高等代数第二讲 带余除法与整除性

f1 ( X )
f ( X ) ( X a1 ) ( X a m ) f m ( X ) ( X a1 ) 两边次数相等
n1
( X am )
m
nm
f
m
(X )
, n i n .
i 1
4
推 论 ： 设 f ( X ) F [ X ], d e g f ( X ) n , 如 果 f ( X )在 F 中 有 n个 不 同 的 根 , 则 f ( X ) 0.
u ( x ) 4 q 2 x 1;
v ( x ) 4 (1 q 1 q 2 ) ( 4 x 1) x 3
2 2
(u , v ) 1
12
§1- 4 互素
定义：设 f , g F [ X ], 若 ( f ,g) 1 则称 f ( X ) 与 g ( X ) 互素。 定理 3：( f , g ) 1 存在 u , v F [ X ] 使 uf vg 1 .
3
定 理 3： 域 F 上 的 n次 多 项 式 f ( X ) 在 F 中 最 多 有 n 个 根 ( 重 根 按 重 数 计 入 ).
P r o o f : 设 a 1为 f ( X )的 根 , 则 由 零 点 定 理 使 则 f ( X ) ( X a1 ) f1 ( X ) 再 若 a 2 是 根 a1 a 2 f ( X ) ( X a 1 )( X a 2 ) f 2 ( X ) 继续
q1(X)
= x-1
r2(x)= x -1
所以 ( f, g ) = r2(x) = x -1
f gq 1 r1 ,
r1(x)= x2 +x -2 =(x-1)(x+2)
g r1 q 2 r2 .
r2 g r1 q 2 g ( f gq 1 ) q 2 . q 2 f (1 q1 q 2 ) g .
11
f gq 1 r1 ,
g r1 q 2 r2 .
r2 g r1 q 2 g ( f gq 1 ) q 2 . q 2 f (1 q1 q 2 ) g .
( f , g ) ( x 1) 4 r2 ( x )
4 q 2 f 4 (1 q 1 q 2 ) g
c 为 f ( X )的根 f ( X ) ( X c ) q ( X )。
设 f ( X ) ( X c)
m
g ( X ), ( g ( X ) F ( X ), c F , g ( c ) 0 , m 1) m 1时称 c 为单根。
则称 c 为 f ( X )的 m 重根。当
由 ( p , f ) p ，知 ( p , f ) 1，或 而 p , f 不互素
( p, f ) p p f 。
( ii ) 若 p 与 f 1不互素，则由 若 p 与 f 1互素，则 p f
2
(i ) p f ，
1
16
。
定义中的恒元和逆元都 可以证明，乘在右边也 即 a a
8
rs 2 rs 1 q s rs ,
deg rs deg rs 1
rs rs 2 rs 1 q s ( rs 4 rs 3 q s 2 ) ( rs 3 rs 2 q s 1 ) q s f 与 g 的线性组合。
x x x x
4
x 1
1 2 1 2
x x x
2
x x x
1 4 1 4 3 4 1 2

