湖南省衡阳县第三中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

高三第一次月考试卷解析版数 学（理科）时量：120分钟 总分：150分（考试内容：选修2-3、集合与逻辑用语、函数、导数）【试卷点评】该试卷是一份不错的试卷，难度适中，既注重了基础知识的考查，也注重了数学能力的培养；既考查了基础知识，也考查了高考重要的知识点和考点，具有很大的研究价值和参考价值。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分） 1、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()RC AB 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅1、B 【解析】}40|{402222|2|≤≤=∴≤≤∴≤-≤-∴≤-x x A x x x}04|{≤≤-=y y B =∴B A }0,|{)(}0|{≠∈=∴=x R x x B A C x x R ，所以选择B.2、设232555322555a b c ===（,（）（），则a ， b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a3、已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为 （ ）A ．2-B ．1 C ．2 D ．54-()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++由算得：参照附表，得到的正确结论是 （ ） A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”.4、C 【解析】01.0)635.6(2=>K P ，所以性别与爱好某项运动没有关系的概率为1%， 即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，所以选择C.5、函数()()()⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 在R x ∈内单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B. )1,21[C．⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,856、设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ ）A ．(1,2)(3,)⋃+∞B ．)+∞C ．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）6、C 【解析】110222110112x x x ee e x x x --<>∴>=∴->∴>∴<<当时，2)(10,+∞7、设函数1()ln (0),()3f x x x x y f x =->=则 （ ） A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点； B ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点；C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.8、已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. 其中正确命题的个数为 （ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题（本大题共7小题，每小题5分．）9、函数y =的定义域为 。

2020-2021学年湖南衡阳高三上数学月考试卷一、选择题1. 设全集U=A∪B={x|−1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3}，则集合B=()A.{x|−1≤x<2}B.{x|−1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}2. 设复数z=1−i，则z3=()A.−2+2iB.2+2iC.−2−2iD.2−2i3. 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有( )A.70个B.64个C.60个D.58个4. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(ℎ)的关系为P=P0e−kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为( )A.13小时B.15小时C.17小时D.19小时5. 已知tanα=2，则sin(α−π4)sin(α+π4)=()A.−310B.310C.−35D.356. 大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，大摆锤启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β,B∈β.设OB=4AB，在大摆锤启动后，下列结论错误的是( )A.点A在某个定球面上运动B.β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，则θ+δ为定值C.可能在某个时刻，AB//αD.直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为√17177. 已知P是边长为1的正方形ABCD所在平面内一点，且满足PA→⋅(PB→+PC→+PD→)=0，则|PD→|的最小值是()A.√5−√23B.√2−13C.√5−√22D.√2−128. 已知函数f(x)={2−x,x≤2,(x−2)2,x>2,若函数y=f(x)+f(2−x)−m恰有2个零点，则实数m的取值范围是()A.(2,+∞)B.(74,2) C.(0,2) D.(−∞,2)二、多选题已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是( )A.当点A在圆O内（不与圆心重合）时，点Q的轨迹是椭圆B.点Q的轨迹可能是一个定点C.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支D.点Q的轨迹不可能是抛物线2020年3月15日，某市物价部门对5家商场某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x （元）与销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：经计算得y与x的回归直线方程为ŷ=−3.2x+â，相关系数r满足|r|=0.986，则下列说法正确的有()A.变量x，y线性负相关且相关性较强B.â=40C.当x=8.5时，y的估计值为12.8D.相应于点(10.5,6)的残差约为0.4已知函数f(x)=sinωx+cosωx的最小正周期是π，则下列判断正确的有()A.函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位得到B.函数f (x )在区间[π8,5π8]上是减函数 C.函数f (x )的图象关于点(−π8,0)对称D.函数f (x )取得最大值时x 的取值集合为{x|x =kπ+π8,k ∈Z }下列说法正确的是( )A.若0<a <b ，则“a +b =1”是“log 2a +log 2b <−2”的充要条件B.∀n ∈N ∗，(n +2)n+3>(n +3)n+2C.∃x ∈(0,π4)，2x1+x >sin 2xD.△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，若C 为钝角，则cos (sin A )>cos (cos B ) 三、填空题(x −1x )6展开式的常数项为________.在四面体S −ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠BAC =120∘,SA =2,BC =√7，则该四面体外接球的表面积为________.设双曲线C:y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的中心为O ，上，下焦点分别为 F 1,F 2，过F 1作以O 为圆心，实轴长为直径的圆的切线，切点为T ，直线F 1T 与C 的一条渐近线交于x 轴下方的点P ．若F 2P//OT ，则C 的离心率为________.九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏常被数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906～1967）也曾有一个由九个翡翠缳相连的银制九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用a n 表示按某种规则解下n 个圆环所需的最少移动次数．已知数列{a n }满足下列条件：a 1=1,a 2=2，a n =a n−2+2n−1(n ≥3，n ∈N ∗)， 记{a n }的前n 项和为S n ，则a 9=________， S 100=________.四、解答题在①AD 是BC 边上的高，且AD ⋅BC =6√3，②AD 平分∠BAC ，且AD =12√37，③AD 是BC 边上的中线，且AD =√372.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC 的长．问题：在锐角△ABC 中，已知AB =4,AC =3，D 是边BC 上一点，________，求边BC 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=32，S 3=92. (1)求{a n }的公比q ；(2)若m ≠n 时，a m ≠a n ，求数列{16na n }的前n 项和T n .“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”．为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查（一位市民只参加一次）.通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：(1)由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分ξ∼N (μ,198)，μ近似为这100人得分的均值．求得分在区间(80,94]的概率P (80<ξ≤94)；（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在(1)的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费，每次获赠的随机话费和对应的概率如下表所示：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据：①35×1+45×12+55×22+65×25+75×25+85×11+95×4=6600；②√198≈14;③若X ∼N (μ,σ2)，则P (μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6826，P (μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544.OO1，点P在如图，三棱柱ABC−A1B1C1内接于圆柱OO1，已知圆柱OO1的轴截面为正方形，AB=AC=√306轴OO1上运动．(1)证明：不论P在何处，总有BC⊥PA1；(2)当P为OO1的中点时，求平面A1PB与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)=cos x(x≥0).x2；(1)证明：f(x)≥1−12(2)若对任意的x≥0，都有f(x)+ae x−x≥2恒成立，求a的取值范围．.已知抛物线C的顶点在原点O，准线方程为x=−12(1)求抛物线C的标准方程；(2)点A，B在C上，且OA⊥OB,OD⊥AB，垂足为D．直线OD另交C于点E，当四边形OAEB面积最小时，求直线AB的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南衡阳高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算【解析】左侧图片未给出解析．【解答】解：根据U=A∪B以及A∩(∁U B)知图中阴影集合为{x|2<x<3}，从而B={x|−1≤x≤2}.故选B．2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：z3=(1−i)3=(1−i)2(1−i)=(−2i)(1−i)=−2−2i.故选C．3.【答案】D【考点】棱锥的结构特征棱柱的结构特征【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有C84=8×7×6×54×3×2×1=70种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有70−12=58个．故选D．【解答】解：三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有C84=8×7×6×54×3×2×1=70种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有70−12=58个．故选D．4.