哈尔滨工业大学《应用泛函分析》教学课件

绪论泛函分析是20世纪30年代形成的现代数学分支,泛函分析起源于“变分法”与“积分方程”的发展 .变分法的诞生起源于约翰·伯努利(瑞士)提出的“速降线”问题(1696).求路径使得小球下落最快伯努利方程伯努利（约翰次子）：注：丹尼尔老师伯努利（弟）：洛比达约翰律伯努利（哥）：大数定雅各布洛比达物理几何微积分创始人牛顿莱布尼兹⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⎭⎬⎫ 泛函分析是起源于古典分析的一个数学分支,其研究对象是定义在无穷维空间上的映射(算子).教材:应用泛函分析,薛小平,哈尔滨工业大学出版社. 简明泛函分析,罗跃生,哈尔滨工程大学出版社. 参考书:张恭庆《泛函分析讲义》北京大学出版社郑维行、王声望《实变函数与泛函分析概要》高教 预备知识一 集合论(Cantor) 1 集合及其运算(包含,相等,并,交,差,余(补))集族:I 是以非空集(可有限或无限), I i i A ∈}{(足(指)标集)是一组集合族, }:{I i A i ∈[对每个I i ∈,都存在一个集合i A 与之对应]并: },:{00i i Ii A x I ix A ∈∈∃=∈使交:},:{ii Ii A x I i x A ∈∈∀=∈使对当N =I 时,∞=1}{n n A ----集(合)列.DeMorgan 公式:1) ci I i ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2) ci Ii ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛乘积集合:},:),{(B y A x y x B A ∈∈=⨯ ----Descarte 乘积,直积. 2 映射函数:数−→−f数:R Y X X x x f y Y X ⊂∈∀=→,,),(:. 映射:集合−→−f集合: .),(:A a a f b B A f∈∀=−→−函数−−→−一般化映射.定义:B A ,是两集合,若对A a ∈∀,在规则f 下都有B 中唯一元素b 与a 对应,则称f 是从A到B 的映射.记为)(,:a f b B A f =→.定义域:A ,值域:}:)({)()(A a a f f R A f ∈==.称b 是a 的象, a 是b 的一个原象,但原象可能不唯一.b b f :)(1-的原象的全体.}:)({})(:{)(01001B b b f B x f A x B f ∈=∈∈=--,)(0A f B ⊂,B A f →:.满射:若对A a B b ∈∃∈∀,,使)(a f b =,即B A f =)(.(B 中元素都有原象)单射(一对一):若由a a A a a '≠∈',,,必有)()(a f a f '≠[或由)()(a f a f '=必有a a '=](原象唯一)双射(一一映射):既单且满.复合映射:C B g B A f →→:,:,称C A h →:是f 与g 的复合映射,若A a a f g a h ∈∀=)],([)(.延拓与限制: B A f →:,且A D ⊂,称B D g →:为f 在D 上的限制.若对D x ∈∀,)()(x f x g =.反之,称f 为g 在A 上的延拓.记为Dfg =.对等:B A ,是两集合,若A 与B 之间存在一个双射(一一映射),则称A 与B 是对等的,记作B A ~.3 可列集可列集(可数):凡事与N 对等的集合,},,{21 x x ,如,},6,4,2{},,4,3,2{ 性质:1 可列集的任何自己是有限集或可列集.2 任何无限集一定含有一个可列的子集.证:设A 是无限集,φ≠A ,取φ≠∈}{\,111a A A a ,取}{\12a A a ∈,φ≠},{\21a a A ,…故可取出A 中一列元素 ,,21a a .令},,{210 a a A =,故0A 是A 的一个可列集. 3 21,A A 是可列集,则21A A ⋃也是可列集. 推论:任何有限个可列集的并仍是可列集. 4 21,A A 均是可列集,则n n A ∞=⋃1也是可列集.证: },,,{1312111 a a a A = },,,{2322212 a a a A =},,,{3332313a a a A =},,,,,,{3122132112111a a a a a a A n n =⋃∞=. 例 有理数集Q 是可列集.⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋃=⋃⋃=∞=+-+,3,2,1},0{1m m m Q Q Q Q Q Q m m m . 5 A 是一无限集,则存在A 的一个真子集0A 使得A 与0A 对等.证:因A 是无限集,取0B 为A 的一个可列子集, },,{},,,,{43213210 b b b B b b b B ==,100)\(B B A A ⋃=,00)\(B B A A ⋃=,0A 是A 的真子集,令⎩⎨⎧==∈=→+,2,1,,\,)(::100i b x b B A x x x f A A f i i 故A 与0A 对等.(可举例}1{\~R R ) 6 可列集与可列集的直积集是可列的. 定理 }10:{)1,0(<<=x x 是不可列集. 证 反证法:若)1,0(是可列集,则,.0,.0,.0},,,{)1,0(333231323222121312111321ααααααααα====x x x x x x )1,0(中每个数都可以表成这种形式且表法唯一. i j α是9,0 的数构造⎪⎩⎪⎨⎧≠===1,11,2,.0321ii ii i b b b b ααξ若若 因此）（1,0∈ξ,但 ,3,2,1,=≠n x n ξ,从而）（1,0∉ξ,矛盾. 基数(势)的定义:A 的势记为A :1)若两集合对等,则他们有相同的基数 2)若A 与B 的某子集对等,则B A ≤.记χχ===,0.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π21tan ,~)1,0(x y R .思考题: ]1,0[)1,0(=.Cantor 连续统假设:是否存在R '的不可数子集A ,使得χχ<<A 0.R =势Cantor 猜测这样的基数不存在,它表明实数集R '的任意不可数子集A 必与R '对等.注: 康托:集合论创立人,(德).犹太人,“无穷”概念. 基数、势、序数、超越数. 二 实数集的基本构造 1 序关系实数集中两个数x 与y 的大小关系“≤”有如下性质:1)R x x x ∈∀≤,. (自反性)2)y x ≤,且z y ≤,则z x ≤. (传递性) 3)y x ≤,且x y ≤,则y x =. (反对称性) 称“≤”为R 上的一个序关系.定义:设A 为非空集合,若A 中某些元素x 与y 的关系“≤”满足:1)A x x x ∈∀≤,. 2)y x ≤,z y ≤,则z x ≤. 3)y x ≤,x y ≤,则y x =.则称A 为半序集(偏序集).又若A 中任意两个元素x 与y 都可由关系“≤”联系,则称A 为全序集.例 ”“的所有子集⊂=},{R A ,半序集,非全序.定义 A 是半序集,A a ∈,若对A x ∈∀,有a x ≤,则称a 为A 中的最大元素. A a ∈,若A x ∈∀,有x a ≤,必有a x =,则称a 为A 中的极大元素. 区别:最大元:A 中任意元素x 与a 都有序关系:a x ≤.极大元:A 中与a 有序关系的元素x 都a ≤. 不唯一最大元是极大元,反之不必.定义:设B 为A 的子集, A a ∈,若对B b ∈∀,都有a b ≤(b a ≤),则称a 为B 的一个上(下)界.引理(Zorn):若半序集A 的每个全序子集都有上界,则在A 中必存在极大元素. 注:应用广泛:泛函:Hahn-Banach 定理,任一向量空间必有基. 拓扑:抽象代数. 2 实数中的开集、闭集定义R A ⊂,称A x ∈0为A 的内点,若0>∃δ,使A x x ⊂+-),(00δδ.A 的所有内点的全体组成的集合记为。

