关于高中数学选修教材4-1,4-4教材分析

高中数学圆内接四边形的性质与判定定理教案选修4-1 几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，迄今为止还没有其他课程能够代替几何的这种地位，几何证明过程包含着大量的直观、想象、探究和发现的因素，这对培养学生的创新意识也非常有利.本讲主要证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.研究近几年的新课标高考试卷，不难发现，高考对本部分内容的考查大多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形等知识上，难度不大，一根据新课程改革考纲的要求，这一讲我们计划安排4 课时复习，具体安排如下：第一节：圆周角定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆周角定理，会用圆周角定理，并会借助圆周角定理证明角相等，三角形相似等问题.第二节：圆内接四边形的性质与判定定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆内接四边形的性质与判定定理，会灵活运用定理、证明四点共圆问题及解决角相等的问题.第三节：圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质一课时.这节课主要帮助学生通过复习圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质,熟练掌握判定切线的方法.已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心连线成直角，第二应考虑弦切角定理，第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.第四节：与圆有关的比例线段一课时.这节课主要帮助学生复习相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理，会结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题.复习时,我们主要是通过知识梳理→开心自测→金题精讲→知能演练→课堂小结→能力锤炼等几个环节进行的.由于湖北高考数学试题选考几何证明专题,从近几年新课标高考试题中不难看出,以圆为载体的证明题或计算题出现的频率较高,所以我们认为:对直线与圆的位置关系复习是重中之重,而圆内接四边形的性质与判定定理是该讲的核内知识,它起到了承前启后的作用，它之前有圆周角定理，它之后还有圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质、相交弦定理、切割线定理、切线长定理等.另外,认真落实教材所讲的知识,重视教材中的例题和习题,深研教材,发掘教材中的内涵是提高几何专题复习效率的一种有效途径.第二节《圆内接四边形的性质与判定定理》说课稿一、说教材（一）教材分析圆内接四边形的性质与判定定理是选修4-1第二讲的核心内容,也是新课标高考试题中的常见考点.以圆为载体的相关问题是新高考命题的潜规则,这是因为:1.根据四点共圆这个条件,可以构造出直角三角形,容易设置高考题.2.四点共圆时,可充分利用外角等于它的内对角、对角互补、相交弦、切割线、割线定理等证明等式.所以应高度重视对这一节教材中的三个定理和一个推论的复习,关键是要让学生懂得定理的应用.（二）教学目标知识目标1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；2.掌握圆内接四边形判定定理及其推论;熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理进行计算和证明．能力目标1.通过对圆内接四边形的概念及其性质定理的复习,培养学生应用定理解决问题的能力;2.通过复习圆内接四边形判定定理及其推论,促使学生会用定理判定四点共圆；3.通过定理的应用，培养学生逻辑推理能力．情感目标1.开心自测引入复习，激发学生观察、分析、探求的学习激情，强化学生参与意识及主体作用.2.通过证明方法的探求，培养学生勤于思考的习惯，并促进学生辩证思维的能力和严谨的治学精神和态度，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.（三）教学重难点1.重点圆内接四边形的性质与判定定理.2.难点定理的灵活应用.二、说教法在课堂教学过程中，要充分调动学生学习的主动性.通过学生自己动手操作、探索，获得对知识的深刻理解，这符合中学生好动厌静的心理特点，能更好地吸引学生的注意力.要把课堂还给学生，多注意倾听，理顺学生思维过程，引导学生合作探究.借助学生的嘴来说，借助学生的脑来想.自己要注意选用示范性强、有一定梯度的2—3道例题进行重点分析、讲评，要善于把自己对于问题的理解转化为学生的理解，而不是直接强加给学生.要培养学生自己“找路”的能力，在学生迷路时及时给予点拨，让学生在主动参与学习的过程中真正的理解.针对本节课的复习目标，主要以下面几个环节进行：知识梳理→开心自测→金题精讲→知能演练→课堂小结→能力锤炼.三、说学法因为这节课的内容学生在初中已经接触过，内容也比较熟悉，但是定理如何灵活地在解题中运用还有一些欠缺，遇到题目时往往无从下手，所以在复习过程中要善于引导学生运用目标分析意识来解决问题.这节课以解决问题为主线展开，主要采用“探究式学习法”，引导学生发挥主观能动性，主动探索新知.四、说教学过程知识梳理圆内接四边形的性质定理：定理1 圆内接四边形的对角互补.