【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】考查指数和对数的运算、估算和数据处理能力，属于中档题．【解答】解：由已知t=5ℎ时，P=(1−10%)P0=90%P0，故90%P0=P0e−5k⇒k=ln0.9−5．污染物减少27%，即P=(1−27%)P0=73%P0≈0.729P0=0.93P0，由0.93P0=P0e ln0.95t=P0(e ln0.9)t5=P0(0.9)t5⇒t=15ℎ.故选B．5.【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由sin(α−π4)sin(α+π4)=−12cos2α=(−12)⋅1−tan2α1+tan2α=1310，故选B．【解答】解：由sin(α−π4)sin(α+π4)=−12cos2α=(−12)⋅1−tan2α1+tan2α=310.故选B．6.【答案】C【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面所成的角空间点、线、面的位置【解析】此题暂无解析【解答】解：因为点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，所以OA=√OB2+AB2.又因为OB，AB为定值，所以OA也是定值，所以点A在某个定球面上运动，故A正确；作出简图如下，则OB⊥l，所以δ+θ=π2，故B正确；因为B∈α，所以不可能有AB//α，故C错误；设AB=a，则OB=4a，OA=√AB2+OB2=√17a. 当AB⊥α时，直线OA与平面α所成角最大，此时直线OA与平面α所成角的正弦值为a √17a =√1717，故D正确.故选C．7.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算点与圆的位置关系【解析】本题考查解析法研究平面几何问题，向量数量积的运算，圆外一点与圆上的点的距离最值问题，属中档题．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．设P(x,y)，则PA→=(−x,−y)，PB→=(1−x,−y)，PC→=(1−x,1−y)，PD→=(−x,1−y),∴PB→+PC→+PD→=(2−3x,2−3y).∵PA→⋅(PB→+PC→+PD→)=0，∴(−x)(2−3x)+(−y)(2−3y)=0，即(x−13)2+(y−13)2=(√23)2，∴点P在以M(13,13)为圆心，半径为r=√23的圆上．又|PD→|表示圆上的点到点D的距离，∴|PD→|min=|DM→|−r=√(1)2+(−2)2−√2=√5−√23．故选A．8.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：由f(x)={2−x,x≤2,(x−2)2,x>2得f(2−x)={x,x≥0,x2,x<0,所以y =f (x )+f (2−x )={x 2−x +2,x <0,2,0≤x ≤2,x 2−3x +4,x >2,所以函数y =f (x )+f (2−x )−m 恰有2个零点等价于函数y =m 与函数y =f(x)+f(2−x)的图象有2个公共点，如图，由图象可知m >2． 故选A ． 二、多选题【答案】 A,B,D 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义，侧重考查数学抽象的核心素养． 【解答】解：对于A ，如图1，连结QA ，由已知得|QA|=|QP|，所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r ， 又因为点A 在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆， 故A 正确；对于B ，如图2，当点A 在圆上时，点Q 与圆心重合，轨迹为定点， 故B 正确；对于C ，如图3，连结QA ，由已知得|QA|=|QP|，所以|QA|−|QO|=|QP|−|QO|=|OP|=r . 又因为点A 在圆外，所以|OA|>|OP|，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为实轴长的双曲线, 故C 错误；对于D ，由于当点A 与圆心O 重合时，点Q 的轨迹为圆， 综合A ，B ，C 可知点Q 的轨迹不可能为抛物线， 故D 正确. 故选ABD ． 【答案】 A,B,C【考点】线性相关关系的判断 回归分析 求解线性回归方程【解析】对A ，由表可知y 随x 增大而减少，可认为变量x,y 线性负相关，且相关性强,故A 正确．对B ，价格平均x ¯=15(9+9.5+10+10.5+11)=10，销售量y ¯=15(11+10+8+6+5)=8故回归直线恒过定点(10,8)，故8=−3.2×10+a ̂⇒a ̂=40 ,故B 正确． 对C ，当x =8.5时， y ̂=−3.2×8.5+40=12.8，故C 正确对D ，相应于点(10,8)的残差约为ê=6−(−3.2×10.5+40)=−0.4，故D 不正确．故选ABC 。

2020-2021学年湖南衡阳高三上数学月考试卷一、选择题1. 设全集U=A∪B={x|−1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3}，则集合B=()A.{x|2≤x<3}B.{x|2<x<3}C.{x|−1≤x<2}D.{x|−1≤x≤2}2. 设复数z=1−i，则z3=()A.2−2iB.−2−2iC.−2+2iD.2+2i3. 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有( )A.58个B.60个C.70个D.64个4. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(ℎ)的关系为P=P0e−kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为( )A.19小时B.17小时C.13小时D.15小时5. 已知tanα=2，则sin(α−π4)sin(α+π4)=()A.3 5B.−35C.−310D.3106. 大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，大摆锤启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β,B∈β.设OB=4AB，在大摆锤启动后，下列结论错误的是( )A.直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为√1717B.可能在某个时刻，AB//αC.点A在某个定球面上运动D.β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，则θ+δ为定值7. 已知P是边长为1的正方形ABCD所在平面内一点，且满足PA→⋅(PB→+PC→+PD→)=0，则|PD→|的最小值是()A.√2−12B.√5−√22C.√5−√23D.√2−138. 已知函数f(x)={2−x,x≤2,(x−2)2,x>2,若函数y=f(x)+f(2−x)−m恰有2个零点，则实数m的取值范围是()A.(−∞,2)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(74,2)二、多选题已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是( )A.点Q的轨迹不可能是抛物线B.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支C.当点A在圆O内（不与圆心重合）时，点Q的轨迹是椭圆D.点Q的轨迹可能是一个定点2020年3月15日，某市物价部门对5家商场某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x （元）与销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：经计算得y与x的回归直线方程为ŷ=−3.2x+â，相关系数r满足|r|=0.986，则下列说法正确的有()A.相应于点(10.5,6)的残差约为0.4B.当x=8.5时，y的估计值为12.8C.变量x，y线性负相关且相关性较强D.â=40已知函数f(x)=sinωx+cosωx的最小正周期是π，则下列判断正确的有()A.函数f(x)取得最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+π8,k∈Z}B.函数f(x)的图象关于点(−π8,0)对称C.函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位得到D.函数f(x)在区间[π8,5π8]上是减函数下列说法正确的是()A.△ABC的内角分别为A，B，C，若C为钝角，则cos(sin A)>cos(cos B)B.∃x∈(0,π4)，2x1+x2>sin2xC.若0<a<b，则“a+b=1”是“log2a+log2b<−2”的充要条件D.∀n∈N∗，(n+2)n+3>(n+3)n+2三、填空题(x−1x )6展开式的常数项为________.在四面体S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120∘,SA=2,BC=√7，则该四面体外接球的表面积为________.设双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的中心为O，上，下焦点分别为F1,F2，过F1作以O为圆心，实轴长为直径的圆的切线，切点为T，直线F1T与C的一条渐近线交于x轴下方的点P．若F2P//OT，则C的离心率为________.九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏常被数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906～1967）也曾有一个由九个翡翠缳相连的银制九连环（如图）．现假设有n个圆环，用a n表示按某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数．已知数列{a n}满足下列条件：a1=1,a2=2，a n=a n−2+2n−1(n≥3，n∈N∗)，记{a n}的前n项和为S n，则a9=________，S100=________. 四、解答题在①AD是BC边上的高，且AD⋅BC=6√3，②AD平分∠BAC，且AD=12√37，③AD是BC边上的中线，且AD=√372.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC的长．问题：在锐角△ABC中，已知AB=4,AC=3，D是边BC上一点，________，求边BC的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=32，S3=92.(1)求{a n}的公比q；(2)若m≠n时，a m≠a n，求数列{16na n}的前n项和T n.“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”．为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查（一位市民只参加一次）.通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：(1)由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分ξ∼N(μ,198)，μ近似为这100人得分的均值．求得分在区间(80,94]的概率P(80<ξ≤94)；（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在(1)的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费，每次获赠的随机话费和对应的概率如下表所示：现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．附：参考数据：①35×1+45×12+55×22+65×25+75×25+85×11+95×4=6600；②√198≈14;③若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.OO1，点P在如图，三棱柱ABC−A1B1C1内接于圆柱OO1，已知圆柱OO1的轴截面为正方形，AB=AC=√306轴OO1上运动．(1)证明：不论P在何处，总有BC⊥PA1；(2)当P为OO1的中点时，求平面A1PB与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)=cos x(x≥0).x2；(1)证明：f(x)≥1−12(2)若对任意的x≥0，都有f(x)+ae x−x≥2恒成立，求a的取值范围．.已知抛物线C的顶点在原点O，准线方程为x=−12(1)求抛物线C的标准方程；(2)点A，B在C上，且OA⊥OB,OD⊥AB，垂足为D．直线OD另交C于点E，当四边形OAEB面积最小时，求直线AB的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南衡阳高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】Ve都n资表达长合氧关系及运算交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】棱锥于结构虫征棱柱三实构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】三角都数升恒害涉换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】与二使之有关余请体几何综合题直线与正键所成的角空间点、常簧面的位置【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用平面向量三量积州运算点与圆常位陆关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】圆锥曲验库轨迹问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】线性相表关木的判断回根分萄求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函因的周激性函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换正弦函较的对盛性正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性必要条水表综分条近与充要条件的判断余弦函验库单调性正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球内较多面绕球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式数使的种和数三的最用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和等比数使的前n种和等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线离散来随机兴苯的期钱与方差离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用都数资究不长式化成立问题利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线水常物草结合夹最值问题抛物线正算准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

