基本初等函数的导数公式推导过程
、幂函数f x Q* ）的导数公式推导过程命题若 f X x （ C*），则 f
推导过程
f x x f x lim
x 0
x x x lim
0x
X
0 11 2
C x C x x C x lim
0x
X
0 11 2 22
C x x C x x C x x L C x lim
0x
X
C1 x 1 x C2 x 2 x2 L C x lim
x 0
1 1 2
lim C x C x
x 0
C1x 1
1
x
所以原命题得证.
、正弦函数f x sinx的导数公式推导过程
sin x lim
x 0 x sin x
推导过程
f x
sin xcos x cosxsin x sin x lim x 0
cosxsin x sin xcos x sin x lim x 0
cosxsin x sinx cos x 1
所以f lim cos x 0
cosx sinx 1 2sin 2丄
2
lim x 0 2sin * x cosxcos-^
2 2
2sin xsin2」
2
l l m0 2sin」cosxcos-^ sinxsin」
2 2 2
l l m0
x 2sin cos
2
l l m0 cos
x sin 2
0 时，sin
2 2，所以此时
x sin -
2
三、余弦函数f x cosx的导数公式推导过程
cos x lim x 0
x cosx l I m 0 l i m 0 2sin
宁 x sin cosx 2 x . cos sinx 2
l i m 0 2sin »
sin
x sin - 2
l i m o sin
sin x
sin x
四、指数函数 a * x ( a >0,且a 1)的导数公式推导过程
推导过程
f x
f x x lim
x 0
cosxcos x sinxsin x cosx lim
x 0
cosxcos x cosx sinxsin x lim
x 0 cosx cos x 1 sinxsin x
2sin 2丄cosx 2sin 丄 sin xcos-^ 2 2 2
lim x 0 cosx 1 2sin 2—1 sinx 2
1，则 a x t 1，即x log a.且当x 0时，a
U m
t lOg a t 1
lim t 0
1
^lOg a t 1
U m
1 lOg a t 1「
若 f x a x( a >0,且 a 1)，贝U f x a x lna .
f x x lim
x 0x
x x x a a lim
x 0 x
x x x a a a lim
x 0
lim
x I
0 .所以原极限可以表示为:
1
又因为lim t 1 e,所以
t 0
1
log a e
x ln a a -
lne a x ln a
五、对数函数f x log a x ( a >0，且a 1 , x >0)
的导数公式推导过程
命题
1 若 fx log a x ( a >0,且 a 1, x >0 )，贝U f x ----------------------------------
x l n a 推导过程 f x
f x x f x lim
x 0
lim log a 1
t 0x
1
又因为呵1 t ： e ，所以
1 , 1 lne 1
lo g a e lim x 0
log a X x x
log a x
1 x x
lim log a x 0
x x
1 1 x x
lim x
log a x 0 x x x
1 x x x lim — log a
x 0 x x x
1 x ,
x x lim log
x 0
x x x x
1 x x X lim log a x 0
x x
x
1 x X
lim log a 1
x 0 x x
令t x 且当 x 0 时，t x
f x
0 •所以原极限可以表示为:
x x ln a xln a 所以原命题得证.
lim
x 0
lim
x 0
