几种求极限方法的总结(常规版)
摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.
关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 1 用定义求极限[]1
根据极限的定义：数列{n x }收敛⇔∃a,ε∀〉0,∃N N ∈+
,当n 〉N 时，有n x -a
〈ε.
例1 用定义证明11
lim
=+∞→n n
n
证明：0,ε∀>要使不等式
11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-11ε，于是0,ε∀>∃ N=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-11ε，n N ∀>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n
2利用两边夹定理求极限[]
1
例2 求极限⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221
31211
1lim 解：设=
n c n
n n n ++++
+2
2
2
12
11
1
则有：2
1n c
n n
>
+
+
=
+
同时有：211
n c n
<
+=
+，于是
n
c
<<
由
1
n
n <=+>=.
有
11
n n
n
c n n
<<<
<
=+ 已知：11lim =+∞→n n n ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 2222131211
1lim =1 3利用函数的单调有界性求极限
[]
1
实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.
例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞
→lim
解：显然{}n x 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见
12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ，
从而 12
-+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2
n n x a x <+
两段除以n x ，得 1n n
a
x x <
+ 1+≤≤⇒a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12
-+=n n x a x 两边去极限，则有∞
→-∞
→+=n n n n x a x 12
lim lim ⇒a
l l +=2
解得2
1
4++=
a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2
关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞
→
解4 )2
21sin()221sin(
2cos 1cos x
x x x x x -+++-=-+ 2)221sin(
2≤++-x x ， 而)
1(21
221)221sin(0x x x x x
x ++=-+≤-+≤ 又,0)
1(21
lim
=++∞
→x x x 故 02
_1lim
=+∞
→x
x n
5 应用“两个重要极限”求极限[]
2
e x
x x x x x =+=∞→→)1
1(lim ,1sin lim
例5求)1
cos 1(sin lim x x x +∞→
解
2
sin 1
22
2
sin 211112(sin cos )(sin cos )(1sin )x
x
x
x x
x x x x x ⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣
⎦ ∴原式=e x
x
x
x
x =+∞
→22sin
2sin 1
)
2sin 1(lim
6利用洛必达法则求极限[]
2
例6求x
x x 1sin arctan 2
lim -∞
→π
（)0
解： x
x n 1sin arctan 2
lim -∞
→π
=11
cos
111lim 22
=-+-
∞→x x
x n 例7 求极限x
x x 3tan tan lim
2
π
→
（)∞∞
解 x
x
x 3tan tan lim
2
π
→
= 3262cos 26cos 6lim 2sin 6sin lim sin cos 63sin 3cos 6lim )(cos 3)3(cos lim )3(tan )(tan lim 2
2
2
232
,,2
=--===--==→
→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππ 7利用泰勒公式求极限
[]
2
例8：求极限 x
x x x n cos sin 1lim
2
-+∞
→
解 ∵
x
x x x cos sin 12
-+中分子为2
x ，∴将各函数展开到含2
x 项。
当0→x 时，2
22211cos 0(),sin 0().2
x x x x x x x -=
+=+从而)(0)(021211)(0211)cos 1(1cos 22222x x x x x x x +⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+=+-
=--==1-)(04122x x +
)(02
11)(01sin 122
22x x x x x x ++
=++=+ ∴原式=)(043lim
)(0411)(0211lim 222
22222x x x x x x x x n n +=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+--++∞→∞→ 8利用数列求和来求极限
[]
2
有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。
例9：求极限).2
122321(lim 2n n n -+++
∞→ []
2 解：令n n n s 21223212-+++= ，则1
43221
225232121+-+++=n n
n s