§4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程：设{}∞=1n n x 是1R 中的点列，若>∀ε0，()N ∈=∃εN N ，s.t.当Nn m >,时，有()m n x x d ,=m n x x -<ε，则称{}∞=1n n x 是1R 中的柯西点列.Def 1 设X =(X ，d )是度量空间，{}∞=1n n x 是X 中的点列. 若>∀ε0,()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，有()m n x x d ,<ε，则称{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X ，d )中每个柯西点列都收敛，则称(X ，d )是完备的度量空间.有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41,Λ,412.1 在1R 中收敛于2，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.实因若x x n →，则>∀ε0, ()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，都有()x x d n ,<2ε.因此当N m n >，时，有()m n x x d ,≤()x x d n ,+()x x d m ,<2ε+2ε. 所以{}∞=1n n x 是柯西点列.例2 ∞l (表有界实或复数列全体)是完备度量空间.证明 设{}∞=1m m x 是∞l 中的柯西点列，其中m x =()Λ,,21ξξ.>∀ε0,()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，都有 ()n m x x d ,=()()n j m j jξξ-sup <ε (1)因此对每个固定的j ，当N n m >,时，成立()()n j m j ξξ-<ε (2) 于是()k j ξ，Λ,2,1=k 是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的，故存在实或复数j ξ，s.t. ()n j ξ→j ξ(∞→n )令x =()Λ,,21ξξ，往证x ∈∞l 且m x →x .在(2)中，令∞→n ，得N m >∀时，成立()j m j ξξ-≤ε (3)因为m x =()()()()ΛΛ,,,,21m j m m ξξξ∈∞l ，所以∃m K >0，s.t.j ∀∈N ，成立()m j ξ≤m K (不同的数列，界可能不一样). 所以 ()≤-≤m j j j ξξξε+m K .所以x ∈∞l . 由(3)知，N m >∀时，成立()=x x d m ,()εξξ≤-j m j jsup .所以x x m →. 所以∞l 是完备度量空间.例2 令C 表示所有收敛的实或复数列的全体，∀x =()Λ,,21ξξ∈C ，∀y =()Λ,,21ηη∈C ，令 ()y x d ,=j j jηξ-sup . 则 01()y x d ,≥0且x =y时，()y x d ,=0. 又j j ηξ-≤j j jηξ-sup =()y x d ,=0 ⇒ j ξ=j η(N ∈j ).于是()y x d ,=0 ⇔ x =y . 02z ∀=()Λ,,21ςς∈C ，则由于对∀N ∈j ，成立 j j ηξ-≤j j ςξ-+j j ςη-≤j j jςξ-sup +j j jςη-sup =()z x d ,+()z y d ,. 所以j j jηξ-sup ≤()z x d ,+()z y d ,. 即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以()y x d ,可定义为C 中∀两点间的距离. 于是C 按距离()y x d ,成为度量空间(实际上是∞l 的一个子空间). 欲证C 是完备度量空间，先证Th 1 完备度量空间X 的子空间M 是完备度量空间 ⇔ M 是X 中的闭子空间.证明 设M 是完备子空间，对每个x ∈M '，∃M 中点列{}∞=1n n x ，使x x n →. 所以{}∞=1n n x 是M 中柯西点列. 所以它在M 中收敛. 由极限的唯一性，所以x ∈M . 所以M '⊂M . 即M 是X 中的闭子空间. 反之，若{}∞=1n n x 是M 中柯西点列，因X 是完备度量空间，则在X 中收敛. 即∃x ∈X ，s.t. x x n →.因为M 是X 中的闭子空间，所以x ∈M ，所以{}∞=1n n x 在M 中收敛. 于是M 是完备度量空间.例2的证明 由Th 1 只证C 是∞l 中的闭子空间即可. ∀x =()Λ,,21ξξ∈C '(要证k j ξξ-<ε，从而x ∈C )，∃n x =()()()Λ,,21n n ξξ∈C (Λ,2,1=n )，s.t. x x n →. 所以>∀ε0，N ∈∃N ，s.t.当N n ≥时，成立 ()j n j ξξ-≤()j n j jξξ-sup =()x x d n ,<3ε. 特别取N n =，则对j ∀∈N ，成立 ()j N j ξξ-<3ε.因为N x ∈C , 所以当∞→j 时，()N j ξ收敛. 故∃1N ∈N ，s.t. j ∀,≥k 1N 时，成立()()N k N j ξξ-<3ε. 所以j ∀,≥k 1N 时，成立 k j ξξ-≤()N j j ξξ-+()()N k N j ξξ-+()k N k ξξ-<3ε+3ε+3ε=ε. 所以{}∞=1j j ξ是柯西数列，因而收敛. 所以x =()Λ,,21ξξ∈C . 所以C 是∞l 中的闭子空间. 由Th 1，C 是完备度量空间. 证毕. 作业： P 206. 14. 15中的()A B S ,.作业题解： 14 ε=1，N ∈∃N ，s.t.当N n m >,时，有()m n x x d ,<1, 特别当N n >时，有()1,+N n x x d <1. 又N n ≤时，()1,+N n x x d 只有有限个值故>∃M 0,s.t. ()1,+N n x x d ≤M . 因此N ∈∀m n ,，成立()m n x x d ,≤()1,+N n x x d +()m N x x d ,1+≤{}M M 2,1,2m ax +. 所以{}∞=1n n x 是有界点列.15设{}∞=1n n x 是S 中的柯西点列，n x =()()()Λ,,21n n ξξ. 即>∀ε0, N ∈∃N ， s.t.∀N n m >,时，成立()m n x x d ,=()()()()∑∞=-+-1121k m k n k m kn k kξξξξ<ε (*) 所以k ∀∈N ，∀N n m >,时，成立 ()()()()m k n k m k n k ξξξξ-+-1<εk 2. 因为∀给σ>0，对于每个固定的k ，∃ε：0<ε<σσ+121k ，然后由这个ε，按不等式(*)，N ∈∃N .所以∀N n m >,时，对这个固定的k ，成立()()()()m kn k m k n k ξξξξ-+-1<σσ+1.所以 ()()m k n k ξξ-<σ (N n m >,). 所以{}∞=1j j ξ是实(复)数集中的柯西点列. 而实(复)数集完备, 所以(){}∞=1n n k ξ收敛，设()n k ξ→k ξ(∞→n ). 记x =()Λ,,21ξξ，则x x n →. 而x ∈S ，所以S 完备.设{}∞=1n n x 是()A B 中的柯西点列，n x =()t f n ，A t ∈.>∀ε0，N ∈∃N ，s.t.当∀N n m >,时，成立()()t f t f m n At -∈sup <ε.所以∀N n m >,及A t ∈，成立()()t f t f m n -<ε. (**) 因此在集A 上，函数列(){}∞=1n n t f 收敛，设()t f n ()t f →. 由(**)式，令∞→m 得N n >时，()()ε≤-t f t f n . 所以N n >时，()t f ≤()()t f t f m n -+()t f n ≤ε+M (由于(){}∞=1n n t f 收敛，从而M 存在).所以()()A B t f ∈，又已证()t f n ()t f →所以()A B 是完备度量空间.柯西点列和完备度量空间(续)教学内容(或课题)：目的要求： 再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法. 教学过程：[]b a C ,是完备的度量空间.证明 设 n x ，Λ,2,1=n 是[]b a C ,中的柯西点列. >∀ε0，N ∈∃N ，s.t.当∀N n m >,时，成立bt a ≤≤max ()()t x t x n m -<ε. (4)所以t ∀∈[]b a ,，有()()t x t x n m -<ε. 于是当t 固定时，(){}∞=1n n t x是柯西数列.由实(复)数集的完备性，∃()t x ，s.t.()t x n →()t x . 往证()t x ∈[]b a C ,，n x →x 实因在(4)中令∞→m ，得知N n >时，成立bt a ≤≤max ()()t x t x n -≤ε. (5)所以()t x n 在[]b a ,上一致收敛于()t x ，从而()t x ∈[]b a C ,. 由(5)，当N n >时，()x x d n ,=bt a ≤≤max ()()t x t x n -≤ε. 所以 n x →x ，故[]b a C ,是完备度量空间.令[]b a P ,表示闭区间[]b a ,上实系数多项式全体,[]b a P ,作为[]b a C ,的子空间是不完备的度量空间. 实因多项式列∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++++132!621n n n x x x x Λ 在闭区间[]b a ,上一致收敛于连续的指数函数x e ，但x e 非多项式. 即[]b a P ,不是[]b a C ,的闭子空间. 由Th 1，[]b a P ,不是完备度量空间. 证毕. 设X 表示闭区间[]1,0上连续函数全体，对y x ,∀∈X ，令 ()y x d ,=()()⎰-10dt t y t x .易知()d X ,成为度量空间. 实因01 显然 ()y x d ,≥0. 若t ∈[]1,0时，()t x ≡()t y ，从而()y x d ,=0. 反之若()y x d ,=0，即()()⎰-10dt t y t x =0. 因()()t y t x -≥0，故()t x =()t y ..e a 于[]1,0. 又因..e a 相等的连续函数必然处处相等，故y x =. 总之()y x d ,≥0且()y x d ,=0⇔y x =.02 ()y x d ,=()()⎰-10dt t y t x ≤()()⎰-10dt t z t x +()()⎰-10dt t y t z=()z x d ,+()z y d ,. 所以()d X ,是度量空间.例5 上面定义的度量空间()d X ,不完备.证明 令 ()t x m =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+<<≤≤+210,012121,121,11t mtt m 线性 先证{}∞=1n n x 是()d X ,中的柯西点列. 实因ε∀0>，当n >m >ε1时，()m n x x d ,=()()⎰-10dt t x t x m n =()()⎰+-m m n dt t x t x 12121 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m 1121≤<m1<ε. 所以点列{}∞=1n n x 是()d X ,中的柯西点列. 再证点列{}∞=1n n x 在()d X ,中不收敛. 实因对每个x ∈X ，()x x d n ,=()()⎰-1dt t x t x n =()⎰21dt t x +()()⎰+-m n dt t x t x 12121+()⎰+-11211mdt t x . 若()x x d n ,→0, 必有 ()⎰210dt t x =()⎰-1211dt t x =0.但由于()t x 在闭区间[]1,0上连续，得()t x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0恒为0，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21恒为1. 与在t =21间断相矛盾. 故()d X ,是不完备的度量空间.作业： P 206. 15.()X M 、离散空间.作业解答： 设{}∞=1n n x 是()X M 中的基本点列，>∀σ0，有[]σσσ≥-+m n x x mX 1≤()()()()[]⎰≥=-+-σm n x x X m n m n dt t x t x t x t x 1≤()()()()⎰-+-Xmnm n dt t x t x t x t x 1=()m nx xd ,. ∀ε>0，∃N ∈N ，s.t. ∀n ，m >N ，有()m n x x d ,<ε. 从而[]σ≥-m n x x mX <σσ+1ε. 所以[]σ≥-m n x x mX →0 ()∞→m n ,. 由此可找到自然数列：1n <2n <Λ<3n <Λ<k n ，s.t. ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥-+k n n k k x t x mX 211<k 21对Λ,2,1=k 都成立.记k X =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥-+k n n k k x t x X 211, 再令0X =YI ∞=∞=1m mk k X ，则X -0X =()IY ∞=∞=-1m mk k X X ⊂()Y ∞=-mk kX X ，()0X X m -≤∑∞=mk k 21=121-m . 令m →∞，得()0X X m -=0. 所以0mX =mX . 显见在0X 上(){}∞=1k n t x k 处处收敛于一个极限函数，记这个极限函数为()t x . 