定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论: 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.设计意图：通过梳理知识,使学生明确本节所复习的内容,熟练掌握本节的三个定理和一个推论.开心自测1.如图1,⊙O的内接四边形BCED,延长ED,CB交于点A,若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=_______;CE=__________.2.如图2，AD、BE是△ABC的两条高,求证:∠CED=∠ABC.1.选题立意：设计开心自测题,主要体现课堂中的自主学习,目的是激发学生的学习兴趣.其中第1题的立意是:考查圆内接四边形性质定理及割线定理的灵活运用.第2题的立意是:考查灵活运用圆内接四边形性质定理证明角相等问题.2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题,并分成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.金题精讲例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案.这样问题可以转化为证明Rt△ADE与Rt△ABC相似,从而利用本节的推论来证明四点共圆.第(2)小题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG中求圆的半径了.3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四边形的判定定理或其推论.解题时,关键是寻找四边形的对角互补或其一外角与它的内角的对角相等.金题精讲例2(2011·辽宁卷)如图4,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.(1)证明:CD∥AB;(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明A,B,G,F四点共圆.1.选题立意：本题考查平面几何的证明问题,主要涉及两条直线平行以及四点共圆的判定.2.处理过程:第(1)小题如何利用已知条件来证明CD∥AB?让学生去“找路”,证平行问题主要是运用平行线的判定定理.本题中A、B、C、D四点共圆这个条件的正确运用是证明该问题的关键.第(2)小题是证明四点共圆问题,引导学生作出辅助线,连接AF、BG得四边形ABGF,如何运用四点共圆的判定定理呢?此时,把问题交给学生去探究.要证∠AFD+∠ABC=180°,即证∠FAB=∠GBA.3.老师点评：灵活运用圆内接四边形性质与判定定理是解题的关键.例3 (2009年·宁夏)如图5,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.(1)证明:B,D,H,E四点共圆;(2)证明:CE平分∠DEF.1.选题立意：本题考查四点共圆的判定方法及利用四点共圆的性质证明角相等问题.2.处理过程:第(1)小题只要证明四边形BDHE的内对角互补即可,但该小题的的难点恰在于如何证明内对角互补.这时可以分组讨论,充分调动学生的学习积极性,只要学生能想的就让学生想,学生能说的让学生说,学生能做的让学生做.第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式.3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.知能演练如图6,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC⌒上的点(不与A,C重合),延长BD到E.(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为2+ 3 ,求△ABC外接圆的面积.设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.能力锤炼:1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:BC BE = CFEF .2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2=AC ·BD.3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点. (1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.4.如图10,已知四边形ABCD 内接于圆,延长AB 和DC 相交于E,EG 平分∠E,且与BC 、AD 分别相交于F 、G.求证:∠CFG=∠DGF.5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线,A 、B 分别是切点,C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点,课堂小结 1.本节课我们复习了圆内接四边形的性质与判定定理.2.通过开心自测、金题精讲和知能演练，使我们初步掌握了如何灵活运用圆内接四边形的性质与判定定理解决问题.3.这节课我们运用了数形结合、转化与化归等数学思想方法.设计意图:课堂小结使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆内接四边形的性质与判定定理认识的再次深化.能力锤炼能力锤炼题见表下面.设计意图:课后检测，巩固本节知识点，深化相应的数学能力.若∠ACB=120°,求∠APB的大小.。

