小学奥数5-1-3-2 数阵图(二).专项练习

1. 瞭解數陣圖的種類2. 學會一些解決數陣圖的解題方法3. 能夠解決和數論相關的數陣圖問題.一、數陣圖定義及分類：1. 定義：把一些數字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數陣圖.2. 數陣是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多，這裏只向大家介紹三種數陣圖：即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和複合型數陣圖.3.二、解題方法：解決數陣類問題可以採取從局部到整體再到局部的方法入手： 第一步：區分數陣圖中的普通點(或方格)和關鍵點(或方格)；第二步：在數陣圖的少數關鍵點(一般是交叉點)上設置未知數，計算這些關鍵點與相關點的數量關係，得到關鍵點上所填數的範圍；第三步：運用已經得到的資訊進行嘗試．這個步驟並不是對所有數陣題都適用，很多數陣題更需要對數學方法的綜合運用．複合型數陣圖【例 1】 由數字1、2、3組成的不同的兩位數共有9個，老師將這9個數寫在一個九宮格上，讓同學選數，每個同學可以從中選5個數來求和．小剛選的5個數的和是120，小明選的5個數的和是111．如果兩人選的數中只有一個是相同的，那麼這個數是_____________．例題精講知識點撥教學目標5-1-3-2.數陣圖313233212223131211【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】迎春杯，中年級，決賽，3題【分析】 這9個數的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小剛和小明選的數中只有一個是相同的，可知他們正好把這9個數全部都取到了，且有一個數取了兩遍．所以他們取的數的總和比這9個數的和多出來的部分就是所求的數．那麼，這個數是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如圖1，圓圈內分別填有1，2，……，7這7個數。

如果6個三角形的頂點處圓圈內的數字的和是64，那麼，中間圓圈內填入的數是 。

【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】希望杯，五年級，復賽，第5題，5分【解析】 2【答案】2【例 3】 如下圖（1）所示，在每個小圓圈內填上一個數，使得每一條直線上的三個數的和都等於大圓圈上三個數的和.（1）17894【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【解析】 為敘述方便，先在每個圓圈內標上字母，如圖（2），（2）a cb49817則有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，則 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：見圖.1789411215【答案】1789411215【例 4】 請你將數字1、2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內，使得每個圓圈上的三個數之和與每條直線上的三個數之和相等.應怎樣填？【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【解析】 為了敘述方便，將各圓圈內先填上字母，如圖（2）所示.設A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因為56+A 為5的倍數，得A=4，進而推出k=12，因為在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨設B=1，F=5，D=6，則C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一個基本解為：（見圖）7654321【答案】7654321【例 5】 在左下圖的每個圓圈中填上一個數，各數互不相等，每個圓圈有3個相鄰(即有線段相連的圓圈)的圓圈。

小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

\1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

:解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题【解析】设顶点分别为A、B、C 、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。

数阵图
小朋友们，你喜欢填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一
件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能
找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！
例1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。

(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数
相加都得11. 之和都得15.
例2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.
在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。

例3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之
和都等于14。

拓展练习
（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等
于12。

（2）把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.
例4.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12。

把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。

数阵图【2 】1.应用数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9做加法.在每一道题中,统一个数字不能反复消失.(1)填数,使横行.竖行的三个数(2)填数,使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入恰当的数,使每一横行.竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入恰当的数,使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15.3.把3,4,5,6,7这五个数分离填入下面的空格里,使横行.竖行的三个数之和都等于14.拓展演习（1）把2,3,4,5,6这五个数分离填入圆圈中,使每条线上三个数相加的和都等于12.（2）把1,2,3,4,5,6分离填入○里,使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4.把1,3,5,7,9,11,13这七个数分离填入○里,使每条直线上的三个数相加的和都为17.简略数阵图例1.把1—5 这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.例2.把1—7这七个数分离填入图中的各○内,使每条线段上三个○内数的和等于10.例 3.鄙人图圆圈内分离填入数字1~9,使两条直线上五个数的和相等,和是若干？例4.把1～6这六个数分离填鄙人图中三角形三条边的六个○内,使每条边上三个○内数的和等于9.例5.将2—9这八个数分离填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18.例6.将1.2.3.4.5.6.7.8.9九个数字分离填入图中的小圆圈中,使三角形每边上四个数的和是17.1.把2—6 这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13.2.在图中填入2—9,使每边3个数的和等于15.3.将数字1—9分离填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27.4.把1.4.7.10.13.16.19七个数填入图中7朵花里,使每条线上三个数的和等于30.。