衡阳县三中2018届毕业班月考试题（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题nn N n p 2,:2>∈∃，则p ⌝为（ ）A ．n n N n 2,2>∈∀B ．2,2≤∈∃n N n C ．nn N n 2,2≤∈∀D ．nn N n 2,2=∈∃2.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==；则B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10 3.函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3(4.已知命题:p “2>x ”是“1>x ”的充分不必要条件；命题:q 若b a >，则ba 11<，在命题：①q p ∧，②q p ∨⌝，③)(q p ⌝∧，④)()(q p ⌝⌝∧中，真命题是（ ）A ．①B ．② C. ③ D ．④ 5.函数)4(21log)(2-=x x f 的单调递增区间为（ ） A ．)2,(--∞ B ．)0,(-∞ C. ),2(+∞ D ．),0(+∞6.当]1,(--∞∈x 时，不等式024)(2<-⋅-xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．)1,2(- B ．)3,4(- C. )4,3(- D ．)2,1(- 7.如10,1<<<>a b c ，则（ ）A ．c c b a <B ．cc ab ba < C. c b c a a b log log <D ．c c b a log log <8.设⎩⎨⎧≥+<+=0)1(20),(log )(23x t x t x x f x，且6)1(=f ，则))2((-f f 的值为（ ） A ．12 B ．18 C.121 D ．181 9.函数)(x f y =对任意x 都有)1()(),()(+-==-x f x f x f x f ，且在]1,0[上为减函数，则（ ）A ．)57()37()27(f f f << B ．)37()27()57(f f f << C.)57()27()37(f f f << D ．)27()37()57(f f f << 10.已知函数||ln )(x x x f -=，则)(x f 的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．11.函数211log sin )(2+-++=xxb x a x f （b a ,为常数），若)(x f 在)1,0(上有最小值为4-，则)(x f 在)0,1(-上有（ ）A ．最大值8B ．最大值6 C. 最大值4 D ．最大值212.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（ ） A ．2121≤≤-t B ．22≤≤-t C. 21≥t 或21-≤t 或0=t D ．2≥t 或2-≤t 或0=t第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.当),0(+∞∈x 时，幂函数352)1(----=m xm m y 为减函数，则实数m 的值为 ．14.设集合}353|{1+==-xy y A ，集合}21log |{4>=m m B ，若B A ⊆，则x 的取值范围是 ．15.已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域均为],[ππ-，且它们在],0[π∈x 上的图象如图所示，则不等式0)()(<⋅x g x f 的解集是 ．16.函数)(x f 是R 上的偶函数，R x ∈∀恒有)2()()4(f x f x f -=+，且当]0,2(-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若)1)(2(log )()(>+-=a x x f x g a 在区间]6,2(-上恰有3个零点，则a的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题A x p ∈:，且}11|{+<<-=a x a x A ，命题B x q ∈:，且)}23lg(|{2+-==x x y x B .（1）若R B A =⋃，求实数a 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数1)(2++=bx ax x f （b a 、为实数）⎩⎨⎧<->=∈0),(0),()(,x x f x x f x F R x ，（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，①求)(x F 的表达式；②求)(x F 的单调增区间.（2）在（1）的条件下，当]2,2[-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围.19. 如图，在直棱柱1111D C B A ABCD -中，BC AD //，3,1,,901===⊥=∠AA AD BC BD AC BAD .（1）证明：D B AC 1⊥；（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值.20. 已知0(3log 2)(log )(2>-+=m x x x f m m ，且)1≠m（1）当2=m 时，解不等式0)(<x f ；（2）0)(<x f 在]4,2[恒成立，求实数m 的取值范围.21. 定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期4，且)2,0(∈x 时，193)(+=x xx f .（1）求)(x f 在]2,2[-上的解析式；（2）判断)(x f 在)2,0(上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程λ=)(x f 在]2,2[-上有实数解？ 22.已知函数xxx f -+=1ln21)(. （1）求证：存在定点M ，使得函数)(x f 图象上任意一点P 关于M 点对称的点Q 也在函数)(x f 的图象上，并求出点M 的坐标；（2）定义)1()2()1()(11nn f nf n f n i f S n i n -++=∑=-= ，其中*N n ∈且2≥n ，求2016S ；（3）对于（2）中的n S ，求证：对于任意*N n ∈都有321211ln ln nn S S n n ->-++.试卷答案一、选择题1-5:CDBCA 6-10:DDABA 11、12：AD二、填空题13. 1- 14. )2,(-∞ 15. ),3()0,3(πππ⋃-16. ]2,4(3三、解答题17.解：（1）由题意知，1|{}023|{2<=>+-=x x x x x B 或}2>xR B A =⋃ ，且21,2111},11|{<<∴⎩⎨⎧>+<-∴+<<-=a a a a x a x A 即所求实数a 的取值范围是)2,1(.（2）由（1）知，1|{<=x x B 或}2>x ，且}11|{+<<-=a x a x A ，q ⌝ 是p ⌝的充分条件，p ∴是q 的充分条件，11,≤+∴⊆∴a B A 或0,21≤∴≥-a a 或3≥a ，即所求实数a 的取值范围是0|{≤a a 或}3≥a . 18.解：（1）（i ）01,0)1(=+-∴=-b a f ① 又)(x f 得值域为),0[+∞0>∴a 且0=∆即042=-a b ②由①②可知，2,1==b a ，12)(2++=∴x x x f ，⎩⎨⎧<--->++=∴0,120,12)(22x x x x x x x F ，（ii ）单调增区间为),0(),1,(+∞--∞，单调减区间为)0,1(-. （2）1)2()()(2+-+=-=x k x kx x f x g 对称轴22-=k x ， 要使)(x g 在]2,2[-上是单调函数，则222≥-k 或222-≤-k . 即6≥k 或2-≤k .19.解：（1） 1111D C B A ABCD -是直棱柱，⊥∴1BB 面ABCD ，且⊂BD 面ABCDAC BB ⊥⇒1，又BD AC ⊥ ，且⊥∴=⋂AC B BB BD ,1面1BDB .⊂D B 1 面D B AC BDB 11,⊥∴.（2）AD BC C B ////11 ，∴直线11C B 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ，建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为Y 轴正半轴，AD 为X 轴正半轴. 设)0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(1y C y B D D A ，则→→→→⊥-==BD AC y BD y AC ),0,,3(),0,,1()3,0,3(),0,3,1(.30,003012→→→→=∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC .设平面1ACD 的法向量n ，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→001AD n AC n 平面1ACD 的一个法向量)0,0,3(),3,1,3(=-=→AD n∴平面1ACD 的一个法向量7213733|cos |sin )0,0,3(),3,1,3(=⋅=>⋅<=⇒=-=→→AD n AD n θ 所以1BD 与平面1ACD 夹角的正弦值为721. 20.解：（1）当2=m 时，解不等式0)(<x f ，得03log 2)(log 2<-+x x m m ，即1log 32<<-x ， 故不等式的解集为}281|{<<x x ； （2）由0)(<x f 在]4,2[恒成立，得1log 3<<-x m 在]4,2[恒成立，①当1>m 时，有⎩⎨⎧<<-12log 2log 3m m ，得4>m ，②当10<<m 时，有⎩⎨⎧<<-12log 4log 3m m ，得3410<<m ，故实数m 的取值范围),4()41,0(3+∞⋃.21.解：（1）设)0,2(-∈x ，则)2,0(∈-x)2,0(∈x 时，xx xxx f 3131193)(+=+=xx x f 3131)(+=-由函数)(x f 为奇函数可得，)()(x f x f -=xx x f 3131)(+=∴0)0(=f ，周期为4且为奇函数，)2()2()2(f f f =-=-0)2()2(==-∴f f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈+-±=∈+=+=---)0,2(,3312,0,0)2,0(,331331)(x x x x f x x x x xx （2）设2021<<<x x 令x xx g 313)(+=， 则21122122113333)33(313313)()(21x x x x x x x x x x x g x g ⋅-+-=--+=-)3311)(33(2121x x xx ⋅--=,2021<<<x x ,)()(21x g x g <∴∴函数)(x g 在)2,0(单调递增，且0)(>x g)(x f ∴在)2,0(单调递减.（3）由（2）可得当20<<x 时，xx x f -+=331)(单调递减故21)(829<<x f ， 由奇函数的对称性可得，)0,2(-∈x 时，829)(21-<<-x f 当0=x 时，0)0(=f关于方程λ=)(x f 在]2,2[-上有实数解21829<<∴λ或82921-<<-λ或0=λ. 22.解：（1）显然函数定义域为)1,0(，设点M 的坐标为),(b a ，则b aax x axx x a x a x x x a f x f 22122ln 1212ln 211ln21)2()(22=-++-+-+=+--++-+=-+ 对于)1,0(∈x 恒成立，于是⎩⎨⎧==-,21,021b a 解得21==b a所以存在定点)21,21(M ，使得函数)(x f 在图象上任意一点P 关于M 点对称的点Q 也在函数)(x f 的图象上.（2）由（1）得1)1()(=-+x f x f ，)1()2()2()1(nn f n n f n f n f S n -+-+++= ① )1()2()21()11(nf n f n f n f S n ++-+-=∴ ②①+②，得12-=n S n ，),2(21*N n n n S n ∈≥-=∴，故220152016=S . （3）当*N n ∈时，由（2）知)11ln(lnln ln 1212nS S S S n n n n +==-++++， 于是321211ln ln n n S S n n ->-++等价于)11ln(n +3211n n ->. 令)1ln()(23x x x x g ++-=，则xx x x g +-+='1)1(3)(22，∴当),0[+∞∈x 时，0)(>'x g ，即函数)(x g 在),0[+∞上单调递增，又0)0(=g .于是，当),0(+∞∈x 时，恒有0)0()(=>g x g ，即0)1ln(23>++-x x x 恒成立. 故当),0(+∞∈x 时，有32)1ln(x x x ->+成立，取),0(1+∞∈=nx ， 则由3211)11ln(nn n ->+成立.。

