必修2立体几何综合测试题

高中数学立体几何测试试卷学校：___姓名：___班级：___考号：__一．单选题1．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D．2．设α为平面，m，n为直线（）A．若m，n与α所成角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m，n与α所成角互余，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m⊥n3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°4．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；则上述命题中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A．2cm B．C．4cm D．8cm6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中，P是正方体的底面A l B1C1D1（包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个7．如图所示几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有（）A．②③B．①③C．③④D．④二．填空题8、如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是______．9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______．10．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，下列四个命题中所有正确命题的序号是______．①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．③若m∥α，n∥α，则m∥n．④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β．三．简答题11、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．12、正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．13、已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，（1）求证AF⊥BC（2）求线段AF的长．参考答案一．单选题1．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设圆锥的母线为l，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：=，底面面积为：．圆锥的侧面积为：，所以圆锥的表面积为：+=a，底面面积为：=．故选A．2．设α为平面，m，n为直线（）A．若m，n与α所成角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m，n与α所成角互余，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m⊥n答案：D解析：解：对于选项A，若m，n与α所成角相等，m，n也可能相交、平行、异面；故A错误；对于选项B，若m∥α，n∥α，直线m，n也可能平行，也可能相交，还有可能异面；故B 错误；对于选项C，若m，n与α所成角互余，如与α所成角分别为30°和60°，直线m，n所成的角有可能为30°；故C错误；对于选项D，根据线面垂直的性质，容易得到m⊥n；故D正确；故选D．3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答案：C解析：解析：如图，四棱锥P-ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选C．4．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；则上述命题中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④答案：B解析：解：①根据线面垂直的判定，当m，n相交时，结论成立，故①不正确；②根据平行线的传递性，可得l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故②正确；③由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n，故③正确．④m⊂α，n⊥α，则n⊥m，∵l⊥n，∴可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故④不正确故正确的命题是②③故选B．5．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A．2cm B．C．4cm D．8cm答案：C解析：解：∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a3=64解得a=4cm故选C6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中，P是正方体的底面A l B1C1D1（包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个答案：C解：∵线段A1C与线段PQ相交且互相平分，∴四边形A1QCP是平行四边形，因A l C的长为定值，为了使得四边形A1QCP面积最大，只须P到A l C的距离为最大即可，由正方体的特征可知，当点P位于B1、C1、D1时，平行四边形A1QCP面积相等，且最大．则使得四边形A1QCP面积最大的点P有3个．故选C．7．如图所示几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有（）A．②③B．①③C．③④D．④答案：D解析：解：根据棱柱的放置和“看见的棱用实线、看不见的棱用虚线”，则①②③正确，④错误，故选D．二．填空题8、如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是______．答案：2解：连接BE，则∵SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，∴BE⊥CE．故问题转化为在梯形ABCD中，点E是线段AD上的动点，求满足BE⊥CE的点E的个数．设AE=x，则DE=3-x，∵AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2，∴10=1+x2+4+（3-x）2，∴x2-3x+2=0，∴x=1或2，∴满足BE⊥CE的点E的个数为2，∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2．故答案为：2．9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______．答案：B解析：解：由此正方体的两种不同放置可知：与C相对的是F，因此D与B相对．故答案为：B．10．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，下列四个命题中所有正确命题的序号是______．①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．③若m∥α，n∥α，则m∥n．④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β．答案：①④解析：解：①若m⊥α，n⊂α，利用线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；两条相交直线才行，不正确．③m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，不正确．④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则由面面垂直的性质定理我们易得到n⊥β，正确．故答案为：①④．三．简答题11、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．答案：解：（1）∵CD∥AB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB面EFCD∩面SAB=EF，∴CD∥EF．∵∠D=90°，∴CD⊥AD，又SD⊥面ABCD，∴SD⊥CD，∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，∴EFCD为直角梯形．（2）当=2时，能使DM⊥MC．∵AB=a，∴，∴，∴SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC，∴BC⊥平面SBD．在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，∴MD⊥SB．∴MD⊥平面SBC，MC⊂平面SBC，∴MD⊥MC，∴△DMC为直角三角形．12、正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．答案：解：如图所示，正三棱台ABC-A1B1C1中，高OO1=3，底面边长为A1B1=2，AB=4，∴OA=×AB=，O1A1=×A1B1=，∴棱台的侧棱长为AA1==；又OE=×AB=，O1E1=×A1B1=，∴该棱台的斜高为EE1==．13、已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，（1）求证AF⊥BC（2）求线段AF的长．答案：解：（1）分别以AB、AC和AD为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：记A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），∴E（，，0），F（，，1）；∴（，，1），=（-1，1，0），∴•=×（-1）+×1+1×0=0，∴⊥，即AF⊥BC；（2）∵=（，，1），∴||===，即线段AB=．。

高中数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）ADDCB BDADD BB二、填空题（每小题4分，共16分）13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111AC B D 对角线与互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）17、【解析】(1)方法一：如图，取AD 的中点H ，连结GH ，FH.∵E 、F 分别为PC 、PD 的中点，∴EF ∥CD.∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD.∴EF ∥GH.∴E 、F 、H 、G 四点共面.∵F 、H 分别为DP 、DA 的中点，∴PA ∥FH.∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG.方法二：∵E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.∴EF ∥CD,EG ∥PB.∵CD ∥AB,∴EF ∥AB.∵PB ∩AB=B,EF ∩EG=E,∴平面EFG ∥平面PAB.∵PA ⊂平面PAB ，∴PA ∥平面EFG.(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ，又∵GC ⊂平面ABCD ，∴GC ⊥PD.∵四边形ABCD 为正方形，∴GC ⊥CD.∵PD ∩CD=D,∴GC ⊥平面PCD.∵PF=12PD=1，EF= 12CD=1， ∴S △PEF = 12EF ·PF= 12. ∵GC= 12BC=1, ∴V P-EFG =V G-PEF = 13S △PEF ·GC= 13×12×1=16.19、证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O = 连结1AO ， 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴且 11A C AC = 2分又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 4分111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D∴1C O 面11AB D 6分（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 7分 又1111A C B D ⊥， 1111B D AC C ∴⊥面 9分111AC B D ⊥即 11分 同理可证11A C AB ⊥， 12分又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11AB D 14分20.【解析】(1)在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQ∥EB，又DC∥EB，所以PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，所以PQ∥平面ACD.(2)连接DP，CQ，在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，所以CQ⊥AB，因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，又EB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC，平面ABE∩平面ABC=AB,所以CQ⊥平面ABE，由(1)知四边形DCQP是平行四边形,所以DP∥CQ,所以DP⊥平面ABE,所以AD在平面ABE内的射影是AP, 所以∠DAP是AD与平面ABE所成的角.在Rt △APD 中，AD ==，DP=CQ=2sin ∠CAQ=1,所以sin ∠DAP= DPAD 5==.故AD 与平面ABE 21.【解析】(1)由条件知PDAQ 为直角梯形.因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=2PD ，则PQ ⊥QD. 所以PQ ⊥平面DCQ.(2)设AB=a.由题设知AQ 为棱锥Q-ABCD 的高，所以棱锥Q-ABCD 的体积V 1=13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P-DCQ 的高,而，△DCQ 的面积为2a 2， 所以棱锥P-DCQ 的体积V 2=13a 3.故棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值为1.22、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm .在Rt EOF 中, 15,2EF cm OF xcm ==, 3分所以EO = 6分于是13V x = 10分 依题意函数的定义域为{|010}x x << 14分。

