函数的单调性 【学习目标】 1.理解函数的单调性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3．学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。 【要点梳理】 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函 数f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3.证明函数单调性的步骤 (1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x ； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. 4.函数单调性的判断方法
高考复习 函数知识点总结 一．函数概念的理解以及函数的三要素 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值 常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． （5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）
指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
分段函数及函数的性质 分段函数 概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集 函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后 再把0x 代入到相应的解析式中进行计算． 注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过 这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示． 分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数()221, 0,,0.x x y f x x x -??==?>??… （１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像． 1.设函数 ()221, 20,1,0 3.x x y f x x x +--≤+=, 0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ????= . 4.已知? ??<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 函数的性质 1 单调性
焦耳定律 1.电功和电功率 （1）定义：电路中电场力对定向移动的电荷所做的功，简称电功，通常也说成是电流的功。（2）实质：能量的转化与守恒定律在电路中的体现。 电能通过电流做功转化为其他形式能。 上一章里学过电场力对电荷的功，若电荷q在电场力作用下从A搬至B，AB两点间电势差为U AB，则电场力做功W=qU AB。 对于一段导体而言，两端电势差为U，把电荷q从一端搬至另一端，电场力的功W=qU，在导体中形成电流，且q=It，（在时间间隔t内搬运的电量为q，则通过导体截面电量为q，I=q/t），所以W=qU=ItU。这就是电路中电场力做功即电功的表达式。 （3）表达式：W=IUt（适用于所有电路） 说明：①表达式的物理意义：电流在一段电路上的功，跟这段电路两端电压、电路中电流和通电时间成正比。 ②适用条件：I、U不随时间变化——恒定电流。 （4）单位：电流单位用安培（A），电压单位用伏（V），时间单位用秒（s），则电功的单位是焦耳（J）。 1KW.h=3.6x10^6 J （5）电功率 物理意义：一段电路上功率，跟这段电路两端电压和电路中电流成正比。此公式适用于所有点路。 ②单位：功的单位用焦耳（J），时间单位用秒（s），功率单位为瓦特（W）。 1W=1J/s 这里应强调说明：推导过程中没用到任何特殊电路或用电器的性质，电功和电功率的表达式对任何电压、电流不随时间变化的电路都适用。所以在这里瞬时功率和平均功率相等。额定功率：用电器正常工作时所需电压叫额定电压，在这个电压下消耗的功率称额定功率。一般说来，用电器电压不能超过额定电压，但电压低于额定电压时，用电器功率不是额定功率，而是实际功率。实际功率P=IU，U、I分别为用电器两端实际电压和通过用电器的实际电流。再者，这里W=IUt是电场力做功,是消耗的总电能，也是电能所转化的其他形式能量的总和。 电流在通过导体时，导体要发热，电能转化为内能。这就是电流的热效应，那么如果想求出转化的内能得多少，学习焦耳定律就可以求出了。英国物理学家焦耳，经过长期实验研究后提出焦耳定律。 2.焦耳定律 （1）纯电阻和非纯电阻电路 纯电阻电路：W=Q 如白炽灯、电炉 非纯电阻电路：W=Q+W其他如电动机、电解槽 （2）焦耳定律表达式：Q=I2Rt（适用于所有电路） （3）简单介绍产生焦耳热的原因：
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
变量与函数 责编：赵炜 【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值． 3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识． 4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义. 5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． 【要点梳理】 【高清课堂：389341 变量与函数，知识要点】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否 都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量x 的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变 量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数值 y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2 y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2. 要点四、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 要点诠释：自变量的取值范围的确定方法： 首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