数阵图1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。

(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。

3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。

拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。

（2）把1，2，3，4，5，6分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4. 把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。

简单数阵图例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。

例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。

例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。

1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。

2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。

3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。

4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。

第六讲 数字谜（二）—数阵图本讲通过对简单数阵的学习，让学生在数与数之间的变化中，感受到数字的奇妙，体会到数学思维 的乐趣知识点：1．封闭型数阵图；2．辐射型数阵图； 3．复合型数阵图．教学目标将 1、2、3、4、5、6 这六个数填在图中的空灯里，使 每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于 14．分析：将三个大圆上的所有数字相加，中间三个灯笼上的数字被加了 2 遍， 其余三个灯笼上的数字只加了一遍，所以，中间三个数的和为（1＋2＋3 ＋4＋5＋6）－14＝7，三个数相加等于 7 的情况只有 1＋2＋4，所以中间的三个灯笼上的数为 1，2，4，这 6 个数中四个数相加等于 14 的组合有 (6521)(6431)(5432)，就可以填出：想 挑 战 吗 ︕在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷．它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人 有着极大的吸引力，以至有些人留恋其中，用毕生的精力来研究它的变化， 就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣．到底什么是数阵呢？ 下面我们一起来研究吧．到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图：左图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是， 7 每个圆周上的四个数字之和都等于 13．右图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15．上面两个图就是数阵图．准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的 某种图形，有时简称数阵．2 61 43 58 1 6 3 5 7 4 9 2（一）辐射型数阵图把 1～5 这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．分析：在图中我们可以看出，中间圆圈里的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”．也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次， 即重叠了一次，其余各数均被加了一次．我们可以得出： (1＋2＋3＋4＋5)＋重叠数＝每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15＋重叠数)÷2．因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1，3 或 5．若“重叠数”＝1，则两条直线上三数之和为(15＋1)÷2＝8．填法见左下图； 若“重叠数”＝3，则两条直线上三数之和为 (15＋3)÷2＝9．填法见下中图； 若“重叠数”＝5，则两条直线上三数之和为 (15＋5)÷2＝10．填法见右下图．[巩固]把 1～5 这五个数填入下图中的○里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等．12 5 345专题精讲有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析， 进行试验填数求解．231 451 23 452 15 43例1分析：与例题不同之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数．所以， 必须先求出这个“和”．两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍， 所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1＋2＋3＋4＋5)＋5]÷2＝10．因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于 10－5＝5．非“重叠数”的和也可以这样求，因为 1～4 的和我们可以求，每条直线上两端的数的和是：（1＋2＋3＋4）÷2＝5．