高中数学（人教版）必修二《立体几何》综合提升卷一．选择题（共13小题，满分65分，每小题5分）1．（5分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．2．（5分）设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，且n∥β，则m∥l．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π4．（5分）如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）A．B．C．D．35．（5分）如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：（1）异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；（2）D1C⊥AC1；（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点；（4）在棱AA1上不存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的．其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4，，BD⊥CD．将四边形ABCD 6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论：①A′C⊥BD；②CA′与平面A′BD所成的角为30°；③∠BA′C=90°；④四面体A′﹣BCD的体积为．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD上一点，AB=AD=3，AA1=2，CE=1，P是AA1上一点，且DP∥平面AEB1，F是棱DD1与平面BEP的交点，则DF 的长为（）A．1 B．C．D．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36π B．48π C．56π D．64π9．（5分）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点．满足PM=PD，则点P的轨迹长度是（）A．B．C．D．10．（5分）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．011．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．412．（5分）一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（）A． B．C． D．13．（5分）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ属于集合（）A．{θ|0°＜θ＜40°} B．{θ|40°＜θ＜50°} C．{θ|40°＜θ＜90°} D．{θ|50°＜θ＜90°}二．解答题（共7小题，满分85分）14．（10分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在四边形ABCD内及其边界上运动，且点P到点B1的距离为．（1）要使A1C1⊥平面BB1P，则点P在何位置？（2）设直线B1P与平面ACD1所成的角为θ，求sinθ的取值范围．15．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．16．（10分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．（Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；（Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．17．（10分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．18．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E、F、G分别是棱AB、AD、D1A1的中点．（1）求证：BG∥平面A1EF：（2）若P为棱CC1上一点，求当等于多少时，平面A1EF⊥平面EFP？19．（15分）ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（1）求证：平面ACD⊥平面PAC；（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（3）设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，试求tanθ的值．20．（18分）如图，△ABC各边长均为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）证明：平面ADF⊥平面BCD；（2）求三棱锥C﹣DEF的体积；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．高中数学（人教版）必修二《立体几何》综合提升卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题，满分65分，每小题5分）1．（5分）（2016秋?小店区校级期中）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】35 ：转化思想；41 ：向量法；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】根据题意画出图形，结合图形得出AB为截面圆的直径，求出AB的值以及三棱柱外接球的半径R；再利用三角形以及空间向量的知识求出向量与夹角的余弦值的绝对值即可．【解答】解：∵∠BCA=90°，BC=CA=2，∴AB=2，且为截面圆的直径；又三棱柱外接球的体积为，∴π？R3=，解得外接球的半径为R=2；△ABC1中，AB⊥BC1，AB=2，AC1=2R=4，∴BC1==2；又=+，=+=﹣﹣，∴?=?（﹣）﹣?﹣﹣?=0﹣0﹣﹣0=﹣8，||=||==；∴异面直线B1C与AC1所成的角θ的余弦值为：cosθ=||=||=．故选：B．【点评】本题考查了异面直线所成角的计算问题，解题时可以利用两向量所成的角进行计算，是综合性题目．2．（5分）（2014?红岗区校级模拟）设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，且n∥β，则m∥l．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】16 ：压轴题．【分析】本题考查的是直线之间，直线与平面之间的位置关系，可借助图象解答．【解答】解：易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由α∩γ=n知，n?α且n?γ，由n?α及∥βα∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，命题④正确．故答案选B．【点评】本题主要考查了直线与直线间的位置关系，以及直线与平面间的位置关系，注意二者的联系与区别．3．（5分）（2016?永州模拟）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】17 ：选作题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：左边是半个圆锥，右边是四分之一个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：左边是半个圆锥，右边是四分之一个圆柱（斜切半圆柱），且圆柱的底面半径是1、母线长是2；圆锥的底面半径、高都是1，∴几何体的体积V===，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4．（5分）（2017?宁波模拟）如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）A．B．C．D．3【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；41 ：向量法；53 ：导数的综合应用；5G ：空间角．【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系，设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），把异面直线所成角的余弦值化为含有θ的三角函数式，换元后利用导数求最值．【解答】解：如图，不妨以CD在AB前侧为例．以O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），则P（0，0，），D（2sinθ，﹣1+2cosθ，0），∴Q（，，0），∴，设α与AB垂直的向量，则PQ与l所成角为α．则|cosα|=||=||==．令t=cosθ（﹣1＜t＜1），则s=，s′=，令s′=0，得t=8﹣，∴当t=8﹣时，s有最大值为16﹣6．则cosα有最大值为，此时最小值最小为．∴正切值的最小值为=．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量及导数求最值，属难题．5．（5分）（2013?浙江模拟）如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD ﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：（1）异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；（2）D1C⊥AC1；（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点；（4）在棱AA1上不存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的．其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角；LX：直线与平面垂直的性质．【专题】11 ：计算题；14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断（1）的正误；通过直线与平面的位置关系判断（2）的正误；通过直线与平面的平行判断（3）的正误；几何体的体积判断（4）的正误即可．【解答】解：（1）由题意可知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD1C1是等腰直角三角形，A1B1∥C1D1，异面直线A1B1与CD1所成的角为45°，所以（1）正确．（2）由题意可知，AD⊥平面DD1C1C，四边形DD1C1C是正方形，所以D1C⊥DC1，可得D1C⊥AC1；（2）正确；对于（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点，因为DC=DD1=2AD=2AB，如图HG，所以E为中点，正确．（4）设AB=1，则棱柱的体积为：=，当F在A1时，A1﹣BCD的体积为：=，显然体积比为，所以在棱AA1上存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的，所以（4）不正确．正确结果有（1）、（2）、（3）．故选C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的判断，考查空间想象能力计算能力．，，6．（5分）（2011?上饶校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论：①A′C⊥BD；②CA′与平面A′BD所成的角为30°；③∠BA′C=90°；④四面体A′﹣BCD的体积为．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】根据题意，依次分析命题：对于①可利用反证法说明真假，若①成立可得BD⊥A'D，产生矛盾；对于②由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知②的真假；对于③△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°，对于④利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．【解答】解：若①成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故①不正确；由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知②不正确；由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是③正确；，④不正确．其中正确的有1个故选D．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．7．（5分）（2017春?保定期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD上一点，AB=AD=3，AA1=2，CE=1，P是AA1上一点，且DP∥平面AEB1，F是棱DD1与平面BEP的交点，则DF的长为（）A．1 B．C．D．【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】31 ：数形结合；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】在棱AB上取点M，使得BM=1，过点M作MN∥BB1，交AB1于N，连接EM、EN，证明平面EMN∥平面ADD1A1，求出MN的值，由AP=MN得出DP∥平面AEB；再取DG=AP，连接CG，利用平行关系求出DF的长．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB上取点M，使得BM=1，过点M作MN∥BB1，交AB1于N，连接EM、EN，如图所示；则平面EMN∥平面ADD1A1；∵BB1=2AM=2BM，∴MN=，∴当AP=MN=时，DP∥EN，即DP∥平面AEB；∵F是棱DD1与平面BEP的交点，∴EF∥BP；取DG=AP=，连接CG，则CG∥BP，∴EF∥CG，∴DF=DG=．故选：B．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了求线段长的应用问题，是综合题．8．（5分）（2016?丹东二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36π B．48π C．56π D．64π【考点】L!：由三视图求面积、体积；LG：球的体积和表面积．【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；46 ：分割补形法；58 ：解三角形；5F ：空间位置关系与距离．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin∠ACB，由正弦定理求出△ABC 的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：∵该多面体的所有顶点都在球O，且球心O是正方体的中心，∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，由正方体的性质可得，AB=BD==，AC=，设△ABC的外接圆的半径为r，在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ACB===，∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=，由正弦定理可得，2r===2，则r=，即球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=56π，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，正弦定理、余弦定理，以及正方体的性质，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．（5分）（2016?衢州模拟）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点．满足PM=PD，则点P 的轨迹长度是（）A．B．C．D．【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P 是△A′C′D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．【解答】解：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，∵P是△A′C′D内（包括边界）的动点，∴点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，S在4等分点时，SD=3，SM==3，满足SD=SM∴SD=3，TD=2∴ST==．故选：D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查轨迹的求解，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）（2011?山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】5Q ：立体几何．【分析】由三棱柱的三视图中，两个矩形，一个三角形可判断①的对错，由四棱柱的三视图中，三个均矩形，可判断②的对错，由圆柱的三视图中，两个矩形，一个圆可以判断③的真假．本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键．【解答】解：存在正三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条件，故①为真命题；存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故②为真命题；对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故③为真命题；故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键．11．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故答案选C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）（2008?四川）一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（）A． B．C． D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先还原正方体，将对应的字母标出，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，在三角形ABE中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可．【解答】解：还原正方体如右图所示设AD=1，则，AF=1，，AE=3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为，故选D．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．13．（5分）（2008?上海模拟）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ属于集合（）A．{θ|0°＜θ＜40°} B．{θ|40°＜θ＜50°} C．{θ|40°＜θ＜90°} D．{θ|50°＜θ＜90°}【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先将异面直线a，b平移到点P，求出∠BPE的角平分线和∠EPD的角平分线与a和b的所成角，介于两者之间有且只有两条，小于最小的则不存在，大于最大的小于90°则有4条，等于90°有且只有一条．【解答】解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=80°，∠EPD=100°而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为40°，而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为50°当θ∈{θ|40°＜θ＜50°}∴直线与a，b所成的角相等且等于θ有且只有2条，使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，故选B．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．二．解答题（共7小题，满分85分）14．（10分）（2015春?广安校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在四边形ABCD内及其边界上运动，且点P到点B1的距离为．（1）要使A1C1⊥平面BB1P，则点P在何位置？（2）设直线B1P与平面ACD1所成的角为θ，求sinθ的取值范围．【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【专题】31 ：数形结合；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角；5H ：空间向量及应用．【分析】（1）以点B为圆心，以BA为半径画圆弧AC，交BD连线于点P，点P 即为所求，证明B1P=，且A1C1⊥平面BB1P即可；（2）建立空间直角坐标系，求出向量与平面ACD1的法向量所成角的余弦值，即可得出直线B1P与平面ACD1所成角θ的正弦值取值范围．【解答】解：（1）根据题意，以点B为圆心，以BA为半径画圆弧AC，交BD连线于点P，如图所示，则点P即为所求．∵BP=BA=1，∴B1P=；又BD⊥AC，AC∥A1C1，∴BP⊥A1C1；又BB1⊥A1C1，且BC∩BB1=B，∴A1C1⊥平面BB1P；（2）建立如图所示的空间直角坐标系；则B（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（0，1，0），B1（0，0，1），D1（﹣1，1，1），设点P（cosα，sinα，0），则α∈[，π]；∴=（1，1，0），=（0，1，1），=（cosα，sinα，﹣1）；设平面ACD1的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则y=﹣1，z=1，∴=（1，﹣1，1）；∴cos＜，＞===；∵α∈[，π]，∴α+∈[，]，∴cos（α+）∈[﹣1，﹣]，∴cos（α+）﹣1∈[﹣﹣1，﹣2]；∴cos＜，＞∈[，]，∵直线B1P与平面ACD1所成的角θ，∴sinθ=|cos＜，＞|∈[，]，sinθ的取值范围是[，]．【点评】本题考查了空间直线与平面垂直的判断问题，也考查了空间角的计算问题，是综合性题目．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．（10分）（2013?重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】16 ：压轴题；5F ：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA ⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD 的高的．求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P﹣BDF的体积 V=V P﹣BCD﹣V F﹣BCD=﹣，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由，∴BD⊥AC．再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．△BCD的面积S△BCD=BC?CD?sin∠BCD==．∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=V P﹣BCD﹣V F﹣BCD=﹣=×==．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．16．（10分）（2010?宿城区校级模拟）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．（Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；（Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题；16 ：压轴题；35 ：转化思想．【分析】（Ⅰ）根据题意建立空间直角坐标系，通过法向量求出平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值．（Ⅱ）假设在DE存在一点P，设出坐标，根据CP⊥面DEF，得到所以与平面DEF的法向量n2共线，求出λ，得到DP即可．【解答】解：以O为原点，OB，OC，Oz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，C（0，，0），D（1，0，1），E（0，，3），F（﹣1，0，2）．（Ⅰ）平面ABC的法向量为n1=（0，01）．设平面DEF的法向量为n2=（x，y，z），=（﹣1，，2）．由得所以取x=1，得n2=（1，﹣，2）．所以cos＜m1，m2＞===，所以平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为．（Ⅱ）假设在DE存在一点P，设P（x，y，z），因为=λ，故（x﹣1，y，z﹣1）=λ（﹣1，，2），所以P（﹣λ+1，λ，2λ+1），所以CP=（﹣λ+1，λ﹣，2λ+1）．因为平CP⊥面DEF，所以与平面DEF的法向量n2共线，所以==，解得λ=，所以=，即|DP|=|DE|，所以DP=．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，以及与二面角相关的立体几何问题综合运用．通过数形结合，以及对知识的综合考查，达到考查学生基本能力的目的，属于中档题．17．（10分）（1980?全国）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．【考点】L3：棱锥的结构特征．【专题】11 ：计算题；14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】（1）先由AA'⊥平面A'B'C'D'，可转化为AA'⊥B'D'，又AE⊥B'D'，由线面垂直的判断定理可得B'D'⊥平面AA'E，得证．（2）先由等面积法A'B'?A'D'=A'E?B'D'求得A'E，再由勾股定理求得AE．【解答】（1）证明：AA'⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，因此B'D'⊥A'E（2）解：A'B'?A'D'=A'E?B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）∴6×8=A'E×，∴A'E=4.8∴AE=．【点评】本题主要考查长方体的结构特征，主要涉及了线线，线面，面面垂直的关系，以及基本量的关系．属中档题．18．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E、F、G分别是棱AB、AD、D1A1的中点．（1）求证：BG∥平面A1EF：（2）若P为棱CC1上一点，求当等于多少时，平面A1EF⊥平面EFP？【考点】LZ：平面与平面垂直的性质；LS：直线与平面平行的判定．【专题】35 ：转化思想；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】（1）连接BD、DG，证明平面BGD∥平面A1EF，再证明BG∥平面A1EF；（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用平面A1EF的法向量与平面EFP的法向量互相垂直，即可求出的值．【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱AB、AD、D1A1的中点，连接BD、DG，则EF∥BD，GD∥A1F，又BD?平面A1EF，EF?平面A1EF，所以BD∥平面A1EF；同理，GD∥平面A1EF，且BD∩GD=D，BD?平面BGD，GD?平面BGD，所以平面BGD∥平面A1EF，又BG?平面BGD，所以BG∥平面A1EF；（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，CP=t（0≤t≤1），A1（1，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），E（1，，0），F（，0，0），P（0，1，t）；=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，1），设平面A1EF的法向量为=（x，y，z），则，即，取x=1，得=（1，﹣1，﹣）；又=（﹣1，，t），设平面EFP的法向量为=（a，b，c），则，即，取a=1，得=（1，﹣1，），又平面A1EF⊥平面EFP，所以?=1+1﹣=0，解得t=，所以CP=，即=时，平面A1EF⊥平面EFP．【点评】本题考查了异面直线垂直的证明，也考查了直线与平面平行的证明以及使二面角为直二面角的线段的比值的求法问题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（15分）（2011?湖南学业考试）ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（1）求证：平面ACD⊥平面PAC；（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（3）设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，试求tanθ的值．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LM：异面直线及其所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【专题】11 ：计算题；14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】（1）由已知中，PA⊥面ABCD，结合面面垂直的判定定理，我们易得平面ACD⊥平面PAC；（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，则OE∥PC，则直线PC与BD所成角等于直线OE与BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．（3）A作AG⊥PC交PC于G，过G作GF⊥PC交PB于F，连接AF．则二面角A﹣PC﹣B的平面角为∠AGF，解三角形AGF，即可得到答案．【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，PA?平面PAC∴平面ACD⊥平面PAC；解：（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：∵O为BD的中点，则EO=PC==，且OE∥PC又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．∴OB=BD=，BE=∴|cos∠EOB|==；即异面直线PC与BD所成角的余弦值为；（3）过A作AG⊥PC交PC于G，过G作GF⊥PC交PB于F，连接AF．则二面角A﹣PC﹣B的平面角为∠AGF即∠AGF=θ．在Rt△APC中，PC=，∴，在△PBC中，PB=，BC=2，∴，∴，∴在Rt△PGF中，，∴在△PGF中，PF=，∴AF=1，在△AGF中，，∴【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求示，其中求二面角，关键是要找到二面角的平面角，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题．20．（18分）（2016春?包头校级期末）如图，△ABC各边长均为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）证明：平面ADF⊥平面BCD；（2）求三棱锥C﹣DEF的体积；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【专题】41 ：向量法；4R：转化法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可．（2）证明EH是三棱锥E﹣CDF的高，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．（3）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．【解答】解：（1）证明：连接EF交CD于H，则EF是△ABC的中位线，在正△ABC中，AD⊥CD，BD⊥CD，折叠后，AD⊥CD，BD⊥CD且AD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，又AD?平面ADF∴平面ADF⊥平面BCD；（2）由（1）知AD⊥平面BCD，EH∥AD，∴EH⊥平面BCD，即EH⊥平面CDF，则EH是三棱锥E﹣CDF的高，且EF=AD=，则V C﹣DEF=V E﹣CDF=S△CDF?EH=×CD?FH?EH=×2×1×1=．（3）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，，1），F（1，，0），=（0，，1），设=λ（﹣2，2，0），则=+=（2，0，﹣2）+（﹣2λ，2λ，0）=（2﹣2λ，2λ，﹣2），若AP⊥DE，则?=（2﹣2λ，2λ，﹣2）?（0，，1）=0，即6λ﹣2=0，则λ=，即=．【点评】本题主要考查面面垂直的判断，三棱锥体积的计算以及直线垂直的应用，建立空间坐标系，利用向量法把直线垂直转化为向量垂直是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．。