令()t x 0=()⎩⎨⎧-∈∈0,0,X X t X t t x则()t x 0为X 上的可测函数，故()t x 0∈()X M . 当N n n k >,时，由()()()()⎰-+-Xn n n n dt t x t x t x t x k k 1=()k n n x x d ,ε<，令∞→k ，由勒贝格有界收敛定理，得 ()ε≤0,x x d n ()N n ≥. 所以0x x n →()∞→n . 故()X M 是完备的度量空间.§5.度量空间的完备化教学内容(或课题)：目的要求： 使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证明方法.教学过程：Der 1 设(X ,d )，(X ~,d ~)是两个度量空间，若存在X 到X ~上的保距映照T (∀1x ,2x ∈X ，有d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x ))，则称(X ,d )和(X ~,d ~)等距同构，此时称T 为X 到X ~上的等距同构映照(既映上又保距).等距同构映照是1-1映照. 实因设∀1x ,2x ∈X ，且1x ≠2x ，则因d (1x ,2x )>0及d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x )>0，知T 1x ≠T 2x .在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一个度量空间.Th 1 (度量空间完备化定理) 设X =(X ,d )是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X ~=(X ~,d ~)，使X 与X ~的其个稠密子空间W 等距同构，并且X ~在等距同构意义下是唯一的，即若(Xˆ,d ˆ)也是一完备度量空间，且X 与Xˆ的其个稠密子空间W 等距同构，则(X ~,d ~)与(X ˆ,d ˆ)等距同构.证明 分4步完成.(1)构造X ~=(X ~,d ~).令X ~为X 中柯西点列x ~={}∞=1n n x 全体，对X ~中任意两个元素x ~={}∞=1n n x 和y ~={}∞=1n n y ，若 ∞→n lim ()n n y x d ,=0， (1)则称x ~与y ~相等，记为x ~=y ~，或{}∞=1n n x ={}∞=1n n y . ∀x ~={}∞=1n n x ，y ~={}∞=1n n y ∈X ~，定义 d ~(x ~,y ~)=∞→n lim ()n n y x d ,. (2) 首先指出(2)式右端极限存在. 实因由三点不等式()n n y x d ,≤()m n x x d ,+()m m y x d ,+()n m y y d ,，所以 ()n n y x d ,-()m m y x d ,≤()m n x x d ,+()n m y y d ,. 同理 ()m m y x d ,-()n n y x d ,≤()m n x x d ,+()n m y y d ,. 所以 |()m m y x d ,-()n n y x d ,|≤()m n x x d ,+()n m y y d ,. (3) 因为{}∞=1n n x 和{}∞=1n n y 是X 中的柯西点列，所以(){}∞=1,n n n y x d 是1R中柯西数列,所以(2)式在端极限存在.其次指出：若{}∞=1n n x ={}∞='1n nx ，{}∞=1n n y ={}∞='1n n y ，则 ∞→n lim ()n n y x d ,=∞→n lim ()n ny x d '',， 即d ~(x ~,y ~)与用来表示x ~,y ~具体柯西点列{}∞=1n n x ，{}∞=1n n y 无关. 实因仿(3)式之证法，得|()n n y x d ,-()n ny x d '',|≤()n n x x d ',+()n n y y d ',. 由 ∞→n lim()nn x x d ',=0和∞→n lim()nn y y d ',=0， 可得∞→n lim ()n n y x d ,=∞→n lim ()n ny x d '',. 最后证明 ()y x d ~,~~ 满足关于距离条件01及02： 显然 ()y x d ~,~~=∞→n lim ()n n y x d ,≥0. 又()y x d ~,~~=0 ⇔ ∞→n lim ()n n y x d ,=0 ⇔x ~=y ~. ∀x ~={}∞=1n n x ，y ~={}∞=1n n y ，z ~={}∞=1n n z ∈X ~， 则 ()n n y x d ,≤()+n n z x d ,()n n z y d ,，故∞→n lim ()n n y x d ,≤∞→n lim ()+n n z x d ,∞→n lim ()n n z y d ,，即 ()y x d ~,~~≤()+z x d ~,~~()z y d ~,~~. 所以X ~按d ~成度量空间. (2)作X ~的稠密子空间W 及X 到W 的等距映照T∀b ∈X ，令b ~={}∞=1n n b ，其中n b =b ，ΛΛ,2,1=n ，显然b ~∈X ~. 令T b =b ~，W =T X . 因为 d ~()Ta Tb ,=d ~()ab ~,~=∞→n lim ()a b d ,，所以T 是X 到W 上的等距映照.在X 与W 等距同构之下往证W 是X ~中的稠密子集.∀x ~={}∞=1n n x ∈X ~, 令n x ~={}∞=1j j x ，其中j x =n x ，ΛΛ,2,1=j ，则n x ~∈W . 因n x ~={}∞=1j j x 是X 中的柯西点列，故>∀ε0，N ∈∃N ，s.t. ∀N n >时，有 ()N n x x d ,<2ε. 于是 ()N x x d ~,~~=∞→n lim ()N n x x d ,≤2ε<ε. 即在 ∀()ε,~x U 中必有W 中的点， 故W 在X ~中稠密. (3)证明X ~是完备的度量空间设(){}∞=1~n n x 是X ~中的柯西点列，因为W 在X ~中稠密，所以对每个()n x ~，∃n z ~∈W ，s.t. ()()n n z x d ~,~<n1. (4) 所以 ()n m z z d ~,~~≤()()+m m x z d ~,~~()()()+n m x x d ~,~~()()n n z x d ~,~~≤+m1()()()+n m x x d ~,~~n1，所以(){}∞=1~n n x 是W 中柯西点列. 因为T 是X 到W 上的等距映照，所以{}∞=1m m z 是X 中柯西点列. 令x ~={}∞=1m m z ，则x ~∈X ~. 由(4)式，有 ()()x x d n ~,~~≤()()+n n z x d ~,~~()x z d n ~,~~<n 1+()x z d n ~,~~=n 1+∞→n lim ()m n z z d ,→0 (∞→n ). 所以 ∞→n lim ()()x x d n ~,~~=0，所以X ~是完备度量空间. (4) 证明X ~的唯一性设()d Xˆ,ˆ是另一个完备度量空间，且X 与()d X ˆ,ˆ中稠密子集W ˆ等距同构. 作X ˆ到X ~上映照T 如下：对∈∀xˆX ˆ，由于W ˆ在X ˆ中稠密，∃W ˆ中点列(){}∞=1ˆn n x ，s.t.()n xˆ→x ˆ.但由于W ˆ与X 等距同构，W 也与X 等距同构，从而W ˆ与W 也等距同构. 设ϕ为W ˆ到W 上等距同构映照，由()n xˆ→x ˆ知()(){}∞=1ˆn n x ϕ是X ~中柯西点列，由X ~完备性，X x ~~∈∃，s.t.()()x x n ~ˆ→ϕ. 令x T ˆ=x ~.首先，这样定义的T 与(){}∞=1ˆn n x无关， 即若另有(){}∞=1ˆn n y ，()W ynˆˆ∈，ΛΛ,2,1=n ，()x yn ~ˆ→，则 ∞→n lim ()()nxˆϕ=∞→n lim ()()ny ˆϕ. 实因 ()()()()()n n n n y xd ˆlim ,ˆlim ~ϕϕ∞→∞→=∞→n lim ()()()()()n n y x d ˆ,ˆ~ϕϕ=∞→n lim ()()()n n y x d ˆ,ˆˆ=()x x d ˆ,ˆˆ=0.所以∞→n lim ()()n xˆϕ=∞→n lim ()()n y ˆϕ. 下证T 是X 到X ~上的等距同构映照, 对∀∈x ~X ~，由于W 是X ~的稠密子集，所以存在W 中点列(){}∞=1~n n x ，s.t.()x x n →~. 同前证明可知()(){}∞=-11~n nx ϕ为X ˆ中的柯西点对，有∈x ˆX ˆ，s.t.()()x x n ˆ~1→-ϕ. 易知T xˆ=x ~，即T 映照X ˆ到X 上. 又对∀∈y x ˆ,ˆX ˆ，有W ˆ中点列(){}∞=1ˆn n x 和(){}∞=1ˆn ny， s.t. ()x x n ˆˆ→，()y y n ˆˆ→. 所以 ()y x dˆ,ˆˆ=∞→n lim ()()()n n y x d ˆ,ˆˆ=∞→n lim ()()())ˆ(),ˆ(~n n y x d ϕϕ=()y T x T d ˆ,ˆ~， 所以T 是一个等距同构映照. 所以X ˆ与X ~等距同构. 证毕.若将彼此等距同构的度量空间视为同一空间，则有Th 1' 设X =()d X ,是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X ~=()d X ~,~使X 为X ~的稠密子空间.作业：P 206.16.证明∞l 与(]1,0C 的一个子空间等距同构. 作业提示：作∞l 到(]1,0C 内的映照T ：()ΛΛ,,,,21k ξξξ→()t x ，其中()k t x =k ξ，ΛΛ,2,1=k ; t 取(]1,0的其它值时，()t x 是线性的. 后面证明略.§6压缩映照原理及其应用(1) 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握压缩映照概念，掌握不动点概念，掌握压缩映照定理的证明方法，学会用压缩映照定理解决隐函数存在性、微分方程解之存在性的方法.教学过程： Def 1. 设X 是度量空间，T 是X 到X 中的压映照，若存在一个数α：0<α<1，s.t. ∀x 、y X ∈，成立()Ty Tx d ,≤α()y x d , (1) 则称T 是X 到X 中的压缩映照(简称压缩映照).Th 1.(压缩映照定理) 设X 是完备度量空间，T 是X 上的压缩映照，则T 有且只有一个不动点(即方程x Tx =有且只有一个 解).证： 固定∀0x X ∈，令 1x =0Tx ，2x =1Tx =02x T ，n x ，ΛΛ=1-n Tx =ΛΛ，0x T n ， 则{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列， 实因()m m x x d ,1+=()1,-m m Tx Tx d ≤α()1,-m m x x d=α()21,--m m Tx Tx d ≤2α()21,--m m x x d ≤()01,x x d m α≤ΛΛ. (2) 由三点不等式，当m n >时，()n m x x d ,≤()++1,m m x x d ()ΛΛ+++21,m m x x d ()n n x x d ,1-+≤(m α1-+m αΛΛ+1-+n α)()01,x x d =mα⋅--⋅-αα11mn ()01,x x d . 因为0<α<1，所以11<--m n α，所以()n m x x d ,≤αα-1m()01,x x d (m n >) (3) 所以当∞→m ，∞→n 时，()n m x x d ,0→. 所以{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列.由X 完备性， 存在x X ∈，s.t. m x →x . 由三点不等式和条件(1)，有 ()Tx x d ,≤()+m x x d ,()Tx x d m ,≤()+m x x d ,α()x x d m ,1-→0 (∞→m ). 所以()Tx x d ,=0，所以 x =Tx .往证唯一性. 若又有X x ∈~，s.t. x x T ~~=，则由条件(1)，得()x x d ~,=()x T Tx d ~,≤α()x x d ~,，()α-1()x x d ~,≤0. 又因为α-1>0，所以()x x d ~,=0，所以x =x ~. 证毕.Th 2. 设函数()y x f ,在带状域b x a ≤≤，+∞<<∞-y 中处处连续，且处处有关于y 的偏导数()y x f y ,'，若存在常数m 和M ， 满足 m <M ，0<m ≤()y x f y ,'≤M ， 则方程 ()y x f ,=0 在区间[]b a ,上必有唯一的连续函数()x y ϕ=作为解：()()≡x x f ϕ,0，∈x []b a ,.证 在完备度量空间[]b a C ,中作映照A ，s.t.∀()x ϕ∈ []b a C ,，有()()x A ϕ=()x ϕM1-()()x x f ϕ,. 因为()y x f ,连续，所以()()x A ϕ也连续，所以ϕA ∈[]b a C ,. 所以A 是[]b a C ,到自身的映照. ∀取21,ϕϕ∈[]b a C ,，()()()()x A x A 12ϕϕ-=()()()()()()x x f Mx x x f M x 1122,1,1ϕϕϕϕ+--= ()()()()()()[]()()()x x x x x x f Mx x y 1212112,1ϕϕϕϕθϕϕϕ--+'-- =()()()()[]()()x x x x x x f My 12121,11ϕϕϕϕθϕ-⋅-+'-(0<θ<1)， 0<M m <()()()()()x x x x f My 121,1ϕϕθϕ-+'≤M M =1. 令α=1-Mm，则0<α<1，且 12ϕϕA A -≤α12ϕϕ-. 所以[]b a x Sup ,∈12ϕϕA A -≤α[]b a x Sup ,∈12ϕϕ-，所以()12,ϕϕA A d ≤α()12,ϕϕd . 所以A 是压缩映照. 由Th 1，存在唯一的ϕ∈[]b a C ,，满足()x ϕ≡()x ϕM1-()()x x f ϕ,，即 ()()x x f ϕ,≡0，b x a ≤≤. 证毕. Th 3.