2014年上海春季高考数学试卷详细答案版(最新)

2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．=故答案为：2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．z+）•=3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2 ．）的焦点与椭圆+解：由题意椭圆+=1）的焦点与椭圆=1故=4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．y=∴y=+=2，=x=±6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．∴=3===arccos，7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．=故答案为：8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q= ．，由此能求出（=（﹣=故答案为：9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．﹣，若满足即＜∴∵y=是增函数，∴10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．天共有种情况，天的概率是故答案为：11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．则①或由①得，12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x2，x3，则x1+x2+x3=．x+a=cosx=2（sinx+x+a=），x+，即=2k++=+2=故答案为：13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2 ．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P 和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明﹣使得+=∴m=二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）=，•=（，∵，∴•|∴•17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）∴k=，18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）≤x++a三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．==20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．∴∴∴∴，整理可得∴，整理可得=21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．==，∵0，∴tan，即由正弦定理得，∴m=22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．∴k≤﹣．•|x|=1，故曲线23．（16分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．）依题意：将已知代入求出）先求出通项：，由求出等式S∴；又）由已知得，，∴，，即，，即∴不等式当，，即∴此不等式即∴的取值范围为：．由得即时，﹣≤d≤2；时，由，1000=k的公差为﹣。

李老师作品数学（理）2014 第1页（共4页）2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是____________.12π 2. 若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭____________.考点：复数代数形式的乘除运算分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 解答：解：复数z=1+2i，其中i 是虚数单位11(12)(12)612z zi i i z ⎛⎫+⋅=++-= ⎪-⎝⎭3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为分析215y +=的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程2 解答215y =，故它的右焦点坐标是（2，0），215y =故P=4∴抛物线的准线方程为x=-2．4. 设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =，则a 的取值范围为____________.5. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为____________. 分析：由已知可得y =1=得222222x y x x+=+≥。

得x =答案是6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）3径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．cos θ==得arccos θ=半径的3倍，是解答的关键．7. 已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是____________.∴C 与极轴的交点到极点的距离是13ρ=8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =________.分析：由已知条件推导出11111a a a a q q=---由此能求出q 的值．411111112(1)lim 111011n x a q aa a a q a a qq qq q q q →∞⎛⎫-=--=-- ⎪--⎝⎭∴+-=--==得或（舍）9. 若32()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_____________.()036621()0,1x x x x f x x -<<==得得；是增函数得x 得解集为10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_______________（结果用最简分数表示）. 恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有310120C =种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种， 115= 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=__________.5}{}22,,a b a b=2201b a b b a b⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩或得：或 ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a 2，a=b 2，则两式相减得a 2-b 2=b-a ， ∵互异的复数a ，b ， ∴b-a ≠0，即a+b=-1， 故答案为：-1．的关键，注意要进行分类讨论． 12. 设常数a 使方程sin cos x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123xx x ++=____________.分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数2sin()3y x π=+的图象，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x 1，x 2，x 3最后相加即可．123sin 0,,2323x x x x πππ⎛⎫+==== ⎪⎝⎭12373x x x π++=13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，6 则小白得5分的概率至少为____________.此能求出结果．则由题意知小白得4分的概率为1-x ，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分， E （ξ）=4.2， ∴4（1-x ）+5x=4.2， 解得x=0.2． 故答案为：0.2．变量的数学期望的合理运用14. 已知曲线:C x =，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P和l上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为____________. 分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=说明A 是PQ 的中点，结合x 的范围，求出m 的范围即可．解答：解：曲线:C x =[]2,0p x ∈-对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6，[]62,32xpm +=∈ 故答案为：[2，3]7P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的[答]（ ）(A) 充分条件. (B) 必要条件.16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为[答]（ ） (A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.计算可得答案．则A （2，0，0），B （2，0，1），P 1（1，0，1），P 2（0，0，1），P 3（2，1，1），P 4（1，1，1），P 5（0，1，1），P 6（2，2，1），P 7（1，2，1），8 P 8（0，2，1），11(1,2,,8)AB AP i ==故选择A数量积运算是解题的常用手段．17. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x和y 的方程组11221,1a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是[答]（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在,,k P P ，使之有无穷多解.111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上且斜率存在。