高中数学必修2立体几何部分试卷（时间：40分钟 满分：50分）一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

）1、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个3、正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为 （ ）A ．41B ． 21C ．43D ．49 4、右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ ）5、已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（ ）A ．2B ．25C ．3D ．27 二、填空题（每小题4分，共12分） 6、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为cm 2．7、如右图．M 是棱长为2cm 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是 cm ．8、右图所示△AOB 的直观图，则其原来平面图形的面积是_______三、解答题(共18分,要求写出必要的证明、解答过程)9、如图所示：已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为a ，底面边长为a ，E 是SA 的中点，求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值。

（8分） 45B O A 2210、如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右边画出（单位：cm ）。

（1）画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。

（10分）必修2立体几何部分试卷答案题号 12 3 4 5 答案 D D C D A6、2+427、 178、 49、解：连接AC 、BD 交于点0，连接EO.224侧视图正视图624G F C'B'D'C A D∵E 为SA 的中点，O 为AC 的中点,∴EO ∥SC （3分）∴∠BEO 为异面直线BE 、SC 所成的角（或其补角） （1分） 又∵正四棱锥S —ABCD 侧棱长为a ，底面边长为a∴EO=21SC=21a, BE=23a, OB=22a 在△EBO 中 EO 2+OB 2=BE 2 ∴△EBO 为Rt △. （2分） COS ∠BEO=33=BE OE （1分） ∴异面直线BE 、SC 所成的角的余弦值为33。

高中数学立体几何测试题（理科）一、选择题：1．下列说法不正确的是A 圆柱的侧面展开图是一个矩形B 圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D 圆台平行于底面的截面是圆面2、下面表述正确的是A、空间任意三点确定一个平面B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面C、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D、不共线的四点确定一个平面3、“a、b是异面直线”是指①a∩b=∅，且a和b不平行；②a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β=∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b=∅；④a⊂平面α，b ⊄平面α；⑤不存在平面α，使得a⊂平面α，且b⊂平面α都成立。

上述说法正确的是A ①④⑤B ①③④C ②④D ①⑤4、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是A、垂直B、平行C、相交不垂直D、不确定5、下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。

A 、0B 、1C 、2D 、36、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A 、异面B 、相交C 、平行D 、不确定 7、直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是A 、a α⊥B 、//a αC 、a α⊆D 、a α⊆或//a α 8、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定 9．已知二面角α－AB －β为︒30，P 是平面α内的一点，P 到β的距离为1．则P 在β内的射影到AB 的距离为（ ）． A ．23B ．3C ．43 D ．2110、若,m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 二、填空题：11、三条两两相交的直线可确定12．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2。

必修2空间立体几何大题一．解答题（共18小题）1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．9．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．10．如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面BCD⊥平面ABC．11．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．12．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．13．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC 与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．18．如图：是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE的体积．必修2空间立体几何大题参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2015?北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．解答：（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴V C﹣VAB=?S△VAB=，∴V V﹣ABC=V C﹣VAB=．点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．2．（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用V P﹣ABC=?S△ABC?PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PA于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．解答：（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S△ABC==．因为PA⊥平面ABC，PA=1，所以V P﹣ABC=?S△ABC?PA=；（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM?平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB?cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．点评：本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．（2015?黑龙江）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．解答：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．点评：本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（2015?湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE?底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．点评：本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．5．（2015?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．6．（2015?重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF．（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE≌△ABC，求得S△AFE=S△ABC，由AD=AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（Ⅰ）知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积V P﹣DFBC=S DFBC?PE=7，即可解得线段BC的长．解答：解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE?平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．因为∠ABC=，EF∥BC，故AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PEF．（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB==，从而S△ABC=AB?BC=x，由EF∥BC知，得△AFE≌△ABC，故=（）2=，即S△AFE=S△ABC，由AD=AE，S△AFD==S△ABC=S△ABC=x，从而四边形DFBC的面积为：S DFBC=S△ABC﹣S AFD=x﹣x=x．由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高．在直角△PEC中，PE===2，故体积V P﹣DFBC=S DFBC?PE=x=7，故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3．所以：BC=3或BC=3．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．7．（2015?福建）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO．（Ⅱ）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值．（Ⅲ）可求PB===PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E为PB中点，从而可求OC′=OE+EC′==，从而得解．解答：解：（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO，又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC，因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO．（Ⅱ）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，又AB=2，所以△ABC面积的最大值为，又因为三棱锥P﹣ABC的高PO=1，故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：．（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB==，同理PC=，所以PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示，当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，又因为OP=OB，C′P=C′B，所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点．从而OC′=OE+EC′==．亦即CE+OE的最小值为：．点评：本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．8．（2015?河北）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，∴BE=x，∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．点评：本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．9．（2015?天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F 分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B?平面A1B1BA，EF?平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE?平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．10．（2015?醴陵市）如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面BCD⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．解答：证明：（1）因为M，N分别是AC，AD的中点，所以MN∥CD．又MN?平面BCD且CD?平面BCD，所以MN∥平面BCD；（2）因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以AB⊥CD．又CD⊥BC，AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．又CD?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ABC．点评：本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查空间直线和平面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．11．（2015?葫芦岛一模）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；（2）V F﹣BCE=V C﹣BEF=?S△BEF?CE=??EF?BF?CE，即可求出三棱锥F﹣BCE的体积．解答：（1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，∴AB⊥CE∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B∴CE⊥平面ABE，∵BF?平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，∵AC?平面AEC，∴BF⊥AC…（6分）（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=，BC=2又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=，∴BF?AE=AB?BE，∴BF=，∴EF=∴V F﹣BCE=V C﹣BEF=?S△BEF?CE=??EF?BF?CE=????1=…（12分）点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F﹣BCE的体积的计算，属于中档题．12．（2015?商丘三模）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…（3分）又CD?平面BCDA，故EC⊥CD…（4分）（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…（6分）∵DM?平面BDE，AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分）（Ⅲ）解：…（10分）=…（12分）点评：本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．13．（2015?南昌模拟）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）可由三角形的中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行．（2）先证明MD⊥底面BCD，进而可计算出体积．解答：（1）证明：∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP．而AP?平面PAC，MD?平面PAC，∴MD∥平面PAC．（2）解：∵△PMB为正三角形，PD=DB，∴MD⊥PB．∵MD∥AP，AP⊥PC，∴MD⊥PC．又PC∩PB=P，∴MD⊥平面PBC．即MD为三棱锥M﹣BCD的高．由AB=20，∴MB=10，BD=5，∴MD=5．在Rt△PCB中（因为AC⊥BC，所以PC⊥BC），由勾股定理得PC==2．于是S△BCD=S△BCP×==．∴V三棱锥D﹣BCM=V三棱锥M﹣BCD==10．点评：利用三角形的中位线定理证明线线平行是证明线面平行常用的方法之一．先证明线面垂直是求体积的关键．14．（2015?沈阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴（还可以用VP-ABD-VE-ABD）==．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．（2015?上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．解答：（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B1C1=，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q、QR、QP两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．点评：本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16．（2015?凯里市校级模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC1交A1C于点F，连结DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）由已知得AA1⊥CD，CD⊥AB，从而CD⊥平面ABB1A1．由此能求出三菱锥C﹣A1DE的体积．解答：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF．因为DF?平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D．所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（2015?东城区一模）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；（Ⅲ）存在，G为劣弧的中点．连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论．解答：（Ⅰ）证明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD为正三角形，又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO…（1分）∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．…（3分）又CB?平面ABC，∴CB⊥DE．…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE为三棱锥D﹣BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．…（6分）∵，∴==．…（8分）（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点．…（9分）证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，∵OG?平面ACD，∴OG∥平面ACD．…（10分）在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，OF?平面ACD，∴OF∥平面ACD，…（11分）∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD．…（12分）点评：本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．18．（2015?威海模拟）如图：是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明BD⊥DF，DF⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面CFD，然后证明面BCE⊥面CDF．（Ⅱ）连接OQ，通过证明RQ∥OM，然后证明QR∥平面BCD．（Ⅲ）利用v F﹣BCE=v F﹣BCD﹣v E﹣BCD求解几何体的体积即可．解答：（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵DF=2，，，∴BF2=BD2+DF2，∴BD⊥DF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴DF⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面CFD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵BC?面BCE∴面BCE⊥面CDF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）连接OQ，在面CFD内过R点做RM⊥CD，∵O，Q为中点，∴OQ∥DF，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵DF⊥CD∴RM∥FD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又FR=3RC，∴，∴，∵E为FD的中点，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴OQ∥RM，且OQ=RM∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）∵，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD中有，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（或求VB-FCE 1/3*1/2*FE*CD*BC）点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．。

第八章 立体几何初步 综合测试(原卷版)考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱柱有a 个顶点，b 条棱，则a －b ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－42．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为( )A ．49π2B ．49πC ．81π2D ．81π4．空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，那么这四点中( ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线5．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件可以是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β垂直于同一条直线 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一个平面6．E ，F ，G 分别是空间四边形ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面P AD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是()A．空间四边形B．矩形C．梯形D．平行四边形8．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(7≈2.65)() A．1.0×109 m3B．1.2×109 m3C．1.4×109 m3D．1.6×109 m3二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是()A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台10．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是()A．A1M∥D1P B．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB112．如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为侧棱P A、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有()A．PC∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥P A D．PD⊥平面OMN三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．14．将长为3，宽为2的长方形，绕其一边旋转成的几何体的表面积为____．15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为___厘米．16．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为____．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，圆锥底面半径为1，高为3．(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD．20．(本小题满分12分)(2020·江苏卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．21．(本小题满分12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1．(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；(2)若二面角A1－DC－A为45°．①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．。

