第7章应力状态和强度理论(答案)

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第7章应力状态和强度理论(答案)

17.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求：⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。

解：100x MPa σ=200y MPa σ=100x MPa τ=030α=-（1）cos 2sin 2211.622x yx yxασσσσσατα+-=+-=sin 2cos 293.32x yx MPa ασστατα-=+=（2）max 261.82x yMPa σσσ+==min 38.22x yMPa σσσ+==MPa 8.2611=σMPa 2.382=σ03=σ（3）13max 130.92MPa σστ-==7.2扭矩m kN T ⋅=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο30=α方向上的正应变。

设E=200GPa,0.3υ=。

解：表面上任一点处切应力为：max 59PTMPa W τ== 表面上任一点处单元体应力状态如图30sin 251MPa στα=-=-120sin 251MPa στα=-=()004303012013.310Eεσυσ-=-=⨯2σττ7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应变4100.2-⨯=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递的功率。

解：表面任一点处应力为max 9550PPP T n W W τ==max 9550P W nP τ∴=纯剪切应力状态下，045斜截面上三个主应力为：1στ=20σ=3στ=-由广义胡克定律 ()11311E E υεσυστ+=-=又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550P W nP τ=，得109.4P KW =7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο60方向上的正应变460101.4-⨯=οε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。

应力状态分析与强度理论-习题与答案

1、一点的应力状态是指（）
（A）受力构件横截面上各点的应力情况
（B）受力构件各点横截面上的应力情况
（C）构件未受力之前，各质点之间的相互作用力状况
（D）受力构件内某一点在不同横截面上的应力情况
2、一实心均质钢球，当其外表面迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态是（）
（A）单向拉伸应力状态（B）平面应力状态
（A）铸铁为塑性材料
（B）铸铁在三向压应力状态下产生塑性变形
（C）铸铁在单向压应力作用下产生弹性变形
（D）材料剥脱
7、混凝土立方试块在作单向压缩试验时，若在其上、下表面上涂有润滑剂，则试块破坏时将沿纵向裂开，其主要原因是（）
（A）最大压应力（B）最大剪应力
（C）最大伸长线应变（D）存在横向拉应力
8、一中空钢球，内径d＝20cm，内压p＝15Mpa，材料的许用应力＝160Mpa，则钢球壁厚t只少是（）
（A）t＝47㎜（B）t＝2.34㎜
（C）t＝4.68㎜（D）t＝9.38㎜
9、将沸水注入厚玻璃杯中，有时玻璃杯会发生破裂，这是因为（）
（A）热膨胀时，玻璃杯环向线应变达到极限应变，从内、外壁同时发生破裂
（B）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从外壁开始破裂
（C）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从内壁开始破裂
（D）水作用下，玻璃杯从杯底开始破裂
因圆柱与钢筒之间的空隙，而 > ，故圆柱受钢筒弹性约束。设柱与筒之间的作用力为p，则铝柱中各点处主应力为
钢筒中各点处主应力为
设铝柱和钢筒的径向应变分别为，变形协变条件为
即
于是
得
p＝2.74Mpa
故钢筒周向应力为
即
得
所以则其相当应力为
由于 <0.5

材料力学带答疑

第七章应力和应变分析强度理论1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。

拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。

）2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零）3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。

）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零）5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。

）6. 材料的破坏形式由材料的种类而定答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）7. 不同强度理论的破坏原因不同答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。

）二、选择1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。

A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。

）2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。

A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。

）3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。

A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx =pD/4t、σy=pD/2t。

材料力学第07章应力状态分析与强度理论

2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'）为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态三个主应力中仅有一个主应力不为零单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析主应力 7.2.5 应力圆利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力

工程力学c材料力学部分第七章应力状态和强度理论

无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向需要对各点的应力情况做出分析。最大应力的位置和方向，到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的研究一点的应力状态时，应力状态。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体—单元体来研究。单元体来研究的正六面体单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态简单应力状态
复杂应力状态主应力符号按代数值的大小规定：主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求垂直于平面xy的任意斜截面上的应力垂直于平面的任意斜截面ef上的应力。的任意斜截面上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0

7-第七章应力状态分析强度理论.