2014年上海市高考数学试卷（文科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .4. 若抛物线y 2=2px的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【解析】椭圆22195x y +=的右焦点为(2,0)，因此22p=，4p =，准线方程为2x =-. 【考点】椭圆与抛物线的几何性质.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24⨯-⨯=.【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324【考点】三视图，几何体的体积..9. 设,0, ()1,0,x a xf xx xx-+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f是()f x的最小值，则a的取值范围是.【答案】(,2]-∞【解析】由题意，当0x>时，()f x的极小值为(1)2f=，当0x≤时，()f x极小值为(0)f a=，(0)f是()f x的最小值，则2a≤.【考点】函数的最值问题..10.设无穷等比数列{na}的公比为q，若)(lim431++=∞→aaan，则q= .12. 方程sin31x x+=在区间[0,2]π上的所有解的和等于.【答案】73π【解析】原方程可变形为2sin()13xπ+=，即1sin()32xπ+=，(1),36kx k k Zπππ+=+-⋅∈，由于[0,2]x π∈，所以12x π=，2116x π=，所以1273x x π+=. 【考点】解三角方程.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.14. 已知曲线C ：24x y =--l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点】向量的坐标运算．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ． 【考点】充分学科网必要条件．17. 如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） （A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】B【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP 与OQ 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．选B.【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. （本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .20. （本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设AB 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？【答案】（1）28.28CD ≈米；（2）26.93CD ≈米． 【解析】22. （本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k ∈-∞-+∞；（3）证明见解析. 【解析】（3）由题得，设(,)M x y 22(2)1x y x +-=， 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= 当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.因为对任意的0y R ∈，点0(0,)y 不是方程222[(2)]1x y x +-⋅=的解，所以直线0x =与曲线E 没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线y 轴是E 分隔线．【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.23. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.。

2014年上海市高考数学（文）解答题三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=，112233PBA PAB P BC PCB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332PA PB P B PC PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC∴233BO BD ==，3PO =112232233V =⋅⋅⋅⋅⋅=20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。

设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.20.解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x x x f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ （2）∵2()2x x a f x a+=-且0a ≥ ∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈，∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？21.解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥ 即2403516400CDCD CD ≥-，解得，CD ≤，∴28.28CD ≈米 （2）由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=， ∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米 ∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。

2014年上海市数学高考真题（理）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是____________.2142T ππ== 2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1·z z z ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.6 3．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________.2x =-4．设2,(,)(),[,)x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =，则a 的取值范围为____________.(,2]-∞5．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为____________.22 6．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为____________（结果用反三角函数值表示）1arccos3θ= 7．已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是____________. 13ρ=8．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1a =34lim()n n a a a →∞+++，则q =_____.51q -= 9．若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是____________.(0,1)10．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是____________（结果用最简分数表示）.11511．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合22{,}{,}a b a b =，则a b +=____________.-1 12．设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++=____________.73π13．某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为____________.0.214．已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上第6题图的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为____________.[2,3] 二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ B ） A ．充分条件. B ．必要条件.C ．充分必要条件.D ．既非充分又非必要条件.16．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点，则·(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为（ A ） A ．1. B ．2.C ．4.D ．8.17．已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ B ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解.B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解.C ．存在12,,k P P ，使之恰有两解.D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解.18．设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 （ D ） A ．[1,2]-.B ．[1,0]-.C ．[1,2].D ．[0,2].三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .解：在123PP P 中，1323,P A P A P C PC ==， 所以AC 是中位线，故122 4.PP AC ==同理，23314, 4.P P P P ==所以123PP P 是等边三角形，各边长均为4.设Q 是ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ， 所以22223, 6.33AQ PQ AP AQ ==-=从而，122.33ABC V S PQ =⋅=20．设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y fx -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.解：（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)2,1xy y +=-得1y <-1,y >且24(1)log 1y x y +=-. 因此，所求反函数为124(1)()log ,11x f x x x -+=<--1x > （2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21(),21x xf x +=-定义域为(,0)(0,),-∞⋃+∞2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞⋃+∞关于原点不对称， 故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.21．如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点,A B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β. (1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ (2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12,18.45αβ︒︒==，求CD 的长（结果精确到0.01米）.解：（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan ,tan 3580h h αβ==，所以22800,351()80hh h ⨯≥>-解得28.28h ≤≈.因此，CD 的长至多约为28.28米.（2）在ABD 中，由已知，56.57,115AB αβ︒+==，由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064.BD ≈在BCD 中，由余弦定理得2222cos ,CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅ 解得26.93.CD ≈所以，CD 的长约为26.93米.22．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线. (1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.解：（1）因为40,η=-<所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241y kx x y =⎧⎨-=⎩有解，即1||.2k <因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20,k η=-<即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,).22-∞-⋃+∞（3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E||1,x =即222[(2)] 1.x y x +-⋅=对任意的00,(0,)y y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点.又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0,η<即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分割线.若过原点的直线不是y 轴，设其为y kx =.由222[(2)]10y kx x y x =⎧⎨+-⋅-=⎩得222[(2)]10x kx x +-⋅-=， 令222()[(2)]1f x x kx x =+-⋅-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0f f k ⋅=-⋅-+<，所以方程()0f x =有实数解， 即直线y kx =与曲线E 有公共点，故直线y kx =不是曲线E 的分隔线. 综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线.23．已知数列{}n a 满足*1113,,13n n n a a a n a +≤≤∈=N . (1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得3 6.x ≤≤ 所以x 的取值范围是[3,6].（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0.n a >所以113n n S S +≤，又113,3n n n a a a +≤≤所以133q ≤≤ 当1q =时，1,1n n S n S n +==+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立.当1q ≠时，1n n S S +≤即111311n nq q q q+--≤⋅-- ①若13q <≤，则(3) 2.nq q -≥由*,nq q n ≥∈N ，得(3)2q q -≥，所以12q <≤.②若113q ≤<，则(3) 2.n q q -≤ 由*,nq q n ≥∈N ，得(3)2q q -≤，所以11.3q ≤< 综上，q 的取值范围为1[,2].3（3）设数列12,,,k a a a 的公差为.d 由1133n n n a a a +≤≤，且11,a =得1[1(1)]13[1(1)],1,2,, 1.3n d nd n d n k +-≤+≤+-=-即(2+1)2,1,2,, 1.(23)2n d n k n d ≥-⎧=-⎨-≥-⎩当1n =时，223d -≤≤； 当2,3,,1n k =-时，由222123n n -->+-得22+1d n -≥， 所以22213d k -≥≥--. 所以1(1)(1)210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤， 得1999.k ≤所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,,k a a a 的公差为1.1999-。