焦耳定律（基础） 【学习目标】 1、知道电流的热效应； 2、理解焦耳定律，知道电流通过导体时产生热的多少与哪些因素有关； 3、知道电热的利用和防止。 【要点梳理】 要点一、电流的热效应 1．定义：电流通过导体时电能转化成内能，这个现象叫做电流的热效应。 2．影响电流的热效应大小的因素：导体通电时，产生热的多少与电流的大小、导体电阻的大小和通电时间有关。通电时间越长，电流越大，电阻越大，产生的热量越多。 要点诠释：电流通过导体时，电流的热效应总是存在的。这是因为导体都有电阻。导体通电时，由于要克服导体对电流的阻碍作用，所以要消耗电能，这时电能转化成内能。如果导体的电阻为零，电流通过导体时，不需要把电能转化成内能，这时电能在导体中传输时也不会因发热而损失。 3. 探究影响电流通过导体产生的热量的因素 （1）电流产生的热量与电阻的关系 如图18.4-2所示，两个透明容器中密封着等量的空气，U形管中液面高度的变化反映密闭空气温度的变化。两个密闭容器中都有一段电阻丝，右边容器中的电阻比较大。 两容器中的电阻丝串联起来接到电源两端，通过两段电阻丝的电流相同。通电一定时间后，比较两个U形管中液面高度的变化。你看到的现象说明了什么? 实验表明：在电流相同、通电时间相同的情况下，电阻越大，这个电阻产生的热量越多。 （2）电流产生的热量与电流大小的关系 如图18.4-3所示，两个密闭容器中的电阻一样大，在其中一个容器的外部，将一个电阻和这个容器内的电阻并联，因此通过两容器中电阻的电流不同。在通电时间相同的情况下，观察两个U形管中液面高度的变化。你看到的现象说明了什么? 实验表明：在电阻相同、通电时间相同的情况下，通过一个电阻的电流越大，这个电阻产生的热量越多。
知识点1函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
分段函数常见题型例析 所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下： １．求分段函数的定义域、值域 例１．求函数)(x f ＝?????->-≤+)2(,2 )2(,42x x x x x 的值域． 解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2 2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． ２．作分段函数的图象 例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞? ，，，， ，，，画函数( f 解：函数图象如图１所示． 评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， 作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出 其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围； 二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值 例３．已知)(x f ＝?? ???<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值． 解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０， ∴ f （f （－３））＝f （０）＝π 又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值． x 图1
《焦耳定律》教学设计 江苏南京29中致远校区殷发金 一、教学目标 （一）知识与技能 1．能通过实例，认识电流的热效应。 2．能在实验的基础上得出电热的大小与电流、电阻和通电时间有关，知道焦耳定律。 3．会用焦耳定律进行计算，会利用焦耳定律解释生活中电热利用与防治。 （二）过程与方法 体验科学探究过程，了解控制变量的物理方法，提高实验探究能力和思维能力。 （三）情感态度和价值观 会解释生活中一些电热现象，通过学习电热的利用与防止，学会辩证地看待问题。 二、教学重难点 电热是指电流做功把电能转化为内能，电热的大小与哪些因素这个实验从提出问题、猜想、设计实验、进行实验与收集证据、得出结论几个方进行研究。重点是研究电热与电流、电阻和通电时间的关系，实验中要采用控制变量的方法。研究电热与电阻关系时要控制电流和通电时间相同，设计出的电路要使用两个不同的电阻串联。研究电热与电流的关系的设计是一个难点，电阻相同改变电流，可以利用并联分电流的思想，也可以两个电路来完成。 焦耳定律研究的是把电能转化为内能的多少，它与电功有联系也有区别。电功是指电流做功，可以把电能转化为各种形式能，而电热只是电功的一部分。只有在纯电阻电路中，这两个量才相等。 重点：通过实验研究电热与电流、电阻和通电时间的关系，并确定研究方法及实验操作中各个环节应注意的问题。 难点：对焦耳定律的理解及焦耳定律在实际生活中的应用。 三、教学策略 电流做功的过程就是把电能转化为其它形式能的过程，不同的用电器转化成不同形式的能量。本节研究的是把电能转化为内能多少，生活中的用电器工作时都伴有热的现象，用此引入电流的热效应，从电炉丝与连接的导线入手，提出问题，学生也比较容易猜到电阻是影响电热的因素之一。在设计实验研究电热与电流、电阻和通电时间关系时，要利用到控制变
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