2020届高中毕业班联考（一）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)0}A x x x =+<，1|12x B x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则B A =ð（ ） A ．(1,0]- B ．(1,0)- C ．(,1]-∞- D ．(,0]-∞ 2．复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)，则||z z的实部与虚部的和是（ ）A B ．0C D -3．若“x R ∃∈，使得sin x x a -=”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞4．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上单调递增，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．已知向量a r ，b r 满足：||a =r ||2b =r ，()a b a -⊥r r r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2C D ．1 6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ）A．7 9B．29C．49D．597．二项式3(1)(0)mx m->展开式的第二项的系数为3-，则mxe dx⎰的值为（）A．1e-B．1e+C．1e-D．11e-8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示2222224(,)(1)1(1)1x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A∈，则z x y=+的取值范围是（）A．[12,22]-B．[2,22]- C．[22,12]-+D．[2,12]-+9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x （单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是（）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A．0.04y x=B． 1.0151xy=-C．tan119xy⎛⎫=-⎪⎝⎭D．11log(310)y x=-10．已知1F，2F分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点，过点1F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若12MF MF⋅>u u u u r u u u u r，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．2)B．3,)+∞C．(1,2)D．(2,)+∞11．已知A 是函数()sin 2020cos 202063f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x ，总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x ⋅+的最小值为（ ）A ．1010π B ．2020π C ．3030π D ．4040π12．如图，矩形中ABCD ，22BC AB ==，N 为边BC 的中点，将ABN △沿AN 翻折成1B AN △（1B ∉平面ABCD ），M 为线段1B D 的中点，则在ABN △翻折过程中，下列命题：①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直；②线段CM ；③异面直线CM 与1NB ④当三棱锥1D ANB -的体积最大时，三棱锥1D ANB -外接球表面积是4π．正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷本卷包括必考题与选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线2ln y x x =+在点(1,1)处的切线与直线20x ay -+=平行，则实数a 的值为_________．14．在ABC △中，边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ．ABC △的面积S 满足2223S b c a =+-，若a =sin sin a cA C-=-_________． 15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(,2)M t ，满足1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则||AB =________．16．已知m 为整数，若对任意(3,)x ∈+∞，不等式ln(3)1m x x e-≤恒成立，则m 的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必做题（共60分）17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，39a =，9135S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列21n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭前n 项和为n T ，证明：1163n T ≤<．18．如图，在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =（1）若点F 为BC 的中点，证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60°，求平面DCE 与平面ABC 所成的角（锐角）的余弦值．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>21F ，2F ，过2F 的直线与C 交于M ，N 两点，1MF N △的周长为42 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过M 作与y 轴垂直的直线l ，点3,02K ⎛⎫⎪⎝⎭，试问直线NK 与直线l 交点的横坐标是否为定值？请说明理由．20．若方程()f x x =有实数根0x ，则称0x 为函数()f x 的一个不动点．已知函数ln ()(1)ln ()x x f x e a x a x a R -=++-∈（1）若a e =-，求证：()f x 有唯一不动点； （2）若()f x 有两个不动点，求实数a 的取值范围．21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：随机抽取某市2020名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1∶1∶1∶2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT 从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入？ （二）选做题（共10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox 中，方程(1sin )(0)a a ρθ=->表示的曲线1C 就是一条心形线．如图，以极轴Ox 所在直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中，已知曲线2C 的参数方程为3133x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数）．（1）求曲线2C 的极坐标方程（2）若曲线1C 与2C 相交于A ，O ，B 三点，求线段AB 的长． 23．已知函数()|6|||f x x x m -+-R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）设t 为m 的最大值，实数,,a b c 满足222a b c t ++=． 试证明：2221111111a b c ++≥+++． 衡阳市2020届高三第一次联考数学（理科）参考答案1．【答案】C【解析】依题意，(1,0)A =-，(,0)B =-∞，所以(,1]B A =-∞-ð，故选C ．【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题． 2．【答案】B【解析】1z i =+，所以22||||112z z ==+=所以||222z z ==-，所以复数||z z的实部是2虚部是2-，故选B ． 【命题意图】源于教材的基础题，本题考查复数几何意义、复数的模、共轭复数、复数除法运算以及复数实部、虚部的概念，属基础题 3．【答案】A【解析】由题意知，x R ∃∈使得sin 2sin 3x x x a π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，知[2,2]a ∈-，选A ．【命题意图】此题重在考查三角函数与简易逻辑的交汇、辅助角公式的应用，属于中档题． 4．【答案】B【解析】∵()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，∵函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，在该函数在区间(0,)+∞上为减函数，∵1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在(0,)+∞上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2x y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即1.210212-<<<，∴ 1.22102log 32-<<<，因此，b c a >>． 【命题意图】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题． 5．【答案】D【解析】∵2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=r r r r r r r r r r ，因此a r 在b r方向上的投影为2||cos ,12||a b a a b b ⋅⋅〈〉===r r r r r r ．【命题意图】本题结合向量数量积的几何运算考查向量的投影的概念，属于基础题型． 6．【答案】A【解析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以252102()9C p A C ==，因此27()1()199p A p A =-=-=，故选A ．【命题意图】本题考查了超几何分布以及对立事件的概率，旨在考查学生的分析转化题意，求解运算能力．7．【答案】A【解析】二项式3(1)(0)mx m ->的展开式的通项公式得1212223()(1)3T C mx m x =-=-．∵第二项的系数为3-，∴233m -=-，∴21m =，0m >，解得1m =．当1m =时，则111x x e dx e e ==-⎰，故选A ．【命题意图】本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题．旨在考查考生的分析转化能力，逻辑推理，求解运算能力． 8．【答案】C【解析】如图，作直线0x y +=，当直线上移与圆22(1)1x y +-=相切时，z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线0x y z +-=的距离等于1，即12=，解得z 的最大值为：12+，当下移与圆224x y +=相切时，z x y =+取最小值，同理22=，即z 的最小值为：22-，所以[22,12]z ∈-+．故选C ．【命题意图】本题考查线性规划的数据应用，考查数形结合思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力． 9．