2014年高考上海卷数学（理）试卷及答案解析考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

(1) 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则}1{zz +z ⋅=___________. 【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】 ]2,∞-( 【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=Θ5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（上海卷）数学试题1、【题文】函数的最小正周期是.2、【题文】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.3、【题文】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4、【题文】设若，则的取值范围为_____________.5、【题文】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.6、【题文】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7、【题文】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 .8、【题文】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .9、【题文】若，则满足的取值范围是 .10、【题文】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）.11、【题文】已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则= .12、【题文】设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则 .13、【题文】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .14、【题文】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .15、【题文】设,则“”是“”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件16、【题文】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．817、【题文】已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，如何，总是无解B．无论k，如何，总有唯一解C．存在k，，使之恰有两解D．存在k，，使之有无穷多解18、【题文】若是的最小值，则的取值范围为（）. A．[-1,2] B．[-1，0] C．[1，2] D．19、【题文】（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.20、【题文】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数，函数（1）若=4，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.21、【题文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？22、【题文】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.⑴求证：点被直线分隔；⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.23、【题文】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.。

2014 年上海市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得零分。

2（2x）的最小正周期是．1．（ 4 分）（ 2014?上海）函数 y=1﹣ 2cos考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．剖析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．22=﹣ [2cos （ 2x ）﹣ 1]∴函数的最小正周期为T==故答案为：评论：此题观察二倍角的余弦公式，波及三角函数的周期，属基础题．2．（ 4 分）（ 2014?上海）若复数z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（z+）?= 6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩大和复数．剖析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混淆运算化简求解即可．解答：解：复数 z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（ z+）?==（ 1+2i ）（ 1﹣2i ）+12=1 ﹣ 4i +1=2+4=6 ．故答案为： 6评论：此题观察复数代数形式的混淆运算，基本知识的观察．23．（ 4 分）（ 2014?上海）设常数a∈R，函数 f（ x） =|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f（ 2）=1，则 f（ 1）=3．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．2剖析：利用 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|， f（ 2）=1，求出 a，而后求解 f （ 1）即可．2解答：解：常数 a∈R，函数 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f （ 2） =1 ，∴ 1=|2﹣ 1|+|22﹣a|，∴ a=4，函数 f （ x ）=|x ﹣ 1|+|x 2﹣ 4|，∴ f （ 1） =|1﹣1|+|12﹣ 4|=3，故答案为： 3．评论：此题观察函数值的求法，基本知识的观察．2+=1 的右焦点重合，则该抛物4．（ 4 分）（ 2014?上海）若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 线的准线方程为x=﹣ 2 ．考点 ：椭圆的简单性质．