变量与函数 【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值． 3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义. 4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否 都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量x 的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变 量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数 不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值. 要点诠释： 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对
焦耳定律知识点的例题及其解析 【例1】生活中我们常遇到下列情形：电炉丝热得发红，但跟电炉丝连接的铜导线却不怎么热，请你用学过的物理知识解释其原因。 答案：电炉丝与连接的铜导线串联，通过的电流和通电时间相等，但铜导线电阻比电炉丝的电阻小得多，根据Q＝I2Rt，电炉丝上产生的热量比铜导线上多得多，所以电炉丝热得发红，而铜导线却不怎么热。 【例题2】如图所示，电热水壶上标有“220V 1800W”，小明发现烧水过程中热水壶的发热体部分很快变热，但连接的电线却不怎么热，是因为导线的电阻比发热体的电阻。在额定电压下，烧开一壶水用时3min20s，这段时间内电热水壶发热体产生的热量为J。 答案：小；3.6×104。 解析：热水壶的发热体与电线串联，通过它们的电流及时间相等，但热水壶的发热体的电阻比电线的电阻大得多，由焦耳定律Q=I2Rt可知，热水壶的发热体比电线产生的热量就多得多，所以电热丝很热，但与之相连的电线却不怎么热； 在额定电压下，烧开一壶水用时3min20s，这段时间内电热水壶发热体产生的热量： Q=Pt=1800W×（3×60s+20s）=3.6×104J。 【例题3】两个发热电阻R1：R2=1：4，当它们串联在电路中时，R1、R2两端的电压之比U1：U2= ；已知R1=10Ω，那它们并联在4V电路中后，两个电阻在100s内产生的热量是J。答案：1：4；200。 解析：本题考查了串联电路的电流特点和并联电路的电压特点以及欧姆定律、电热公式的灵活应用，是一道较为简单的应用题。 两电阻串联时通过的电流相等，根据欧姆定律求出两电阻两端的电压之比； 两电阻并联时它们两端的电压相等，根据Q=W=t求出两个电阻产生的热量。 （1）当两电阻串联在电路中时， 因串联电路中各处的电流相等， 所以，由I=可得，R1、R2两端的电压之比：===； （2）已知R1=10Ω，R1：R2=1：4，所以R2=4R1=4×10Ω=40Ω， 当两电阻并联在电路中时，因并联电路中各支路两端的电压相等， 所以，两个电阻在100s内产生的热量： Q总=W总=W1+W2=t+t=×100s+×100s=200J。 【例题4】直流电动机两端的电压为5V，通过它的电流为1A，电动机线圈的电阻为1Ω，则 1
《函数》全章复习与巩固 编稿：丁会敏审稿：王静伟 【学习目标】 1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. 2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用； 4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义； 5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系； 6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：关于函数的概念 1．两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等． 2．函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3．映射 设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原 f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素() 合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域 函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其
题型主要有以下几种类型： （1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ?的定义域，其实质是由()x ?的取值范围，求出x 的取值范 围； （3）已知[]()f x ?的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ?的取值范围． 5．函数的值域 由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法： （1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）； （2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值 域（注意0t ≥）； （3）形如(0)ax b y c cx d += ≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ??≠ ??? ? ； （4）形如22 ax bx c y mx nx p ++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式 函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域． 求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ． 要点二：函数的单调性 （1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数． （2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数． （3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