在剩下的四个数 1，2，3，4 中，只有 1＋4＝2＋3＝5．故有右上图的填法．[注意] 求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的．把 1～7 这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等．分析：解这道题的关键是首先求出中心数．1～7 七个数的和是 28，而计算三条线段中数的和时，中心圆的数要多加两次．因此可得如下关系式：28＋(中心数)×2＝每条线段上三个数的和×3．即：(28＋中心数×2)÷3＝每条线段上三个数的和．用试验的方法，将 1～7 这七个数作中心数分别代入上述关系式中．可求出中心数及每条直线上三个数的和．经试验，若中心数取 2、3、5、6，此题无解；中心数取 1、4、7 时该题数阵图成立．（1）(28＋1×2)÷2＝10，中间圆圈内填 1，各线段其他两数和为 10－1＝9． （2）(28＋4×2)÷3＝12，中间圆圈内填 4，各线段其他两数和为 12－4＝8． （3）(28＋7×2)÷3＝14，中间圆圈内填 7，各线段其他两数和为 14—7＝7． 三种基本解法详见下图．将 10～20填入左下图的○内，其中 15 已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等．分析：中间○内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10＋11＋…＋ 20)＋15×4]÷5＝45．15例2 6 31 4 2572 64751334 75621例3201610 191411 1513 121718剩下的十个数中，两两之和等于(45－15＝)30 的有 10，20；11，19；12，18；13，17；14，16． 也可以这样求：五条边上两个数的和都是相等的，（10＋11＋…＋20）÷5＝30，所以两两之和等于30． 于是得到右图的填法．[拓展]把 10～20 这 11 个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都相等．请你把各种填法都写出来(中心圆圈内的数相同就视为一种填法)．(1993 年武汉市小学数学竞赛试题)分析：审题可知中心处的数是五条线段的端点，求和时用了 5 次，因此，确定中心圆圈里的数是关键 （方法一）①列出中心数与每条线段上三数和的关系式：(165＋中心数×4)÷5②用试验方法求出中心数及每条线段上三数和．中心数分别为 10、15、20．每条线段上三数和分别为 4l 、45、49．分别以 10、15、20 为中心数的数阵图，相对应的每条线段上两数和分别为：3l 、30、29． 和为 29 的两数可有：10＋19、1118、12＋17、13＋16、14＋15； 和为 30 的两数可有：10＋20、11＋19、12＋18、13＋17、14＋16； 和为 31 的两数可有：11＋20、12＋19、13＋18、14＋17、15＋16． ③填图．如下图的(1)、(2)、(3)．（方法二）设中心的圆圈内的数字是 a ，每条线段的圆圈内的三个数字和是 k ，则：10＋11＋12＋13＋ 14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋4×a＝5k ，即 165＋4×a＝5k ．推出中心处的 a 等于 10，15，20，k 分别等于 41，45，49．当 a ＝10 时，k ＝41，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 31，即 11＋20，12＋19，13＋18，14＋ 17，15＋16，从而填出数阵图当 a ＝15 时，k ＝45，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 30，即 10＋20、11＋19、12＋18、13＋ 17、14＋16，从而填出数阵图当 a ＝20 时，k ＝49，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 29，即 10＋19、11＋18、12＋17、13＋ 16、14＋15，从而填出数阵图[小结]以上例题中数阵图都是辐射型数阵图．一般地，有 m 条边，每边有 n 个数的形如下图的图形称为辐射型 m －n 图．192012 18111310 14 15171620 1610 19141115 1312171819 1510 181411 20 13121617辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”－1，即 m －1．对于辐射型数阵图，有： 已知各数之和＋重叠数×重叠次数＝直线上各数之和×直线条数．由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数－已知各数之和)÷重叠次数 ． 如 例 1 、 例 3． (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和＋重叠数×重叠次数)÷直线条数．如例 2． (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例 3．（二）封闭型数阵图将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等．分析：我们不知道每边的三数之和等于几．因为三个重叠数都重叠了一次，由(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和＝每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于[(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和]÷3＝(21＋重叠数之和)÷3＝7＋重叠数之和÷3．因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是 3 的倍数．