专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：由题设中的条件 y 2=2px （ p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故能够先求出椭圆的右焦点坐标，依据两曲线的关系求出 p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+ =1，故它的右焦点坐标是（ 2， 0），又 y 2=2px （p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故得 p=4 ，∴抛物线的准线方程为x= ﹣ =﹣2．故答案为： x= ﹣ 2评论：此题观察圆锥曲线的共同特点， 解答此类题，重点是娴熟掌握圆锥曲线的性质及几何特点，娴熟运用这些性质与几何特点解答问题．5．（ 4 分）（ 2014?上海）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名， 1200 名， 800 名．为认识该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为70．考点 ：分层抽样方法． 专题 ：概率与统计．剖析：依据分层抽样的定义，成立比率关系，即可获得结论． 解答：解：∵高一、高二、高三分别有学生1600 名， 1200 名， 800 名，∴若高三抽取 20 名学生，设共需抽取的学生数为 x ，则，解得x=90 ，则高一、高二共需抽取的学生数为 90﹣ 20=70 ，故答案为： 70．评论：此题主要观察分层抽样的应用，比较基础．6．（ 4 分）（ 2014?上海）若实数 22的最小值为 2．x ， y 知足 xy=1 ，则 x +2y 考点 ：基本不等式．专题 ：不等式的解法及应用．剖析：由已知可得 y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解答：解：∵ xy=1 ，∴ y=∴ x 2+2y 2 =x 2+ ≥2=2 ，2当且仅当 x =，即 x= ± 时取等号，故答案为： 2评论：此题观察基本不等式，属基础题．7．（ 4 分）（ 2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin （结果用反三角函数值表示）考点 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ． 专题 ：空间地点关系与距离．剖析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，从而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，∴= =3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，故圆锥的轴截面以下列图所示：则 sin θ= = ，∴ θ=arcsin ，故答案为： arcsin评论：此题观察的知识点是旋转体，此中依据已知获得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的重点．8．（ 4 分）（ 2014?上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图以下图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为：3， 4， 5，故大长方体的体积为： 60，切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为 3 的柱体，其底面面积为 4×5﹣ 2×2×2×2=12，故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣ 36=24，故答案为： 24评论：此题观察的知识点是由三视图求体积，此中依据已知中的三视图剖析出几何体的形状是解答的重点．9．（ 4 分）（ 2014?上海）设f（ x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．剖析：分别由 f （ 0） =a， x≥2，a≤x+综合得出a 的取值范围．解答：解：当 x=0 时， f（ 0）=a，由题意得： a≤x+，又∵ x+ ≥2=2，∴a≤2，故答案：（∞， 2]．点：本观察了分段函数的用，基本不等式的性，是一道基．10．（ 4 分）（ 2014?上海）无等比数列{a n} 的公比q，若 a1=（a3+a4+⋯a n），q=．考点：极限及其运算．：等差数列与等比数列．剖析：由已知条件推出a1=，由此能求出q 的．解答：解：∵无等比数列{a n} 的公比q，a1=（a3+a4+⋯a n）=（a1a1q）=，∴q 2+q 1=0，解得 q=或q=（舍）．故答案：．点：本考等比数列的公比的求法，是中档，解要真，注意极限知的合理运用．11．（ 4 分）（ 2014?上海）若 f（ x）=，足f（x）＜0的x的取范是（0，1）．考点：指、数不等式的解法；其余不等式的解法．：不等式的解法及用．剖析：直接利用已知条件化不等式求解即可．解答：解： f（ x）=，若足f（ x）＜ 0，即＜，∴，∵ y=是增函数，∴的解集为：（0， 1）．故答案为：（ 0， 1）．评论：此题观察指数不等式的解法，函数的单一性的应用，观察计算能力．12．（ 4 分）（ 2014?上海）方程 sinx+cosx=1 在闭区间 [0，2π]上的全部解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．剖析：由三角函数公式可得 sin（ x+）= ，可知 x+=2k π+ ，或 x+ =2kπ+，k∈Z，联合 x∈[0，2π]，可得 x 值，乞降即可．解答：解：∵ sinx+cosx=1，∴sinx+cosx= ，即 sin（ x+ ） = ，可知 x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵ x∈[0，2π]，∴ x=，或x=，∴+=故答案为：．评论：此题观察两角和与差的三角函数公式，属基础题．13．（ 4 分）（ 2014?上海）为加强安全意识，某商场拟在将来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧迫分散操练，则选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．剖析：要求在将来的连续10 天中随机选择3天进行紧迫分散操练，选择的 3 天恰巧为连续 3天的概率，须先求在10 天中随机选择 3 天的状况，再求选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况，即可获得答案．解答：解：在将来的连续10 天中随机选择3天共有种状况，此中选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况有8 种，分别是（ 1， 2， 3），（ 2，3，4），（ 3，4， 5），（4， 5， 6），（ 5， 6，7），（ 6，7， 8），（7， 8， 9），（ 8， 9，10），∴选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是，故答案为：．