【答案】D【解析】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意； 对于函数：tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意； 对于函数：11log (310)y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数， 且111111log (310010)log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意，故选D ．【命题意图】本题结合现实生活情境，考查函数模型的应用解题关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验，属于中档题． 10．【答案】D【解析】不妨设过点1(,0)F c -与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为ax y c b=-，与另一条渐近线b y x a =-的交点为,22c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由120MF MF ⋅>u u u u r u u u u r 得3,,02222c bc c bc a a ⎛⎫⎛⎫--⋅-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有223b a >，又因为2e =>，故选D ．【命题意图】本题涉及双曲的渐近线、离心率等基本量的计算，旨在考查学生的数形结合思想，分析转化能力．另外120MF MF ⋅>u u u u r u u u u r等价于点M 在以线段12F F 为直径的圆外，于是也可以由||OM c >获得结论． 11．【答案】C211()sin 2020cos 20202020cos2020cos20202020632222f x x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2020cos20202sin 20206x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴max ()2A f x ==，又存在实数12,x x ，对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，∴()2max ()2f x f x ==()1min ()2f x f x ==-，作出函数()f x 的图象，由图可知，122x x +的最小值即为函数()f x 最大负零点0x 的绝对值0x ，而062020x πϕω=-=-，于是有12A x x ⋅+的最小值为62220203030ππ⎛⎫ ⎪⋅-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ．【命题意图】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，重在考查学生数形结合思想以及直观想象核心素养． 12．【答案】B【解析】取1AB的中点K ，AD 的中点O ，连接KM ，KN ，1OB ，ON ，显然CM ∥平面1B AN ，故①正确；2222111512CM NK B N B K ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭，故②错误；1KNB ∠即为异面直线CM 与1NB 所成角，1111tan 2B K KNB B N ∠==，故③错误；显然O 为三棱锥1B AND -外接球球心，且1R OA ==，故④正确，综上，①④正确，选B ．【命题意图】本题考查翻折过程中点线面位置关系、相关角度、长度、体积的计算．旨在考查考生的直观想象、数学运算核心素养． 13．【答案】13【解析】由12y x x '=+，有13a =，从而13a =． 【命题意图】题主要考查导数的几何意义、两直线的位置关系，属于容易题． 14．【答案】2【解析】由余弦定理得：222222cos 2cos 2b c a A b c a bc A bc+-=⇒+-=⋅，由面积公式1sin 2S bc A =⋅在ABC △的面积S 满足22233S b c a =+-，可得tan 3A =，3A π=，即3sin 2A =，再由正弦定理：22sin a R A ==，有22sin sin a c R A C-==-． 【命题意图】本题主要考查了正余弦定理的合理运用，熟悉公式及化简是解题的重点，属于较为基础题． 15．【答案】8【解析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，m R ∈，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，于是有121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，根据题意有1244y y m +==，()12122322m y y x x t +++===，所以||2(31)8AB =+=． 【命题意图】本题主要考查抛物线的简单性质，以及抛物线与直线的位置关系．解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题． 16．【答案】1m =【解析】解法1：由题意对任意的(3,)x ∈+∞，不等式ln(3)1m x x e-≤恒成立，则3x e =+时，不等式ln(3)1m x x e-≤也成立，代入3x e =+得3m e e ≤+，则1m ≤，这是满足题意的一个必要条件，又m 为整数，只需验证1m =时，对任意的(3,)x ∈+∞，不等式ln(3)1m x x e-≤恒成立，即证1ln(3)1x x e -≤，变形为1ln(3)x x e -≤对任意的(3,)x ∈+∞恒成立，令1()ln(3)g x x x e =--，(3,)x ∈+∞是3()(3)e x g x e x -+'=-，故()g x 在(3,)e ++∞递减，(3, 3)e +递增，∴3()(3)110g x g e e ≤+=--<，∴1ln(3)x x e-≤对任意的(3,)x ∈+∞恒成立，故1m =满足题意．（此法参照端点效应，小题可用）解法2：记ln(3)()x f x x -=，则2ln(3)3()xx x f x x---'=，令()ln(3)3xx x x ϕ=---，于是有231()0(3)3x x x ϕ-'=-<--，∴()x ϕ在(3,)+∞上单减，又7(7)2ln 204ϕ=->，8(8)ln505ϕ=-<，∴0(7,8)x ∃∈，使得()0max 00ln 3111(),354x f x x x -⎛⎫==∈ ⎪-⎝⎭，故有114me ≥，∴4me ≤，∴max 1m =． 【命题意图】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，运用导数工具解决含参数不等式恒成立问题关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这是解决此类题的常用手段，属于难题． 三、解答题17．【解析】（1）设公差为d ，由题意得：1129936135a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩，∴3n a n =．（2）令211132n nn c a ⎛⎫== ⎪⎝⎭则1106n c c <≤=∴116n T T ≥=，又11122111111332312nnn T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∴1163n T ≤<【命题意图】考查等差数列的基本量计算和数列的单调性，以恒成立思想为载体，旨在考查考生的知识的化归与转化能力，求解运算能力．18．【解析】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ，∵在DAC △中DA DC =，∴DO AC ⊥．∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC ．∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB ∥，且2AB OF =．又DE AB ∥，2AB DE =，∴OF DE ∥，且OF DE =． ∴四边形DEFO 为平行四边形．∴EF DO ∥，∴EF ⊥平面ABC ．（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系则(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,4,0)B -．∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角60EBF ∠=︒．∴tan 60DO EF BF ==︒=．∴D，(E -， 可取平面ABC 的法向量(0,0,1)m =r ，设平面DCE 的法向量(,,)n x y z =r，有CD =u u u r，CE =u u u r ，则020x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取1z =，则x =，y =，所以有m =r ，于是11cos ,||||144m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅u r rr r r r ，故所求二面角的余弦值为14．【命题意图】本题背景为底面为直角三角形的棱柱切去部分结构剩下几何体，对几何体中线面垂直、线线平行判定和性质、二面角平面角求法都有具体考查．旨在考查考生的空间想象、转化、求解运算能力．19．【解析】（1）三角形1MF N △的周长为442a =又2c e a ==，222a b c =+，得22a =，21b =，故所求椭圆方程为2212x y +=．（2）设()11,M x y ，()22,N x y 由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=∴12222m y y m -+=+，12212y y m -=+直线NK 的方程：223322y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，令1y y =，则有 ()12122122222222223131223222222222m m m y x y my y y y y y m m m x y y y y ⎛⎫⎛⎫----+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++=+====∴NH 与2l 交点的横坐标为定值2．【命题意图】着重考查解几中“可变图形中的不变性”这一核心内容考查考生的分析转化，数据处理能力．20．【解析】（1）解：当a e =-时，由()f x x =得，ln 0xe ex e x x -+=，令()ln xe F x ex e xx=-+其定义为(0,)+∞，从而有()122(1)()x x x e x e x xe e e F x e x x x ----'=-+=，易1x ex -≥在0x >时恒成立．故当(0,1)x ∈时，()0F x '<，()F x 在(0,1)上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞上单调递增，所以min()(1)ln10F x F e e e ==-+=．所以方程ln 0xe ex e x x-+=有唯一实数根01x =，故()f x 有唯一不动点．（2）解法1：()f x 有两个不动点等价于函数()ln x xe e h x a x x=+在(0,)+∞上有两个不同的零点，令xe t e x=>，则有()()ln h x g t t a t ==+，函数()h x 有两个零点等价于函数()g t 在(,)e +∞上有唯一零点，即方程1ln t a t =-在(,)e +∞上有唯一解，考虑ln ()()t h t t e t=->， 因2ln 1()0t h t t -'=>，∴()h t 在(,)e +∞上单调递增，且lim ()0x h t →+∞=，从而110e a-<<，∴a e <-．解法2：先证明2(0)x e x x >>．令()2xx e x ϕ=-，则()2xx e x ϕ'=-，()2xx e ϕ''=-．当(0,ln2)x ∈时，()0x ϕ''<，当(ln 2,)x ∈+∞时()0x ϕ''>，从而()(ln2)0x ϕϕ''≥>．因此，2()x x e x ϕ=-在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0x ϕϕ>=，所以2(0)x e x x >>，即2ln (0)x x x >>，()f x 有两个零点等价于ln ()ln x xe g x a x x -=+-有两个零点，ln 2(ln 1)(1)()(ln )x x e x x x g x x x x ----'=-，易知ln ln 0,1ln 0x xx ee x x x ->=>-->．当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以有min ()(1)g x g e a ==+．下面说明当a e <-时ln ()ln x xe g x a x x -=+-有两个零点．取()10,1a x e =∈有111ln ln x x x a->-=-，故()11ln 11111ln 0ln x x e g x a x x a x x -=+>-+>-．取2(1,)a x e -=∈+∞，且222ln ln x x x a->=-，故()22ln 22222ln 0ln x x e g x a x x a x x -=+>-+>-．