高考数学-等差数列典型例题
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98．
代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有
98＝7＋(n －1)·7
解得n ＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列．
解 设这五个数组成的等差数列为{a n }
由已知：a 1＝－1，a 5＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1
2
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
解 d =312 (5) d =d =3
4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′
，期通项为
--3
21
2
a n n n n =-+-=--53413423
4
234
()即 a =34n
【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N
令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ⇒-43
3m
得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)．
则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ．
则－＋＋＋－＋＋＋(x d)x (x d)=15(x d)x (x d)=83
222⎧⎨⎩ 解得x ＝5，d ＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】 已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证 ∵a 、b 、c 成等差数列
∴2b=a ＋c
∴(b ＋c)＋(a ＋b)＝a ＋2b ＋c
＝a ＋(a ＋c)＋c
＝2(a ＋c)
∴b ＋c 、c ＋a 、a ＋b 成等差数列．
说明 如果a 、b 、c 成等差数列，常化成2b ＝a ＋c 的形式去运用；反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证2b=a ＋c ．本例的意图即在让读者体会这一点．
【例7】 a b a b 若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111a b c
c 可能是等差数列．
分析 直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．
证 假设a 、b 、c 是等差数列，则2b=a ＋c
又∵、、成等差数列，∴，即＝＋．111211a b c b a c
=+2ac b(a c) ∴2ac ＝b(a ＋c)=2b 2，b 2＝ac ．
又∵ a 、b 、c 不为0，
∴ a 、b 、c 为等比数列，
又∴ a 、b 、c 为等差数列，
∴ a 、b 、c 为常数列，与a ≠b 矛盾，
∴ 假设是错误的．
∴ a 、b 、c 不可能成等差数列．
【例8】 解答下列各题：
(1)已知等差数列{a n }，a n ≠0，公差d ≠0，求证：
①对任意k ∈N ，关于x 的方程
a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0有一公共根；
②若方程的另一根为，求证数列是等差数列；在△中，已知三边、、成等差数列，求证：、、也成等差数列．x (2)ABC a b c k {}cot cot cot 112
22+x A B C k
分析与解答
(1)a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0
∵{a n }为等差数列，∴2a k+1＝a k ＋a k+2
∴a k x 2＋(a k ＋a k+2)x ＋a k+2＝0
∴(a k x ＋a k+2)(x ＋1)=0，a k ≠0
∴＝－或＝－ x 1x k a a x a a a a a a d k k
k k k
k k k k ++++=-=-=-22211112 ∵{a n }为等差数列，d 为不等于零的常数
∴方程有一公共根－，数列是等差数列1{}11+x k
(2)由条件得 2b=a ＋c
∴4RsinB ＝2RsinA ＋2RsinC ，2sinB ＝sinA ＋sinC
∴∵＋＋＝π∴∴4sin B 2cos B 2=2sin A +C 2cos A C 2
A B C sin A +C 2=cos B 2
2sin B 2=cos A 2
--C 分析至此，变形目标需明确，即要证
2cot B 2=cot A 2cot C 2
＋ 由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
cot cot cos sin cos sin sin sin sin sin (cos cos )()cos sin sin cot A C A A C C A C A C A C A C A C B B B B 222222222
21222
22222
22+=+=+=+-+--=--=将条件代入 ∴、、成等差数列．cot A 2cot B 2cot C 2
【例9】 若正数a 1，a 2，a 3，…a n+1成等差数列，求证：
1111223111a a a a a a n a a n n n ++++++=+-+… 分析11111a a a a a a a a d n n n n n n n n +=--=--++++ 证明 设该数列的公差为d ，则
a 1－a 2=a 2－a 3＝…＝a n －a n+1=－d
∴a 1－a n+1=－nd
∴－左式…d =a =a 11---+--++--+++a n a a a a a a a a a a a n n n n n 1212232311 =
--=--=
+=++++a a d a a a a n
n a a n n n n 111111
11右式 ∴ 原等式成立．
【例10】 设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，