14高中数学必修2 立体几何考题13. 如图所示，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 、N 分别是 A 1B 1，B 1C 1 的中点．问：(1) AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2) D 1B 和 CC 1 是否是异面直线？说明理由．解析：(1)由于 M 、N 分别是 A 1B 1 和 B 1C 1 的中点，可证明 MN ∥AC ，因此 AM 与 CN 不是异面直线．(2)由空间图形可感知 D 1B 和 CC 1 为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题， 这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M 、N 分别是 A 1B 1、B 1C 1 的中点，∴MN ∥A 1C 1.又∵A 1A ∥D 1D ，而 D 1D 綊 C 1C ，∴A 1A 綊 C 1C ，∴四边形 A 1ACC 1 为平行四边形．∴A 1A ∥AC ，得到 MN ∥AC ，∴A 、M 、N 、C 在同一个平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设 D 1B 与 CC 1 在同一个平面 CC 1D 1 内，则 B ∈平面 CC 1D 1，C ∈平面 CC 1D 1.∴BC ⊂平面 CC 1D 1，这与在正方体中 BC ⊥平面 CC 1D 1 相矛盾，∴假设不成立，故 D 1B 与 CC 1 是异面直线．14. 如下图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AB 的中点，N 为 BB 1 的中点，O 为面 BCC 1B 1 的中心．(1) 过 O 作一直线与 AN 交于 P ，与 CM 交于 Q (只写作法，不必证明)；(2) 求 PQ 的长(不必证明)．解析：(1)由 ON ∥AD 知，AD 与 ON 确定一个平面 α.又 O 、C 、M 三点确定一个平面 β(如下图所示)．∵三个平面 α，β 和 ABCD 两两相交，有三条交线 OP 、CM 、DA ，其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面．∴DA 与 CM 必相交，记交点为 Q .∴OQ 是 α 与 β 的交线．连结 OQ 与 AN 交于 P ，与 CM 交于 Q ，故 OPQ 即为所作的直线．(2)解三角形 APQ 可得 PQ ＝ . 15. 如图，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ＝BC ＝B 1B ＝a ，∠ABC ＝90°，D 、E分别为BB1、AC1的中点．(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离．解析：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为2.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E 作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.又D、E 分别是BB1、MM1的中点，可得DE 綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC 得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线．解法二：如图，延长C1D、CB 交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F 的中点，B 是CF 的中点，又E 是AC1的中点，所以DE∥AF.在△ACF 中，由AB＝BC＝BF 知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AF⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线．(3)由(2)知线段DE 的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，2a.所以DE＝2反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行．16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，M 分别是BD1，AA1的中点．(1)求证：MO 是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离．解析：(1)证明：∵O 是BD1的中点，∴O 是正方体的中心，∴OA＝OA 1，又M 为AA1的中点，即OM 是线段AA1的垂直平分线，故OM⊥AA1.连结MD1、BM，则可得MB＝MD1.同理由点O 为BD1的中点知MO⊥BD1，即MO 是异面直线AA1和BD1的公垂线．33333 2(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角．在Rt△BB1D1中，设BB1＝1，则BD1＝3，所以cos∠B1BD1＝，故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO 的长，1 a由于OA＝AC1＝a，AM＝，且OM⊥AM，所以OM＝a.2 2 2 213.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥ABCD.证明：解法一：分别过E、F 作EM⊥AB 于M，FN⊥BC 于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又B1E＝C1F，∴EM＝FN，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF∥MN，又MN 在平面ABCD 中，所以EF∥平面ABCD.解法二：过E 作EG∥AB 交BB1于G，B1E B1G连结GF，则1＝1，B A B B∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，C1F B1G∴1＝1，∴FG∥B1C1∥BC.C B B B又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.14.如下图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.过BD 作与PA 平行的平面，交侧棱PC 于点E，又作DF⊥PB，交PB 于点F.(1)求证：点E 是PC 的中点；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明：(1)连结AC，交BD 于O，则O 为AC 的中点，连结EO.∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，∴PA∥OE.∴点E 是PC 的中点；(2)∵PD⊥底面ABCD 且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴DE⊥PC，①又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD 是正方形，CD⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC.∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，22AB6 3∴DE⊥PB，又DF⊥PB 且DE∩DF＝D，所以PB⊥平面EFD.15.如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A、B 在l1上，C在l2上，AM＝MB＝MN.(1)求证AC⊥NB；(2)若∠ACB＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．证明：(1)如图由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1＝M，可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1，AM＝MB＝MN，可知AN＝NB 且AN⊥NB.又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，∴AC⊥NB.(2)∵Rt△CNA≌Rt△CNB，∴AC＝BC，又已知∠ACB＝60°，因此△ABC 为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC＝NA＝NB，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心．连结BH，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt△NHB 中，3HB 3ABcos∠NBH＝NB＝＝.16.如图，在四面体ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F 分别是AB、BD 的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：(1)在△ABD 中，∵E、F 分别是AB、BD 的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF✪平面ACD，∴直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD 中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD 中，∵CD＝CB，F 为BD 的中点，∴CF⊥BD.∵EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF 与CF 交于点F，∴BD⊥平面EFC.又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.13.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB.(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)求二面角B－PC－D 的余弦值．5 6 解析：(1)证明：∵PA ⊥平面 ABCD ，∴PA ⊥BD .∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∴BD ⊥平面 PAC ，又 BD 在平面 BPD 内，∴平面 PAC ⊥平面 BPD . (2)在平面 BCP 内作 BN ⊥PC ，垂足为 N ，连结 DN ，∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由 BN ⊥PC 得 DN ⊥PC ；∴∠BND 为二面角 B －PC －D 的平面角，在△BND 中，BN ＝DN ＝ a ，BD ＝ 2a ， 5 5 a 2＋ a 2－2a 2 6 6 ∴cos ∠BND ＝ 5 a 2 31 ＝－ . 5 14. 如图，已知 ABCD －A 1B 1C 1D 1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA 1 上，点 F 在 CC 1 上，G 在 BB 1 上，且 AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是 B 1C 1 的中点．(1) 求证：E 、B 、F 、D 1 四点共面；(2)求证：平面 A 1GH ∥平面 BED 1F .证明：(1)连结 FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG 綊 A 1E ，∴A 1G 綊 BE .∵C 1F 綊 B 1G ，∴四边形 C 1FGB 1 是平行四边形．∴FG 綊 C 1B 1 綊 D 1A 1，∴四边形 A 1GFD 1 是平行四边形．∴A 1G 綊 D 1F ，∴D 1F 綊 EB ，故 E 、B 、F 、D 1 四点共面． 3 (2) ∵H 是 B 1C 1 的中点，∴B 1H ＝ . 2 又 B 1G ＝1，∴ B 1G 3 ＝ . B 1H 2 FC 2 又 ＝ ，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， BC 3∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知 A 1G ∥BE ，且 HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面 A 1GH ∥平面 BED 1F .15. 在三棱锥 P －ABC 中，PA ⊥面 ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为 BC 、AC 的中点，设 AB ＝PA ＝2.(1) 求证：平面 PBE ⊥平面 PAC ；(2) 如何在 BC 上找一点 F ，使 AD ∥平面 PEF ，请说明理由；(3) 对于(2)中的点 F ，求三棱锥 B －PEF 的体积．解析：(1)证明：∵PA ⊥面 ABC ，BE ⊂面 ABC ，∴PA ⊥BE .∵△ABC 是正三角形，E 为 AC 的中点，∴BE ⊥AC ，又 PA 与 AC 相交，∴BE ⊥平面 PAC ，∴平面 PBE ⊥平面 PAC .(2) 解：取 DC 的中点 F ，则点 F 即为所求．， 3 3 6 2 2 3 3 3∵E ，F 分别是 AC ，DC 的中点，∴EF ∥AD ，又 AD ✪平面 PEF ，EF ⊂平面 PEF ，∴AD ∥平面 PEF . 1 1 1 3 (3) 解 ：V B －PEF ＝V P －BEF ＝ S △BEF ·PA ＝ × × × ×2＝ . 3 3 2 2 2 416．(2009·天津，19)如图所示，在五面体 ABCDEF 中，FA ⊥平面 ABCD ，AD ∥BC ∥FE ， 1 AB ⊥AD ，M 为 CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝ AD . 2(1) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(2) 求证：平面 AMD ⊥平面 CDE ；(3) 求二面角 A －CD －E 的余弦值．解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线 BF与 DE 所成的角．设 P 为 AD 的中点，连结 EP ，PC .因为 FE 綊 AP ，所以 FA綊 EP .同理，A B 綊 PC .又 FA ⊥平面 ABCD ，所以 EP ⊥平面 ABCD .而 PC ，AD都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，E P ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a则 EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝ 故∠CED ＝60°.2a .所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°.(2) 证明：因为 DC ＝DE 且 M 为 CE 的中点，所以 DM ⊥CE .连结 MP ，则 MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故 CE ⊥平面 AMD .而 CE ⊂平面 CDE ，所以平面 AMD ⊥平面 CDE .(3) 设 Q 为 CD 的中点，连结 PQ ，EQ .因为 CE ＝DE ，所以 EQ ⊥CD .因为 PC ＝PD ，所以 PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角 A －CD －E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝ a ，PQ ＝ a . PQ 于是在 Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝ ＝ .EQ 3 所以二面角 A －CD －E 的余弦值为 . 13．(2009·重庆)如图所示，四棱锥 P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面 ABCD ，PA 1 1 ＝AD ＝DC ＝ AB ＝1，M 为 PC 的中点，N 点在 AB 上且 AN ＝ NB .2 3(1) 求证：MN ∥平面 PAD ；(2) 求直线 MN 与平面 PCB 所成的角．解析：(1)证明：过点 M 作 ME ∥CD 交 PD 于 E 点，连结 AE . 1 ∵AN ＝ NB ， 3 1 1 ∴AN ＝ AB ＝ DC ＝EM .4 2又 EM ∥DC ∥AB ，∴EM 綊 AN ，∴AEMN 为平行四边形，∴MN ∥AE ，∴MN ∥平面 PAD .(2)解：过 N 点作 NQ ∥AP 交 BP 于点 Q ，NF ⊥CB 于点 F .连结 QF ，过 N 点作 NH ⊥QF 于 H ，连结 MH ，易知 QN ⊥面 ABCD ，∴QN ⊥BC ，而 NF ⊥BC ，∴BC ⊥面 QNF ，∵BC ⊥NH ，而 NH ⊥QF ，∴NH ⊥平面 PBC ，∴∠NMH 为直线 MN 与平面 PCB 所成的角．2 2 6 2 2 10 10 5 2 10 53 3 通过计算可得 MN ＝AE ＝ ，QN ＝ ，NF ＝ 2，4 4 QN ·NF ON ·NF ∴NH ＝ ＝ ＝ ，QF QN 2＋NF 2 4 NH 3 ∴sin ∠NMH ＝ ＝ ，∴∠NMH ＝60°，MN 2∴直线 MN 与平面 PCB 所成的角为 60°.14．(2009·广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AD ⊥BD ， AD ＝BD ＝a ，E 是 CC 1 的中点，A 1D ⊥BE .(1) 求证：A 1D ⊥平面 BDE ；(2) 求二面角 B －DE －C 的大小．解析：(1)证明：在直平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，∵AA 1⊥平面 ABCD ，∴AA 1⊥BD .又∵BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面 ADD 1A 1，即 BD ⊥A 1D .又∵A 1D ⊥BE 且 BE ∩BD ＝B ，∴A 1D ⊥平面 BDE .(2)解：如图，连 B 1C ，则 B 1C ⊥BE ，易证 Rt △BCE ∽Rt △B 1BC ，CE BC ∴ ＝ 1 ，又∵E 为 CC 1 中点， BC ∴BC 2 B B 1BB 21.BB 1＝ ＝ 22BC ＝ 2a .取 CD 中点 M ，连结 BM ，则 BM ⊥平面 CC 1D 1C ，作 MN ⊥DE 于 N ，连 NB ，由三垂线定理知：BN ⊥DE ，则∠BNM 是二面角 B －DE －C 的平面角． BD ·BC 在 Rt △BDC 中，BM ＝ DC ＝ a ， Rt △CED 中，易求得 MN ＝ a ， BM Rt △BMN 中，tan ∠BNM ＝ ＝ 5， MN则二面角 B －DE －C 的大小为 arctan 5.15．如图，已知正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点．(1) 求直线 B 1C 与 DE 所成的角的余弦值；(2) 求证：平面 EB 1D ⊥平面 B 1CD ；(3) 求二面角 E －B 1C －D 的余弦值．解析：(1)连结 A 1D ，则由 A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与 DE 所成的角即为 A 1D 与 DE 所成的角． 连结 A 1E ，由正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为 a ，则 A 1D ＝ ∴cos ∠A 1DEA 1D 2＋DE 2－A 1E 2 2a ，A 1E ＝DE ＝ a ， ＝ 2·A 1D ·DE ＝ . 10∴直线 B 1C 与 DE 所成角的余弦值是 5. (2)证明取 B 1C 的中点 F ，B 1D 的中点 G ，连结 BF ，EG ，GF .∵CD ⊥平面 BCC 1B 1，3 3 33 ＝ 且 BF ⊂平面 BCC 1B 1，∴DC ⊥BF .又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ，∴BF ⊥平面 B 1CD . 1 1 又 ∵GF 綊 CD ，BE 綊 CD ，2 2∴GF 綊 BE ，∴四边形 BFGE 是平行四边形，∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面 B 1CD .∵GE ⊂平面 EB 1D ，∴平面 EB 1D ⊥平面 B 1CD .(3)连结 EF .∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C .又∵GE ⊥平面 B 1CD ，∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角 E －B 1C －D 的平面角． 设正方体的棱长为 a ，则在△EFG 中，1 GF ＝ a ，EF ＝ a ，2 2 FG ∴cos ∠EFG ＝EF ＝ ， 3∴二面角 E －B 1C －D 的余弦值为 3 . 16．(2009·全国Ⅱ，18)如图所示，直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为 AA 1、 B 1C 的中点，DE ⊥平面 BCC 1.(1) 求证：AB ＝AC ；(2) 设二面角 A －BD －C 为 60°，求 B 1C 与平面 BCD 所成的角的大小．解析：(1)证明：取 BC 中点 F ，连结 EF ， 1则 EF 綊 2B 1B ，从而 EF 綊 DA . 连结 AF ，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF ∥DE .又 DE ⊥平面 BCC 1，故 AF ⊥平面 BCC 1，从而 AF ⊥BC ，即 AF 为 BC 的垂直平分线， 所以 AB ＝AC .(2)解：作 AG ⊥BD ，垂足为 G ，连结 CG .由三垂线定理知 CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面 2 角 A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设 AC ＝2，则 AG ＝ .又 AB ＝2，BC ＝2 2，故 AF ＝ 2. 由AB ·AD ＝AG ·BD 得 2AD 2 · 3AD 2＋22， 解得 AD ＝ 2，故 AD ＝AF .又 AD ⊥AF ，所以四边形 ADEF 为正方形．因为 BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故 BC ⊥平面 DEF ，因此平面 BCD ⊥平面 DEF . 连结 AE 、DF ，设 AE ∩DF ＝H ，则 EH ⊥DF ，EH ⊥平面 BCD .连结 CH ，则∠ECH 为 B 1C 与平面 BCD 所成的角．4 17 17 16 17 17 6 因 ADEF 为正方形，AD ＝ 2，故 EH ＝1，又 EC 1 B C ＝2， ＝ 1 2所以∠ECH ＝30°，即 B 1C 与平面 BCD 所成的角为 30°.13. 在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面边长为2的中点．(1) 求证：平面 B 1EF ⊥平面 BDD 1B 1；(2) 求点 D 1 到平面 B 1EF 的距离 d .2，侧棱长为 4，E 、F 分别为棱 AB 、BC分析：(1)可先证 EF ⊥平面 BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由 B 1D 1∥BD ， 将点进行转移：D 1 点到平面 B 1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4 倍，先求 B点到平面 B 1EF 的距离即可．解答：(1)证明：E rr o r !⇒EF ⊥平面 BDD 1B 1⇒平面 B 1EF ⊥平面 BDD 1B 1. (2)解：解法一：连结 EF 交 BD 于 G 点．∵B 1D 1＝4BG ，且 B 1D 1∥BG ，∴D 1 点到平面 B 1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4倍． 利用等积法可求．由题意可知，EF 1 AC ＝2，B G ＝ 17. S △B EF ＝ 2 1 1 EF ·B G 1 2× 17＝ 17，1 ＝2 1 S BE ·BF 1 ＝ × 2 1 △BEF ＝ ＝ × 2 2∵VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ， 设 B 到面 B EF 的距离为 h 1 17×h 1 1×4，1 ∴h 1＝ . 1，则 × 3 1＝ × 3 ∴点 D 1 到平面 B 1EF 的距离为 h ＝4h 1＝ . 1 解法二：如图，在正方形 BDD 1B 1 的边 BD 上取一点 G ，使 BG ＝ BD ， 4连结 B 1G ，过点 D 1 作 D 1H ⊥B 1G 于 H ，则 D 1H 即为所求距离． 16 17可求得 D 1H ＝ 17(直接法)． 14. 如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱CC 1＝2，∠BAC ＝90°，AB ＝AC＝ 2，M 是棱 BC 的中点，N 是 CC 1 中点．求：(1) 二面角 B 1－AN －M 的大小；(2) C 1 到平面 AMN 的距离．解析：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝ ∴AM ⊥BC ，BC ＝2，AM ＝1.∴AM ⊥平面 BCC 1B 1.∴平面 AMN ⊥平面 BCC 1B 1.2，M 是棱 BC 的中点，作 B 1H ⊥MN 于 H ，HR ⊥AN 于 R ，连结 B 1R ，∴B 1H ⊥平面 AMN .