又(1)0g e a =+<，由零点存在性定理知()f x在(0,1)存在唯一3x ，使()30g x =在(1,)+∞内存在4x 使()40g x =，综上有a e <-． 解法3：由()f x x =得，ln (ln )0x xea x x -+-=，令()ln t x x x =-，则1()x t x x-'=，显然()ln t x x x =-在(0,1)上单减，在(1,)+∞上单增，从而min ()(1)1t x t ==，令()(1)t g t e at t =+≥，根据题意知，()(1)tg t e at t =+≥在(1,)+∞上有唯一零点．（1）当0a ≥时，()0g t >恒成立，无零点，不符合题意：（2）当0a <时，令()0t g t e a '=+=，有ln()t a =-，由(ln())0g a -<得a e <-，此时(1)0g e a =+<，接下来只需在(1,)+∞上找一点0t ，使得()00g t >即可．因为2(0)te t t >>，从而20t e at t at +>+>，即0t a +>，∴t a >-，取0t a >-，不妨取02t a =-，有(2)0g a ->，所以()g t 在()01,t 上存在唯一零点，即()f x x =有两个不同实根，故a e <-．【命题意图】本题以不动点理论背景命制试题，涉及利用导数研究函数形态，切线放缩“1x ex -≥”、“xe ex ≥”、同型同构、变量分离求参数等方法的应用．重在考查考生的函数思想，求解运算能力．21．【解析】（1）旧政策下该收入层级的IT 从业者每月应纳的个税为15000.0330000.145000.2115000.254120⨯+⨯+⨯+⨯=（2）依据新政策，既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为240005000100018000--=，月缴个税30000.0390000.160000.22190X =⨯+⨯+⨯=；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000100017000---=，月缴个税30000.0390000.150000.21990X =⨯+⨯+⨯=；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000200016000---=，月缴个税30000.0390000.140000.21790X =⨯+⨯+⨯=；既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000500010001000200015000----=，月缴个30000.0390000.130000.21590X =⨯+⨯+⨯=；所以X 的可能值为2190，1990，1790，1590，依题意，上述四类人群的人数之比是2∶1∶1∶1，所以2(2190)5P X ==，1(1990)5P X ==，1(1790)5P X ==，1(1590)5P X ==， 所以X 的分布列为所以12()219019901790159018305555E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）因为在新政策下该收入层级的IT 从业者2019年月缴个税为1830，所以该收入层级的IT 从业者每月少缴交的个税为412018302290-=，设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过24000，则229024000x >，因为x N ∈，所以11x ≥．所以经过11个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过2019年的月收入．【命题意图】本道题结合“个税新政”这个话题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、样本估计总体的统计思想，综合性程度较高，着重对学生数据分析、数学运算能力的考查．22．【解析】（1）由1x y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），消参数t 0y -=， 令cos ,sin x y ρθρθ==cos sin 0θρθ-=化简得tan θ=3πθ=即得曲线2C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈．（2）由已知，不妨设,3A A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,3B B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是1sin 13A a a πρ⎛⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎝⎭，41sin 132B a a πρ⎛⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎝⎭，故||2AB a =．【命题意图】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，利用极坐标解决长度问题，旨在考查学生应用知识能力、等价转化能力．23．【解析】（1）由题意知，|6|||x x m -+≥恒成立，又|6||||(6)|6x x x x -+≥--=，所以实数m 的取值范围是6m ≤．（2）解法1：由（1）可知，2226a b c ++=，所以2221119a b c +++++=从而()()()22222222211111111111119111a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭222222222222111111113(36)191111119b ac a c b a b a c b c ⎛⎫++++++=++++++≥+= ⎪++++++⎝⎭， 当且仅当2221113a b c +=+=+=，即2222a b c ===时等号成立，证毕． 解法2：由权方和不等式，2222222222222111111(111)1111111111a b c a b c a b c ++++=++≥=+++++++++++ 解法3：由柯西不等式，22(111)++=+222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦从而有， 2222222111(111)1111111a b c a b c ++++≥=++++++++． 【命题意图】本题考查了三角不等式、三元均值不等式的应用，重在考查考生数学建模、运算求解能力．。

湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷一、单选题 1．设集合21{|0}{|3710}x A x B x x x x-=≤=-≤，，则A B =I （ ） A ．()11-， B ．1003⎛⎫⎪⎝⎭，C ．[]01，D ．(]01，2．已知复数z 满足z z ⋅=4且0z z z ++=，则2019z 的值为 A ．﹣1B ．﹣2 2019C ．1D ．2 20193．在ABC V 中，2AC =，D 为AB 的中点，12CD BC =P 为CD 上一点，且13AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，则AP =u u u r （ ）A B C D 4．已知甲植物生长了一天，长度为(0)a a >，乙植物生长了一天，长度为16a .从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取lg20.3,lg30.48==） A ．第6天B ．第7天C ．第8天D ．第9天5．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =4BC =，侧面PAB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P ABCD -内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为（ ）A 2B 1C ．2D ．16．已知()f x 是定义在[)0,+∞上单调递增且图像连续不断的函数，且有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+，设121x x >>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB △的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（ ） A ．1B ．34C ．12D ．388．已知函数()3e xf x -=，()1ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．ln 21- B ．ln 2 C ．1ln 2-- D ．1ln 2+二、多选题9．记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A ．()01f =B ．ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．直线32y x =是曲线()y f x =的切线10．已知数列{}n a 各项均为负数，其前n 项和n S 满足()*16N n n a S n ⋅=∈，则（ ）A ．数列{}n a 的第2项小于3-B ．数列{}n a 不可能是等比数列C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列{}n a 中存在大于1100-的项 11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，若a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC V 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC -.设BOC α∠=，AOC β∠=，AOB γ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．若平面ABC V 2的等边三角形，则a b c R === B ．若222a b c +=，则222αβγ+=C ．若π3a b c R ===，则球面O ABC -的体积3V > D ．若平面ABC V 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +>三、填空题12．甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为.13．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项是120，则实数a =．14．正四面体ABCD 的棱长为6，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅u u u r u u u r取得最小值时，PAD △的面积为.四、解答题15．若锐角ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ()cos cos sin cos a B C a A B A -+=．(1)求角A 的大小； (2)求22b a b+的取值范围16．已知数列 a n 是等差数列，13a =，0d ≠，且1a ，7a ，25a 构成等比数列， (1)求n a ；(2)设()n f n a =，若存在数列 b n 满足11b =，27b =，325b =，且数列(){}n f b 为等比数列，求{}n n a b 的前n 项和n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面ACM ；(2)若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．18．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当2 3.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联. 19．已知函数()()ln ,1f x x g x x ==-. (1)证明：()()f x g x ≤；(2)设()()()h x f x g x =-，求证：对任意的0b a <<，都有()()11h a h b a b a b->--+成立.。