评论：此题观察古典概型以及概率计算公式，属基础题．14．（ 4 分）（ 2014?上海）已知曲线C： x= ﹣，直线l： x=6，若对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，则m 的取值范围为[2， 3]．考点：直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．剖析：+ = ，说明 A 是 PQ 的中点，联合 x 的范围，经过曲线方程判断曲线特点，经过求出 m 的范围即可．解答：，是以原点为圆心， 2 为半径的圆，而且 x P∈[﹣ 2， 0]，解：曲线 C： x=﹣对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，说明 A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6 ，∴ m=∈[2，3]．故答案为： [2， 3]．评论：此题观察直线与圆的地点关系，函数思想的应用，观察计算能力以及转变思想．二、选择题（共 4 题，满分零分15．（ 5 分）（ 2014?上海）设A ．充分非必需条件C．充要条件20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得a，b∈R，则“a+b＞ 4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的（B．必需非充足条件D．既非充足又非必需条件5 分，不然一律得）考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．专题：简略逻辑．剖析：依据不等式的性质，利用充足条件和必需条件的定义进行判断．解答：解：当 a=5， b=0 时，知足a+b＞ 4，但 a＞ 2 且 b＞2 不可立，即充足性不可立，若 a＞ 2 且 b＞ 2，则必有a+b＞4，即必需性成立，故“a+b＞4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的必需不充足条件，应选： B．评论：此题主要观察充足条件和必需条件的判断，依据不等式的性质是解决此题的重点，较基础．比16．（ 5 分）（ 2014?上海）已知互异的复数a， b 足 ab≠0，会合 {a ， b}={a2，b2} ， a+b=（）A ． 2B． 1C． 0D． 1考点：集合的相等．：集合．剖析：依据会合相等的条件，获得元素关系，即可获得．解答：解：依据会合相等的条件可知，若22，{a ， b}={a ， b }① 或② ，由① 得，∵ ab≠0，∴ a≠0 且 b≠0，即 a=1， b=1 ，此会合 {1 ， 1} 不足条件．由②得，若 b=a 2，a=b2，两式相减得a2b2=b a，即（ a b）（ a+b）=（ a b），∵互异的复数a， b，∴a b≠0，即 a+b= 1，故： D．点：本主要考会合相等的用，依据会合相等获得元素同样是解决本的关，注意要行分．17．（ 5 分）（ 2014?上海）如，四个 1 的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条， P i（ i=1 ，2，⋯，7）是小正方形的其余点，?（i=1，2，⋯，7）的不一样的个数（）A ．7B． 5C．3D．1考点：平面向量数目的运算．：算；平面向量及用．剖析：成立适合的平面直角坐系，利用坐分求出数目，由果可得答案．解答：解：如成立平面直角坐系，A （ 0， 0），B （ 0， 2）， P1（0， 1），P2（ 1， 0）， P3（ 1， 1）， P4（1， 2），P5（ 2，0）， P6（2，1），P7（ 2， 2），∴，=（ 0， 1），=（ 1， 0），=（1， 1），=（ 1， 2），=（ 2， 0），=（ 2， 1），=（2， 2），∴=2 ，=0，=2，=4，=0，=2，=4，∴? （ i=1 ， 2，⋯， 7）的不一样的个数 3，故 C．点：本考平面向量的数目运算，属基．18．（ 5 分）（ 2014?上海）已知P1（ a1， b1）与 P2（a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，对于x 和 y 的方程的解的状况是（）A．无 k， P1， P2怎样，是无解B．无 k， P1， P2怎样，有独一解C．存在 k， P1， P2，使之恰有两解D ．存在 k， P1， P2，使之有无多解考点：一次函数的性与象．：函数的性及用；直与．剖析：判断直的斜率存在，通点在直上，推出a1， b1， P2， a2， b2的关系，而后求解方程的解即可．解答：解： P1（a1， b1）与 P2（ a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，直y=kx+1 的斜率存在，∴ k=，即a1≠a2，而且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴ a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2 a1=a2a1，①× b2②×b1得：（a1b2a2b1） x=b 2b1，即（ a1a2）x=b 2b1．∴方程有独一解．应选： B．评论：此题观察一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19．（ 12 分）（ 2014?上海）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC ，其表面睁开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：利用侧面睁开图三点共线，判断△ P1P2P3是等边三角形，而后求出边长，利用正四周体的体积求出几何体的体积．解答：解：依据题意可得：P1， B， P2共线，∵∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠ CBP2，∠ ABC=60 °，∴∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠CBP2=60 °，∴∠ P1=60°，同理∠ P2=∠ P3=60°，∴△ P1P2P3是等边三角形， P﹣ ABC 是正四周体，∴△P1 2 3的边长为4，P PV P﹣ABC ==评论：此题观察空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面睁开图和体积的求法．20．（ 14 分）（ 2014?上海）设常数a≥0，函数 f（ x） =．（1）若 a=4，求函数 y=f （ x）的反函数 y=f ﹣ 1（ x）；（2）依据 a 的不一样取值，议论函数y=f （ x）的奇偶性，并说明原因．考点：反函数；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．