考虑到重叠数是 1～6 中的数，所以三个重叠数之和只能是 6，9，12 或 15，对应的每条边上的三数之和就是 9，10，11 或 12． 与例题的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和＝9 每边三数之和＝10 每边三数之和＝11 每边三数之和＝12[小结]像例题中这样各条边是互相连接的数阵图，叫做封闭型数阵图．思考这类问题，主要是要弄清关键数字．抓住关系式，进行分析，确定顶点上的数以及每条边上的数的和，再用试验的 方法，求出解．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．例4 16 5243164325253 416432516例5 将2～9 这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18．分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是 1 次．所以四个重叠数之和等于18×4－(2＋3＋…＋9)＝28．而在已知的八个数中，四数之和为 28 的只有：4＋7＋8＋9＝28 或 5＋6＋8＋9＝28．又由于 18－9－8＝1，1 不是已知的八个数之一，所以，8 和9 只能填对角处．由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意．[巩固]把 1～8 这八个数分别填入下图中的八个○内，使每条边上三个○内数的和都相等．分析：这道题的关键是确定正方形四个顶点上的数及正方形每边上数的和．1～8 的和是 36，36 加上四个顶点上的数其和是 4 的倍数．36 是 4 的倍数，只要考虑从 1～8 里选 4 个数，使其和是 4 的倍数，可得四个不同的和 12、16、20、24．再求出每边四个数的和分别是：(36＋12)÷4＝12 (36＋16)÷4＝13 (36＋20)÷4＝14 (36＋24)÷4＝15 又因为 1＋2＋3＋6＝12，1＋2＋4＋5＝12．经试验，四个顶点数只能填 l、2、3、6．然后用凑数法使每边和是 12．采用同样的方法，可填出每边和是 13、14、15 的情况．下面给出一种解法，如右上图．其他解法请同学们自己完成．用1～9 这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于 A，问A 可以等于哪些数?给出你的填法．分析：解这道题的关键是确定三边之和与三顶点之和的关系，再运用试验法求解．4 98 75 98 64 5 96 28 3 715684372例6因为每条边上的四数之和都等于 A ，则三边之和为 3×A．因 1 到 9 这九个数的和是 45，而在 3×A 中，三个顶点上的数都被计算了两次，于是顶点上的数之和应为 3×A－45．这个和是 3 的倍数，它最小是 1＋2＋3＝6，最大是 7＋8＋9＝24，从而 A 可以取 17、18、19、20、21、22、23．但是，当 A 为 18 或 22 时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以 A 只能为 17、19、20、23 这五个数．图(1)、(2)、 (3)、(4)、(5)给出了这五种填法．（1）（2）（3）（4）（5）将 l 、2、3、4、5、6 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是 l6．分析：观察发现，中间的两个圆圈最特殊，它们同时在两个圆上，我们要以此入手，填出这个数阵． 这六个数的和是 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21．题中要使每个大圆上的数字和是 16，那么两个大圆上的数字总和是 16×2＝32，两个大圆圈上数字的总和比六个数的和多 32－21＝11，怎么会多 11 呢？因为两个大圆上有两个数被算了两次，也就是多算了一次，即（）＋（）＝11，所以，被算了两次的数是 5 和 6． 先填上被多算的数 5 和 6，再通过计算填入其余各数：16－5－6＝5，2＋3＝5，1＋4＝5，填法如下：[小结]刚刚学习的这几个数阵图都是封闭型数阵图．一般地，在 m 边形中，每条边上有 n 个数的形如下图的图形称为封闭型 m －n 图．与“辐射型 m －n 图只有一个重叠数，重叠次数是 m －1”不同的是，封闭型 m －n 图有 m7A=23 5 63184 2 93 A=21 7 85 1 642 91A=20 876354291A=19 896 245371 A=17 8 96 4275 3例7 251364个重叠数，重叠次数都是 1 次．对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以： 已知各数之和＋重叠数之和＝每边各数之和×边数． 由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题．（三）复合型数阵如图 “好、助、手、伙、伴、参、谋”这 7 个汉字分别代表 1 至 7 这 7 个数字．已知 3 条直线上的 3 个数相加、2 个圆周上的 3 个数相加，所得的 5 个和相同．那么，“好”字代表多少?分析：通过读题可以知道三条直线的三个数之和相等，两个圆圈的三个数之和相等，而且五个和都相等．所以计算 5 个和的和，这个和一定是 5 的倍数，其中“好”字计算了三遍，其它数只是被计算了 2 遍，因此这个和等于（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋“好”＝56＋“好”，我们这个“好”只能是 4 才 能保证这个和是 5 的倍数．所以“好”＝4．将自然数 l ～7 填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等．分析：三角形顶上的数重叠 3 次，其他数都重叠 2 次．所以有： (1＋2＋…＋7)×2＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5，56＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5．