(Picard) 设()x t f ,是矩形 R =(){}b x x a t t x t ≤-≤-00,,上的二元连续函数，设()x t f ,≤M ，()x t ,∈R . 又()x t f ,在R 上关于x 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，s.t.∀()x t ,、()v t ,∈R ，有 ()()v t f x t f ,,-≤K v x - (4) 则方程dtdx=()x t f , 在区间J =[]ββ+-00,t t 上有唯一的满足条件()0t x =0x 的连续函数的解，其中β<⎭⎬⎫⎩⎨⎧K M b a 1,,min . (5)证 连续函数空间[]ββ+-00,t t C 是完备度量空间，用C ~表示[]ββ+-00,t t C 中满足条件|()0x t x -|≤M β (∈t J ) (6)的连续函数全体所成的子空间，显然C ~是闭子空间. 由§4.Th 1, C ~是完备度量空间. 令()t Tx =()()⎰+tt ds s x s f x 0,0， (7)则T 是C ~到C ~中的映照. 实因 M β<b ，若∈x C ~，则当∈t []ββ+-00,t t 时，()()t x t ,∈R ，又因()x t f ,在R 上二元连续，所以(7)式右边积分有意义. 又对J t ∈∀，成立()0x t Tx -=()()⎰t t ds s x s f 0,≤M 0t t -≤M β，所以当∈x C ~时，Tx ∈C ~.T 是压缩映照. 实因由Lipschitz 条件(4)，对C ~中任意两点x 和v ，有 ()()t Tv t Tx -=()()()()[]⎰-tt ds s v s f s x s f 0,,≤0t t -K []()()t v t x b a t -∈,max≤βK ()v x d ,. 令α=βK ，则0<α<1，且()Tv Tx d ,=[]()()t v t x b a t -∈,max ≤α()v x d ,. 即T 是C ~上的压缩映照.由Th 1，存在唯一∈x C ~，s.t.Tx x =，即()t x =()()⎰+tt ds s x s f x 0,0， (8)且()00x t x =. 两边对t 求导，得()()()t x t f dtt dx ,=. 故()t x 是方程 dtdx=()x t f ,的解. 若又有()t x ~也是方程 dtdx=()x t f , 满足初值条件()00~x t x =的解，则因()t x ~=()()⎰+t t ds s x s f x 0~,0，所以x ~C ~∈且x ~是的T 不动点，所以x ~=x . 作业： P 206.17.有界闭集n R F ⊂，A 是F 到自身映照，∀x ，y ∈F ()y x ≠，有()Ay Ax d ,<()y x d ,. 证明映照A 在F 中存在唯一的不动点.作业提示：令 ()x ϕ=()Ax x d ,，x ∈F . ∀x ，0x ∈F ，因为()()=-0x x ϕϕ()Ax x d ,()00,Ax x d -≤()()()-++Ax Ax d Ax x d x x d ,,,0000()00,Ax x d=()()Ax Ax d x x d ,,00+<()0,2x x d . 所以0x x →时必有()()0x x ϕϕ→. 即()x ϕ在F 连续. 所以存在x ∈F ，s.t. ()x ϕ=()x Fx ϕ∈min a ∆=. 显然a ≥0.往证a =0.用反证法，设a >0，则由x A ∈F ，()x A x A d 2,<()x A x d ,=()x ϕ=a 与a =()x Fx ϕ∈min 矛盾. 所以a =0. 于是()x A x d ,=()x ϕ=0，有x =A x . 即x为A 之不动点. 因为F y x ∈∀,，有 ()Ay Ax d ,<()y x d ,， 只要x Ax =，就有()Ay x d ,<()y x d ,，从而必有y Ay ≠()时y x ≠，所以不动点唯一.§6.压缩映照原理及其应用(2).教学内容(或课题)：习题课目的要求： 在掌握压缩映照原理之后，重点掌握应用压缩映照原理的常用方法.教学过程：1、 设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映照，记n α=x x Sup '≠()()x x d x A x A d n n '',,，若∑∞=1n n α<∞，则映照A 有唯一不动点.证 因为n α=x x Sup '≠()()x x d x A x A d n n '',,，所以x x '≠时，()x A x A d n n ',≤n α()x x d ',. 又x x '=时，上式也成立. 因此对X x x ∈'∀,，恒有()x A x A d n n ',≤n α()x x d ',.因为∑∞=1n n α<∞，所以>∀ε0，N ∈∃N ，s.t.m n ,∀：N m n >>时，有 11-++++n m m αααΛΛε<. 又至少有一个1<k α. ∀固定0x ∈X ，依次令 1x =A 0x ，2x =A 1x =2A 0x ，3x =A 2x =3A 0x ，m x ,ΛΛ=A 1-m x =m A ΛΛ,0x则 ()1,+m m x x d =()10,x A x A d m m ≤m α()10,x x d ， ()21,++m m x x d =()1101,x A x A d m m ++≤1+m α()10,x x d ， ，ΛΛΛ()n n x x d ,1-=()1101,x A x A d n n --≤1-n α()10,x x d . 所以 ()n m x x d ,≤()1,+m m x x d +()21,++m m x x d ++ΛΛ()n n x x d ,1-≤ (m α+1+m α++ΛΛ1-n α)()10,x x d ⋅<ε()10,x x d . 所以{}∞=1m m x 是X 中的柯西点列. 因为X 是完备度量空间，所以∃x X ∈，s.t.m x →x . 所以()Ax x d ,≤()()Ax x d x x d m m ,,+=()()Ax Ax d x x d m m ,,1-+≤()()→+-x x d x x d m m ,,11α0 ()∞→m . 所以 ()Ax x d ,=0， 所以 Ax x =，且x A x k =.再设又有x ~X ∈，s.t. x ~=x A ~，则x A x k ~~=()x x d ~,=()x A x A d k k ~, k α≤()x x d ~,. 因为0≤k α1<，所以()x x d ~,=0，所以=x x ~. 证毕.2、 设A 为完备度量空间X 到X 中的映照， 若在开球()r x B ,0()0>r 内适合 ()x A Ax d ',<()x x d ',，0<θ<1，又在闭球()r x S ,0=(){}r x x d x ≤0,A 连续，且 ()00,Ax x d ≤θ()r θ-1. 证明A 在()r x S ,0中有唯一的不动点.证 因为∈'∀x x ,()r x B ,0，有()x A Ax d ',<θ()x x d ',. 设x ~在球面上：()x x d ~,0=r . 令n x ~→x ~且n x ~∈()r x B ,0，ΛΛ,2,1=n ，所以 ()n x A Ax d ~,<θ()n x x d ~,. 因为A 连续，所以x A Ax n ~→. 又因距离连续，所以于上式令∞→n ，得()x A Ax d ~,≤θ()x x d ~,. 同理当x 在球面上：()x x d ,0=r ，而x '∈()r x B ,0时，也有()x A Ax d ',≤θ()x x d ',.再设x ,x ~均在球面上，取n x →x ，n x ~→x ~且n x ,n x ~∈()r x B ,0，由()n n x A Ax d ~,≤θ()n n x x d ~,，令n →∞，得()x A Ax d ~,≤θ()x x d ~,.到此已证出∈'∀x x ,()r x S ,0，均有 ()x A Ax d ~,≤θ()x x d ~,. 因()r x S ,0是X 中的一个闭子集，而X 为完备度量空间，故()r x S ,0也是X 中的一个完备的子空间. 往下只要证明在()r x S ,0中A 央()r x S ,0到自身的映照. 设x ∈()r x S ,0，则()x x d ,0≤r .()Ax x d ,0≤()+00,Ax x d ()00,Ax Ax d≤ θ()r θ-1+θ()x x d ,0≤()22θθ-r =()[]211θ--r ≤r ，所以A x ∈()r x S ,0. 毕.3、设jk a ，j ,k =n ,,2,1ΛΛ为一组实数，适合条件()∑=-nj i ij ij a 1,2δ<1，其中j =k 时，jk δ=1，否则jk δ=0. 证明代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212********* 对任何一组固定的n b b b ,,,21ΛΛ必有唯一的一组解n x x x ,,,21ΛΛ. 证 在完备度量空间n R 中，令 T b =(n b b b ,,,21ΛΛ)，T x =(n x x x ,,,21ΛΛ)，T x '=(n x x x ''',,,21ΛΛ)，方程组的系数矩阵记作A ，则方程组可改写为 A x =b 或 A x '=b . 又可改写为x =b ()E A --x 或 x '=b ()E A --x '.令映照ϕ：ϕx =b ()E A --x ，ϕx '=b ()E A --x '，则 ()x x d 'ϕϕ,=()()()x E A b x E A b d '----, =(()()()()[]21221211111n n n x x a x x a x x a '-++'-+'--ΛΛ+()()()()[]22222211211n n n x x a x x a x x a '-++'--+'-ΛΛ+ +ΛΛΛΛΛ()()()()[]22221111x x a x x a x x a n nn n n '--++'-+'-ΛΛ)21.利用柯西不等式，得()x x d 'ϕϕ,≤()()[(21222222212121221111n n n a a a a a a a++++-+++++-ΛΛΛΛΛΛ()]2221-+++nn n a a ΛΛ()()()])⎢⎣⎡'-++'-+'-21222211n n x x x x x x ΛΛ=()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ()x x d ',. 记常数()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ=α， 由已知条件，有0<α<1. 于是对n R x x ∈'∀,，有()x x d 'ϕϕ,≤α()x x d ',，即ϕ为压缩映照. 由压缩映照原理，存在唯一x ，s.t. x =ϕx ，即x =b ()E A --x 或A x =b .附注： 如果和P 225.题与联起来，那么d 是由⋅诱导的距离，有()x x d 'ϕϕ,=()()()x E A b x E A b d '----,=()()[]x E A b x E A b '-----=()()x x E A '--≤E A -x x '-=()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ()x x d ',=α()211,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=nj i ij ij a δ()x x d ',，这就简便多了.作业： 4、设()t f ∈[]1,0C ，求方程()()()⎰+=tds s x t f t x 0λ的连续解.作业提示： 若()t f 可导，则由 ()t x '=()+'t f λ()t x ， 得()t x =te λ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎰-t s ds sf e f 00λ=t e λ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-ts ds s f e f 00λλ()t f +=()+t f ()()⎰-ts t ds s f e 0λλ.若()t f 不可导，则令()t x 0=()t f ，()t x n =()t f ()⎰-+tn ds s x 01λ迭代而得()=t x 1()t f ()⎰+tds s f 0λ，()=t x 2()t f ()⎰+t ds s x 01λ=()t f ()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++tsds d f s f 00ττλλ =()t f ()⎰+tds s f 0λ()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+tsds d f 002ττλ =()t f ()⎰+tds s f 0λ()⎰⎰+ttds d f 02τττλ=()t f ()⎰+t ds s f 0λ()()⎰-+td f t 02τττλ=()t f ()⎰+t ds s f 0λ()()⎰-+tds s f s t 02λ.()t x 3=()t f ()⎰+tds s x 02λ=()t f ()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++ts sds d f s d f s f 0002τττλττλλ=()t f ()⎰+tds s f 0λ()()⎰-+tds s f s t 02λ()()⎰-+tds s f s t 023!2λ(理由同上). 一般地有 ()t x n =()t f ()⎰+ts f 0λ()()()()ds n s t t s t n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-+--!1!211122λλλΛΛ→()t f ()()⎰-+ts t ds s f e 0λλ. 所以 ()=t x =()t f ()()⎰-+ts t ds s f e 0λλ.。