剖析：（ 1）依据反函数的定义，即可求出，（ 2）利用分类议论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决．解答：解：（ 1）∵ a=4，∴∴，∴，∴调动 x， y 的地点可得， x∈（﹣∞，﹣ 1）∪（ 1， +∞）．（ 2）若 f （ x）为偶函数，则 f （ x） =f （﹣ x）对随意 x 均成立，∴=，整理可得a（2x﹣ x） =0．﹣ 2x﹣ x∵2 ﹣2 不恒为 0，∴ a=0，此时 f（ x） =1， x∈R，知足条件；若 f（ x）为奇函数，则 f （ x） =﹣ f （﹣ x）对随意x 均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴ a=1，此时 f（ x）=，知足条件；综上所述， a=0 时， f （x）是偶函数，a=1 时， f（ x）是奇函数．评论：此题主要观察了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类议论的思想，属于中档题．21．（ 14 分）（ 2014?上海）如图，某企业要在 A 、B 两地连线上的定点 C 处建筑广告牌 CD ，此中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A 、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问 CD 的长至多为多少（结果精准到 0.01 米）？（2）施工达成后， CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得α=38.12°，β=18.45 °，求 CD 的长（结果精准到 0.01 米）．考点：解三角形的实质应用．专题：解三角形．剖析：（ 1）设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式成立不等式关系即可获得结论．（ 2）利用正弦定理，成立方程关系，即可获得结论．解答：解：（ 1）设 CD 的长为 x 米，则 tanα=， tanβ=，∵ 0，∴tanα≥tan2β＞0，∴ tan，即=，解得 0≈28.28，即 CD 的长至多为 28.28 米．（2）设 DB=a ， DA=b ， CD=m ，则∠ADB=180 °﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即 a=，∴ m=≈26.93，答： CD 的长为 26.93 米．评论：此题主要观察解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决此题的重点．22．（ 16 分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线 l ：ax+by+c=0 和点 P1（ x1，y1），P2（ x2，y2），记η=（ax1+by 1+c）（ ax2+by2 +c），若η＜ 0，则称点 P1，P2被直线 l 分开，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、P2被直线 l 分开，则称直线 l 为曲线 C的一条分开线．（1）求证：点 A （ 1， 2）， B （﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开；（2）若直线22k 的取值范围；y=kx 是曲线 x ﹣4y=1 的分开线，务实数（3）动点 M 到点 Q（ 0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程，并证明y 轴为曲线 E 的分开线．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．剖析：（ 1）把 A 、B 两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再依据η＜0，得出结论．（ 2）联立222≤0，可得（ 1﹣4k ） x =1，依据此方程无解，可得1﹣4k从而求得 k 的范围．222（ 3）设点M （ x， y），与条件求得曲线① ．因为 yE 的方程为 [x +（ y﹣ 2） ]x =1轴为 x=0，明显与方程①联立无解．把 P1、P2的坐标代入 x=0 ，由η=1×（﹣ 1）=﹣ 1＜ 0，可得 x=0 是一条分开线．解答：解：（ 1）把点（ 1， 2）、（﹣ 1， 0）分别代入x+y ﹣ 1 可得η=（ 1+2 ﹣ 1）（﹣ 1﹣ 1）=﹣4＜ 0，∴点（ 1，2）、（﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开．（ 2）联立22可得（ 1﹣4k ） x =1，依据题意，此方程无解，故有1﹣24k ≤0，∴ |k|≥ ．当 |k|≥ ， 于直y=kx ，曲 x 24y 2=1 上的点（ 1， 0）和（ 1， 0）2足 η=k ＜ 0，即点（ 1， 0）和（ 1， 0）被 y=kx 分开．（ 3） 点 M （ x ， y ），?|x|=1，故曲 E 的方程 [x2+（ y 2）2 2]x =1 ① ．随意的 y 0，（ 0， y 0）不是上述方程的解，即 y 与曲 E 没有公共点．又曲 E 上的点（ 1，2）、（ 1， 2） 于 y（ x=0 ） 足 η=1×（ 1） = 1＜ 0，即点（ 1，2）和（ 1， 2）被 y 分开，所以y 曲 E 的分开 ．点 ：本 主要考 新定 ，直 的一般式方程，求点的 迹方程，属于中档 ．23．（ 18 分）（ 2014?上海）已知数列{a n } 足a n ≤a n+1≤3a n ， n ∈N *， a 1=1．（1）若 a 2=2， a 3=x ， a 4=9，求 x 的取 范 ；（2）若 {a n } 是等比数列，且a m = ，求正整数 m 的最小 ，以及 m 取最小 相{a n }的公比；（3）若 a 1， a 2 ，⋯a 100 成等差数列，求数列 a 1， a 2，⋯a 100 的公差的取 范 ．考点 ：数 列的乞降；数列 推式．：等差数列与等比数列．剖析：（ 1）由 意可得：，，代入解出即可；（ 2） 公比 q ，由已知可得，，因为，可得．而，可得 ，再利用 数的运算法 和性 即可得出．（ 3） 公差 d ，由已知可得3[1+（ n 2）d]，其中 2≤n ≤100，即 ，解出即可．解答：解；（ 1）由 意可得： ，∴；又，∴ 3≤x ≤27．上可得： 3≤x ≤6．（ 2） 公比 q ，由已知可得， ，又，∴．所以，∴，∴ m=1﹣ log q1000==1 ﹣=≈7.28．∴ m 的最小值是7，8，所以 q =∴=．（ 3）设公差为d，由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]即，令 n=1 ，得．当 2≤n≤99 时，不等式即，．∴．综上可得：公差 d 的取值范围是．评论：此题综合观察了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法例等基础知识与基本技术方法，观察了推理能力和计算能力，属于难题．。