第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。

2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。

3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。

三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。

3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。

xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。

设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。

7材料力学课后题答案

（二）作图题与计算题： 1、在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面 ab 上的应力。应力的单位为 MPa。
A)
A) 解： σ x =70MPa ， σ y = − 70MPa ， τ x =0 ， α
B)
= 30o
σα =
cos 2α − τ x sin 2α 2 2 70 + ( −70 ) 70 − ( −70 ) = + cos(2 × 30°) − 0 × sin(2 × 30°) 2 2 = 35MPa + sin 2α + τ x cos 2α 2 70 − ( −70 ) = sin(2 × 30°) + 0 × cos(2 × 30°) 2 = 60.62MPa
解： σ 1 = σ t = 550MPa ， σ 2 = σ z = 420MPa ，
σ 3 = σ r = −350MPa σ r3 = σ 1 − σ 3 = 900MPa
σ r4 =
1⎡ 2 2 2 ( σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤ ⎣ ⎦ 2 = 842.56MPa
第七章应力状态（训练题）答案（一）填空与改错题： 1、有一个主应力不为零时称为单向应力状态；当有二个主应力不为零时称为二向应力状态或平面应力状态；当三个主应力都不为零时称为三向应力状态或空间应力状态； 2、构件受力如图所示，图A）的危险点在固定端（如考虑自重），应力状态为 F 单向应力状态，应力大小为（ σ = ）；图B）的危险点在 BC段表面，应力 π 2 d 4 2M e 状态为纯剪切应力状态，应力大小为（ τ max = ）；图C）的危险点在固定 π 3 d 16 Fl 端上下边缘，应力状态为二向应力状态，应力大小为（ σ max = ， π 3 d 32 Me ）；图D）的危险点在轴表面，应力状态为二向应力状态，应力 τ max = π 3 d 16 Me F 大小为（ σ max = ， τ max = ）。 π 2 π 3 d d 4 16

材料力学第七章应力状态和强度理论

y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。

第7章-应力状态和强度理论03

3）最大切应力理论(第三强度理论)
假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因素，则：
max jx
对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力 jx可由单拉时的屈服应力求得，即：
jx
因为： max
ss
2
常数
s1 s 3
对图示平面应力状态，不能分别用
s max [s ]
max [ ]
来建立，因为s与之间会相互影响。研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。
4）材料破坏的形式常温、静载时材料的破坏形式大致可分为： • 脆性断裂型：例如：铸铁：拉伸、扭转等；低碳钢：三向拉应力状态。 • 塑性屈服型：例如：低碳钢：拉伸、扭转等；铸铁：三向压缩应力状态。可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。

单拉： s r 4 3 s s s 由此可得： s
1
3 [ ] 0.577[s ] 0.6[s ]
s s 0.577s s
例：两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已知材料（Q235钢）的许用应力为[s]=170MPa和[]= 100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。
W 508 10 m
6
3
再按切应力强度条件进行校核。对28a号工字钢，查表可得截面几何性质为：
I z 71.14 10 6 m 4
Iz S z ,max
d 0.85 10 m
2
24.62 10 2 m
中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：
max

家电公司研发部资料材料力学习题答案(七)

第七章应力状态和强度理论7-1 围绕受力构件内某点处取出的微棱柱体的平面图如图所示，已知该点处于平面应力状态，AC 面上的正应力σ＝－14MPa ，切应力为零，试从平衡方程确定σx 和τx 值。

答：σx ＝37.9MPa ,τx ＝74.2MPa 解：利用公式求解x x x x x cos 2sin 222sin 2cos 22yyyαασσσσσατασστατα+-=+--=+代入数据得x x x x x 9292140.3430.94229200.940.3432σστστ+--=+⨯-⨯-=⨯+⨯σx ＝37.9MPa ,τx ＝74.2MPa7-2 试绘出图示水坝内A 、B 、C 三小块各截面上的应力（只考虑平面内受力情况）。

A: B: C:7-3 已知平面应力状态如图所示，已知σx ＝100MPa ，σy =40MPa,以及该点处的最大主应力σ1＝120MPa ，试用应力圆求该点处的τx 及另外两个主应力σ2，σ3和最大剪应力τmax。

答：MPa,60,0MPa,20max 32===τσσx τ＝40 MPa 解：由应力圆分析可得A BC题 7 - 2 图题 7 - 1 图111(100,),(40,),(,0)x x c D D C ττσ'-x 121004070MPa221207050MPa 705020MPayc c c r r σσσσσσσ++====-=-=∴=-=-=是平面应力状态3=0σ∴222x x 13max (100)40MPa120060MPa 22c r σττσστ∴=-+⇒=--===7-4 已知平面应力状态一点处互相垂直平面上作用有拉应力90MPa 和压应力50MPa ，这些面上还有剪应力，如果最大主应力为拉应力100MPa ，试求：(1) 上述面上的切应力； (2) 此平面上另一主应力； (3) 最大切应力平面上的正应力； (4) 最大切应力。

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-应力和应变分析强度理论(圣才出品)