部编版高中数学高考数学选修4-4全套精品教案第一讲坐标系课题：平面直角坐标系教学目标：1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。

2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。

教学重点：体会直角坐标系的作用。

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。

授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。

3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。

它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。

三、讲解新课：1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

变式训练如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?变式训练1一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。

《极坐标系》教学设计江西省乐平市第一中学高中数学组程新华一、教材分析《极坐标系》是高中数学北师大版选修4-4第一章第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系、任意角的概念的背景下，结合学生的日常生活，探究建立极坐标系的合理性，便捷性。

类比直角坐标系的研究方法自主完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化。

为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础。

二、学情分析学生已经对平面直角坐标系有了一定的了解；极坐标系的思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该较容易接受。

高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转化，学生在概括总结极坐标系知识上可能会有所不足。

三、教学目标分析1.知识与技能：①理解极坐标系的有关概念；掌握极坐标系下表示点的多值性。

②掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：a）会在极坐标系内描出已知极坐标的点；b）会写出极坐标平面内点的极坐标；③掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化。

2.过程与方法：通过双师教学，促进重难点理解，体会数形结合、类比的数学思想方法；通过精准辅导，提高教学效果，每个学生都有收获。

通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3.情感态度与价值观：通过日常生活中的语言引入极坐标系让学生感受生活中的数学，体验数学的实际应用价值。

通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦，提高解决问题的能力。

四、教学重难点：教学重点：掌握极坐标系的相关概念，明确能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。

直角坐标系与极坐标系互化公式及其运用五、教学方法：问题引入法、讲解示范法、自主学习法、个别辅导法、分组讨论法。

六、教学基本流程七、教学情境设计：问题设计意图师生活动（1）吃鸡游戏中常给队友秒回敌人的位置。

如“1点钟方向100米有敌人。

”这句话从哪些方面刻画了敌人的位置？体会用距离和角度表达方位的优越性，引入极坐标系。

高中数学选修4-4一、课程概述高中数学选修4-4是高中数学课程的一部分，主要内容包括立体几何和空间解析几何。

本课程注重培养学生的空间想象能力和几何推理能力，并为学生提供数学思维的训练和发展。

二、课程目标通过学习高中数学选修4-4，学生将达到以下目标： 1. 掌握立体几何的基本概念和性质； 2. 能够运用立体几何的知识进行几何推理和证明； 3. 熟练掌握空间解析几何的基本方法和技巧； 4. 能够应用空间解析几何解决实际问题。

三、课程内容3.1 立体几何1.空间中的点、线、面的概念；2.二面角和三面角的性质；3.空间几何体的分类和性质，如三棱锥、四棱锥、棱柱、棱台、正立方体等；4.空间几何体的体积和表面积计算公式；5.利用立体几何的知识进行几何证明和推理。

3.2 空间解析几何1.点和向量在三维空间中的坐标表示和运算；2.直线的方程和性质，包括点向式、两点式、对称式等；3.平面的方程和性质，包括点法式、点线式、截距式等；4.点、直线和平面的位置关系；5.利用空间解析几何解决实际问题的方法和技巧。

四、教学方法1.理论讲授：通过课堂讲解，系统地介绍立体几何和空间解析几何的基本概念、性质和方法。

2.实例演练：通过解答典型例题，帮助学生掌握具体的计算方法和推理过程。

3.讨论探究：组织学生进行小组讨论，引导他们思考和探索问题，培养解决问题的能力。

4.课堂练习：布置课堂练习题，加强学生对知识的巩固与运用。

五、考核方式高中数学选修4-4的考核方式主要采用考试的形式，包括平时小测、单元测试和期末考试。

考试内容包括理论知识的掌握、解题能力的应用以及几何证明和推理的能力。

六、学习建议1.认真听课，做好课堂笔记，理解和掌握每一节的内容；2.复习时，注重知识的巩固和联系，多做一些例题和习题；3.参加互动讨论，与同学一起讨论解题方法和思路；4.及时向老师请教和反馈问题，做好学习进度的控制；5.注重培养几何推理和分析问题的能力，培养自主学习和解决问题的能力。

庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O 的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，的度数典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC . ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华 本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。

庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a ∥b ∥c,则EFDE BC AB =.图1-2-13.定理的证明：若BCAB 是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现.4.定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多.知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图121):如果已知是a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示:如图1-2-2所示，a ∥b ∥c,则BCDE AC AE AB AD ==(1) （2）图1-2-23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好. 误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF).图1-2-4 图1-2-5平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1-2-5,若l 1∥l 2∥l 3,则EFDE BC AB =. 比较这两个定理可知:当截得的对应线段成比例,比值为1时,则截得的线段相等,即当EFDE BC AB ==1时,则有AB=BC,DE=EF,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.在使用平行线分线段成比例定理时,要特别注意“对应”的问题，如图1-2-5中的线段AB 、BC 、AC 的对应线段分别是DE 、EF 、DF.由平行线分线段成比例定理有DFEF AC BC DF DE AC AB DE EF AB BC ===,,.根据比例的性质,还可以得到DF AC DE AB EF BC DE AB ==,,DFAC EF BC =. 为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把DFDE AC AB =说成是“上比全等于上比全”，把EFBC DE AB =说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.问题2 证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行线分线段成比例定理及推论能发挥什么作用？思路:从学过的所有涉及线段相等的结论进行总结.探究:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有的(或添作的)平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出.典题·热题例1如图1-2-6所示，∠A=∠E ，BE AB =21，BD=8，求BC 的长.图1-2-6思路分析：要求BC ，由于BC 和BD 是对应线段，因此只要得出AC ∥DE 即可. 解：∵∠A=∠E ，∴AC ∥DE. ∴BEAB BD BC =(平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例). ∴8BC =21.∴BC=4. 误区警示 在列比例式求某线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式第一项，以减少比例变形，减少错误.例2如图1-2-7所示，DE ∥BC ，EF ∥DC ，求证:AD 2=AF·AB.图1-2-7思路分析：要证AD 2=AF·AB ，只要证ABAD AD AF =，由于AF 、AD 、AB 在同一直线上，因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比.从基本图形“A”型中立即可找到过渡比为ACAE . 证明：∵DE ∥BC ， ∴ACAE AB AD =(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例). ∵EF ∥DC,∴ACAE AD AF =. ∴AB AD AD AF =,即AD 2=AF·AB. 深化升华 等积式常常转化为比例式证明，要善于从复杂图形中识别出基本图形中的公共部分(即ACAE )，它往往是构成证明中的过渡比.例3如图1-2-8所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD=DC ，求证:AE·FB=EC·FA.图1-2-8思路分析：本题只要证FB FA EC AE =即可.由于EC AE 与FBFA 没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明：过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点.∵AG ∥BD,∴FB FA =BDAG . 又∵BD=DC,∴FB FA =DCAG . ∵AG ∥BD,∴DC AG =ECAE . ∴EC AE =FB FA ,即AE·FB=EC·FA. 变式方法 本题过点A 还有一种方式作平行线构造基本图形，过B 、C 都有两种方式作平行线构造基本图形.例4如图1-2-9，已知AD 是△ABC 的内角平分线,求证:CDBD AC AB =.图1-2-9思路分析：AB 、AC 不在同一直线上，而BD 和CD 在同一直线上.在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线.证明：过点C 作CE ∥AD ，交BA 的延长线于点E,∵AD ∥EC,∴CDBD AE AB = 又∵∠E=∠BAD,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠CAD, ∴∠E=∠ACE.∴AC=AE.∴CD BD AC AB =. 深化升华 此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线段与夹这个角的两边对应成比例.例5某同学的身高1.60米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长2米，求这个路灯的高？图1-2-10思路分析：结合光的直线传播，建立如图1-2-10所示的三角形，根据人体与路灯杆平行将题目转化为成比例线段，代入数值可以获得结果.解：如图1-2-10，AB 表示同学的身高，CD 表示路灯的高.∵AB ∥CD,∴CDAB PD PB = ∴CD=2)42(6.1+⨯=⨯PB PD AB =4.8(米). 答:路灯高为4.8米.例6如图1-2-11，从Rt △ABC 的两直角边AB 、AC 向三角形外作正方形ABFG 及ACDE ，CF 、BD 分别交AB 、AC 于P 、Q 点，求证:AP=AQ.图1-2-11证明：∵AB ∥GF,AC ∥ED ， ∴BE BA ED AQ CG CA GF AP ==,,即AP=CG GF CA ∙,AQ=BEED BA ∙. ∵CA=ED,GF=BA,CG=BE,∴AP=AQ.例7如图1-2-12，四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD 、BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K ，求证:KO 2=KE·KF.图1-2-12思路分析：KO 、KE 、KF 在一条直线上，要证明KO 2=KE·KF ，即要证KOKF KE KO =，显然要寻找中间比，现有图形无法将线段KO 、KE 、KF 与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来，若延长CK 、BA ，设它们交于H ，则图形中出现如上题所说的两个基本图形,这就不难将KOKF KE KO =进行转换而找到中间比. 证明：延长CK 、BA ，设它们交于H ，∵KO ∥HB,∴KH DK HA KE DH DK HB KO ==,.∴HA KE HB KO =,即HAHB KE KO =. ∵KF ∥HB,同理可得HA HB KO KF =.∴KO KF KE KO =,即KO 2=KE·KF. 深化升华 本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到KE KO 与KOKF 的中间比，使问题得以突破,也可以由两个基本图形直接得到HA HB KO KF HA HB KE KO ==,.。