目录一工程地震勘探发展背景及现状 (1)二泛函分析基本原理 (3)1 空间与算子 (3)2 工程反问题一般涉及两个方面的问题 (4)3 算子的三种收敛性 (5)三工程地震应用 (6)1 工程检测裂缝 (6)1.1 裂缝简支梁模型 (6)1.2估计裂缝参数的泛函分析 (7)2 工程检测弹性简支梁 (9)2．1 线弹性简支梁 (9)2.2泛函分析识别裂缝参数 (9)3 基于模型地震反演[37] (10)3.1方法原理 (10)3.2应用与限制 (11)四结论 (12)参考文献： (13)工程地震勘探中的泛函分析一工程地震勘探发展背景及现状工程、环境地震勘探有其特殊要求,通常对环境和成本比较苛求,施工要求不扰民、不破坏、成本低、速度快,否则不如钻探.同时,又对绝对精度和正确率要求非常高.因为深度浅,目标小,打钻或开挖验证非常及时,容错率范围小,动辄牵涉到工程事故,不能有半点差错.因此,工程、环境地震勘探对仪器和技术提出了更高的要求.我国工程地震勘探已经历了一个较长的发展时期，是一门年轻的正在蓬勃发展的勘探地球物理学科。

它是根据人工激发的地震波在介质中传播的物理特性来研究地下岩土体或地层的地震参数与岩土物性参数及结构参数之间的关系,确定各种地质界面的空间位置、形态,解决非均匀复杂小构造地质体的形态、性质、结构以及对地下介质进行综合评价[1]。