2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x −4}，B ={x|−1⩽2x −1⩽0}，则C U A ∩B =( )A.B. [0,12]C. (12,4]D. (1,4]2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,−1)，则|z|=( )A. √5B. 5C. 3D. 13. 若命题“∃x ∈R ，x 2+(a −1)x +1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,3]B. (−1,3)C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)4. 已知函数f(x)=lg(|x |+1)，记a =f(50.2)，b =f(log 0.23)，c =f(1)，则a,b,c 的大小关系为( )A. b <c <aB. a <b <cC. c <a <bD. c <b <a5. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. −12B. 12C. −√32 D. √326. 在试验中，若事件A 发生的概率为0.2，则事件A 对立事件发生的概率为( )A. 0.9B. 0.8C. 0.7D. 0.67. 设a =∫ 0πsinxdx ，则二项式(ax x )8的展开式中x 2项的系数是( )A. −1120B. 1120C. −1792D. 17928. 若{0≤x ≤π2sinx ≤y ≤cosx，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (0,π6]B. [0,√3]C. [0,√3−π6]D. [0,√3+π6]9. 某地区植被破坏，土地沙化越来越重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷，则沙漠增加面积y(公顷)关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A. y =200xB. y =100x 2+100xC. y =100×2xD. y =0.2x +log2x10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x −2y +3=0平行，则双曲线的方程为( )A. x 216−y24=1 B. x 29−y 24=1 C. x 24−y 29=1D. x 28−y 24=111. 已知函数f (x )=sin (2020x +π4)+cos (2020x −π4)的最大值为M ，若存在实数m ，n ，使得对任意实数x 总有f(m)≤f(x)≤f(n)成立，则M ·|m −n|的最小值为A. π2020B. π1010C. π505D. 3π101012. 三棱锥P −ABC 中，PA 、PB 、PC 互相垂直，PA =PB =1，PM 垂直于BC 于M ，且直线AM与平面PBC 所成角的正切值是√62，则三棱锥P −ABC 的外接球表面积是( )A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =3x 2+2x 在点(1,5)处的切线与直线2ax −y −6=0平行，则实数a =________． 14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin 2A +c(sinC −sinA)=2sin 2B ，且△ABC的面积S =14abc.则角B =_________．15. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率为√3的直线l 与该抛物线分别交于A ，B 两点，(点A 在第一象限)，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=______． 16. 已知不等式e x −1≥kx +lnx ，对于任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则k 的最大值______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 3=2，前3项和S 3=92．(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 15，求{b n }的公比18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，点A(0,−2)在椭圆上，斜率为k的直线l过点E(0,1)且与椭圆交于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)设k1，k2分别为直线AC，AD的斜率，当k变动时，k1k2是否为定值？说明理由．20.已知函数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x>y>e−1时，证明不等式．21.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．(Ⅰ)若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；(Ⅱ)现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E(X)；(Ⅲ)记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．(只需写出结论)22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l与C 2交于O，M，与C 3交于O，N，求|MN|的值．23.(1)设函数f(x)=√的定义域为R，试求a的取值范围；(2)已知实数x，y，z满足x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的运算，求出A和B即得，属基础题．,由C U A得x<4，解：由A知x≥4，由B知0≤x≤12]则C U A∩B=[0,12故选B2.答案：A解析：解：由题意可得z=2−i，∴|z|=√22+(−1)2=√5故选：A由复数的几何意义可得z=2−i，由复数的模长公式可得．本题考查复数求模，涉及复数的几何意义，属基础题．3.答案：D解析：本题考查全称量词命题，属于基础题．结合二次函数图象，得到关于a的不等式，求解即可．解：因为命题“∃x∈R，x2+(a−1)x+1<0”是真命题，所以Δ=(a−1)2−4=a2−2a−3>0，解得a<−1，或a>3．故选D．4.答案：A解析：可以看出，f(x)是偶函数，并且在[0,+∞)上单调递增，从而得出b =f(log 0.213)，并且可以得出0<log 0.213<1<50.2，从而由f(x)在[0,+∞)上的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．解：f(x)是偶函数，在[0,+∞)上单调递增； ∴b =f(log 0.23)=f(−log 0.23)=f(log 0.213)；∵50.2>50=1，0<log 0.213<log 0.20.2=1； ∴0<log 0.213<1<50.2； ∴f(log 0.213)<f(1)<f(50.2)；∴b <c <a ． 故选：A ．5.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×1×cos120°1=−12， 故选：A ．根据余弦定理求出角A 的大小，结合向量投影的定义进行求解即可． 本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵在试验中，若事件A 发生的概率为0.2， ∴事件A 对立事件发生的概率为： P(A)=1−P(A)=1−0.2=0.8． 故选：B ．利用对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.答案：B解析：解：由题意a=∫πsinxdx=(−cosx)|0π=2，∴二项式为(2x−1√x)8，设展开式中第r项为T r+1，所以T r+1=C8r(2x)8−r(−√x )r=(−1)r C8r⋅x8−3r2⋅28−r，令8−3r2=2，解得r=4．代入得展开式中x2项的系数为：C84⋅24=1120．故选：B．利用定积分求出a，通过二项式定理的通项公式求出通项，通过x的指数为2求出项数，然后求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8.答案：D解析：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=−12x+z2，平移直线y=−12x+z2，由图象可知当直线经过点O时，直线y=−12x+z2的截距最小，此时z最小，z=0，当直线y=−12x+z2与y=cosx相切时，直线的截距最大，此时z最大，函数y=cosx的导数f′(x)=−sinx，目标函数的斜率k=−12，由−sinx=−12得sinx=12，解得x=π6，此时y=cosπ6=√32，即切点坐标为(π6,√32)，此时z=π6+2×√32=√3+π6，故z的取值范围是[0,√3+π6]，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合导数求出切线斜率，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及导数的几何意义求出切点坐标是解决本题的关键．综合性较强．9.答案：C解析：本题考查函数模型的选择方法，考查学生的计算能力，属于基础题．利用所给函数，分别令x=1，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论．解：对于A，x=1，2时，符合题意，x=3时，相差较大，不符合题意；对于B，x=1时，符合题意，x=2，3时，相差较大，不符合题意；对于C，x=1，2，3时，y值都近似符合题意；对于D，x=1，2，3时，相差较大，不符合题意；故选C．10.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．利用焦点到渐近线的距离为2，双曲线的一条渐近线与直线x−2y+3=0平行，求出a，b，即可得到双曲线方程．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为2，可得b=2，双曲线的一条渐近线与直线x−2y+3=0平行，可得ba =12，解得a=4，所求双曲线方程为：x216−y24=1．故选：A．11.答案：B解析：本题考查了诱导公式以及三角函数的周期性和最值问题，是中档题．根据题意，利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出M·|m−n|的最小值．解：因为=√2(sin2020x+cos2020x)，所以f(x)的最大值M=2．由题意知，f(m)为f(x)的最小值，f(n)为f(x)的最大值，所以，所以M·|m−n|的最小值为，故选B．12.答案：B解析：此题考查三棱锥P−ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM⊥BC时，直线AM与平面PBC所成角的正切值为√62，此时APPM =√62，PM=√2√3，在Rt△PBC中，PB⋅PC=BC⋅PM⇒PC=√11+PC2√2√3⇒PC=√2．三棱锥P−ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为√1+1+2=2，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径为R=1，∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=4π．故选B．13.答案：4解析：本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，属于基础题． 求导函数确定切线的斜率，利用切线与已知直线平行，即可求得a 的值． 解：求导函数可得y′=6x +2， 令x =1，则y′=6×1+2=8，∵曲线y =3x 2+2x 在点(1,5)处的切线与直线2ax −y −6=0平行， ∴2a =8， ∴a =4， 故答案为4.14.答案：π3解析：根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式求解即可． 解：由S =14abc 得，若2sin 2A +c(sinC −sinA)=2sin 2B ， 则，即a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理得，所以，故答案为π3．15.答案：34解析：本题考查了抛物线的定义与性质，属于中档题．联立方程组，求出A ，B 的横坐标，得出|AF|，|AB|，从而得出λ的值． 解：直线l 的方程为：y =√3(x −p2)，联立方程组{y =√3(x −p2)y 2=2px，消元可得：3x 2−5px +3p 24=0，解得：x1=p6，x2=3p2，∴|AF|=x2+p2=2p，|AB|=x1+x2+p=8p3，∴λ=|AF||AB|=34．故答案为34．16.答案：e−1解析：本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用，求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．不等式e x−1≥kx+lnx，对于任意的x∈(0,+∞)恒成立．等价于k≤e x−1−lnxx对于任意的x∈(0,+∞)恒成立；求得f(x)=e x−1−lnxx(x>0)的最小值即可求得k的取值．解：不等式e x−1≥kx+lnx，对于任意的x∈(0,+∞)恒成立．等价于k≤e x−1−lnxx对于任意的x∈(0,+∞)恒成立．令f(x)=e x−1−lnxx，(x>0)，f′(x)=e x(x−1)+lnxx2，令g(x)=e x(x−1)+lnx，(x>0)，则g′(x)=xe x+1x>0，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，g(1)=0，∴x∈(0,1)时，g(x)<0，x∈(1,+∞)时，g(x)>0．∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0．∴x∈(0,1)时，f(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，f(x)单调递增．∴f(x)min=f(1)=e−1∴k≤e−1．则k 的最大值为e −1． 故答案为：e −1．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=2，前3项和S 3=92．