“参数方程的意义”教学设计宿迁市马陵中学李毅1．教材分析所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修4-4）》（苏教版），内容是第4章第1节。

曲线与方程的概念是解析几何的基本概念，解析几何主要研究两个基本问题：建立曲线方程和利用曲线方程研究曲线的性质。

“参数方程”相对于普通方程，是曲线的另一种表达形式，它弥补了普通方程表示曲线方程的不足，特别是在研究一类比较复杂的运动轨迹（如弹道曲线、摆线、心形线等）时，表现出的较大灵活性和深刻性，更是“数”和“形”的又一次完美结合。

通过对参数方程的学习，使学生掌握参数方程基本概念，了解曲线方程的多种表达形式，体会从实际问题抽象数学问题的过程，培养学生探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。

2．教学目标（1）理解曲线参数方程的概念，明确参数方程与普通方程的关系；（2）通过对直线、圆、椭圆以及斜抛运动等常见曲线的参数方程的研究，了解参数意义，体会学习参数方程的优越性和必要性，形成数学抽象思维的能力；（3）创设数学活动，感知数学知识之间的内在联系，感受人类思维和智慧的魅力，培养和激发学生学习数学的兴趣和热情。

教学重点：参数方程概念的建构。

教学难点：建立曲线的参数方程的方法。

教学设计：1．创设情境，引入课题直线经过点（1,2），若将直线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得的直线与重合，求直线的方程。

（必修2 、N两点，自M作MT⊥OX，垂足为T,自N作NT,垂足为P,求点P的轨迹方程设计意图：通过这个例题我们发现普通方程、参数方程各有利弊，固然参数方程在研究比较复杂的运动轨迹时有极大的优越性，但普通方程能帮助我们发现曲线的类型。

这也提醒我们学习新的知识之后，不能喜新厌旧，要把新旧知识进行对比，优势互补，新旧合璧，发挥最大效果。

7．回顾小结，提炼升华教师：本节课学习了什么概念？解决了什么问题？体现了哪些数学思想方法？还有哪些新的收获？师生合作，围绕以下三方面进行总结：（1）概念剖析：参数方程的意义；（2）问题分析：合理选择曲线方程形式，学会应用参数方程解决实际问题，体验参数的基本思想；（3）思想方法：从特殊到一般、类比等数学方法。