由上式等号左端是 5 的倍数，推知“顶上的数”＝4．所以每条线上的三个数之和为(56＋4)÷5＝12．经试验可得如下填法(填法不唯一)：有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”．我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字．例8 谋伴参伙好 助手例9 47 2 3 1 65请问如何才能将 26，27，28，36，37，38，46，47，48 这九个数分别填入图中的圆圈中，使得通过中心圆圈的每条直线上的三个数之和都是 111．分析：我们已知九个数的和是 26＋27＋28＋36＋37＋38＋46＋47＋48＝333．题中要使每条线上三个数的和是 111，那么四条线上数的总和是 l11×4＝444．四条线上数的总和比九个数的和多 444—333＝111．中心圆圈里的这个数是重叠数，重叠了四次，即多算了 3 次，即重叠数×3＝111．因为只有 37×3＝111，所以中心圆圈里填 37．先填上中心圆圈里的数 37，再通过计算分别填人其余各数：111－37＝74，26 ＋48＝74，27＋47＝74，28＋46＝74，36＋38＝74．填法如右图：数阵图是一类非常有趣的数学问题，同学们，你们在这座数学迷宫中感受到它的奇妙了吗？在春季我们还会有类似问题的学习哦，敬请期待吧！1. 将 1～7 这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于 12．分析：1+2+3+4+5+6+7+2×中间数＝28+2×中间数＝12×3，中间数为 4，填法如右上图．例10专题展望练习六32741652628 36 27 37473846482. 将 1～7 这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于 10．分析： (1＋2＋…＋7)＋重叠数×2＝10×3．由此得出重叠数为 [10×3－(1＋2＋…＋7)]÷2＝1．剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6；4，5．可得右上图的填法．3. 把 1、2、3、4、5、6 六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于 9．分析：三边的和为 9×3＝27．但是 1～6 六个数的和等于 21，三行数的和比题中六个数的和多 27—21 ＝6，原因在于三个顶点的数字都要用 2 次，说明三个顶点数之和是 6． 1+2+3=6，所以把 1、2、3 分别填入三个顶点中，再根据每行和都等于 9 的要求填上其他各数．如右上图．4. 请分别将 1，2，4，6 这 4 个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里 4 个数的和都等于 15．分析：5＋7＝12，3＋7＝10，3＋5＝8，三个圆中已有数的和与 15 的差分别是 3、5、7，只有 1 能和其他三个数的和分别是 3、5、7，所以中间数一定是 1，由和为 15，其它三个数即可得，见右上图．5. 在图中 x ，y ，z 三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和．分析：如图，把三条直线上的三个和相加，相当于把 4 算了三遍，1，5，6 算了一遍， 三个顶点上的数各算了一遍．根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等．那么 4×3＋1＋5＋6＋三个顶点和＝三个顶点和×3；和是(4×3＋1＋5 ＋6)÷2＝12．所以，图中 x 处的数是 l2－4－5＝3；图中 y 处的数是 l2－4－1＝7；图中 z 处的数是 l2－4－6＝2．721 4 3561 6 5 2435732573416x 5 4 6 1zy推理小故事图像从不闪动一个星期日的中午，绿庄公寓里 008 号房间的单身职员，到距离很近的售货摊上买东西，只离开房间五六分钟，没有锁门，5 万元现金被盗．报案后，刑警问他:“公寓里有谁知道你出去买东西?”“10号房间的北村知道，我出去时他还托我买呢．”刑警马上到 10 号房间查看．一进门，就见北村一边在吃方便面一边看漫画．“8 号房间的失盗者出去买东西时，你在哪儿?干什么了?”“我一直在看漫画呀．”“你没听见那个房间里有异常动静吗?”“没有，那时正好一架直升飞机在这座公寓的上空盘旋，噪音很大，一点点动静也觉察不到．”据公寓管理人员说，中午并没有外人进公寓．肯定是内部人员干的．“别的房间里有人在吗?”“今天星期日，别人出去玩了，只6号房间里一个叫寺内的青年人在．”刑警又来到 6 号房间，见寺内正穿一身睡衣躺在床上，边吃花生米边看电视．那是台新型彩电．“哎呀，好漂亮的彩电啊!图像一点不闪动吗?”“从来没有过，这是我三天前才买来的新产品．”“听到 8 号房间里有可疑动静吗?”“没有，一点没察觉到，因电视里有我喜欢的歌手在演唱，我看得入了迷，再加上那架讨厌的直升飞机在盘旋……”“你说谎．直升飞机盘旋时你并没看电视，而是溜进8号房间找钱吧．”刑警凭什么识破了寺内的手段呢?答案见第七讲．第五讲“巧断小偷”答案：小偷在甲、乙、丙、丁四人中，并且只有一人说的话是真话，其余三人说的是假话．也就是“一真三假”，这也是我们判断是非的准则．假如乙是小偷，那么其余三人均不是小偷．而甲说乙是小偷，所以甲讲了真话；既然乙是小偷，那么丁就不是小偷，可见丁说：“反正我没偷．”这句也是真话．于是，便有甲、乙两人说了真话，这与“一真三假”的准则相矛盾，所以乙不是小偷．同理可推斯出甲、丙都不是小偷，小偷自然就是丁了．不过，我们还可验证一下．当丁是小偷时，甲、乙、丙三人便不是小偷．丁说：“反正我没偷．”这便是一句假话；乙不是小偷，故甲说：“手表是乙偷的．”也是假话；丙不是小偷，则乙说：“手表是丙偷的．”还是假话；既然乙说的是假话，所以丙说：“乙在撒谎．”就是真话，这不是正符合“一真三假”的准则吗?同学们，你答对了吗？。

