线性规划单纯形法(例题)

求单纯形表中的未知数例题以下是一个求解线性规划问题的例题，涉及到单纯形法。

假设有如下线性规划问题：
最大化: 4x + 6y
约束条件:
x + 2y <= 12
x + y <= 8
x, y >= 0
目标函数系数：4 和6。

约束条件的系数分别是：1、2、1 和1。

首先，我们需要构建一个初始单纯形表。

在这个表中，我们有两个基变量和两个非基变量。

基变量的系数是约束条件的系数，而非基变量的系数是目标函数的系数。

初始单纯形表如下：
在这个表中：
B列是基变量的检验数，表示的是当前解是否可行或最优。

非基变量的检验数表示的是当非基变量进入基变量时，目标函数的增加值。

我们将其设置为负无穷，表示这是一个入基变量，其增加量可以被任意大。

最后一行的两个问号表示的是非基变量的值，我们将其设置为待求解的值。

然后，我们开始迭代。

在每一次迭代中，我们都会找到一个入基变量和出基变量，然后更新单纯形表。

这个过程会一直持续到所有的检验数都满足最优性条件（即所有的B列的值都大于等于0）。

单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。

在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。

单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。

下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。

单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。

我们将建立单纯形表，以便求出最优解。

首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。

补全单纯形表例题
单纯形法是线性规划问题的一种求解方法。

在给定的线性规划问题中，我们首先找到一个初始解，然后通过迭代的方式找到最优解。

以下是一个简单的线性规划问题的单纯形法求解过程：
例题：
目标函数：最大化 z = 3x + 4y
约束条件：
1. x + 2y <= 12
2. 2x + y <= 10
3. x, y >= 0
初始单纯形表：
x y z c b
1 0 -
2 -1 30 + 40 4 0
2 0 -1 2 30 + 40
3 0
3 1 0 0 0 0 12
4 2 0 0 0 0 10
迭代步骤：
1. 从最后一行开始，检查是否满足所有约束条件。

发现第3个约束条件不满足，即x+2y>12，说明我们可以增加y的取值以减小x的取值。

2. 将第4列中的y增加1，得到新的单纯形表：
x y z c b
1 0 -
2 -1 30 + 40 4 -4
2 0 -1 2 30 + 40
3 -2
3 1 0 1 0 -2 6
4 2 0 1 0 -1 5
3. 检查新的单纯形表，所有约束条件都满足。

现在我们有了初始解，x=0, y=1。

将这个解代入目标函数得到z=30+41=4。

因此，初始最优解是(x=0, y=1, z=4)。

两阶段单纯形法引言在线性规划中，两阶段单纯形法是一种常用的求解方法。

它通过两个阶段的迭代，逐步优化目标函数值，从而找到最优解。

本文将详细介绍两阶段单纯形法的步骤和原理。

步骤两阶段单纯形法主要分为两个阶段：人工变量法和单纯形法。

人工变量法•将目标函数按照线性规划的标准形式化简。

•引入人工变量（artificial variables）来转换非标准化的约束条件为等式形式。

•新增的人工变量构成的目标函数为目标是最小化的。

•利用单纯形法求解这个新增的最小化目标函数，得到一个初始可行解。

•如果初始可行解的目标函数值为0，说明原问题有解；如果目标函数值不为0，则原问题无解。

单纯形法•判断初始基本可行解是否是最优解，如果不是，则进行下面的优化步骤。

•选择一个入基变量（entering variable），即将要进入基本解的变量。

•选择一个出基变量（leaving variable），即将要离开基本解的变量。

•使用基本变量和非基本变量之间的约束方程来计算新的基本解。

•迭代以上步骤，直到找到满足优化条件的最优解。

示例假设有一个线性规划问题如下：max Z = 5x1 + 3x2subject tox1 + 2x2 <= 62x1 + x2 >= 4x1, x2 >= 0首先，将目标函数和约束条件标准化，得到以下形式：max Z = 5x1 + 3x2subject to-x1 - 2x2 <= -62x1 + x2 >= 4x1, x2 >= 0然后，采用人工变量法引入人工变量（s1和s2），得到以下形式：max Z = 5x1 + 3x2subject to-x1 - 2x2 + s1 = -62x1 + x2 - s2 = 4x1, x2, s1, s2 >= 0接下来，我们利用单纯形法求解最小化目标函数s1 + s2的初始可行解。

根据单纯形表格的形式，我们可以得到初始表格如下：Cj | -1 | -1 | 0 | 0 |------- |----|----|----|----|Cb | 0 | 0 | 1 | 1 |------- |----|----|----|----|Var. |x1 |x2 |s1 |s2 |------- |----|----|----|----|-1 | -1 | -2 | 1 | 0 |------- |----|----|----|----|0 | 2 | 1 | 0 | -1 |按照单纯形法的步骤，我们选取入基变量s1和出基变量x2，进行迭代计算，得到新的表格：Cj | -1 | -4 | 1 | -3 |------- |----|----|----|----|Cb | 0 | 2 | -1 | 2 |------- |----|----|----|----|Var. |x1 |s2 |s1 |x2 |------- |----|----|----|----|-1 | -1 | 0 | 1 | 2 |------- |----|----|----|----|2 | 2 | 0 | 0 | -1 |继续迭代，直到得到满足优化条件的最优解。