注：2014年上海春季高考数学试卷由学考试卷（120分）+春考试卷（30分）组成2014年上海市普通高中学业水平考试数学试卷一、填空题（本大题满分36分） 1．若416x=，则___x =2．计算：(1)______i i +=（i 为虚数单位）3．1、1、2、2、5这五个数的中位数是 4．若函数3()f x x a =+为奇函数，则实数___a = 5．点(0,0)O 到直线40x y +-=的距离是6．函数11y x =+的反函数为 7．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和___n S =8．已知1cos 3α=，则cos 2___α= 9．已知a 、b R +∈。

若1a b +=，则ab 的最大值是10．在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是 （结果用数值表示） 11．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30︒方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75︒方向，此时货船到灯塔M 的距离为 海里。

12．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。

若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程为二、选择题（本大题满分36分）13．两条异面直线所成的角的范围是（ ）()A (0,)2π； ()B (0,]2π； ()C [0,)2π； ()D [0,]2π。

14．复数2i +（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）()A 2i -； ()B 2i -+； ()C 2i --； ()D 12i +。

15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（ ） ()A sin y x =；()B sin 2y x =；()C cos y x =；()D cos 2y x =。

16．在4(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ）()A 6； ()B 4； ()C 2； ()D 1。

上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． （1）【2014年上海，理1，4分】函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ． 【答案】2π【解析】原式＝cos4x -，242T ππ==． （2）【2014年上海，理2，4分】若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭ ．【答案】6【解析】原式＝211516z z z ⋅+=+=+=．（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ． 【答案】2x =-【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-．（4）【2014年上海，理4，4分】设2(,)()[,)xx a f x xx a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩，若(2)4f =，则a 的取值范围为 ．【答案】2a ≤【解析】根据题意，2[,)a ∈+∞，∴2a ≤．（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．【答案】【解析】2222x y x +≥⋅=． （6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 ．（结果用反三角函数值表示）【答案】1arccos 3【解析】设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S =侧底，∴23r R r ππ⋅⋅=⋅，即3R r =，∴1cos 3θ=，即母线与底面夹角大小为1arccos 3．（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是 ．【答案】13【解析】曲线C 的直角坐标方程为341x y -=，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13．（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = ．PP P 6P P P P P 1B【解析】223111011a a q a q q q q q ==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q = （9）【2014年上海，理9，4分】若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ． 【答案】(0,1)【解析】2132()0f x x x -<⇒<，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)． （10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 ．（结果用最简分数表示） 【答案】115【解析】3108115P C ==．（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += ． 【答案】1-【解析】第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-．（12）【2014年上海，理12，4分】设常数a使方程sin x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= ． 【答案】73π【解析】化简得2sin()3x a π+=，根据下图，当且仅当a =恰有三个交点，即12370233x x x πππ++=++=．（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为 ．【答案】0.2【解析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与前式相减得：1235320.2p p p p ---+=，∵0i p ≥，∴1235532p p p p p ---+≤，即50.2p ≥．（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线:C x =，直线:6l x =． 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 ．【答案】1615-【解析】根据题意，A 是PQ 中点，即622P Q P x x x m ++==，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． （15）【2014年上海，理15，5分】设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】充分性不成立，如5a =，1b =；必要性成立，故选B ．（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）A βC BαD（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】A【解析】根据向量数量积的几何意义，i AB AP ⋅等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而i AP 在AB 方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ⋅为定值1，故选A ．（17）【2014年上海，理17，5分】已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论12,,k P P 如何，总是无解 （B ）无论12,,k P P 如何，总有唯一解（C ）存在12,,k P P ，使之恰有两解 （D ）存在12,,k P P ，使之有无穷多解 【答案】B【解析】由已知条件111b ka =+，221b ka =+，11122122a bD a b a b a b ==-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠，∴有唯一解，故选B ．（18）【2014年上海，理18，5分】设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） （A ）[1,2]- （B ）[1,0]- （C ）[1,2] （D ）[0,2]【答案】D【解析】先分析0x ≤的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，min ()()(0)f x f a f =≠，不符合题意，排除AB 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项，故选D ．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图．求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ． 解：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=︒，∴11260ABP BAP CBP ∠=∠=∠=︒，∴160P ∠=︒，同理2360P P ∠=∠=︒，∴123PP P ∆是等 边三角形，P ABC -是正四面体，所以123PP P ∆边长为4；∴3V AB ==． （20）【2014年上海，理20，14分】设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-．（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．