高二物理焦耳定律教案文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
焦耳定律【教学目标】 （一）知识与技能 1、理解电功的概念，知道电功是指电场力对自由电荷所做的功，理解电功 的公式，能进行有关的计算。 2、理解电功率的概念和公式，能进行有关的计算。 3、知道电功率和热功率的区别和联系。 （二）过程与方法 通过推导电功的计算公式和焦耳定律，培养学生的分析、推理能力。 （三）情感、态度与价值观 通过电能与其他形式能量的转化和守恒，进一步掌握能量守恒定律的普遍性。 【教学重点】 电功、电功率的概念、公式；焦耳定律、电热功率的概念、公式。 【教学难点】 电功率和热功率的区别和联系。 【教学过程】 （一）复习 1.串并联电路的性质。 2.电流表的改装。 （二）进行新课
1、电功和电功率 教师：请同学们思考下列问题 （1）电场力的功的定义式是什么 （2）电流的定义式是什么 学生：（1）电场力的功的定义式W=qU q （2）电流的定义式I= t 教师：投影教材图（如图所示） 如图所示，一段电路两端的电压为U，由于这段 电路两端有电势差，电路中就有电场存在，电路中 的自由电荷在电场力的作用下发生定向移动，形成 电流I，在时间t内通过这段电路上任一横截面的电荷量q是多少学生：在时间t内，通过这段电路上任一横截面的电荷量q=It。 教师：这相当于在时间t内将这些电荷q由这段电路的一端移到另一端。在这个过程中，电场力做了多少功 学生：在这一过程中，电场力做的功W=qU=IUt 教师：在这段电路中电场力所做的功，也就是通常所说的电流所做的功，简称电功。 电功： （1）定义：在一段电路中电场力所做的功，就是电流所做的功，简称电功. （2）定义式：W=UIT 教师：电功的定义式用语言如何表述
1．在电源电压不变的前提下，电炉在相等的时间内增加电热丝的发热量，可采取的措施是（） A．增大电热丝的电阻B．减小电热丝的电阻 C．在电热丝上并联电阻D．在电热丝上串联电阻 答案：B 解析：有同学认为应选A，根据焦耳定律Q=I2Rt，导体上放出的热量与电阻成正比，所以要增加热量，可增大电阻。这是由于对焦耳定律理解不全面的缘故。焦耳定律所阐述的导体上放出的热量和某一个量的比例关系是在其他一些量不变的条件下才成立的，如在电流强度和通电时间都不变的条件下放出的热量和电阻成正比。按题意，通电时间是相同的，但由于电源电压不变，通过的电热丝的电流强度将随着电阻的增大而减小，若根据Q=I2Rt去判断，将不易得出正确的结论。事实上，在电压一定的条件下，根据P=U2/R可知，减小电热丝的电阻才可增大电功率，即在相同时间内发热多些。 在电热丝上并联电阻，对电热丝而言。由于它的电阻和电压都不变，在同样时间内的发热量与原来的相同，不会增加，C错。 题干评注： 问题评注： 2．在电源电压不变时，为了使电炉在相等的时间内发热多些，可采取的措施是( ) A.增大电热丝的电阻 B.减小电热丝的电阻 C.在电热丝上并联电阻 D.在电热丝上串联电阻 答案：B 解析：有同学认为应选(A)，根据焦耳定律Q=I2Rt，导体上放出的热量与电阻成正比，所以要增加热量，可增大电阻.这是由于对焦耳定律理解不全面的缘故.焦耳定律所阐述的导体上放出的热量和某一个量的比例关系是在其他一些量不变的条件下才成立的，如放出的热量和电阻成正比，是指电流强度和通电时间都不变的条件下热量与电阻成正比，按题意，通电时间是相同的，但由于电源电压是不变的，通过电热丝的电流强度将随着电阻的增大而减小，若再根据Q=I2Rt，将不易得出正确的结论.事实上,在电压一定的条件下, 根据P=U2/R可知，减小电热丝的电阻就可增大电功率，即在相同时间内发热多些. 题干评注： 问题评注： 3．有一种双温电炉，其电路图如图所示，由两段阻值相同的电阻丝组成的发热体，A，B，C为三根引出线，其中A为低温档，B为高温档，且高温档每秒产生的热量是低温档每秒产生热量的2倍，试在方框内画出两段电阻丝的连接图，并说明设计的理由. 答案：方框内的两段电阻丝应如图连接.设计合理性证明如下：当S接高温档BC时， 当S接低温档AC时，
高等数学
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说 A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
常用函数使用方法 1.函数名称:SUMIF 主要功能:计算符合指定条件的单元格区域内的数值和. 使用格式:SUMIF (Range,Criteria,Sum_Range) 参数说明：Range代表条件判断的单元格区域,Criteria为指定条件表达 式,Sum_Range^表需要计算的数值所在的单元格区域. 应用举例:在M4单元格内输入公式:二SUMIF(H2:H11,”武昌K2:K11),确认后即统计到”武昌”的火车票的总和. M4 ___ J = GSUMIF(H2:H11「武昌；K2:K11 函数名称 主要功能:将数值向下取整为最接近的整数. 使用格式:INT(number) 参数说明:number^示需要取整的数值或包含数值的引用单元格. 应用举例:输入公式:=INT(18?89),确认后显示出18. 特别提醒:在取整时，不进行四舍五入如果输入的公式=INT(-18.89),则返回结果为 -19. 3.函数名称:SUM 主要功能:计算所冇参数值的和.
使用格式:SUM (Number 1 ,Number2 ........ ) 参数说明:Numberl,Number2 ......... 代表需要让算的值，可以是具体的数值，引用的 单元格(区域)，逻辑值等. 应用举例:在F14单元格内输入公式:二SUM(F2:F12),确认后，即口J求出F2:F12区域内的总和. 4.函数名称:MONTH 主要功能:求出指定Fl期或引用单元格中的Fl期的月份. 使用格式:MONTH(serial_number) 参数说明:seriaLnumberf^表指定的口期或引用的单元格. 特别提醒:如果是给定的FI期,请包含在双引号内,