例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.Min z =5x1+3x2≥6s.t.-2 x1 + 3x2≥43 x1 - 6 x2Xj≥0（j=1,2）解：将问题转化为Max z = -5 x1 - 3 x2+ x3 = -6s.t. 2 x1 - 3x2-3 x1 + 6 x+ x4≥-42Xj≥0（j=1,2，3,4）其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.(1)设原问题(p)为Min z=CXs.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX则标准型(LP)为Max z=CXs.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX其对偶线性规划（D ）为Max z=b T Y s.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。

对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有（σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。

可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。

同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ）例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。

线性规划单纯形法(例题)《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。

分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。

为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。

为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。

《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。

分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。

为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。

为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每天可用的原料有限，而每种产品的制造需要不同数量的原料。

产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。

产品A每天的制造时间为6小时，产品B每天的制造时间为4小时。

已知制造一个单位的产品A需要2小时，而制造一个单位的产品B需要1小时。

工厂的目标是最大化每天的利润。

二、数学建模1. 定义变量：- x1: 每天制造的产品A的单位数量- x2: 每天制造的产品B的单位数量2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即：Maximize Z = 10x1 + 8x23. 建立约束条件：- 原料的限制：每天可用的原料有限，产品A每单位需要2单位原料，产品B每单位需要3单位原料。

因此，原料的约束条件为：2x1 + 3x2 ≤ 原料数量- 时间的限制：每天的制造时间有限，产品A每单位需要2小时制造，产品B每单位需要1小时制造。

因此，时间的约束条件为：2x1 + x2 ≤ 制造时间- 非负约束：每天制造的产品数量不能为负数，因此，非负约束条件为：x1 ≥ 0x2 ≥ 0三、求解线性规划问题利用线性规划的求解方法，可以求解出最优解。

1. 图形法：通过绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

通过迭代计算，找到目标函数的最大值所在的点。

四、数值计算为了方便计算，我们假设原料数量为20单位，制造时间为10小时。

1. 图形法：绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。

在本例中，约束条件的直线为：2x1 + 3x2 ≤ 202x1 + x2 ≤ 10绘制直线后，找到目标函数的最大值所在的区域。

2. 单纯形法：利用单纯形法，可以求解出最优解。

根据约束条件和目标函数，可以构建如下的单纯形表格：| 基变量 | x1 | x2 | 原料数量 | 制造时间 | 目标函数 ||--------|----|----|----------|----------|---------|| x3 | 0 | 0 | 20 | 10 | 0 || x1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 || x2 | 0 | 1 | 3 | 1 | 8 |通过迭代计算，可以得到最优解为：x1 = 5x2 = 0最大利润为：50元五、结果分析根据数值计算的结果，最优解为每天制造5个单位的产品A，不制造产品B，可以获得最大利润为50元。

第1章 线性规划与单纯形法1、用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 2、用单纯形法求解下列线性规划问题。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (2121212213、用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,132******** ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (321213213214、已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表2所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

表25、某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A 、B 两道工序加工。

设A 工序可分别在设备A 1或A 2上完成，有B 1、B 2、B 3三种设备可用于完成B 工序。

已知产品Ⅰ可在A 、B 任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在B 1设备上加工；产品Ⅲ只能在A 2与B 2设备上加工。

线性规划经典例题线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

在实际应用中，线性规划经常被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。

下面将介绍一个经典的线性规划例题，并详细解答。

例题描述：某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。

已知每天可用的资源有：材料1，材料2和工时。

产品A每个单位需要消耗2单位的材料1，3单位的材料2和1单位的工时；产品B每个单位需要消耗4单位的材料1，1单位的材料2和3单位的工时。

公司每天可用的材料1、材料2和工时分别为30单位、20单位和15单位。

产品A的利润为5单位，产品B的利润为4单位。

公司希望在满足资源约束条件的前提下，最大化利润。

解答步骤：步骤1：确定决策变量首先，我们需要确定决策变量，也就是我们要求解的问题的变量。

在这个例题中，我们需要确定两个决策变量：x表示生产的产品A的数量，y表示生产的产品B的数量。

步骤2：建立目标函数目标函数是我们要优化的目标，即最大化利润。

根据题目中给出的信息，我们可以得到目标函数：Maximize Z = 5x + 4y步骤3：建立约束条件约束条件是我们在问题中需要满足的限制条件。

根据题目中给出的信息，我们可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 30 （材料1的约束条件）3x + y ≤ 20 （材料2的约束条件）x + 3y ≤ 15 （工时的约束条件）x, y ≥ 0 （非负约束条件）步骤4：求解最优解将目标函数和约束条件带入线性规划模型中，我们可以使用各种求解方法来求解最优解。

这里我们使用单纯形法求解。

首先，将约束条件转化为等式形式，得到标准型的线性规划问题：2x + 4y + s1 = 303x + y + s2 = 20x + 3y + s3 = 15其中，s1、s2、s3是松弛变量。

接下来，构建初始单纯形表格：| x | y | s1 | s2 | s3 | RHS |-------------------------------------------s1 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 30 |s2 | 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 20 |s3 | 1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 15 |-------------------------------------------Z | -5 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 |进行单纯形法迭代计算，得到最优解：| x | y | s1 | s2 | s3 | RHS |-------------------------------------------s1 | 0 | 2 | 1 | -2 | 0 | 10 |s2 | 0 | -2 | -3 | 7 | 0 | -10 |x | 1 | 0 | -2 | 3 | 0 | 5 |-------------------------------------------Z | 0 | 0 | 5 | -4 | 0 | 25 |根据单纯形法的计算结果，最优解为x=5，y=0，利润最大值为25。