解：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244()log 1x y f x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞． ……6分（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x xa aa a --++=--，整理得(22)0x x a --=，∴0a =，此时为偶函， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x xa aa a--++=---，整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时 为奇函数，当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数． ……14分（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米． 设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD 是铅垂方向． 若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结 果精确到0.01米）？P 2（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=︒，18.45β=︒，求CD 的长（结果精确到0.01米）．解：（1）设CD 的长为x 米，则tan ,tan 3580x x αβ==，∵202παβ>≥>， ∴tan tan 2αβ≥，∴22tan tan 1tan βαβ≥-，∴2221608035640016400x x x x x ≥=--，解得028.28x <≤≈，∴CD 的长至多为28.28米． ……6分 （2）设,,DB a DA b DC m ===，180123.43ADB αβ∠=︒--=︒，则sin sin a ABADBα=∠， 解得115sin38.1285.06sin123.43a ︒=≈︒∴26.93m =≈∴CD 的长为26.93米． ……14分（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++． 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割． 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线． （1）求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割； （2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线．解：（1）将(1,2),(1,0)A B -分别代入1x y +-，得(121)(11)40+-⨯--=-<，∴点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割． ……3分 （2）联立2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，得22(14)1k x -=，依题意，方程无解∴2140k -≤，∴12k ≤-或12k ≥．……8分（3）设(,)M x y1=，∴曲线E 的方程为222[(2)]1x y x +-= ① 当斜率不存在时，直线0x =，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P -为E 上两点，且代入0x =，有10η=-<，∴0x =是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx =，代入方程得：2432(1)4410k x kx x +-+-=， 令2432()(1)441f x k x kx x =+-+-，则(0)1f =-，22(1)143(2)f k k k =+-+=-，22(1)143(2)f k k k -=+++=+，当2k ≠时，(1)0f >，∴(0)(1)0f f <，即()0f x =在(0,1)之间存在实根，∴y kx =与曲线E 有公共点当2k =时，(0)(1)0f f -<，即()0f x =在(1,0)-之间存在实根，∴y kx =与曲线E 有公共点， ∴直线y kx =与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x =是E 的分割线． ……16分（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++． 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差．解：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又343133a a a ≤≤，∴327x ≤≤，综上可得36x ≤≤．……3分（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤，当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133nn n ≤+≤，成立；当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---， ∴111331n nq q +-≤≤-，此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，∵1q >，∴132(31)2220n n n nq q q q q +--=-->->， 对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q <≤时，30q -<，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，∴12q <≤，当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n nq q q q q q +---≤≤---，即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，310,30q q ->-<， ∵132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=--> ∴113q ≤<时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为123q ≤≤． ……10分 （3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解，∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k dk d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-⎧⎨-≥-⎩， 当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥---，∴221d k ≥--，12(1) (10002)k k k da a a k -+++=+=，∴1000k ≥时，200022(1)21k d k k k -=≥---，解得10001000k ≤1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999k d k k -==-=--⨯． ……18分。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设a ，b ∈R ，则“a +b >4”是“a >2且b >2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a,b}={a 2,b 2}，则a +b =( ) A. 2B. 1C. 0D. −13. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i (i =1,2,…,7)是小正方形的其余顶点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,7)的不同值的个数为( )A. 7B. 5C. 3D. 14. 已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组{a1x+b1y=1a2x+b2y=1的解的情况是( )A. 无论k，P1，P2如何，总是无解B. 无论k，P1，P2如何，总有唯一解C. 存在k，P1，P2，使之恰有两解D. 存在k，P1，P2，使之有无穷多解第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 函数y=1−2cos2(2x)的最小正周期是______．6. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+1z)⋅z.=______ ．7. 设常数a∈R，函数f(x)=|x−1|+|x2−a|，若f(2)=1，则f(1)=______ ．8. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．9. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为______ ．10. 若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为______．11. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为______ (结果用反三角函数值表示)12. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______．13. 设f(x)={−x+a,x≤0x+1x,x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为______ ．14. 设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=n→∞lim(a3+a4+⋯a n)，则q=______．15. 若f(x)=x23−x−12，则满足f(x)<0的x的取值范围是______．16. 方程sinx+√3cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是______ (结果用最简分数表示)．18. 已知曲线C ：x =−√4−y 2，直线l ：x =6，若对于点A(m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则m 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。