第四章 回归分析
课后作业参考答案
炼铝厂测得铝的硬度x 与抗张强度y 的数据如下：
i x
68 53 70 84 60 72 51 83 70 64 i y
288 298 349 343 290 354 283 324 340 286
(1)求y 对x 的回归方程
(2)检验回归方程的显著性(05.0=α) (3)求y 在x =65处的预测区间(置信度为 解：(1) 1、计算结果
一元线性回归模型εββ++=x y 10只有一个解释变量
其中：x 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数，ε位随机干扰项。
(
)()()
(
)685.222
,959.4116,541.35555
.76725
.19745
.109610
,5.3151,5.6712
2
1
21
2
1
12
1
2
12
11=-=
=-===
=-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n y
y
y L y x n y x y y x x L x n x
x
x L n y n y x n x e
e yy e xx
xy
n
i i
n
i i yy n
i i i n i i i xy n
i i
n
i i xx n
i i n i i σ
使用普通最小二乘法估计参数10,ββ
上述参数估计可写为95.193ˆˆ,80.1ˆ1
01
=-===x y L L xx
xy βββ 所求得的回归方程为：x y
80.195.193ˆ+= 实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加个单位。 2、软件运行结果 根据所给数据画散点图
过检验
由线性回归分析系数表得回归方程为：x y
801.1951.193ˆ+=，说明x 每增加一个单位，
y 相应提高。
(2) 1、计算结果
①回归方程的显著性检验(F 检验)
:0H 线性回归效果不显著 :1H 线性回归效果显著
()
91.62/=-=
n Q U
F e
在给定显著性水平05.0=α时，()()F F n F <==--32.58,12,195.01α，所以拒绝0H ，认为方程的线性回归效果显著 ②回归系数的显著性检验(t 检验)
0:10=βH 0:11≠βH
()
628.22/ˆ1=-=
n Q L t e xx β
在给定显著性水平05.0=α时，()()t t n t
<==--
306.282975.02
1α
，所以拒绝0H ，认为回
归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
③回归方程的线性显著性检验(r 检验)
:0H x 与y 线性无关 :1H x 与y 线性相关
681.0==
yy
xx xy L L L r
在给定显著性水平05.0=α时，()()r r n r <==--6319.08295.01α，所以拒绝0H ，认为x 与y 之间具有线性关系。 2、软件运行结果
模型 R 2
R
修正的2
R
估计的学生误差
1
(a)
由上表得r =，说明y 和x 的之间具有线性关系。
模型 平方和
自由度
平均平方值
F 值
P 值 1 回归平方和 1 (a) 残差平方和 8
总平方和
9
由方差分析表知，p 值小于给定的α，说明回归方程通过F 检验，回归方程显著。
模型 非标准化系数
标准化系数
T 值 P 值 95% 系数的置信区
间
β值
学生残差
β值
下限 上限 1 常数项
x
由线性回归分析系数表知，p 值小于给定的α，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
综上所述，建立的回归方程通过以上的r 检验、F 检验、t 检验，证明回归方程效果显著。 (3)当0x =65时，代入上述回归方程得0y =
()()()
xx
e L x
x
n
n t x 2
010112ˆ-++-=-ασ
δ
在1-的置信度下，0y 的置信区间为()()[]0000ˆ,ˆx y x y
δδ+- 95%置信度下的预测区间为 [ ]。
在硝酸钠(3NO N a )溶解度试验中，对不同温度C t 0
测得溶解于100ml 的水中的硝酸钠重i t
0 4 10 15 21 29 36 51 68 i y
(1)求回归方程
(2)检验回归方程的显著性
(3)求y 在C t 0
25=时的预测区间(置信度为 解： (1) 1、计算结果
一元线性回归模型εββ++=x y 10只有一个解释变量
其中：t 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数，ε位随机干扰项。
(
)()()
(
)015.12
,208.7,25.308646
.30938
.35394060
9,2.901,2612
2
1
21
2
1
12
1
2
12
11=-=
=-===
=-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n y
y
y L y x n y x y y x x L x n x
x
x L n y n y t n t e
e yy e xx
xy
n
i i
n
i i yy n
i i i n i i i xy n
i i
n
i i xx n
i i n i i σ
使用普通最小二乘法估计参数10,ββ
上述参数估计可写为5313.67ˆˆ,8719.0ˆ1
01
=-===x y L L xx
xy βββ 所求得的回归方程为：t y
8719.05313.67ˆ+= 实际意义为：在温度为0时，硝酸钠的溶解度为，温度每升高一度，溶解度增加。 2、软件运行结果 根据所给数据画散点图