1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

第四讲：数阵练习 （必做与选做）1. 如下图，每行、每列、每条对角线上数的和都相等，那么a 、b 、c 、d 有什么关系？A. a ＞b ＞c ＞dB. a ＜b ＜c ＜dC. a=b=c=dD. 无法判断 解析：c b c a b a =→+=+d c d c c a =→+=+d a c b d c b a =→=+=+,，那么由此可推出d c b a ===。

选C 。

2. 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字之和都相等。

C 处分别可以填多少？A. 1、3、5B. 1C. 1、3D. 3、5 解析：中间的c 是两条直线上公共的点，所以如果将两条直线上的数都相加，是1＋2＋3＋4＋5＋c=15＋c ，因为两条直线上的三个数的和相等，所以（15＋c ）必须能被2整除，即c必须为奇数，c可以是1、3、5。

选A。

3.阿派将1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下图的七个方框里，每个数只填一次，使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15，e可以怎么填？A. 5B. 7C. 3D. 1解析：将三条线上的数都加在一起，中间的e加了3次，其它数都加了一次，所以三条线上三个数的和=1＋2＋……＋7＋2e=28＋2e，条件又说三条线上三个数的和分别是8、11、15，所以28＋2e=8＋11＋15，e=3。

选C。

4.将1～5填入右图的○中，使得横、竖、大圆上的几个数之和都相等每个数只能用一次，e处分别可以填什么？A. 1B. 5C. 3D. 无正确答案解析：先看“十字”上的两条直线，中间的e被加了两次，如果将两条直线上的数都相加，是1＋2＋3＋4＋5＋e=15＋e，因为两条直线上的三个数的和相等，所以（15＋e）能被2整除，即e为奇数，e可以是1、3、5。

当e=1时，其它四个数的和是2＋3＋4＋5=14，14÷2=7，7＋1=8，即每条直线上数的和是8，但是圆上的数的和是14，所以不满足；当e=3时，其它四个数的和是1＋2＋4＋5=12，12÷2=6，6＋3=9，即每条直线上数的和是9，但是圆上的数的和是12，所以不满足；当e=5时，其它四个数的和是1＋2＋3＋4=10，10÷2=5，5＋5=10，即每条直线上数的和是10，圆上的数的和也是10，满足条件。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（） 由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因为56+A 为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧！如图，在空格中填入2、3、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于8。

【解答】如图，在空格中填入1、2、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于9。

【解答】知识分类一：基础数阵图113325341245如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。

【解答】将2，4，6，7，8，10分别填入图中空格，使每一个横行、竖行、斜行的三个数的和等于18。

【解答】81 8 7935 7 26 104把1、3、5、7、9、11、13七个数填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21。

