32，∴N32，32. 点N 32，32在线段AB 上，也在可⾏域内．此时可⾏域内点M 到原点的距离最⼤，点N 到原点的距离最⼩．⼜|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最⼤值为13，最⼩值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx≤2，∴z 的最⼤值为2，最⼩值为12.。

4.3简单线性规划的应用[学习目标] 1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值．知识点一图解法解线性规划问题的步骤用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解．知识点二简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 与最大值有关的实际问题例1 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．① ②(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一簇平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)， 所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．反思与感悟 解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成： (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l ； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值——解有关方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 跟踪训练1 某糖果厂生产A ，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟)：30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？ 解 设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则问题转化为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤720，5x ＋4y ≤1 800，3x ＋y ≤900，x ≥0，y ≥0下，求目标函数z ＝40x ＋50y 的最大值，作出可行域如图，其边界OA ：y ＝0，AB ：3x ＋y －900＝0，BC ：5x ＋4y －1 800＝0，CD ：x ＋2y －720＝0，DO ：x ＝0. 由z ＝40x ＋50y ，得y ＝－45x ＋z50，它表示斜率为－45，截距为z50的平行直线系，z50越大，z 越大，从而可知过C 点时截距最大，z 取得了最大值． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝720，5x ＋4y ＝1 800⇒C (120,300)．∴z max ＝40×120＋50×300＝19 800，即生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，可得最大利润19 800元． 题型二 与最小值有关的实际问题例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？ 解 将已知数据列成下表：那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一簇平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4. ∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．反思与感悟 解决线性规划问题应在切实认真审题的基础上，将约束条件全部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数或有其他范围的限制．跟踪训练2 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600 元/辆和2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为多少？ 解 设需A 型车x 辆，B 型车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤7，x ＋y ≤21，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤7，x ＋y ≤21，3x ＋5y ≥75，x ，y ∈N＋由目标函数z ＝1 600x ＋2 400y ，得y ＝－23x ＋z 2 400，z2 400表示直线在y 轴上的截距，要z 最小，则直线在y 轴上的截距最小，画出可行域(如图)，平移直线l ：y ＝－23x 到l 0过点A (5,12)时，z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800. 故租金最少为36 800元． 题型三 实际问题中的整数解问题例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为( ) A ．2件，4件 B ．3件，3件 C ．4件，2件 D ．不确定答案 B解析 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，100x ＋160y ≤800，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．2．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司应怎样合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝________元．( ) A ．4 650 B ．4 700 C ．4 900 D ．5 000 答案 C解析 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，如图阴影部分所示．然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点A (7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900元．4．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．解 设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则目标函数为：z ＝2x ＋y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤120，4x ＋11y ≤400，4x ＋6y ≤240，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示．作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A 时纵截距z 最大，即z ＝2x ＋y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋6y －240＝0，3x ＋2y －120＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝24.故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大．1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。

[A 基础达标]1．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种教学用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定解析：选B.设买A 种教学用品x 件，B 种教学用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎨⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N ＋，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种解析：选C.设购买软件x 片，磁盘y 盒，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，画出线性约束条件表示的平面区域，可行域内的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元解析：选B.设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工．每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱(x ，y ∈N )，根据题意，得约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图．目标函数z ＝280x ＋200y ，即y ＝－75x ＋z 200， 作直线y ＝－75x 并平移，得最优解A (15，55)． 所以当x ＝15，y ＝55时，z 取最大值．5．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )A ．