1 4
1 4
x x x
1 4 2 1 2
r2 x

1 4
1 4
( x 1)
r1 x 1
2
( x 1)( x 1)
( f , g ) ( x 1) 4 r 2( x)
,
则称 d ( X ) 为 f ( X ) 与 g ( X )的最大公因式
.
f 与 g 的首一最大公因式记为
( f , g ).
6
引理 1：若 f gq r ,
proof
则 ( f , g ) ( r , g ).
f , , r f g) : 由 ( f , g ) f , ( f , g ) gg , 知 ( F [, X ] r ,
5
§1- 3 最大公因子与辗转相除法
定义 1；设 f ,g F[X ] 满足 h f , h g 1) 若 h ( X ) F [ X ]
则称 h ( X ) 为 f ( X ) 与 g ( X )的公因式。
2 ) 若 d ( X ) F [ X ] 是 f 和 g 的公因式 且是 f 和 g 的任一公因式的倍，
f ( X ), g ( X ) F [ X ], d e g f , d e g g n . c1 , , c n 上 , f ( c i ) g ( c i )
定 理 4： 设 若在 则
n 个不同的点
f ( Baidu Nhomakorabea ) g ( X ).
证 ： 令 h ( X ) f ( X ) g ( X ). 则 c 1 , , c n 是 h ( X )的 不 同 的 零 点 , h ( X ) 0 .
ii ) 若 f ( c ) 0 , 称 c 为 f ( X ) 在 F 中的根或零点， 也称 c 为 f ( X ) 0的解或根。
2
定理 2： i ) 余数定理 ii ) 零点定理
f ( X ) ( X c ) q ( X ) f ( c ). f ( c ) 0 ( X c ) f ( X ).
proof : i ) 由 u f v g 1, u f h v g h h 两边同乘 f h. h
ii ) g f 1 h1 , f 2 f 1 h1 , 且 ( f 1 , f 2 ) 1 , f 2 h1 h1 f 2 h 2 , g f 1 f 2 h 2 , f1 f 2 g .
定理 2 ：设 f , g F [ X ], 则 ( f , g ) d ( X ) 存在 且唯一 , 而且存在 uf vg d u , v F [ X ], 使
Bezout 等式 .
9
exp1
设
f (x)
1 4
1 4 3
x
4 1 4
1 4 2
x
2 1 2
1 2
,
1 2
R 上可约 ;
则称 f 在 F 上是可约，否则称
例： x x
2 2
2 在 Q 上不可约，在
1 在 R 中不可约 , 在 C 中可约 .
15
引理 1：设 p ( X ) F [ X ]不可约 ( i ) 若 p 与 f 不互素 , 则 p f . 或 p f2. p 无真因子。 p。
.
( ii ) 若 p f 1 f 2 , 则 p f 1 proof : ( i ) p 不可约，知
1
－1
是乘在左边的， 有相同的性质。
＝ e,
a e ＝ a.
1
a a
e (a a
1 1
) (a
1
1 1
)
a
1
(a a
1
1
)
(a
)
ea
1
(a
1 1
)
a
e.
a e a (a
a ) (a a
1
) a e a a.
.
30 .设 F1 , F2 为任两个数域，则
F1 F2 不一定是数域
17
1 .设集合 A {1, 2 , 3 , 4 }, A 中的二元运算 分别定义为： 1 2 3 4 的是： 1 2 4 1 3 2 1 2 3 4 3 3 3 2 1 4 4 1 4 2 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 3 2 1 3 1 2 3 4 . 4 2 1 4 3
deg rs deg rs 1
( f , g ) ( g , r1 ) ( rs 1 , rs ) cr s
7
g(X) q2(X) x3+ 2x2 -3 x3 + x2 -2x =x+1 x2 +2x -3 x2 + x -2
f(X) x4+ x3- x2- 2x+ 1 x4+2 x3 - 3x - x3 - x2 +x + 1 - x3 - 2x2 + 3
g (x)
x
x
x
,
则其首一最大公因式
( f ( x ), g ( x )) _ _ _ _ _ _ _ _ .
且有
u(x) _____， v(x) _____使 得
u ( x ) f ( x ) v ( x ) g ( x ) ( f ( x ), g ( x )).
与
则代数系统（
A ;）与（ A ; ）中成为群 ，且 1 的逆元为
2 .令 G 是所有秩不大于 则在通常的矩阵乘法运
r 的 n 阶复方阵的集合， 算下， G 是否构成群
18
?
又（
u ( x )， v ( x )） _ _ _ _ _ _ _ .
10
g (x)
q2
1 4
1 4
f (x)
1 2 1 2
x x x
3 1 4 2
1 4
1 4
x
4
1 4

3 3 3
1 4
x
1 2 2
2
2

1 2
1 2
q1
x
1 4
1 4
x
3

1 4 1 4 2
1 4
x
1 4 1 2
proof : 由 Bezout 等式 d ( X ) 1 得证。 则 d(X ) f , d ( X ) 1.
设 ( f , g ) d ( X ), d (X ) g, d ( X )1
整除和互素有如下性质
：
13
定理 4 ： i ) 若 f gh , 且 ( f , g ) 1 , 则 f h . ii ) 若 f 1 g , f 2 g , 且 ( f 1 , f 2 ) 1 , 则 f 1 f 2 g . iii ) 若 ( f , g ) 1 , ( f , h ) 1 , 则 ( f , gh ) 1 .
iii ) 由 uf vg 1 ,
sf th 1 , 两边相乘得
uf ( sf th ) sfvg vtgh 1 ( f , gh ) 1 .
14
§2- 1 唯一析因定理
定义 1：若域 F 上的非常数多项式形式 可表为 f gh , f )
( g , h F [ X ]均非常数 f 是不可约。
同理 ( r , g ) ( f , g ).
故 ( f , g ) ( r , g );
f
gq
1
r1 ,
deg r1 deg
g
g r1 q 2 r2 , r1 r2 q 3 r3 ,
deg r2 deg r1
rs 2 rs 1 q s rs rs 1 rs q s 1
第二讲
带余除法与整除性; 最大公因子, 辗转相除法
1
GA02
§1- 2带余除法与整除性
定义 4 ： i ）设 f ( X ) a n X
n
n
a1 X a 0 , c F ,
则 f ( c ) a n c a 1 c a 0 , 称为 f ( X ) 在 c 点的值。