数列求和的几种情形
11()(1)22
n n n a a n n S na d +-==+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法
例1 求11357(1)(21)n n S n -=-+-++--L .
变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和250n S n n =-，试求：
（1）n a 的通项公式;
（2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T
二、倒序相加
()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448
L 个
1()n n a a =+
1()2
n n n a a S += 例2 求2222o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89
三、错位相减
11n n a a q -= 11(1)(01)n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q
例3 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠L
变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =，求其n 项和n S
（2）已知数列{}n a 的通项()121.3n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，求其n 项和n S
四、裂项相消
例4 已知数列1{},n n a a =的通项公式为求前n 项和.n （n+1）
变式练习4:（1）
1111132435(2)
n n ++++⨯⨯⨯⋅+L .
（2）求数列
, (1)
1,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S
}{()
()()()}{1111,,21152.
n n n n a a a a n n n a -==+≥-在数列中，写出数列的前项；
求数列的通项公式
已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
求数列1，112+，11124++，……， 11124+++……+112
n -的和. 解：∵ 11111242n n a -=++++L 111()1221212
n
n --==-- ∴1111(1)(1)224n S =++++++L 1111(1)242
n -+++++L 211(21)(2)(2)22
=-+-+- 11(2)2
n -++-L 11112(1)242n n -=-++++L 11222n n -=-+
解：①若x=1，则S n =1+2+3+…+n = (1)2
n n + ②若x ≠1,则21123n n S x x nx -=++++L 2323n n xS x x x nx =++++L
两式相减得： 2(1)1n x S x x -=+++…+n n nx x --1
11n
n x nx x
-=-- ∴ 21(1)1n n
n x nx S x x
-=---
