中考二次函数压轴题分类汇编
一．极值问题
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．
∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，
故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．
点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用
二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．
2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．
解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得，
解得
∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．
（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x
1=﹣4，x
2
=2，
∴A（﹣4，0），S
△ABC
=ABOC=12．
设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△ABC，
∴，即，
化简得：S
△PBE
=（2﹣x）2．
S
△PCE =S
△PCB
﹣S
△PBE
=PBOC﹣S
△PBE
=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2
=x2﹣x+
=（x+1）2+3
∴当x=﹣1时，S
△PCE
的最大值为3．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；
（II）当MD=MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
（III）当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．
∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．
二．构成图形的问题
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中
点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a ，b ，c 的值，即求出解析式；
（2）设存在点K ，使得四边形ABFC 的面积为17，根据点K 在抛物线y=-x 2+2x+3上设点K 的坐标为：（x ，-x 2+2x+3），根据S 四边形ABKC =S △AOC +S 梯形ONKC +S △BNK 得到有关x 的一元二次方程求出x 即可.．
（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y 的值，确定出D 坐标，将x=1代入直线BC 解析式求出y 的值，确定出E 坐标，求出DE 长，将x=m 代入抛物线解析式表示出F 纵坐标，将x=m 代入直线BC 解析式表示出P 纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ ，由DE 与QP 平行，要使四边形PEDQ 为平行四边形，只需DE=PQ ，列出关于m 的方程，求出方程的解得到m 的值，检验即可．
解：(1)由抛物线经过点C(O ，4)可得c=4,① ∵对称轴x=a b 2-
=1，∴b=-2a ，②， 又抛物线过点A （一2，O ）∴0=4a-2b+c ，③
由①②③ 解得：a=21-, b=1 ,c=4． 所以抛物线的解析式是y=2
1-x+x+4 (2)假设存在满足条件的点F ，如图如示，连接BF 、CF 、OF ．
过点F 分别作FH ⊥x 轴于H , FG ⊥y 轴于G ．
设点F 的坐标为（t, 2
1-t2+t+4），其中O21OB.FH=21×4×（21-t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,S △OFC=21OC.FC=21×4×t=2t ∴S 四边形ABFC —S △AOC+S △OBF +S △OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12．
令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=(一4)2-4×5=一4<0,
∴方程t2 -4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F ．
(3)设直线BC 的解析式为y=kx+b （k ≠O ），又过点B(4,0，), C(0,4)
所以⎩⎨⎧==+404b b k ，解得：⎩⎨⎧=-=4
1b k ， 所以直线BC 的解析式是y=一x+4．