我国的工程地震勘探从20世纪70年代中期浅层反射波法才逐渐兴起,但进展速度较快,与发达国家同时进人实用阶段, 在此期间面波勘探、长时微动测量等新技术的出现,丰富了工程地震勘察手段,扩大了它的应用范围。

80年代初随着信号增强型浅层地贡仪的出现，有了较大规模的系统发展。

近些年来,随着我国城市建设的深入发展,交通、水利等基础建设投入的加大,各种工程地质和工程质量问题,不仅影响了基础建设的发展,还危害到国家和人民的生命财产安全。

因此,如何准确地对地下不良地质体或地质界面进行有效的探测成为各种基础建设的前提条件。

应用泛函分析教案第一章：泛函分析引言1.1 泛函分析的概念介绍泛函分析的基本概念，例如赋范线性空间、内积空间、巴拿赫空间等。

解释泛函分析与其他数学分支的关系，例如微积分、线性代数等。

1.2 泛函分析的应用探讨泛函分析在数学物理中的重要作用，例如偏微分方程、量子力学等。

介绍泛函分析在工程和计算机科学中的应用，例如信号处理、机器学习等。

第二章：赋范线性空间2.1 赋范线性空间的基本概念定义赋范线性空间，介绍范数的性质和例子。

解释赋范线性空间中的距离和角度概念。

2.2 赋范线性空间的主要结果介绍赋范线性空间中的基本定理，例如三角不等式、平行四边形法则等。

探讨赋范线性空间中的极限和连续性概念。

第三章：内积空间3.1 内积空间的基本概念定义内积空间，介绍内积的性质和例子。

解释内积空间中的正交性和角度概念。

3.2 内积空间的主要结果介绍内积空间中的基本定理，例如帕施-柯尔莫哥洛夫定理、正交基等。

探讨内积空间中的谱理论和量子力学中的应用。

第四章：巴拿赫空间4.1 巴拿赫空间的基本概念定义巴拿赫空间，介绍巴拿赫空间的特点和例子。

解释巴拿赫空间中的弱收敛和紧性概念。

4.2 巴拿赫空间的主要结果介绍巴拿赫空间中的主要定理，例如巴拿赫-魏尔斯特拉斯定理、Riesz表示定理等。

探讨巴拿赫空间在函数逼近论和泛函积分中的应用。

第五章：泛函分析的应用实例5.1 信号处理中的应用介绍泛函分析在信号处理中的应用，例如希尔伯特空间、正交函数等。

探讨泛函分析在信号滤波和去噪等问题的解决中的作用。

5.2 机器学习中的应用介绍泛函分析在机器学习中的应用，例如核函数、支持向量机等。

探讨泛函分析在特征选择和优化算法中的作用。

第六章：赋范线性空间的operators6.1 算子概念定义算子和赋范线性空间中的算子，例如线性映射、紧算子、有界算子等。

解释算子的性质和例子，例如线性、连续、可逆等。

6.2 算子的基本理论介绍算子的基本定理，例如谱定理、弗雷德孙定理、盖尔丹定理等。

应用泛函分析教案第一章：泛函分析基础1.1 集合与函数的概念集合的基本运算函数的定义与性质函数的图像与性质1.2 赋范线性空间与内积空间赋范线性空间的概念内积的定义与性质内积空间的性质1.3 线性算子与对偶空间线性算子的定义与性质对偶空间的概念与性质常用的线性算子与对偶空间第二章：赋范线性空间的基本定理2.1 泛函分析的基本定理闭图像定理共鸣定理开映射定理2.2 赋范线性空间的完备性完备性的定义与性质博尔查诺-魏尔斯特拉斯定理帕奇-弗雷歇定理2.3 赋范线性空间的同调性质同调序列与同调群直和、半直和与同调性质维数定理与同调性质的关系第三章：希尔伯特空间与自伴算子3.1 希尔伯特空间的概念与性质内积空间的进一步研究希尔伯特空间的特点与性质希尔伯特空间的对偶空间3.2 自伴算子的性质自伴算子的定义与性质自伴算子的谱分解自伴算子的对偶性质3.3 谱定理与自伴算子的应用谱定理的定义与证明自伴算子在量子力学中的应用自伴算子在偏微分方程中的应用第四章：赋范线性空间的框架4.1 框架的概念与性质框架的定义与构造框架的性质与例子框架在信号处理中的应用4.2 Riesz表示定理Riesz表示定理的定义与证明Riesz表示定理的应用框架与Riesz表示定理的关系4.3 框架的推广与变种广义框架的概念与性质框架的推广到其他赋范线性空间框架的变种与推广第五章：应用泛函分析解决问题5.1 泛函分析在数学物理中的应用偏微分方程的解的存在性与唯一性量子力学中的算子方法连续介质力学中的泛函分析方法5.2 泛函分析在信号处理中的应用框架在信号处理中的应用小波分析与泛函分析的关系信号处理中的其他泛函分析方法5.3 泛函分析在其他学科中的应用泛函分析在概率论与统计学中的应用泛函分析在优化与控制理论中的应用泛函分析在其他科学领域中的应用第六章：Banach空间与不动点定理6.1 Banach空间的概念与性质Banach空间的基本定义Banach空间的例子Banach空间的性质6.2 不动点定理及其应用不动点定理的定义与证明合同映射与不动点不动点定理在优化问题中的应用6.3 算子方程的解法算子方程的定义算子方程的解法算子方程解的存在性与唯一性第七章：Hilbert空间上的正交基与正交分解7.1 正交基的概念与性质正交基的定义正交基的性质正交基的构造方法7.2 正交分解定理正交分解定理的定义与证明正交分解的应用格拉姆-施密特正交化方法7.3 正交投影与不变子空间正交投影的概念与性质不变子空间的概念与性质正交投影在量子力学中的应用第八章：算子的谱理论8.1 谱映射定理谱映射定理的定义与证明谱映射定理的应用谱映射定理的推广8.2 算子的本征值与本征函数算子的本征值与本征函数的定义算子的谱定理算子的本征值与本征函数的应用8.3 算子的扩张与restriction算子的扩张与restriction 的定义扩张与restriction 的性质扩张与restriction 在应用中的例子第九章：泛函分析在现代数学中的应用9.1 泛函分析在代数学中的应用向量空间与线性代数环、域与代数结构泛函分析与代数拓扑的关系9.2 泛函分析在几何学中的应用向量丛与纤维丛微分几何与泛函分析度量空间与测地线9.3 泛函分析在物理学中的应用量子力学与算子方法连续介质力学与偏微分方程统计物理学与泛函分析第十章：泛函分析的前沿问题与展望10.1 泛函分析的发展历程泛函分析的起源与早期发展泛函分析的主要里程碑泛函分析在现代数学中的地位10.2 泛函分析的前沿问题希尔伯特空间中的谱理论非线性泛函分析与动力系统算子代数与量子计算10.3 泛函分析的未来展望泛函分析在数学其他领域的影响泛函分析与其他学科的交叉泛函分析在科技应用的潜力重点和难点解析重点一：泛函分析的基本概念与性质集合的基本运算、函数的定义与性质、函数的图像与性质是泛函分析的基础知识，需要重点掌握。

泛函分析讲义第五章Banach代数1代数准备知识2 Banach代数2．1 Banach代数的定义2．2 Banach代数的极大理想与Gelfand表示3例与应用4 c’代数5 Hilbert空间上的正常算子5．1 Hilbert空间上正常算子的连续算符演算5．2正常算子的谱族与谱分解定理5．3正常算子的谱集6在奇异积分算子中的应用第六章无界算子1 闭算子2 cayley变换与自伴算子的谱分解2．1 cayley变换2．2自伴算子的谱分解3无界正常算子的谱分解3．1 B0rel可测函数的算子表示3．2无界正常算子的谱分解?4 自伴扩张4．1 闭对称算子的亏指数与自伴扩张4．2 自伴扩张的判定准则5自伴算子的扰动5．1稠定算子的扰动5．2自伴算子的扰动5．3 自伴算子的谱集在扰动下的变化?6无界算子序列的收敛性6．1预解算子意义下的收敛性6．2图意义下的收敛性第七章算子半群1无穷小生成元1．1无穷小生成元的定义和性质1．2 Hme—Yosida定理2无穷小生成元的例子3单参数酉群和Stone定理3．1单参数酉群的表示——stone定理3．2 stone定理的应用1．B0chner定理2．Schr6dinger方程的解3．遍历(ergodic)定理3．3 Trotter乘积公式4 Markov过程4．1 Markov转移函数4．2扩散过程转移函数5散射理论5．1波算子5．2广义波算子6发展方程第八章无穷维空间上的测度论1 C[O，T]空间上的wiener测度1．1 C[O，T]空间上wiener 测度和wiener积分1．2 Donsker泛函和Donske卜Lions定理1．3 Feynman—Kac公式2 Hilbert空间上的测度2．1 Hilbert—Schmidt算子和迹算子2．2 Hilbert空间上的测度2．3 Hilbert空间的特征泛函3 Hilbert空间上的Gauss测度3．1 Gauss测度的特征泛函3．2 Hilbert空间上非退化Gauss测度的等价性清词丽句必为邻2015-09-21 04:05 | 豆瓣：烟波浩渺1980杜甫的《戏为六绝句》（其五）不薄今人爱古人，清词丽句必为邻。