OA1
= OC + CA1
= x
+ y 2
+
(
x
− y )2 2
+
2 xy
= max = 1
OB1
= OC − CB1
=
x
+ 2
y
−
(
x
− 2
y
)2
+
2 xy
= min
=2
b．确定主平面方位的方法
如图 7-3（b）（c）所示，将半径 CD 旋转 20 到 CA1 处，单元体 x 轴沿 20 旋转方向
图 7-2 应力圆（2）应力圆的应用 ①应力圆与单元体应力间的关系点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标；夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍，且两者的转向一致。 ②求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径 CD 按方位角 α 的转向转动 2α 得到半径 CE，圆周上 E 点的坐标就是
任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数，即 + +90 = x + y 。
③最大切应力和最小切应力切应力的大小
max min
=
x
− y 2
2
+ 2xy
=
1 2
(max
− min )
切应力极值所在截面方位角
tan
21
=
x − y 2 xy
最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为 45°，即1 = 0 + 45。
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第 7 章应力和应变分析强度理论

材料力学第七章应力状态与强度理论

取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2

cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2

x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明）有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2

第七章应力状态习题答案

( 2 ）图解法作应力圆如题 7 . 4 图（ d 1）所示。应力圆与 σ 轴的两个交点的坐标，即是 σ 1 、 σ 3 的数值。由 CDx ，顺时针旋转 2α 0 ，可确定主平面的方位。 CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题 7 . 4 图（d2）所示。
5
( e ）如题 7 . 4 图（ e ）所示。
τα =
σ x −σ y
2
⎛ 100 − 50 ⎞ sin 2α + τ xy cos 2α = ⎜ sin120D + 0 ⎟ MPa = 21.7 MPa 2 ⎝ ⎠
( 2 ）图解法作应力圆如题 7 . 3 图（ cl ）所示。从图中可量得 Dα 点的坐标，此坐标便是 σ α 和 τ α 数值。 ( d ）如题 7 . 3 图（ d ）所示。
按照主应力的记号规定
σ 1 ＝4.7MPa， σ 2 ＝0， σ 3 ＝－84.7MPa
tan 2α 0 = − 2τ xy
σ x −σ y
=
=
−2 × 20 = −0.5 ， α 0 ＝－13.3° 0 + 80
τ max =
σ1 − σ 3
2
4.7 + 84.7 MPa = 44.7 MPa 2
。
1
斜截面 AB 与 x 平面的夹角 a2 = 105 ，其上应力 σ a2＝45MPa,τ a = 25 3MPa 。将这些数据代入斜截面
。
2
上应力公式中，对 AB 斜截面有
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 210。− τ xy sin 210。= 45 ①
σ x −σ y

应力状态和强度理论(答案)

7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求：⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。

设E=200GPa,0.3υ=。

材料力学应力状态和强度理论答案

7-1(7-3) 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。

由于实用的原因，图中的角限于范围内。

作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。

现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。

为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？解：按正应力强度条件求得的荷载以表示：按切应力强度条件求得的荷载以表示，则即：当时，，，时，，，时，，时，，由、随而变化的曲线图中得出，当时，杆件承受的荷载最大，。

若按胶合缝的达到的同时，亦达到的条件计算则即：，则故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。

返回7-2(7-7)试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：=由应力圆得返回7-3(7-8)各单元体面上的应力如图所示。

试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

解：（a），，，，（b），，，，（c）, , ,（d），，，，，返回7-4(7-9) 各单元体如图所示。

试利用应力圆的几何关系求：（1）主应力的数值；（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

解：（a），，，（b），，，（c），，，（d），，，返回7-5(7-10)已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。

试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交轴于点C，以C为圆心，CA或CB为半径作圆，得（或由得半径）（1）主应力（2）主方向角（3）两截面间夹角：返回7-6(7-13) 在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如图所示。

试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。

已知钢板的弹性常数E=206GPa，=0.28。

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已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求：
⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；
⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。

解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0
30α=-
（1）cos 2sin 2211.622
x y
x y
x MPa ασσσσσατα+-=
+
-=
sin 2cos 293.32
x y
x MPa ασστατα-=+=
（2）2
2max 261.82
2x y
x y x MPa σσσσστ+-⎛⎫=
+= ⎪⎝⎭
2
2
min 38.222x y
x y x MPa σσσσστ+-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ
（3）13
max 130.92
MPa σστ-==
扭矩m kN T ⋅=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成
30=α方向上的正应变。

设E=200GPa, 0.3υ=。

解：表面上任一点处切应力为：
max 59P
T
MPa W τ=
= 表面上任一点处单元体应力状态如图
30sin 251MPa στα=-=-
120sin 251MPa στα=-=
()
00430301201
3.310E
εσυσ-=
-=⨯ 100100
200
60T
α
A 2
σ1
στ
τ
用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成
45方向上的正应变
4100.2-⨯=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递
的功率。