又由三垂线定理知，B 1R ⊥AN .∴∠B 1是二面角 B 1－AN －M 的平面角．由已知得 AN ＝ 3 23，MN ＝ 2，B 1M ＝ 5＝B 1N ， 则 B 1H ＝ 2 ， RH HN 又 Rt △AMN ∽Rt △HRN ， ＝ ，∴RH ＝ .AM AN 6 2× 2＝1.7 10 5 ∴B 1R ＝14 RH 3 ，∴cos ∠B 1RH ＝ 1 ＝ . B R 14 7∴二面角 B 1－AN －M 的大小为 arccos 14. (2)∵N 是 CC 1 中点，∴C 1 到平面 AMN 的距离等于 C 到平面 AMN 的距离． 设 C 到平面 AMN 的距离为 h ，由 V C －AMN ＝V N －AMC 1 1 1 1 得 × ·MN ·h ＝ × AM ·MC . 3 2 3 2 2∴h ＝ 2. 15．(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形，且 AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4. (1) 求证：BC ⊥PC ；(2) 求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值；(3) 求点 A 到平面 PBC 的距离．解析：(1)证明：如图，在直角梯形 ABCD 中，∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2，∴∠ADC ＝90°，且 AC ＝2 2.取 AB 的中点 E ，连结 CE ，由题意可知，四边形 ABCD 为正方形，∴AE ＝CE ＝2. 1 1 又∵BE ＝ AB ＝2.∴CE ＝ AB ，2 2∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ⊥BC .又∵PA ⊥平面 ABCD ，且 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影，BC ⊂平面 ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC .(2) 由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面 PAC .PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影，∴∠CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角．又 CB ＝2 2，PB 2＝PA 2＋AB 2＝20，PB ＝2 5， BC 10 ∴sin ∠CPB ＝PB ＝ 5，即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 . (3) 由(2)可知，BC ⊥平面 PAC ，BC ⊂平面 PBC ，∴平面 PBC ⊥平面 PAC .过 A 点在平面 PAC 内作 AF ⊥PC 于 F ，∴AF ⊥平面 PBC ，∴AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离．在直角三角形 PAC 中， PA ＝2，AC ＝2 2，2 63 2 6 36 PC ＝2 3，∴AF ＝ . 即点 A 到平面 PBC 的距离为 . 16．(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥 P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面 ABCD ， PA ＝2，∠PDA ＝45°，点 E 、F 分别为棱 AB 、PD 的中点．(1) 求证：AF ∥平面 PCE ；(2) 求二面角 E －PD －C 的大小；(3) 求点 A 到平面 PCE 的距离． 解析：(1)证明：如图取 PC 的中点 G ，连结 FG 、EG ，∴FG 为△PCD 的中位线， 1 ∴FG ＝ CD 且 FG ∥CD . 2又∵底面四边形 ABCD 是正方形，E 为棱 AB 的中点， 1 ∴AE ＝ CD 且 AE ∥CD ， 2∴AE ＝FG 且 AE ∥FG .∴四边形 AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG .又 EG ⊂平面 PCE ，AF ✪平面 PCE ，∴AF ∥平面 PCE .(2)解：∵PA ⊥底面 ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD .又 AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面 PAD .又∵AF ⊂平面 PAD ，∴CD ⊥AF .又 PA ＝2，∠PDA ＝45°，∴PA ＝AD ＝2.∵F 是 PD 的中点，∴AF ⊥PD .又∵CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面 PCD .∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面 PCD .又 GF ⊥PD ，连结 EF ，则∠GFE 是二面角 E －PD －C 的平面角．在 Rt △EGF 中 ，EG ＝AF ＝ 2，GF ＝1，GE ∴tan ∠GFE 2.＝ ＝ GF∴二面角 E －PD －C 的大小为 arctan 2.(3)设 A 到平面 PCE 的距离为 h ， 1 1 1 1 由 V A －PCE ＝V P －ACE ，即 × PC ·EG ·h ＝ PA · AE ·CB ，得 h ＝ ， 3 2 3 2 3 6∴点 A 到平面 PCE 的距离为 3. 13．(2009·陕西，18)如图所示，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3， ∠ABC ＝60°.，6 2 6 3 6 3 3 4 3 2 3 M(1) 求证：AB ⊥A 1C ；(2) 求二面角 A －A 1C －B 的大小．解析：(1)证明：∵三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ ∴∠BAC ＝90°，即 AB ⊥AC .3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴AB ⊥平面 ACC 1A 1，又 A 1C ⊂平面 ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，作 AD ⊥A 1C 交 A 1C 于 D 点，连结 BD ，由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角 A －A 1C －B 的平面角． AA 1·AC 3 × 3 在 Rt △AA 1C 中，AD ＝ ＝ ＝ ， A 1C 6 AB 6 在 Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝ ＝ ，AD 3 ∴∠ADB ＝arctan ，即二面角 A －A 1C －B 的大小为 arctan . 14．如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的底面是边长为 a 的正三角形，侧面 ABB 1A 1 是菱形且垂直于底面，∠A 1AB ＝60°，M 是 A 1B 1 的中点．(1) 求证：BM ⊥AC ；(2) 求二面角 B －B 1C 1－A 1 的正切值；(3) 求三棱锥 M －A 1CB 的体积．解析：(1)证明：∵ABB 1A 1 是菱形，∠A 1AB ＝60°⇒△A 1B 1B 是正三角形 E rr o r !⇒BM ⊥平面 A 1B 1C 1. E rr o r !⇒BM ⊥AC . E rr o r !⇒BE ⊥B 1C 1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角， △A 1B 1C 1 中，ME ＝MB 1·sin60°＝ a ，Rt △BMB 1 中，MB ＝MB 1·tan60°＝ a ， MB ∴tan ∠BEM ＝ ＝2， E ∴所求二面角的正切值是 2. 1 1 1 1 1 3 1 (3)VM －A 1CB ＝ VB 1－A 1CB ＝ VA －A 1CB ＝ VA 1－ABC ＝ × × a 2· a ＝ a 3. 2 2 2 2 3 4 2 1615．(2009·广东汕头一模)如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥ AE AF 平面 BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是 AC 、AD 上的动点，且 ＝ ＝λ(0<λ<1)．AC AD(1) 求证：不论 λ 为何值，总有 EF ⊥平面 ABC ； 1 (2) 若 λ＝ ，求三棱锥 A －BEF 的体积． 2解析：(1)证明：∵AB ⊥平面 BCD ，∴AB ⊥CD .又∵在△BCD 中，∠BCD ＝90°，∴BC ⊥CD .∵又 AB ∩BC ＝B ，6 15 ＝ 3，S 15 ∴CD ⊥平面 ABC .AE AF 又∵在△ACD 中，E 、F 分别是 AC 、AD 上的动点，且 ＝ ＝λ(0<λ<1)， AC AD ∴不论 λ 为何值，都有 EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面 ABC . (2)在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1， ∴BD ＝ 2. 又∵AB ⊥平面 BCD ， ∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD . 又∵在 Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BD ·tan60°＝ 6， 由(1)知 EF ⊥平面 ABC ， ∴V A －BEF ＝V F －ABE 1 ＝ S △ABE ·EF 3 1 1 ＝ × S △ABC ·EF 3 2 1 1 1 ＝ × ×1× 6× ＝ . 6 2 2 24 6 故三棱锥 A －BEF 的体积是 24 . 16．在四棱锥 P －ABCD 中，侧面 PDC 是边长为2 的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD 是面积为 2 3的菱形，∠ADC 为菱形的锐角． (1) 求证：PA ⊥CD ； (2) 求二面角 P －AB －D 的大小； (3) 求棱锥 P －ABCD 的侧面积； 解析：(1)证明：如图所示，取 CD 的中点 E ，由 PE ⊥CD ，得 PE ⊥平面 ABCD ，连结 AC 、AE . ∵AD ·CD ·sin ∠ADC ＝2 3， AD ＝CD ＝2， 3 ∴sin ∠ADC ＝ 2 ， 即∠ADC ＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD ⊥AE . ∴CD ⊥PA (三垂线定理)． (2) 解：∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PA ，AB ⊥AE ， ∴∠PAE 为二面角 P －AB －D 的平面角． 在 Rt △PEA 中，PE ＝AE ，∴∠PAE ＝45°. 即二面角 P －AB －D 的大小为 45°. (3) 分别计算各侧面的面积： ∵PD ＝DA ＝2，PA ＝ 6， 1 ∴cos ∠PDA ＝ ，sin ∠PDA ＝ . 4 1 1 S AB ·PA ＝ 2· 3＝ 6， △PCD △PAB ＝ 2 ·2· 2 1 S △PAD ＝S △PBC ＝ PD ·DA ·sin ∠PDA ＝ . 2∴S P －ABCD 侧 ＝ 3＋ 6＋ 15.13. 把地球当作半径为 R 的球，地球上 A 、B 两地都在北纬 45°，A 、B 两点的球面距离 π是 3R ，A 点在东经 20°，求 B 点的位置． 解析：如图，求 B 点的位置即求 B 点的经度，设 B 点在东经 α，7 2 7 21 ＝ ， π∵A 、B 两点的球面距离是 3R . π ∴∠AOB ＝ ，因此三角形 AOB 是等边三角形，∴AB ＝R ， 3又∵∠AO 1B ＝α－20°(经度差) 2问题转化为在△AO 1B 中借助 AO 1＝BO 1＝AO cos45°＝ 2 R ， 求出∠AO 1B ＝90°，则 α＝110°，同理：B 点也可在西经 70°，即 B 点在北纬 45°东经 110° 或西经 70°.14. 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49πcm 2 和 400πcm 2， 求球的表面积和体积．解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为 AO 1、BO 2，则 AO 1∥BO 2. 若 O 1、O 2 分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知 OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2， 设球半径为 R ，∵πO 2B 2＝49π，∴O 2B ＝7cm ，同理 O 1A ＝20cm.设 OO 1＝x cm ，则 OO 2＝(x ＋9)cm.在 Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋202，在 Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72，∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2，解得 x ＝15cm.∴R ＝25cm ，∴S 球＝2500πcm 2， 4 62500 V 球＝ πR 3＝ πcm 3. 3 3 π15. 设 A 、B 、C 是半径为 1 的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为3，点 A 与 B 、C π两点间的球面距离均为2，O 为球心，求： (1) ∠AOB 、∠BOC 的大小； (2)球心 O 到截面 ABC 的距离． π 解析：(1)如图，因为球 O 的半径为 1，B 、C 两点间的球面距离为3， π π点 A 与 B 、C 两点间的球面距离均为2，所以∠BOC ＝3，∠AOB ＝∠AOC ＝ π ， 2 3 (2) 因为 BC ＝1，AC ＝AB ＝ 2，所以由余弦定理得 cos ∠BAC sin ∠BAC ＝ ，设 4 4 截面圆的圆心为 O 1，连结 AO 1，则截面圆的半径 r ＝AO 1，由正弦定理得 r ＝ BC ＝ ，所以 OO 1＝ OA 2－r 2＝ .2sin ∠BAC 7 716. 如图四棱锥 A －BCDE 中，AD ⊥底面 BCDE ，AC ⊥BC ，AE ⊥BE .(1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共球；(2) 若∠CBE ＝90°，CE ＝ 3，AD ＝1，求 B 、D 两点的球面距离．解析：(1)证明：取 AB 的中点 P ，连结 PE ，PC ，PD ，由题设条件知△AEB 、△ADB 、△ABC 都是直角三角形． 1 故 PE ＝PD ＝PC ＝ AB ＝PA ＝PB . 2所以 A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上．(2)解：由题意知四边形 BCDE 为矩形，所 以 BD ＝CE ＝ 3，在 Rt △ADB 中，AB ＝2，AD ＝1， 2 ∴∠DPB ＝120°，D 、B 的球面距离为 π. 32 2 15 5 63 5 17．(本小题满分 10 分)如图，四棱锥 S —ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面 ABCD ，E 是 SC 上一点．(1) 求证：平面 EBD ⊥平面 SAC ；(2) 假设 SA ＝4，AB ＝2，求点 A 到平面 SBD 的距离；解析：(1)∵正方形 ABCD ，∴BD ⊥AC ，又∵SA ⊥平面 ABCD ，∴SA ⊥BD ，则 BD ⊥平面 SAC ，又 BD ⊂平面 BED ，∴平面 BED ⊥平面 SAC .(2)设AC ∩BD ＝O ，由三垂线定理得BD ⊥SO .AO 1 1 AC 2AB 1 · 2·2＝ 2，SA ＝4， ＝ ＝ ＝ 2 2 2 则 SO ＝ SA 2＋AO 2＝ 16＋2＝3 2，S 1 BD ·SO 1 ·2 2·3 2＝6.设 A 到面 BSD 的距 △BSD ＝ ＝ 2 2 1 1 4 离为 h ，则 V S －ABD ＝V A －BSD ，即 3S △ABD ·SA ＝ S △BSD ·h ，解得 h ＝ ，即点 A 到平面 SBD 的距 3 3 4 离为 . 318．(本小题满分 12 分)如图，正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AA 1＝2AB ＝4，点 E 在 C 1C 上且 C 1E ＝3EC . (1)证明 A 1C ⊥平面 BED ；(2)求二面角 A 1－DE －B 的大小．解析：依题设知 AB ＝2，CE ＝1，(1) 证明：连结 AC 交 BD 于点 F ，则 BD ⊥AC .由三垂线定理知，BD ⊥A 1C .在平面 A 1CA 内，连结 EF 交 A 1C 于点 G ， AA 1 AC由于FC ＝CE＝2 ， 故 Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∠AA 1C ＝∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1 互余． 于是 A 1C ⊥EF .A 1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD 、EF 都垂直． 所以 A 1C ⊥平面 BED .(2) 作 GH ⊥DE ，垂足为 H ，连结 A 1H .由三垂线定理知 A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角 A 1－DE －B 的平面角．EF ＝ CF 2＋CE 2＝ 3， CE × CF2 CG ＝ EF ＝3 . 3EG ＝ CE 2－CG 2＝ 3 . EG 1 1 EF × FD ＝ ，GH ＝ × ＝ .EF 3 3 DE 又 A 1C ＝ AA 21＋AC 2＝2 A 1G6，A 1G ＝A 1C －CG ＝ ， tan ∠A 1HG ＝ HG＝5 . 所以二面角 A 1－DE －B 的大小为 arctan5 5.19．(本小题满分12 分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， AB ＝BC ＝SB ＝SC ＝2CD ＝2，侧面 SBC ⊥底面 ABCD .3 3 3 2 3 2＝ (1) 由 SA 的中点 E 作底面的垂线 EH ，试确定垂足 H 的位置；(2) 求二面角 E －BC －A 的大小．解析：(1)作 SO ⊥BC 于 O ，则 SO ⊂平面 SBC ， 又面 SBC ⊥底面 ABCD ， 面 SBC ∩面 ABCD ＝BC ， ∴SO ⊥底面 ABCD ① 又 SO ⊂平面 SAO ，∴面 SAO ⊥底面 ABCD ， 作 EH ⊥AO ，∴EH ⊥底面 ABCD ② 即 H 为垂足，由①②知，EH ∥SO ， 又 E 为 SA 的中点，∴H 是 AO 的中点． (2)过 H 作 HF ⊥BC 于 F ，连结 EF ， 由(1)知 EH ⊥平面 ABCD ，∴EH ⊥BC ， 又 EH ∩HF ＝H ，∴BC ⊥平面 EFH ，∴BC ⊥EF ， ∴∠HFE 为面 EBC 和底面 ABCD 所成二面角的平面角． 在等边三角形 SBC 中，∵SO ⊥BC ， ∴O 为 BC 中点，又 BC ＝2. ∴SO ＝ 22－12＝ 3，EH 1SO ＝ ， 1 又 HF ＝ AB ＝1， 2 2 2 3EH 2 ∴在 Rt △EHF 中，tan ∠HFE ＝ ＝ ＝ ，HF 1 2 ∴∠HFE ＝arctan . 即二面角 E －BC －A 的大小为 arctan. 20．(本小题满分 12 分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝1，AA 1＝2，N 是 A 1D 的中点，M ∈BB 1，异面直线 MN 与 A 1A 所成的角为 90°. (1) 求证：点 M 是 BB 1 的中点；(2) 求直线 MN 与平面 ADD 1A 1 所成角的大小；(3) 求二面角 A －MN －A 1 的大小．解析：(1)取 AA 1 的中点 P ，连结 PM ，PN .∵N 是 A 1D 的中点，∴AA 1⊥PN ，又∵AA 1⊥MN ，MN ∩PN ＝N ，∴AA 1⊥面 PMN .∵PM ⊂面 PMN ，∴AA 1⊥PM ，∴PM ∥AB ，∴点 M 是 BB 1 的中点．305 2 2 2 2(2) 由(1)知∠PNM 即为 MN 与平面 ADD 1A 1 所成的角．1 在 Rt △PMN 中，易知 PM ＝1，PN ＝ ，2 PM∴tan ∠PNM ＝PN ＝2，∠PNM ＝arctan2. 故 MN 与平面 ADD 1A 1 所成的角为 arctan2.(3) ∵N 是 A 1D 的中点，M 是 BB 1 的中点，∴A 1N ＝AN ，A 1M ＝AM ，又 MN 为公共边，∴△A 1MN ≌△AMN .在△AMN 中，作 AG ⊥MN 交 MN 于 G ，连结 A 1G ，则∠A 1GA 即为二面角 A －MN －A 1 的平面角．在△A 1GA 中，AA 1＝2，A 1G ＝GA ＝ ， A 1G 2＋GA 2－AA 12 2 2 ∴cos ∠A 1GA ＝ 2A 1G ·GA ＝－ ，∴∠A 1GA ＝arccos(－ )， 3 3 2 故二面角 A －MN －A 1 的大小为 arccos(－ )． 321．(2009·安徽，18)(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 F －ABCD 的底面 ABCD 是菱 形，其对角线 AC ＝2，BD ＝ 2.AE 、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE ＝1，CF ＝2. (1) 求二面角 B －AF －D 的大小；(2) 求四棱锥 E －ABCD 与四棱锥 F －ABCD 公共部分的体积．命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：(1)解：连接 AC 、BD 交于菱形的中心 O ，过 O 作 OG ⊥AF ，G 为垂足，连接 BG 、DG . 由 BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得 BD ⊥平面 ACF ，故 BD ⊥AF .于是 AF ⊥平面 BGD ，所以 BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角 B －AF －D 的平面角．π 由 FC ⊥AC ，FC ＝AC ＝2，得∠FAC ＝ ，OG ＝ . 4 2 π 由 OB ⊥OG ，OB ＝OD ＝ ，得∠BGD ＝2∠BGO ＝ . (2)解：连接 EB 、EC 、ED ，设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H ，则四棱锥 E －ABCD 与四棱锥 F －ABCD 的公共部分为四棱锥 H －ABCD .3 2 3 2 过 H 作 HP ⊥平面 ABCD ，P 为垂足．因为 EA ⊥平面 ABCD ，FC ⊥平面 ABCD ，所以平面 ACEF ⊥平面 ABCD ，从而 P ∈AC ，HP ⊥AC . HP HP AP PC 2 由 ＋ ＝ ＋ ＝1，得 HP ＝ . CF AE AC AC 3 又因为 S 1 菱形ABCD ＝ AC ·BD ＝ 2， 2 1 2 2 故四棱锥 H －ABCD 的体积 V ＝ S 菱形ABCD ·HP ＝ .3 922．(2009·深圳调考一)(本小题满分 12 分)如图所示，AB 为圆 O 的直径，点 E 、F 在圆 O 上，AB ∥EF ，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直．已知 AB ＝2，EF ＝1.(1) 求证：平面 DAF ⊥平面 CBF ；(2) 求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小；(3) 当 AD 的长为何值时，二面角 D －FE －B 的大小为 60°？解析：(1)证明：∵平面 ABCD ⊥平面 ABEF ，CB ⊥AB ，平面 ABCD ∩平面 ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面 ABEF .∵AF ⊂平面 ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆 O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面 CBF .∵AF ⊂平面 DAF ，∴平面 DAF ⊥平面 CBF .(2)解：根据(1)的证明，有 AF ⊥平面 CBF ，∴FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影，因此，∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角．∵AB ∥EF ，∴四边形 ABEF 为等腰梯形，过点 F 作 FH ⊥AB ，交 AB 于 H .AB ＝2，EF ＝1，则 AH ＝ AB －EF 1 ＝ . 2 2在 Rt △AFB 中，根据射影定理 AF 2＝AH ·AB ，得 AF ＝1， AF 1 sin ∠ABF ＝ ＝ ，∴∠ABF ＝30°， AB 2∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30°.(3)解：过点 A 作 AM ⊥EF ，交 EF 的延长线于点 M ，连结 DM .根据(1)的证明，DA ⊥平面 ABEF ，则 DM ⊥EF ，∴∠DMA 为二面角 D －FE －B 的平面角，∠DMA ＝60°. 1 在 Rt △AFH 中，∵AH ＝ ，AF ＝1， 2 ∴FH ＝ .又∵四边形 AMFH 为矩形，∴MA ＝FH ＝ . 3 ∵AD ＝MA ·tan ∠DMA ＝ 2 · 3＝3 2 .3因此，当AD 的长为时，二面角D－FE－B 的大小为60°.2。