第二章 度量空间§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：一 复习度量空间的概念设X 是个集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为 ()y x d ,=()2112⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=ni i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x bt a -≤≤max .pl （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k xx x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=pi pii y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=. 二 度量空间的进一步例子例1 设X 是任意非空集合，对于∈∀y x ,X ，令()y x d ,=⎩⎨⎧=≠y x y x 当，当，0;1容易验证 01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔; 02()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立. 称(X ，d )为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2 序列空间S 令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k kkk k k y x y x -+-1. 显然右边的级数总是收敛的. 易知()y x d ,0≥，且()y x d ,=0y x =⇔. 即()y x d ,满足条件01. 对C b a ∈∀,，先证≤+++ba b a 1aa +1+bb +1.实因令 ()t t t f +=1 (+∞<≤t 0)，则因为()2)1(1t t f +='0>，所以函数 ()ttt f +=1 在[)+∞,0上单调递增. 又因为 b a b a +≤+，所以有≤+++ba b a 1ba b a +++1=ba a ++1+ba b ++1≤aa +1+bb +1.再令 {}∞==1k k z z ，k k z x a -=，k k y z b -=，则 k k y x b a -=+. 由上述已证的不等式，得kk k k y x y x -+-1≤kk k k z x z x -+-1+kk k k y z y z -+-1.由此推得 02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,S 都成立. 故S 按()y x d ,成一度量空间.例3 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .显然()y x d ,0≥，且()y x d ,=0⇔A t ∈∀成立()()t y t x =，即()y x d ,满足条件01.又A t ∈∀，有 ()()t y t x -≤()()t z t x -+()()t y t z -≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup所以 ()()t y t x At -∈sup ≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup . 即()y x d ,满足条件02. 特别当[]b a A ,=时，()A B =[]b a B ,.例4可测函数空间()X M设()X M 为X 上实值(或复值)的Lebesgue 可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令()g f d ,=()()()()⎰-+-Xdm t g y f t g t f 1.若把()X M 中两个几乎处处相等的函数视为()X M 中同一个元素，则()g f d ,≥0且()g f d ,=0 ⇔ g f =，即()g f d ,满足条件01. 其次(参考例2)()g f d ,=()()()()⎰-+-X dm t g y f t g t f 1≤⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-X dm g h gh h f h f 11=⎰-+-Xdm hf h f 1+⎰-+-Xdm gh g h 1=()h f d ,+()g h d ,，对∈∀h g f ,,()X M 都成立. 即 ()g f d , 满足条件02. 故()X M 按上述距离()g f d ,成为度量空间.作业 P 205. 2. 4.作业提示 2. 与例2处理方法类似.4.利用xx+1 当0≥x 时的递增性.§2.2(1) 度量空间中的极限教学内容(或课题)：目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程：设()d X ,为度量空间，d 是距离，定义 ()ε,0x B =(){}ε<∈0,x x d X x 为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε邻域.例1 设()d X ,是离散的度量空间，d 是距离，则()ε,0x B ={}⎩⎨⎧>≤<1,;10,0εε当当X x仿§2.2-§2.3，设E 是度量空间()d X ,中的一个子集，0x 是X 中一点若存在0x 的某一邻域()0x U ，s.t. ()0x U ⊂E ，则称0x 为E 的内点. 若0x 是CE 的内点，则称0x 为E 的外点. 若∀()0x U 内既有E 的点又有非E 的点，则称0x 为E 的边界点. 若∀()0x U 内都含有无穷多个属于E 的点，则称0x 为E 的聚点. E 的全体聚点所成集合称为E 的导集，记为E '. E E '称为E 的闭包，记为E . 若E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. 若E '⊂E ，则称E 为闭集.例2在欧氏空间1R 中，记A 为全体有理数点的集合，B 为全体无理数点的集合.则集合A 及B 均无内点，均无外点; ∈∀x 1R 既是A 又是B 的界点，既是A 又是B 的聚点; 1R 既是A 又是B 的导集，既是A 又是B 的闭包; A 、B 既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合1R 离散化，则∈∀x A 都是A 的内点，∈∀y B 都是B 的内点，因此A 、B 在离散空间中均为开集; A 、B 均无界点; A 之外点集合为B ，B 之外点集合为A ; A 、B 均无聚点，因此Φ='A ，Φ='B ，A A '⊃，B B '⊃，故A 、B 均为闭集.设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t.()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 实因若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .附注 (*)式换个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d ,是x 和y 的连续函数.证明 ()y x d ,≤()0,x x d +()00,y x d +()y y d ,0 ⇒()y x d ,-()00,y x d ≤()0,x x d +()y y d ,0;()00,y x d ≤()x x d ,0+()y x d ,+()0,y y d ⇒()00,y x d -()y x d ,≤()0,x x d +()y y d ,0. 所以|()y x d ,-()00,y x d |≤()0,x x d +()y y d ,0 例3 设()d X ,为一度量空间，令()ε,0x B =(){}ε<∈0,,x x d X x x ， ()ε,0x S =(){}ε≤∈0,,x x d X x x . 问()ε,0x B =()ε,0x S ?答 在n R 空间中，必有()ε,0x B =()ε,0x S . 在离散度量空间()d X ,中，当1=ε时，()ε,0x B ={}0x ，()ε,0x S =X ，此时()ε,0x B ≠()ε,0x S . 毕.设M 是度量空间()d X ,中的点集，定义. ()M δ=()y x d My x ,sup ,∈为点集M 的直径. 若()M δ=()y x d My x ,sup ,∈∞<，则称M 为()d X ,中的有界集(等价于固定0x ，M x ∈∀，()B x x d ≤0,，B 为某正数，则为有界集).()d X ,中的收敛点列{}∞=1n n x 是有界集. 实因，设=∞→n n x lim0x ，则数列(){}0,x x d n 收敛于0,故00>∃M ，s.t.N ∈∀n 有()00,M x x d n ≤. 所以m n ,∀∈N ，有 ()≤m n x x d ,()0,x x d + ()m x x d ,002M ≤.()d X ,中的闭集可以用点列极限来定义： M 为闭集 ⇔ M 中任何收敛点列的极限都在M 中，即若∈n x M ， ,2,1=n ，x x n →，则∈x M .具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m nm m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为n R 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211nm n m m x x x x x x -++-+- . x x m →()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于()t x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x .实因，若对每个k 有()k m kξξ→()∞→m ，则因∑∞=121k k 收敛，所以N ∈∃m ，s.t. 221ε<∑∞=m k k. 因为对每个1,,2,1-=m k ，存在N ∈k N ，s.t.当k N n >时()k n k ξξ-2ε<. 令{}121,,,max -=m N N N N ，当N n >时，成立∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1<∑-=1121m k k 212εε+<2ε. 所以当N n >时，成立()x x d n ,=∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1+∑∞=m k k 21()()k n k kn k ξξξξ-+-1<2ε+2ε=ε.所以x x n →()∞→n反之，若x x n →()∞→n ，即()x x d n ,=∑∞=121k k()()kn k kn k ξξξξ-+-10→()∞→n .又因为N ∈∀k ，有()()kn k kn k ξξξξ-+-1k 2≤()x x d n ,，所以当∞→n 时，()()kn k kn k ξξξξ-+-1→0所以 0>∀ε，N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立()()kn k kn k ξξξξ-+-1<εε+1. 所以()k n k ξξ-ε<. 所以N ∈∀k ，有()k n k ξξ→()∞→n .4. 可测函数空间()X M 设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-Xn n dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒.实因，若f f n ⇒，则0>∀σ，有[]()σ≥-f f X m n 0→ ()∞→n . 0>∀ε(不妨设()X m 2<ε)，取()220εεσ-<<X m ，则()21εσσ<+X m . 今对这样取定的ε及σ，因f f n ⇒，故N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立[]()σ≥-f f X m n 2ε<. 所以()f f d n ,=()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1+()()()()[]⎰<--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤[]()σ≥-f f X m n 1⋅+()21εσσ<+X m +2ε=ε. 所以()f f d n ,0→()∞→n . 所以f f n →()∞→n .反之，若f f n →()∞→n ，即()f f d n ,0→()∞→n . 对0>∀σ，由于[]()≤≥-+σσσf f X m n 1()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤()f f d n ,. 所以[]()0lim =≥-∞→σf f X m n n ，即f f n ⇒.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 P 205. 5.作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间S ”，并利用 ()()()()()()()()t f t f t f t f r r nr r n bt a -+-≤≤1max=()()()()()()()()t ft f t f t f nax r r n bt a r r n bt a -+-≤≤≤≤max 1.§2.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.教学过程：Th 设B 是度量空间X 的一个子集，则集合(){}ε<∈∈=y x d B y X x x O ,,,是个开集，且B ⊂O .证明 设∀0x ∈O ，则∃0y ∈B ，s.t. ()00,y x d <ε. 所以0x ∈()ε,0y U ⊂O . ()δ,0x U x ∈∀，其中εδ<<0-()00,y x d ，则()0,y x d <(ε-()00,y x d )+()00,y x d =ε. 所以()δ,0x U ⊂()ε,0y U ⊂O . 所以∀0x 是O 之内点. 所以O 是开集.又证 以B 中每一点为心作半径ε的邻域，所有这些邻域的并集就是集合O .每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故O 为开集. 至于B ⊂O 是很显然的. 证毕.附注 当0→ε时，得到是B 之闭包未必是B . 例如B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1⊂1R .O = ∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,1n k n U ⊃⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k U 1,11=()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-112,11k k k k k ⊃{}0，但∉0B . P 205.6. 设B ⊂[]b a ,，证明度量空间C []b a ,中的集(){}0,=∈t f B t f 时当为C []b a ,中的闭集，而集(){}()0,><∈=a at f B t f A 时当为开集 ⇔ B 为闭集.