解：表面任一点处应力为
max 9550P
P
P T n W W τ==
max 9550
P W n
P τ∴=
纯剪切应力状态下，0
45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=-
由广义胡克定律 ()11311E E
υ
εσυστ+=
-= 又()21E G υ=+V 2G τε∴= 代入max 9550
P W n
P τ=
，得109.4P KW =
图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成
60方向上的正应变460101.4-⨯=
ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。

解：0P
A
σ= 204D P πσ=⋅
斜截面上 02
060cos
4
σσσα==
2001503cos 4
σσσα==
由广义胡克定律
()
0006015060134E E
υεσυσσ-=
-= 将060043E εσυ
=
-代入2
04
D P πσ=⋅
解得P=
45A
80120
60
A P
在一槽形刚体的槽内放置一边长为mm 10的正立方钢块，钢块与槽壁间无孔隙，当钢块表面受kN 6的压力（均匀分布在上表面）时，试求钢块内任意点的主应力。

已知
33.0=μ。

解：坐标系如图所示
易知： 0x ε= 0y σ= z P A
σ=- 由广义胡克定律
()1
x x y z E εσυσσ⎡⎤=
-+⎣
⎦
()1y y x z E εσυσσ⎡⎤=-+⎣
⎦ ()1
z z x y E
εσυσσ⎡⎤=-+⎣⎦ 解得 19.8x MPa σ=- 0y σ= 60z MPa σ=- 可知刚块内任一点的主应力为
10σ= 219.8MPa σ=- 360MPa σ=-
试对铸铁零件进行强度校核。

已知：MPa t 30][=σ，30.0=μ，
危险点的主应力为：
MPa 29][1=σ，MPa 20][2=σ，MPa 20][3-=σ.
解：由题意，对铸铁构件应采用第一或第二强度理论第一强度理论：[]129t MPa σσ=
第二强度理论：()[]12329t MPa σμ
σσσ-+= 故零件安全。

P
10
1010Y
X
Z
圆杆如图所示，已知mm d 10=，Pd T 10
1
=，试求许用荷载P 。

若材料为：
⑴ 钢材，MPa 160][=σ； ⑵ 铸铁，MPa t 30][=σ。

解：此为拉扭组合变形，危险点全部在截面周线上，应力状态如图
2
4P P
A d
σπ=
= 21610p T P W d τπ==
（1）钢材由第三强度理论[]2234r σστσ=+≤，得P= （2）铸铁由第一强度理论[]2211
422
r t σ
σστσ=
+
+≤，得P= 某种圆柱形锅炉，平均直径为mm 1250，设计时所采用的工作内压为23个大气压，在工作温度下的屈服极限MPa s
5.182=σ，若安
全系数为8.1，试根据第三强度理论设计锅炉的壁厚。

解：设该锅炉为薄壁圆筒结构，壁厚为δ，由题意容器承受的内压为
230.1 2.3P MPa =⨯= （一个大气压=）
由薄壁圆筒的特点，可认为圆筒横截面上无切应力，而正应力沿壁厚和圆周都均匀分布，于是得圆筒横截面上的正应力为
T
P
δ
δσ4π4π2pD D D p A F =⨯=='τ
圆筒径向截面（纵截面）上的正应力，单位长度圆筒中以纵截面取的分离体如图所示
()''
221P N F F PD σ
δ==⨯⨯⨯=
得 ''
2PD
σδ
=
圆筒内壁上沿半径方向的正应力为 '''
P σ=-
故 12PD σδ=
24PD σδ= 3P σ=- 由薄壁圆筒的特点，4PD
δ
远大于P ,可认为30σ=。

由第三强度理论[]3132s r PD
n
σσσσσδ=-=≤=，解得14.2mm δ≥
在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力KN F 20=时，测得试样中段B 点处与其轴线成030方向的线应变为4301025.30
-⨯=ε。

已
知材料的弹性模量
a GP E 210=，试求泊松比。

解：0100F
MPa A
σ=
= 0
2030cos 75MPa σσα== 0
20120cos 25MPa σσα==
由广义胡克定律
0030301201E
εσυσ⎡⎤=
-⎣⎦ 解得0.27υ=
mm D 120=,mm d 80=的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩e M ，如图
所示。

在轴的中部表面A 点处，测得与其母线成045方向的线应变为
445106.20
-⨯=ε。

已知材料的弹性常数a GP E 200=，3.0=ν。

试求扭转力
偶矩e M 。

D
解：A 点处切应力e P P
M T
W W τ=
= 应力状态及主应力单元体如图
1στ=，20σ=，3στ=-
()0
1134511E E
υ
εεσυστ+==
-=
代入相关数据，解得
10.9e
M KN m =•。

第7章应力状态和强度理论(答案)

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