si nt hre g的中心．，与CM 交于Q (只写作法，不必证明ON 确定一个平面α.又两两相交，有三条交线OP 、CM 必相交，记交点为Q .OQ 与AN 交于P ，与CM .14rofdoo－A1B1C1D1中，O，MBD1的公垂线；所成的角的余弦值；，求异面直线AA1与BD1的距离．的中点，，则O为AC的中点，连结∩平面BDE＝OE，∴PAt he i rb ei n ggo od fo rs o 、B 在l 1上，与平面ABC 所成角的余弦值．⊥l 1，MN ∩l 1＝M ，可得，可知AN ＝NB 且AN ⊥内的射影，ABC 的中心．连结本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、分别是AB 、BD 的中点，所以g ergo od fo rs om FE ＝AD .2为异面直綊⊥平，则MP ⊥CE .又⊥平面CDE .因为PC ＝PD ，所AN ＝NB .3a re go od fo 1B 1C 1D 1中，e go od fo rs 1D 与DE 所成的a ，A 1E ＝DE ＝2g good，求B1C与平面BCD所成的角的大，连结EF，为平行四边形，从而AF∥DE.⊥平面BCC1，从而AF⊥BC的垂直平分线，，故∠AGC为二面AB＝2，BC＝2go o＝AC ＝，M 是2b ei n ga r所成的角的正弦值；的距离．证明：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝2，在平面ABCD 内的射影，的底面是正方形，PA 的中点．eragnieA1B1C1为直三棱柱，，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠go od fo rs om ABB 1A 1是菱形是正三角形，a ，321AFa r两点间的球面距离为，点A 与π3，BAC ＝，设74，由题设条件知△AEB 、△n ；到平面SBD 的距离；⊥AC ，又∵SA ⊥平面，∴平面BED ⊥平面SAC .，由三垂线定理得，SA ＝4，则SO ＝2rofdooger的中点；g si nt he i rb ei n ga r与平面ADD 1A 1所成的角．＝1，PN ＝，12PNM ＝arctan2.所成的角为arctan2.是BB 1的中点，∴A 1N ＝AN ，A 1M MN ≌△AMN .交MN 于G ，连结A 1G ，则∠A 1GA G ＝GA ＝，305、CF 都与平面ABCD 垂直，的大小；F －ABCD 公共部分的体积．本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．交于菱形的中心O ，过Osi nt he i r；所成角的大小；D －FE －B 的大小为⊥平面ABEF ，CB ⊥AB。