证明 设(){}∞=1n n t f ⊂(){}0,=∈t f B t f 时当且在[]b a C ,中()()t f t f n →.则当B t ∈时，对N ∈∀n ，有()t f n =0. 令∞→n ，得B t ∈时，()0=t f . 所以()∈t f (){}0,=∈t f B t f 时当. 所以(){}0,=∈t f B t f 时当是闭集.“⇐” 设B 为闭集，()t f 0∈A ，则 ()a t f <0(当B t ∈). 因()t f 0在B 连续，所以()t f 0≤Bt ∈max ()t f 0a <(当B t ∈). 取ε：0<ε<a -Bt ∈max ()t f 0，则对()t f ∀∈()ε,0f U ，有()()t f t f 0-≤[]b a t ,max ∈()()t f t f 0-<ε. 所以()t f <()t f 0+ε. 所以当B t ∈()t f ≤()t f 0+ε<Bt ∈max ()t f 0+(a -Bt ∈max ()t f 0)=a所以()ε,0f U ⊂A . 所以A 为开集.“⇒” 设A 为开集. 设{}∞=1n n t ⊂B ，0t t n →且0t B ∉.取点()t f ：()t f ∈A =(){}a t f B t f <∈时，当，则()n t f <a ，令∞→n 得，()a t f ≤0.因为0t B ∉，故只有()a t f =0. 不妨设()0t f =a (()0t f =-a 时同法可证之). 因为A 为开集，所以00>∃ε，s.t.()0,εf U ⊂A =(){}a t f B t f <∈时，当. ：ε∀00εε<<，因为()()()0εεε<=+t f t f d ，，所以点因为()n n t f ∞→lim =()0t f ，所以对上述0>ε且0εε<，存在N t ∈B ，s.t.()()ε<-0t f t f N ， 所以()0t f -ε<()N t f . 所以()N t f +ε>()0t f =a .但由方框，应有()ε+N x f <a ，与()N t f +ε>()0t f =a 相互矛盾. 这就证明了B B '⊃. 故B 为闭集. 证毕.Def 1 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可列的稠密子集，则称X 是可分空间.例1 n 维欧氏空间n R 是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是n R 的可列稠密子集.设M 是闭区间[]b a ,全体有理数集合，N 是[]b a ,全体无理数集合. 在1R 中，因为M ⊂N ，N ⊂M ，所以N 在M 中稠，M 在N 中稠. 因为[]b a ,⊂M ，[]b a ,⊂N ，所以M 和N 都在[]b a ,中稠密. 若X =[]b a ,视为1R 的子空间，则X 是可分空间.例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可列集.实因在X 中没有稠密的真子集(因X 中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以X 中唯一的稠密子集只有X 本身，因此X 可分的充要条件为X 是可列集.例3 令∞l 表示有界实(或复)数列全体. 对∞l 中() ,,21ξξ=∀x ，y =() ,,21ηη，定义()y x d ,=k k kηξ-sup .显然()y x d ,≥0 且()y x d ,=0 ⇔ k k kηξ-sup =0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ-=0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ= ⇔ y x =. 其次设z ∀=() ,,21ςς∈∞l . 因为N ∈∀k ，都有k k ηξ-≤k k ςξ-+kk ςη-≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup . 所以k k kηξ-sup ≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup .即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以∞l 按()y x d ,成为度量空间.往证∞l 是不可分空间.令M 表示∞l 中坐标k ξ取值为0或1的点() ,,21ξξ=x 的全体，则M 与二进位小数一一对应，所以M 有连续统的基数，对M 中任意的两个不同点y x ,，有()y x d ,=1. 若∞l 可分，则∞l 中存在可列稠密子集，设为{}∞=1k k z . 对M 中每一点x ，作球⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛M x x B 31,是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于{}∞=1k k z 在∞l 中稠密，所以每个⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B 中至少含有{}∞=1k k z 中的一点，这与{}∞=1k k z 是可列集矛盾. 证毕.作业： P 205. 3.7.8.9.作业解答： 3. 令n O =()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈∈n y x d B y X x x 1,,,,则n O 是开集且n O B ⊃. 因为n O ↓，所以n n O ∞→lim = ∞=1n n O . 因B 是闭集，所以n n O ∞→lim =B ，即 ∞=1n n O =B .7. 取ε：0<ε<()F E d ,31. 作开集 O =(){}ε<∈a x d E a x ,, 和G =(){}ε<∈b y d F b y ,,，则O ⊃E ，G ⊃F . 又∀a ∈E ，∀b ∈F ，∀x ∈O ，∀y ∈G ，有 ()b a d ,≤()x a d ,+()y x d ,+()b y d ,. 所以()y x d ,≥()b a d ,-()x a d ,-()b y d ,≥()F E d ,-()F E d ,31-()F E d ,31=()F E d ,31>0. 所以x ≠y . 所以O 与G 必不相交. 又证不相交 若c ∈O G ，则存在()ε,a U 和()ε,b U ，a ∈E ，b ∈F ,s.t.c ∈()ε,a U ()ε,b U . 于是0<()F E d ,≤()b a d ,≤()c a d ,+()b c d ,<ε+ε<32()F E d ,. 矛盾. 所以 O G =Φ.8. ∀x ∈[]b a ,，令()t f x =[]{}⎩⎨⎧-∈=x b a t xt ,,0,1 则集合M =()[]{}b a x t f x ,∈含有不可数个元素()t f x ，M ⊂B []b a ,，∀()t f x 、()t f y ∈M 且x ≠y 时，()y x f f d ,=1. 若[]b a B ,可分，则[]b a B ,中存在可列的稠密子集，记为(){}t f n . 对M 中每一点()t f x ，作球()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x ，则()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛M t f t f B x x 31,是一族两两不相交的球，总数有不可列个.但由于(){}t f n 在[]b a B ,中稠密，所以每个()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x 中至少含有(){}t f n 中的点，这与(){}t f n 是可列集矛盾. 故[]b a B ,不可分.9. 因为X 可分，所以存在稠密子集B ={} ,,21x x . 对于每个O x ∈.存在()r x U ,⊂O . 因为B 在X 中稠密，所以可在⎪⎭⎫⎝⎛4,r x U 中取出B 中一点k x . 取有理数r '：24rr r <'<，所以x ∈()r x U k ',⊂()r x U ,⊂O ，且所有()r x U k ',至多可列个，包含它的开集O 至多可选出可列个. 证毕.§2.3 连续映照教学内容(或课题)：目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.教学过程：Def 1 设X =()d X ,，Y =()d Y ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映照：X =()d X ,T → Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t.∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：用邻域来描述T 在0x 连续：对0Tx 的每一个ε-邻域N ，必存在0x 的某个δ-邻域0N ，s.t. 0TN ⊂N (0TN 表0N 在T 作用之下的像集). 也可以用极限来定义映照的连续性，基于Th 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映照：()d X ,T→()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .证明 “⇒” 设T 在0x 连续，则∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε. 因为n x →0x ，所以∃N ∈N ，s.t.当n >N 时，有()0,x x d n <δ. 所以()0,Tx Tx d n <ε. 所以n Tx →0Tx . “⇐” 反证法. 若T 在0x 不连续，则∃0ε>0，s.t. ∀δ>0，∃x ≠0x ，虽然()0,x x d <δ，但是()0,~Tx Tx d ≥0ε. 特别取δ=n1，则有n x ，s.t.当()0,x x d <n1时，有()0,~Tx Tx d n ≥0ε. 即n x →0x 时，有n Tx 不→0Tx . 与假设矛盾.证毕.若映照T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映照. 称集合{}M Tx X x x ∈∈,(M ⊂Y )为集合M 在映照T 下的原像.简记为M T 1-.用开集刻划连续映照，就是Th 2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.证明 “⇒” 设T 是连续映照，M ⊂Y 是Y 中开集. 若M T 1-=Φ，则M T 1-是X 中开集. 若M T 1-≠Φ，则0x ∀∈M T 1-，令0y =0Tx ，则0y ∈M . 由于M 是开集，所以存在邻域()ε,0y N⊂M . 由T 的连续性，存在邻域()δ.0x N ，s.t. T ()δ.0x N ⊂ ()ε,0y N ⊂M . 从而 ()δ.0x N ⊂1-T ()ε,0y N ⊂M T 1-. 所以0x 是M T 1-的内点. 因为0x ∈M 是任意的，所以M T 1-是X 中的开集.“⇐” 设Y 中每个开集的原像是开集. 0x ∀∈X ，则()ε,01Tx N T -是X 中的开集. 又0x ∈()ε,01Tx N T -，所以0x 是()ε,01Tx N T -的内点，所以存在邻域()δ.0x N ⊂()ε,01Tx N T -. 所以T ()δ.0x N ⊂()ε,0Tx N ，所以T 在0x 连续. 又0x ∈X 是任意的，所以T 是X 上的连续映照. 证毕.利用()CM T 1-=()M T C 1-，又有Th 2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.证明 “⇒” 设T 是X 上的连续映照，又设M ⊂Y ，M 是闭集，则CM 是开集. 由Th2, ()CM T 1-是开集. 但()CM T 1-=()M T C 1-，故M T 1-是X 中的闭集.“⇐” M ∀⊂Y 且M 是闭集，则CM 是开集. 由()CM T 1-=()M T C 1-，及Y 中任何闭集M 的M T 1-总是X 中的闭集，得Y 中任何开集CM 的原像()CM T 1-总是开集，由Th2, T 是X 上的连续映照. 证毕.P 206.10. 设X 为距离空间，A 为X 中的子集. 令()x f =()y x d Ay ,inf ∈, x ∈X . 证明()x f 是X 上的连续函数.证明 0x ∀∈X ，n x ∀∈X ， ,2,1=n ，s.t.n x →0x .y ∀∈A ⊂X ，因为 ()y x d n ,≤()0,x x d n +()y x d ,0，所以 ()y x d n Ay ,inf ∈≤()0,x x d n +()y x d ,0， 所以 ()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n≤()y x d ,0, 所以()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n ≤()y x d Ay ,inf 0∈，所以()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈≤()0,x x d n . 同理()y x d Ay ,inf 0∈-()y x d n Ay ,inf ∈≤()n x x d ,0.所以|()()0x f x f n -|=|()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈|≤()0,x x d n →0(∞→n ).所以()x f 是X 上的连续映照(Th 1).作业： P 206. 11. 12. 13.作业解答： 11. 先证 ()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0. 否则>∀ε0，x ∃∈1F ，y ∈2F ，s.t. ()y x d ,<ε. 令ε=m1，则∃m x ∈1F ，m y ∈2F ，s.t. ()m m y x d ,<m1,令∞→m ，由于()y x d ,是二元连续函数，故得()00,y x d =0(0x ∈1F 是m x 的聚点，0y ∈2F 是m y 的聚点，聚点存在). 因此0x =0y 与1F 2F =Φ相矛盾，故()21,F F d =()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0.取ε：0<ε<21()21,F F d ，再令1G =() 1,F x x U ∈ε，2G =() 2,F y y U ∈ε，则1G 与2G 均为开集. 下证∀()ε,x U 与∀()ε,y U 都不相交. 若不然设∃z ∈()ε,x U ()ε,y U ，则()y x d ,≤()z x d ,+()y z d ,<ε+ε<()21,F F d . 与()y x d ,≥()21,F F d 相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而1G 2G =Φ.12. ∀取开集G ⊂Z . 因为g 是Y 到Z 中的连续映照, 所以G g 1-⊂Y 是开集.因为f 是X 到Y 中的连续映照，所以()G g f 11--⊂X 是开集. 即()G gf 1-⊂X 是开集. 所以 gf 是X 到Z 中的连续映照.13. 由Th 2'或由()M T C 1-=()CM T 1-和Th2推得.附注 区间(]c ，∞-及[)∞+，c 均为闭集.§2.4 压缩映象原理及其应用本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。