坐标系与参数方程（陈昌杰）本章学情分析与教材分析（一）学情分析：本专题是高中数学选考内容之一，包括“坐标系”和“参数方程”两个内容．“坐标系”这个概念比较熟悉，但这里要涉及坐标变换、极坐标系、空间柱坐标系、球坐标系等，其中空间柱坐标系、球坐标系在高考中不作要求．通过本专题的教学，使学生掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识．1．学生已经从初中开始学习坐标系，对坐标系有了较为深刻的认识，教学中我还是侧重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同．同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式．因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式．在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处．2．学习极坐标前学生已经在必修4中学习了三角函数的定义，再通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π．极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围．3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程．4．在物理中，学生已经学习了平抛运动，由此引入参数方程，使学生了解参数的作用．应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程．（二）教材分析：1．核心素养坐标系是解析几何的基础，在坐标系中，可以用有序实数对确定点的位置，进而用方程刻画几何图形．为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系，从而引入了诸如极坐标系等．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．有些曲线用参数方程比用普通方程处理问题更为方便，学习参数方程有助于进一步体会解决问题中数学方法中的灵活多变．本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，极坐标系和参数方程是本专题的重点内容．2．本章目标（1）坐标系：了解坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标与直角坐标的互化．（2）曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单曲线（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．（3）了解平面直角坐标的平移变换与伸缩变换．（4）参数方程：了解抛物线运动轨迹的参数方程及参数的意义；理解直线的参数方程及应用．理解圆及椭圆（中心在原点，对称轴是坐标轴）的参数方程及简单应用．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．3．课时安排全书共需8课时第一讲坐标系一平面直角坐标系1课时二极坐标系1课时三简单曲线的极坐标方程1课时第一讲坐标系章末回顾1课时第二讲参数方程一曲线的参数方程1课时二圆锥曲线的参数方程1课时三直线的参数方程2课时第二讲参数方程章末回顾1课时4．本书重点直线与圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程5．本书难点直线与圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程。

部编版高中数学高考数学选修4-4全套精品教案第一讲坐标系课题：平面直角坐标系教学目标：1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。

2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。

教学重点：体会直角坐标系的作用。

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。

授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。

3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。

它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。

三、讲解新课：1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

变式训练如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?变式训练1一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。

庖丁巧解牛知识·巧学一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理的表述形式稍有差别，但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.知识拓展利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系;再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论:如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B+∠D=180°，那么四边形ABCD内接于圆.疑点突破要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验，只要能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如A、B、C三点作一个圆，再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内，若作出对角线BD，设BD和圆交于D′，连结AD′、CD′，则ABCD′为圆内接四边形(如图2-2-2)，则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面，因为∠ADB、∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B<∠ADB，∠BD′C<∠BDC，于是有∠AD′C<∠ADC.因为已知∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABC+∠AD′C<180°，这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内.用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上，即四边形ABCD内接于圆.图2-2-2三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点的距离相等).问题·探究问题圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？思路:反证法是一种间接证法，它先是提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定原假设，达到肯定原命题正确的一种方法.探究:反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是不都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有(n-1)个；至多有一个至少有两个；唯一至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种)，如在上述定理证明中，假设点D不在圆上，则有点D在圆外和点D在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用.典题·热题例1如图2-2-3，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆.图2-2-3思路分析：连结EF.由∠B+∠AEF=180°，∠B+∠C=180°，可得∠AEF=∠C.证明：连结EF.∵ABCD为平行四边形，∴∠B+∠C=180°.∵A、B、F、E内接于圆，∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C、D、E、F四点共圆.深化升华要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形，然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.例2两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠EAB=∠DAB.求证：CD=EF.思路分析：要证CD=EF，只需证明△CBD≌△EBF即可.从图2-2-4可以看出，∠C=∠E，∠D=∠F，因此，只需再找一条对应边相等即可.比如，能否推出BC=BE呢？要证BC=BE，只需∠CEB=∠ECB.有无可能呢？可以发现，∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以，只需证∠2=∠CEB即可.这时我们发现，A、B、E、C是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等.至此，思路完全沟通.图2-2-4证明：∵ABEC为圆内接四边形，∴∠2=∠CEB.又∵∠1=∠ECB，且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB.∴BC=BE.在△CBD与△EBF中，∠C=∠E，∠D=∠F，BC=BE，∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.深化升华利用圆内接四边形的性质，直接写出∠2=∠CEB，简化了通过弧与角的计算推证∠2=∠CEB的过程，正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程.例3在锐角△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F.求证：FG∥BC.思路分析：证FG∥BC，只需证∠DFG=∠DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系，探求证明的思路.证明：如图2-2-5，由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，所以B、C、D、E四点共圆.由同弧上的圆周角，有∠DBC=∠DEG.同理，Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE，所以D、E、F、G四点共圆.图2-2-5于是，∠DEG=∠DFG.因此，∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC.例4如图2-2-6所示，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使得AP=BQ.图2-2-6求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.思路分析：要证O、A、P、Q四点共圆，只需证∠CPO=∠AQO即可.为此，只要证△CPO≌△AQO即可.证明：连结OA、OC、OP、OQ.在△OCP和△OAQ中，OC=OA，由已知,CA=AB，AP=BQ，∴CP=AQ.又O是△ABC的外心，∴∠OCP=∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，∴∠OAC=∠OAQ，从而∠OCP=∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠CPO=∠AQO.∴O、A、P、Q四点共圆.深化升华本题也可证△OAP≌△OBQ,得到角相等，进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.例5如图2-2-7所示,在半径为1的⊙O 中，引两条互相垂直的直径AE 和BF ，在上取点C ，弦AC 交BF 于P ，弦CB 交AE 于Q.证明四边形APQB 的面积是1.图2-2-7思路分析：由已知条件可以证明四边形ABEF 是正方形，且边长为2，则正方形面积为2. 而△ABD 的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S 四边形APQB =S △ABD ，即证S △BPD =S △BPQ ，即证DQ ∥PB.因为BP ⊥AE ，所以，只需证DQ ⊥AE.证明：∵AE 、BF 为互相垂直的两条直径，垂足O 为圆心，∴AE 、BF 互相平分、垂直且相等.∴四边形ABEF 是正方形.∴∠ACB=∠AEF=45°，即∠DCQ=∠QED.∴D 、Q 、E 、C 四点共圆.连结CE 、DQ ，则∠DCE+∠DQE=180°.∵AE 为⊙O 的直径，∴∠DCE=90°，∠DQE=90°.∵∠FOE=90°，进而DQ ∥BF ，∴S △BPQ =S △BPD .∴S △ABP +S △BPQ =S △ABP +S △BPD ，即S 四边形ABQP =S △ABD .∵⊙O 的半径为1，∴正方形边长为2，即AB=AF=2.∴S 四边形ABQP =S △ABD =21AB·AF=1. 方法归纳 当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决，这种方法常称之为“作辅助圆”方法.。