立体几何部分测试卷第I 卷（选择题 共60分）一．选择题（本题共12个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1、如图1- 54所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A 、(1)是棱台B 、(2)是圆台C 、(3)是棱锥D 、(4)不是棱柱2、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对 3、下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11A C 与1B C 成60角5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（ ）A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 6、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）ππ221.+A ππ441.+B ππ21.+C ππ241.+D 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么（ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（ ） A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个9、一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ） A 、23 B 、76 C 、45 D 、5611、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 （ ）A 、34 B 、35C 、77D 、37712、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ） A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V 第II 卷(非选择题共90分)二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是 .14、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球 S 正方体(填“大于、小于或等于”).QPC'B'A'CBA15、若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是.16、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm.三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答时应写出证明过程或演算步骤）17、(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=a，E，F分别是BC，DC的中点. 求异面直线AD1与EF所成角的大小.18、(12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积。

立体几何（必修2第一、二章）水平测试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )2．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm4．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于( ) A.S 2S B.S 2S π C.S 4S D.S 4S π5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥α D ．a ⊂α，b ⊥α6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么，正方体边的过P ，Q ，R 的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形7．在空间中，下列命题正确的是( )A ．若两直线垂直于同一条直线，则两直线平行B ．若两直线平行于同一个平面，则两直线平行C ．若两平面垂直于同一个平面，则两平面平行D ．若两平面平行于同一个平面，则两平面平行8．若a 不平行于平面α，且a ⊄α，则下列结论成立的是( ) A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内与a 平行的直线不存在 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交9．如图所示，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CBD1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC二、填空题（每小题4分，共28分)11．三个平面可以把空间分成________部分．12．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是______．13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，AD的中点，则异面直线BF与D1E所成角的正弦值为________．14．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同))，则球的半径是________ cm.15．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．16．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系为________．17．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时x的值为________．三、解答题(72分)18．(14分)已知四棱锥P－ABCD水平放置如图，且底面ABCD是边长为2 cm的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB.试画出该几何体的三视图．19．(14分)已知如图所示图形是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm 、高为20 cm 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少厘米？20．(14分)已知△ABC 在平面α外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，BC ∩α＝Q ，如图．求证：P ，Q ，R 三点共线．21．(14分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，则在四棱锥P －ABCD 中，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH.求证：AP ∥GH.22．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱EF 12BC.(1)证明：FO ∥平面CDE ；(2)设BC ＝3CD ，证明：EO ⊥平面CDF.答案解析1、解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D两项，侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A项，故选C项．答案：C2、解析：正方体的正视、侧视、俯视图都为正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为梯形、梯形、三角形；正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形．故选D项．答案：D3、解析：可利用逆向思维，考虑空余部分体积相等．设瓶子高为h，则：π×12×(h－20)＝π×32×(h－28)，解得：h＝29 cm.答案：A4、解析：设底面圆的半径为R，S侧＝2πR×2R，∴4πR2＝S，∴R＝S2π，∴V＝πR2×2R＝2π×S4π×S2π＝S4Sπ，故选D项．答案：D5、解析：不相交的直线a，b的位置关系有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C两项；又只有当a⊥b时D项才成立．答案：B6、解析：如下图，截面图形为边长是正方体棱长的22倍的正六边形．答案：D7、解析：对于A项，因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行，还可能是异面直线，还可能相交，所以A项错；对于B项，平行于同一平面的两条直线也不一定平行，所以B项错；对于C项，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行还可能相交，所以C项错；而D项显然成立．故选D项．答案：D8、解析：由题设知，a和α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线与a共面，A项错；在α内不过点P的直线与a异面，D项错；(反证)假设α内直线b∥a，则∵a⊄α，∴a∥α，与已知矛盾，C项错．故选B项．答案：B9、解析：因AD∥BC，所以∠B1CB就是异面直线AD与B1C所成的角．又因在正方体ABCD—A1B1C1D1中，△B1BC是等腰直角三角形，所以∠B1CB＝45°.即异面直线AD与CB1所成的角为45°，D项中结论错误，故选D项．答案：D10、解析：∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.选C项．答案：C11、解析：结合三个平面的位置关系联想可得． 答案：4或6或7或812、解析：由该几何体的三视图可得该几何体的表面积为：2×(6×8＋2×8)＋2×(2×8＋10×2)＋2×(10×8)＝128＋72＋160＝360. 答案：36013、解析：连结DE ，则DE ∥BF ，∴∠DED1就是异面直线BF 与D 1E 所成的角． 设AB ＝2，则DE ＝5，D 1E ＝3，∴sin ∠DED 1＝DD 1D 1E ＝23.答案：2314、解析：设球的半径为r cm ，依等体积法知： 43πr 3·3＋πr 2·8＝πr 2·6r ， ∴2r ＝8，r ＝4 cm. 答案：415、解析：连结AM 并延长交CD 于点E ；连结BN 并延长交CD 于点F ，由重心的性质知：E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12得MN ∥AB ，因此MN ∥面ABC ，MN ∥面ABD.答案：面ABC 和面ABD16、解析：画出草图，结合二面角的定义可知． 答案：相等或互补 17、解析：∵|AB|＝(x －1)2＋(5－x －x －2)2＋(2x －1－2＋x )2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝14(x －87)2＋57.∴当且仅当x ＝87时，|AB|取得最小值．答案：8718、解：几何体的三视图如下：19、解：设水面下降的高度为x cm ，则小圆柱的体积为V 小圆柱＝π×(202)2·x ＝100πx (cm 3)．而圆锥形铅锤的体积为V 铅锤＝13π×(62)2×20＝60π (cm 3)．所以由方程60π＝100πx ，解得x ＝0.6 cm.故铅锤从水中取出后，杯里的水将下降0.6 cm.20、证明：方法一：∵AB ∩α＝P ， ∴P ∈AB ，P ∈平面α. 又AB ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC.∴点P 在平面ABC 与平面α的交线上，同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面α的交线上．∴由公理3知P ，Q ，R 三点共线． 方法二：∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR. 又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ， ∴平面APR ∩平面α＝PR.∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ， ∴BC ⊂平面APR.又∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR ，又Q ∈α，∴Q ∈PR ， ∴P ，Q ，R 三点共线．21、证明：连结AC ，交BD 于O ，连结MO. 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以O 是AC 的中点，又因为M 是PC 的中点， 所以MO ∥PA.又因为MO ⊂平面BDM ， PA ⊄平面BDM.所以PA ∥平面BDM.又因为经过PA 与点G 的平面交平面BDM 于GH ，所以AP ∥GH.22、证明：(1)取CD 中点M ，连结OM.在矩形ABCD 中，OM 12BC ，又EF 12BC ，则EF OM ，连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形， ∴FO ∥EM ，又∵FO ⊄平面CDE ， 且EM ⊂平面CDE ， ∴FO ∥平面CDE.(2)连结FM ，由(1)和已知条件， 在等边△CDE 中，CM ＝DM ，EM ⊥CD 且EM ＝32CD ＝12BC ＝EF ，因此平行四边形EFOM 为菱形， 从而EO ⊥FM ，∵CD ⊥OM ，CD ⊥EM ，OM ∩EM ＝M ， ∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO. 而FM ∩CD ＝M ，所以EO ⊥平面CDF.。

