第七章习题解答
1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？
解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。
2.设],[b a C ∞
是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则)
()(1)()(max
)
()
()()(t g t f
t g t f r r r r b
t a -+-≤≤=0，即f=g
（2）)()(1)()(max 21
),()()()()(0
t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑
=d （f ，g ）+d （g ，h ）
因此],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞
=1。
证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1
),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n
x x d 1
),(10<
。设,0),(110>-=x x d n
δ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是开集
显然B o n n ⊃⋂∞
=1
。若n n o x ∞
=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n
x x d 1
),(1<
，因此)(∞−→−−→−
n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞
=1
。
4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离。
证明（1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
=
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++
)
,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___
__z y d z x d +。 5.证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈的充要条件为n f 的各阶导数在
[a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。
证明若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈，即
)()(1)
()(max 2
1
),()
()()()
(0t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑
——>0)(∞−→−n 因此对每个r ，)()(1)()(max 2
1
)()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b
t a r r -+-≤≤∞
=∑——>0)(∞−→−n ，这样 b
t a ≤≤max )()()()
(t f t f r r n -——>0)(∞−→−
n ，即)()
(t f r n 在[a ，b]上一致收敛于)()(t f r 。 反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使
2211ε<∑∞
+=o r r r
；存在r N ，使当r N n >时，max )()()
()(t f t f r r n -00
,2,1,0,2r r r =<ε，取N=max{N N N 1}，当n>N 时，)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤
≤≤∞
=∑ 即),(n f f d ——>0)(∞−→−
n 。 6.设],[b a B ⊂，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，而集A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集。
证明记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞
>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集
充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使)(max )(0t f t f B
t ∈=。设
0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ⊂),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集
必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞−→−n ，必有B t ∈0。
倘若B t ___
0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0因此A t f o ∈)(由于A 是开集，
