复杂网络9讲-加权网络教学教材

关于复杂网络的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解复杂网络的定义、特点及其在现实生活中的应用；2. 学生能够掌握复杂网络的基本概念，如度、聚类系数、最短路径等；3. 学生能够了解复杂网络的主要模型及其生成机制；4. 学生能够运用复杂网络的原理分析简单的社会、技术、生物等网络现象。

技能目标：1. 学生能够运用复杂网络分析方法，对给定的网络数据进行处理和分析；2. 学生能够运用相关软件工具绘制复杂网络的图形，并对其进行可视化展示；3. 学生能够运用复杂网络的统计指标，评估网络的结构特征和功能特性。

情感态度价值观目标：1. 学生对复杂网络产生兴趣，认识到其在各个领域的广泛应用和重要意义；2. 学生能够培养批判性思维，对复杂网络相关现象进行理性分析和判断；3. 学生能够树立团队协作意识，通过合作交流，提高解决问题的能力。

课程性质：本课程属于选修课程，旨在拓展学生的知识视野，提高学生的实践能力和创新意识。

学生特点：学生处于高中阶段，具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇心。

教学要求：结合课本内容，注重理论与实践相结合，关注学生的个体差异，提高学生的动手操作能力和实际问题解决能力。

通过本课程的学习，使学生能够掌握复杂网络的基本概念和方法，为后续相关领域的学习和研究打下基础。

同时，培养学生的团队协作、批判性思维和情感态度价值观，为学生的全面发展奠定基石。

二、教学内容本课程依据课程目标，结合课本第四章“复杂网络”相关内容，进行以下教学安排：1. 复杂网络基本概念：介绍复杂网络的定义、分类及其特点；讲解度、聚类系数、最短路径等基本统计指标。

2. 复杂网络模型：分析 Erdős-Rényi 模型、Barabási-Albert 模型等典型复杂网络模型及其生成机制。

3. 复杂网络的实证分析：以实际社会、技术、生物等网络为例，运用复杂网络分析方法进行实证研究。

4. 复杂网络的算法与应用：讲解复杂网络中的关键算法，如最短路径算法、社区发现算法等，并探讨其在实际应用中的价值。

第二章复杂网络的基础知识2.1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。

如果节点对（i，j）与（j，i）对应为同一条边，那么该网络为无向网络（undirected networks），否则为有向网络（directed networks）。

如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks），否则为无权网络（unweighted networks），如图2-1所示。

图2-1 网络类型示例(a) 无权无向网络(b) 加权网络(c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”（regular networks），如图2-2所示。

如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。

如果节点按照某种（自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”（complex networks）。

图2-2 规则网络示例(a) 一维有限规则网络(b) 二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度（average path length ）、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。

2.2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。

定义网络的直径（diameter ）为网络中任意两个节点之间距离的最大值。

即}{max ,ij ji l D = （2-1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。

即∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2）其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。

第二章复杂网络的基础知识2。

1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。

如果节点对(i，j）与（j，i）对应为同一条边,那么该网络为无向网络（undirected networks）,否则为有向网络(directed networks）。

如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks)，否则为无权网络（unweighted networks)，如图2-1所示。

图2—1 网络类型示例(a) 无权无向网络 (b）加权网络（c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”(regular networks）,如图2-2所示。

如果节点按照完全随机的方式连边,所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。

如果节点按照某种(自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络,称为“复杂网络”（complex networks)。

图2—2 规则网络示例(a）一维有限规则网络 (b）二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度(average path length)、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。

2。

2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。

定义网络的直径（diameter)为网络中任意两个节点之间距离的最大值.即}{max ,ij ji l D = (2—1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值.即 ∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2） 其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离.网络的平均路径长度L 又称为特征路径长度（characteristic path length)。

复杂⽹络基本概念1.复杂⽹络：随机⽹络，⼩世界⽹络和⽆标度⽹络2.⼩世界⽹络的属性：平均路径长度（Average Path Length,APL）⼩于正则⽹络的；⼩世界⽹络具有较低的平均聚类系数（Average Clustering Coefficient,ACC）3.复杂⽹络⾯对的挑战：⾼数据量；物理系统到真实复杂⽹络模型映射过程中的复杂性；⾼计算复杂性4.图信号处理将经典信号处理中的概念和⼯具（如平移，卷积，傅⾥叶变换，滤波器组和⼩波变换）扩展应⽤于任意⽹络中的数据5.加权图，有向图6.图在计算机的存储器中⽤矩阵表⽰，如邻接矩阵，关联矩阵，权重矩阵，度矩阵以及拉普拉斯矩阵等。