【解答】这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

把1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。

【答案】把1、2、3、4、5、6这六个数填入下图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。

【答案】58219753知识分类二：数阵图进阶213645把10、20、30、40、50、60、70、80这八个数填入下图的圆圈里，使每个大圆上的五个数的和都是200.【答案】在圆圈内填上1～8这八个数字，使长方形每条边上三个数的和为12.【答案】703080401020605024675381将1、2、3、4、5、6这六个数填在下面的圆圈里，使每条线上三个数的和等于9.【答案】由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15.【答案】34256137521 3754 6将10、14、6填入下图，使每个圆圈中四个数的和都是30.【答案】412288126210144。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。

则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。

现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。

【例 5】图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。

1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题【解析】设顶点分别为A、B、C 、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。

练习1、将1、2、3、4、5这5个自然数分别填入右图中的5个方格中，使图中横行3个数的和与竖行3个数的和都是10。

2、把1～10这10个自然数填入下图“六一”的10个空格里，使在同一条直线上的各数和都是12。

练习1、将1、2、3、4、5、6这6个自然数分别填入右图的○内，使三角形每边上的3数之和为11。

2、把1～920.练习1、将1～6这6个自然数分别填入下图中两圆的○内，使每个圆上4个数的和相等，两圆交点上的两个○内的数有几种填法？例4、将1～10这10个自然数填入右图中的○内，使图中每条线段上的数之和都相等。

请写出各种填法。

3、下面一列数是按一定规律排列的，那么括号中的数是（）。

1，4，7，28，5，20，（），12…4、王明参加一次数学竞赛，全卷共20道竞赛题，做对一道得5分，做错一道倒扣3分，王明20道题都做了，共得76分，他做对了（）题。

5、同学们站成3层空心方阵，最外层每边站20人，一共有学生（）人。

6、小明的邮票比小红多15张，小明的邮票张数是小红的4倍，小红有（）张邮票7、一条小青虫，它的身长每天延长1倍，长到第10天的时候身长是20厘米，请问，在身长是10厘米的时候，它已经生长了（）天。

8、士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为80人，问方阵外层每边有（）人。

这个方阵共有（）个士兵。

9、长方形的长是20厘米，截去一个最大的正方形后，余下一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米。

10、植树节到了，同学们在一条90米长的小路的一旁植树，每隔3米种一棵。

（1）如果两端都各栽一棵，需要（）棵树。

（2）如果只有一端栽树，需要（）棵树。

（3）如果两端都不栽树，需要（）棵树。

11、甲班和乙班共有图书480本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班有图书（）本，乙班有图书（）本。

13、小明买科技书和文艺书共34本，科技书比文艺书多6本。

小明买科技书（）本，文艺书（）本。

14、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男生，男生共有20人，其余是女生，问参加组成这个方队的学生共有（）人15、有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有113个，那么从第二堆拿（）个棋子到第一堆，就能使第一堆棋子数是第二堆的3倍。

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。

重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

试一试：练习与思考第1 题。

例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。

数阵图(二)一、考点、热点回顾上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

1、一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题2、有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。

二、典型例题例1 、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为21×2-(1+2+…+8)=6。

在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。

每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。

如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。

如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。

例2、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。

所以三个重叠数之和等于11×3-(1+2+…+6)=12。

1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。

如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。

容易发现，所填数不是1～6，不合题意。

同理，三个重叠数也不能是3，4，5。

经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。

例3 、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。

1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题【解析】设顶点分别为A、B、C 、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。

数阵图
数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。

数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。

解答这类问题时，常用以下知识：
等差数列的求和公式：总和﹦（首项+末项）x项数÷2
计算中的奇偶问题：
奇数±奇数﹦偶数
偶数±偶数﹦偶数
奇数±偶数﹦奇数
10以内数字有如下关系：
（1）1+9=2+8=3+7=4+6
（2）1+8=2+7=3+6=4+5
（3）2+9=3+8=4+7=5+6
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。

例1：
把1，2，3，4，5，6这六个数填在下图的6个○中,使每条边上的三个数之和都等于9。

例2：
把1—12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。

随堂练习1
1、（1）将5—10这六个数字分别填入左下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。