立体几何（必修2第一、二章）水平测试题（B ）时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．下图为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.12B.22C ．1 D. 2 2．某简单几何体的一条对角线长为a ，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a 等于( )A. 2B. 3 C ．1 D ．23．设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h 随时间t 变化的图象是( )4．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y(x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关5．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )6．在空间中有三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 是异面直线C ．AB 与CD 相交 D ．AB ∥CD ，或AB 与CD 异面，或AB 与CD 相交7．经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作( )A ．1个或2个B ．0个或1个C ．1个D ．0个8．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β二、填空题（每小题4分，共28分)11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__________．12．已知四棱椎P—ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱椎的体积是________．13．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是______．14．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．15．四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝1，要使A，B，C，D四点不共面，则AC的取值范围是________．16．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________．17．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为A(3，－1,2)，其中心为M(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．三、解答题(72分)18．(14分)已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和．19．(14分) 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.20．(14分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连结AE并延长与BC的延长线交于点F，连结BE并延长交AD的延长线于点G，连结FG.求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.21．(15分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.22．(15分) 如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．参考答案1、解析：如图，在平面直观图中，B ′C ′＝1，∠B ′C ′D ′＝45°，所以B ′D ′＝22. 答案：B2、解析：可构造一对角线长为a 的长方体，设其长、宽、高分别为x ，y ，z ，则x 2＋y 2＝2，y 2＋z 2＝2，z 2＋x 2＝2，相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝2a 2＝6，得a ＝ 3.答案：B3、解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，B 项符合题意．故选B 项．答案：B4、解析：∵A 1B 1∥DC 且EF ＝1，∴Q 到EF 的距离不变，∴S △EFQ 为定值，∴体积与A1E ＝y 无关．连结A 1D ，过P 作PN ⊥A 1D ，∵A 1B 1⊥面AD 1，∴A 1B 1⊥PN ，∴PN ⊥面A 1B 1CD ，且PN ＝22PD ＝22x ， ∴V P －EFQ ＝13S △EFQ ·PN ＝13S △EFQ ·22x ，与x 有关．故选C 项． 答案：C5、解析：A 项中PS ∥QR ，故共面；C 项中四边形PQRS 是平行四边形，故共面；B 项中PS 与QR 相交，故共面，选D 项．答案：D6、解析：若A ，B ，C ，D 共面，则可以平行，也可以相交；若不共面，也可以符合题意，故选D 项．答案：D7、解析：假设能作两个，则两个平面必然相交，又由面面平行的定义知，这两个平面都平行于α，则这两个平面平行，与假设矛盾．答案：C8、解析：根据平行平面的性质，不论A ，B 如何运动，动点C 均在过C 且与α，β都平行的平面上．答案：D9、解析：根据面面垂直的判定定理知②对．由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一平面知④对． 答案：D10、解析：如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β，故选D项．答案：D11、解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2 3. 答案：2 312、解析：V P －ABCD ＝13·PA·S 正方形ABCD ＝13×8×62＝96. 答案：9613、解析：依题意可将三棱锥补成长方体，则长方体的对角线即为球的直径，∴(2R)2＝42＋42＋72，解得R 2＝814， ∴球的表面积为S ＝4πR 2＝81π.答案：81π14、解析：取A 1C 1的中点D 1，连结B 1D 1，AD 1，易证B 1D 1∥BD.故∠AB 1D 1就是异面直线AB 1与BD 所成的角或所成角的补角，设AB ＝22，则AA 1＝4，AB 1＝26，B 1D 1＝6，AD 1＝32，在△AB 1D 1中，由余弦定理得cos ∠AB 1D 1＝24＋6－1824＝12，∴∠AB 1D 1＝60°. 答案：60°15、解析：如图(1)所示，△ABD 与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD重合时，AC ＝0；将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如图(2)，故AC 的取值范围是0<AC< 3.答案：(0，3)16、解析：②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.答案：①④17、解析：∵A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，∴C 1(－3,3,2)．∴|AC 1|＝213，∴棱长a ＝2133＝2393. 答案：239318、解：如图所示，设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，且∠ASO ＝30°，在Rt △SO ′A ′中，r SA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r.在Rt △SOA 中，2r SA＝sin30°，∴SA ＝4r. ∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2.故圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.19、解：(1)证明：在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC.又BC ∥AD ，∴EF ∥AD.又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.(2)连结AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA. 在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2，∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB·BC ＝12×2×2＝2， ∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13. 20、证明：∵E 是CD 的中点，A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ， ∴AE ⊂平面ABCD.又AE ∩BC ＝F ，所以F ∈AE ，从而F ∈平面ABCD.同理G ∈平面ABCD ，所以FG ⊂平面ABCD.由已知得EC 綊12AB ， 故在Rt △FBA 中，CF ＝BC ，同理DG ＝AD.又在正方形ABCD 中，BC 綊AD ，所以CF 綊DG ，所以四边形CFGD 是平行四边形，所以FG ∥CD.又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1，∴直线FG ∥直线A 1B 1.21、解：在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连结AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，则F 即为所求作的点．EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG.又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.又在△BCE 中，CE ＝BC 2－BE 2＝a 2－23a 2＝33a. 在Rt △PBC 中，BC 2＝CE·CP ∴CP ＝a 233a ＝3a.又EG CD ＝PE PC ， ∴EG ＝AF ＝23a. ∴点F 为AB 上靠近B 的一个三等分点．22、解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD 的交线．因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D∶DC1＝1.。

立体几何（必修2的第一、二章）过关测试题时间：120分钟 满分：120分一、选择题（共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）1，已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．//,//m n αα，则//m nB ．,m m αβ⊥⊥，则//αβC ．//,//m n m α，则//n αD ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ2．设n m ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）A ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,,则n m ⊥B ．若βα//,α⊂m ,β⊂n ,则n m //C ．若βα//,//,n n m m ⊥,则βα⊥D ．若βα⊂⊂⊥n m n m ,,,则βα⊥ 3．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是 （ ）① ② ③ ④A ．①、②B ．①、③C ． ②、③D ．②、④ 4．已知水平放置的△ABC 的直观图△C B A ''' (斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为 ( ) A ．2a 2B ．32a 2 C ．62a 2 D ．6a 2 5．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ） A ．23B ．12CD 6，某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为 （ ） A ．π+B ．2πC ．π+D ．2π+7，如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1 的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 ( ）A ．1030 B ．1015 C ．1530 D ．218．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为( )A. 2π B ．π C.23πD ．π2A M BNP A M BN PPA B NA M N P9．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E.F,且22=EF ,则下列结论中错误的是（ ） A ．BE AC ⊥ B ．EF ∥平面ABCD C ．三棱锥BEF A -的体积为定值 D ．△AEF 与△BEF 的面积相等10.已知正方形ABCD的边长为，将ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面A C D ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC -的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）A B ． C ． D ．A B C D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分）1，三个平面可将空间分成n 个部分，n 的取值为（ ）A ，4；B ，4，6；C ，4，6，7 ；D ，4，6，7，8。

2，两条不相交的空间直线a 、b ，必存在平面α，使得（ ）A ，a ⊂α、b ⊂α；B ，a ⊂α、b ∥α ；C ，a ⊥α、b ⊥α；D ，a ⊂α、b ⊥α。

3，若p 是两条异面直线a 、b 外的任意一点，则（ ）A ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都平行；B ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都垂直；C ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都相交；D ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都异面。

4，与空间不共面四点距离相等的平面有（ ）个A ，3 ；B ，5 ；C ，7；D ，4。

5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（ ）A ，必有三点共线；B ，至少有三点共线；C ，必有三点不共线；D ，不可能有三点共线。

6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（ ）个A ，0；B ，1；C ，无数 ；D ，涵盖上三种情况。

7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n 边形，则（ ）A ，3≤n ≤6 ；B ，2≤n ≤5 ；C ，n=4；D ，上三种情况都不对。

8，a 、b 为异面直线，那么（ ）A ，必然存在唯一的一个平面同时平行于a 、b ；B ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 平行；C ，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a 、b ；D ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 垂直。

9，a 、b 为异面直线，p 为空间不在a 、b 上的一点，下列命题正确的个数是（ ）①过点p 总可以作一条直线与a 、b 都垂直；②过点p 总可以作一条直线与a 、b 都相交；③过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。

高中数学必修二立体几何综合测试题一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共计60分）1、若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶12、下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有( )A．①②B．①③C．③④ D. ①④3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．BD B．AC C．A1D D．A1D14.直线m∥平面α，直线n∥m，则( )A．n∥αB．n与α相交C．n⊆αD．n∥α或n⊆α5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )A．6 B．12 C．9 D．186．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有7.下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°9.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的余弦值为( )A.13B.12C.223D.3210．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．311.一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的( ) A.12B.14C.18D.2412．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( ) A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共计20分）13. 下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b∥α，则b∥α. 其中正确命题的序号是_______．14．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_______cm.15.已知正△ABC的边长为a，则△ABC的直观图△A′B′C′的面积．16. 将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是_ __ cm.高中数学必修二立体几何综合测试题答题卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共计60分）二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共计20分） 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年青海省高中数学人教A 版必修二第八章 立体几何同步测试(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）42421. 水平放置的矩形ABCD ，长AB=4，宽BC=2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）A. B. C. D. 4454881082.半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（ ）A. B. C. D. 1：2：32：3：43：2：43：1：23. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A. B. C. D. 4. 已知正方体的 个顶点中，有 个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为（ ）A. B. C. D.5. 如图，三棱柱 中，底面三角形 是正三角形， 是 的中点，则下列叙述正确的是（ ）与是异面直线 与是共面直线 与是异面直线 与是共面直线A. B. C. D. 若，则若，则若，则若，则6. 设是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. B. C. D.或或7. 已知三棱锥A-BOC ，OA,OB,OC 两两垂直，且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一端点N 在BO C 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D. 8. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形． 已知点是斜边的中点，且， 则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.9. 一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（ ）A. B. C. D.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.若α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α若a ⊂β，b ⊂β，a ∥α，b ∥α，则β∥α若a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则a ⊥α11. 对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中真命题是（ ）A. B. C. D.C. D.1个2个3个4个12. 给出下面四个命题（其中m ，n ，l 为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α②α⊥β，α∩β=m ，l ⊥m ⇒l ⊥β；③l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α⇒l ⊥α④m∩n=A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（ ）A. B. C. D. 13. 已知半径为R 的球，其表面积为S ，体积为V ，若S ＝V ，则R ＝ ．14. 如图，在正三棱柱中， ， ， 为 的中点，P 是 上一点，且由点P 沿棱柱侧面经过棱 到M 的最短路线长为，设这条最短路线与 的交点为N ，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为 ； 的长为 ．15. 已知正四棱锥的底面边长和高均为3， ， 分别是棱 ， 上一点，且满足 ， ，过 做平面与线段 ， 分别交于 ， ，则四棱锥 的体积的最小值为 ．16. 如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V 1 ， 四棱锥A 1﹣BCC 1B 1的体积为V 2 ， 则 = ．17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形， ， ．(1) 若平面平面 ， 证明：；(2) 若面⊥面 ， 求四棱锥的侧面积．18. 如图，斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，为的中点，平面，点在上，，为与的交点，且与平面所成的角为．(1) 求证：平面；(2) 求二面角的正弦值．19. 如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA= ．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．20. 四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1是菱形，∠DAB=∠DAA1．(1) 求证：A1B⊥AD；(2) 若AD=AB=2BC=4，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点O．求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高．21. 如图，已知三棱柱中，平面平面，，，， E，F分别是的中点．(1) 证明：；(2) 求二面角的正弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)21.(1)(2)。