高二选修4-4数学知识点高二选修4-4数学课程主要介绍了以下几个数学知识点：排列与组合、概率、数列与数学归纳法。

在这篇文章中，我将简要介绍这些知识点的基本概念和常用方法。

一、排列与组合排列与组合是数学中的两个基本概念，用于计算对象的不同排列方式和组合方式。

1. 排列排列是指将一组对象按照一定的顺序排列的方式。

排列分为有重复元素的排列和无重复元素的排列。

- 有重复元素的排列：当对象中存在相同元素时，计算排列数需要考虑重复次数。

常用公式为排列数 = 总对象数 / (重复元素1的次数! * 重复元素2的次数! * ... * 重复元素n的次数!)。

- 无重复元素的排列：当对象中不存在相同元素时，计算排列数直接使用总对象数的阶乘。

常用公式为排列数 = 总对象数!。

2. 组合组合是指将一组对象按照一定的方式组合的方式。

组合不考虑元素的顺序，只关注元素的选择。

- 有重复元素的组合：当对象中存在相同元素时，计算组合数需要考虑重复次数。

常用公式为组合数 = (总对象数 + 组合元素数- 1)! / (组合元素数! * (总对象数 - 组合元素数)!).- 无重复元素的组合：当对象中不存在相同元素时，计算组合数直接使用组合元素数的阶乘。

常用公式为组合数 = 总对象数! / (组合元素数! * (总对象数 - 组合元素数)!).二、概率概率是描述事件发生可能性的数值，用于分析随机事件的规律性。

在高二选修4-4数学课程中，我们主要学习了基本概率、条件概率和事件的独立性。

1. 基本概率基本概率是指在所有可能事件中，某一事件发生的概率。

常用公式为概率 = 事件发生数 / 总事件数。

2. 条件概率条件概率是指在已知某一条件下，事件发生的概率。

常用公式为条件概率 = 事件A与事件B同时发生的概率 / 事件B发生的概率。

3. 事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件相互之间不影响发生概率的性质。

若事件A和事件B是独立事件，则事件A发生和事件B发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。