7.如果在两个节点之间存在多条边，称该图为多重图（multigraph）;如果存在⾃环，则称该图为伪图（pseudograph）8.包含原始图所有顶点的⼦图称为⽣成⼦图（spanning subgraph）9.图g的补图是指与图G具有同样的顶点集，但边集中的边则由那些在图g中不存在的边组成，也称为反向图（inverse graph）10.图在计算机中以矩阵或者链表的⽅式存储11.权重矩阵：图的权重矩阵包含图中相应边的权重。

权重矩阵是图的拓扑结构的完整表⽰。

所有的其他矩阵（邻接，度，拉普拉斯）都可以通过权重矩阵推导得出。

对于⾮加权图，权重矩阵和邻接矩阵是⼀样的。

12.邻接矩阵：包含图连接的N*N矩阵13.关联矩阵：每⼀⾏对应图中的⼀个顶点，⽽每⼀列对应图中的⼀条边。

14.度矩阵：是⼀个对⾓线矩阵，在对⾓线上包含了顶点的度。

节点的度是所有与该节点相关联的边的权重之和。

⼀些⼤的⽹络通常通过度的频率分布来刻画。

15.拉普拉斯矩阵：L=D-W，D是图的度矩阵，W是图的权重矩阵。

具有正边权重的⽆向图的拉普拉斯矩阵的基本性质:对称性；每⼀⾏之和为0，具有奇异性，det(L)=0；半正定；其特征值是⾮负实数。

16.归⼀化拉普拉斯矩阵：L(norm)=D(-1/2)LD^(-1/2)17.有向拉普拉斯矩阵：L=Din-W; Din是⼊度矩阵18.基本图测度：平均邻居度（AND），平均聚类系数（ACC，局部连通性属性），平均路径长度（APL，全局⽹络属性），平均边长度（AEL），图的直径和体积。

复杂网络的数学模型与分析在当今这个高度互联的世界中，复杂网络的概念无处不在。

从互联网的拓扑结构到社交关系的交互模式，从生物体内的基因调控网络到交通运输系统的线路布局，复杂网络以其独特的形式和规律影响着我们生活的方方面面。

为了更好地理解和把握这些复杂系统的行为特征，数学模型和分析方法的引入成为了必然。

首先，让我们来谈谈什么是复杂网络。

简单来说，复杂网络是由大量节点以及节点之间的连接边所构成的系统。

这些节点可以代表各种各样的实体，比如个人、计算机、细胞等，而连接边则表示它们之间的某种关系，如社交联系、网络连接、物质交换等。

与简单的规则网络不同，复杂网络具有许多独特的性质，如小世界特性、无标度特性、社团结构等。

在复杂网络的研究中，数学模型是我们理解和描述其结构和行为的重要工具。

其中，最常见的模型之一是随机图模型。

随机图模型假设节点之间的连接是随机形成的，具有一定的概率。

通过调整这个概率，可以得到不同结构特性的网络。

例如，当概率较低时，网络较为稀疏；当概率较高时，网络则更加密集。

另一个重要的模型是小世界网络模型。

小世界网络具有较短的平均路径长度和较高的聚类系数。

这意味着在这样的网络中，任意两个节点之间的距离相对较短，并且节点的邻居之间往往存在较强的连接。

小世界网络模型能够很好地解释许多现实世界中的现象，如社交网络中信息的快速传播。

无标度网络模型也是复杂网络研究中的关键模型之一。

在无标度网络中，少数节点拥有大量的连接，而大多数节点的连接数量较少。

这种特性使得无标度网络对随机故障具有较强的鲁棒性，但对于针对关键节点的攻击则非常脆弱。

除了上述模型，还有许多其他的数学模型被用于描述不同类型的复杂网络，如加权网络模型、多层网络模型等。

有了数学模型，接下来就需要进行分析。

网络的拓扑结构分析是一个重要的方面。

通过计算节点的度、平均路径长度、聚类系数等指标，可以定量地描述网络的结构特征。

节点的度是指与该节点相连的边的数量，它反映了节点在网络中的重要性。