甲4组、乙2组B ．甲2组、乙4组C ．甲、乙各3组D ．甲3组、乙2组解析：选D.设甲种x 组，乙种y 组．则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，x ≥y ，y ≥1，x ∈N ＋，y ∈N ＋ 总的组数z ＝x ＋y ，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分，寻找整点分析，x ＝3，y ＝2时，为最优解．6．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216 0007．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．解析：设买科普书x 本，文具y 套，总数为z ＝x ＋y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋10y ≤300，x ≤y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分整点所示，将z ＝x ＋y 化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x 并平移，使之经过可行域，易知经过点A ⎝⎛⎭⎫754，754时，纵截距最大，但因x ，y 均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z 最大为37.答案：378．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m 3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．解析：设甲种产品装x 件，乙种产品装y 件(x ，y ∈N )，总利润为z 万元，则⎩⎨⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，y ≥0，且z ＝10x ＋20y .作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l 0：10x ＋20y ＝0，即x ＋2y ＝0.当l 0向右上方平移时z 的值变大，平移到经过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点(4，1)时，z max ＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．答案：60万元9．A ，B 两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解：设从A 仓库调运x 万个到甲地，y 万个到乙地，则从B 仓库调40－x 万个到甲地，20－y 万个到乙地，总运费记为z 元，则有⎩⎨⎧x ＋y ≤50，40－x ＋20－y ≤30，0≤x ≤40，0≤y ≤20，z ＝120x ＋180y ＋100(40－x )＋150(20－y )，即z ＝20x ＋30y ＋7 000，作出可行域及直线l 0：20x ＋30y ＝0，经平移知直线经可行域上点M (30，0)时与原点距离最小，即x ＝30，y ＝0时，z 有最小值，z min ＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A 仓库调运30万个到甲地，从B 仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．10．雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元．(1)若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x ，y 范围的图形．(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解：(1)由题意，知x ，y 满足的条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.2x ＋0.1y ≤1.6，x ≥0，y ≥0，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)．(2)根据第一问的规划和题设条件，可知目标函数为z ＝x ＋0.6y .如图所示，作直线l 0：x ＋0.6y ＝0.当直线l 0经平移过直线x ＋y ＝10与0.2x ＋0.1y ＝1.6的交点A 时，其纵截距最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.2x ＋0.1y ＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4， 即A (6，4)，此时z ＝6＋0.6×4＝8.4(万元)，所以当x ＝6，y ＝4时，z 取得最大值．即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，且使可能的利润最大．[B 能力提升]11．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg.A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )A ．500元B ．700元C ．400元D ．650元解析：选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .利润z ＝30x ＋20y .不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点，根据目标函数的几何意义，在直线2x ＋3y ＝60和直线4x ＋2y ＝80的交点B 处取得最大值，解方程组得B (15，10)，代入目标函数得z max ＝30×15＋20×10＝650.12．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车和4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车为320元，B 型卡车为504元．每天调配A 型卡车______辆，B 型卡车______辆，可使公司所花的成本费用最低．解析：设每天调出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本为z 元，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，y ≤4，x ＋y ≤10，4×6x ＋3×10y ≥180（4x ＋5y ≥30），x ，y ∈N ，目标函数z ＝320x ＋504y (其中x ，y ∈N )．作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分，即可行域．由图易知，直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(8，0)使z ＝320x ＋504y 取得最小值，z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)．答案：8 013．某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万m 3/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万m 3/天的支流并入大河(如图)．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m 3；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m 3，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万m 3，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m 3.试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？解：设第一化工厂每天处理工业废水x 万m 3，需满足：2－x 500≤0.2%，0≤x ≤2； 设第二化工厂每天处理工业废水y 万m 3，需满足：0.8（2－x ）＋（1.4－y ）700≤0.2%，0≤y ≤1.4. 两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z ＝1 000x ＋800y 元．问题即为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2－x 500≤0.2%，0.8（2－x ）＋（1.4－y ）700≤0.2%，0≤x ≤2，0≤y ≤1.4即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，4x ＋5y －8≥0，0≤x ≤2，0≤y ≤1.4，求目标函数z ＝200(5x ＋4y )的最小值．如图，作出可行域．可知当x ＝1，y ＝0.8时目标函数有最小值，即第一化工厂每天处理工业废水1万m 3，第二化工厂每天处理工业废水0.8万m 3，能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小．14．(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料肥料A B C 甲4 8 3 乙5 5 10现有A 已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)． 所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。