∴a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12． ∴a n =1+12(n −1)=n+12；(2)b 1=a 1=1，b 4=a 15=8，可得等比数列{b n }的公比q 满足q 3=8，解得q =2．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=2，前3项和S 3=92.可得a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1，d.即可得出．(2)b 1=a 1=1，b 4=a 15=8，可得等比数列{b n }的公比q 满足q 3=8，解得q ．18.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD 是正三角形，E 是AD 中点，∴PE ⊥AD ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ， ∴PE ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥CE ， ∵底面ABCD 是矩形且AD =2AB ， ∴AE =DE =AB =CD ， ∴∠AEB =∠DEC =45°， ∴∠AEB +∠DEC =90°， ∴∠BEC =90°，∴BE ⊥CE ， ∵PE ∩BE =E ，∴CE ⊥平面PBE ．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c ．∵椭圆的离心率为e =ca =√33，点A(0,−2)在椭圆上，∴{c a =√33b =2a 2=b 2+c 2, 解得a =√6，b =2，c =√2， ∴椭圆的方程为x 26+y 24=1；(2)当k 变动时，k 1k 2为定值−2， 证明如下：设直线l 的方程为y =kx +1． 由{x 26+y 24=1y =kx +1得(3k 2+2)x 2+6kx −9=0，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6k3k 2+2，x 1x 2=−93k +2， 因为A(0,−2)， 所以k 1=y 1+2x 1，k 2=y 2+2x 2，所以k 1k 2=y 1+2x 1⋅y 2+2x 2=(kx 1+3)(kx 2+3)x 1x 2=k2x1x2+3k(x1+x2)+9x1x2=k2+3k⋅−6k3k2+2+9(2+3k2)2+3k2−92+3k2=k2+9k2+18−9=k2−k2−2=−2．所以当k变动时，k1k2为定值−2．解析：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．(1)由椭圆的离心率及过的点的坐标和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；(2)由题意设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线AC，AD的斜率之积的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．20.答案：解：(1)f′(x)=a−1x =ax−1x(x>0).当a≤0时，ax−1<0，从而f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，若0<x<1a，则ax−1<0，从而f′(x)<0，若x>1a ，则ax−1>0，从而f′(x)>0，函数在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增．(2)解：证明：∵不等式e x ln(1+y)>e y ln(1+x)等价于，x>y>e−1故我们构造函数，这样等价于g(y)>g(x)只需要证明函数g(t)在(e−1,+∞)上单调递减令，则ℎ,(t)=−1(t+1)2−1t+1=−t+2(t+1)2当t>e−1时，很显然导数小于0所以函数ℎ(t)在(e−1,+∞)上单调递减，ℎ(t)<ℎ(e−1)=1e−1<0故导函数g,(t)=ℎ(t)e t<0，在(e−1,+∞)上恒成立，所以g(t)在(e−1,+∞)上单调递减，g(y)>g(x)∴e x ln(1+y)>e y ln(1+x)．解析：本题考查函数的单调区间和实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用． (1)由已知得f′(x)=a −1x =ax−1x(x >0).由此能求出函数f(x)的单调性．(2)不等式e x ln(1+y)>e y ln(1+x)等价于， x >y >e −1.故我们构造函数，这样等价于g (y )>g (x )只需要证明函数g(t)在(e −1,+∞)上单调递减，利用导数性质能证明不等式e x ln(1+y)>e y ln(1+x)．21.答案：解：(Ⅰ)设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A ，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P(A)=615=25． (Ⅱ)由(Ⅰ)知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为25， 低于8500元的概率为35， ∴X ～B(2,25)，P(X =0)=(35)2=925，P(X =1)=C 21×25×35=1225，P(X =2)=C 22×(25)2=425，∴X 的分布列为： P 0 1 2 X9251225425E(X)=2×25=45．(Ⅲ)S 12>S 22．解析：(Ⅰ)求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．(Ⅱ)推导出X～B(2,25)，由此能求出X的分布列和E(X)．(Ⅲ)S12>S22．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)射线l：y= √3x(x≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x29 + y24 =1，所以曲线C1的普通方程为x29 + y24 =1；(2)曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4，所以x2+y2−4y=0，因为x2+y2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：解：(1)由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x−2|−a≥0，即|x+1|+|x−2|≥a，又|x+1|+|x−2|≥|x+1−(x−2)|=3，∴a≤3．(2)由柯西不等式(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=1，∴x2+y2+z2≥114，当且仅当x1=y2=z3时，即x=114，y=17，z=314时，x2+y2+z2的最小值为1．14解析：(1)利用绝对值不等式的性质可得：|x+1|+|x−2|≥|x+1−(x−2)|=3，即可得出；(2)利用柯西不等式的性质即可得出．本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

湖南省衡阳市2020年高考数学三模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设,,则等于（）A .B .C .D . 或2. （2分） (2017高二下·合肥期中) 在复平面内，复数z=﹣1+i对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高二上·郴州期中) 已知向量，，其中| = ，| |=2，且（﹣）⊥ ，则向量与的夹角是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·会泽期中) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（）A . y＝xB . y＝lg xC . y＝2xD . y＝5. （2分） (2018高二上·成都月考) 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A .B .C .D .6. （2分） 1800的正约数有（）个.A . 18B . 36C . 9D . 277. （2分）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得函数的表达式是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018·临川模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A . ﹣3B .C . ﹣D . 210. （2分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A . 10B . 12C . 13D . 1411. （2分） (2020高二上·来宾期末) 已知双曲线 ( ， )上的一点，直线与双曲线交于，两点( ，都不与重合)，设，的斜率分别为，取最小值时，双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·保山期末) 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2020高二下·广东月考) 设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为________．14. （1分）(2017·石家庄模拟) 的展开式中x4的系数是________．（用数字作答）15. （2分） (2020高一下·温州期中) 在中，已知，，，则________， ________．16. （1分）(2017·来宾模拟) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1•a2•a3=27，则a5=________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2020·天津) 在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．18. （5分） (2017高二上·晋中期末) 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．19. （15分） (2020高一下·开封期末) 经营费用指流通企业对在经营过程中发生除经营成本以外的所有费用，如管理费用、财务费用、法律费用等，这些费用没有直接用于生产产品或提供服务，但它是影响公司收益的重要因素．某创业公司从2014年开始创业到2019年每年的经营费用y（万元）、年份及其编号t，有如下统计资料：年份201420152016201720182019t123456y9.512.214.617.419.6m已知该公司从2014年到2019年年平均经营费用为16万元，且经营费用y与年份编号t呈线性相关关系．（1）求2019年该公司的经营费用；（2） y关于t的回归方程为，求，并预测2020年所需要支出的经营费用；（3）该公司对2019年卖出的产品进行质量指标值检测，由检测结果得如图所示频率分布直方图：预计2020年生产产品质量指标值分布与上一年一致，将图表中频率作为总体的概率．当每件产品质量指标值不低于215时为优质品，指标值在185到215之间是合格品，指标值低于185时为次品．出售产品时，每件优质品可获利1.5万元，每件合格品可获利0.7万元，次品不仅全额退款，还要对客户进行赔付，所以每件次品亏损1.3万元．若2020年该公司的产量为500台，请你预测2020年该公司的总利润（总利润销售利润经营费用）．20. （10分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的左右顶点分别为A1 ， A2 ，上顶点为B，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B对称，①求圆C的标准方程；②设点P是圆C上的动点，求△PA1B的面积的最大值．21. （15分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0 ， F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．22. （5分） (2018高二下·泸县期末) 在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线： .(Ⅰ)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；(Ⅱ) 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.23. （10分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜3；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、考点：解析：考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：。

湖南省衡阳市县三湖中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（）A. 16πB. 20πC. 80πD. 100π参考答案：B【分析】由已知证明平面平面，由正弦定理求出三角形外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【详解】解：由四边形为矩形，得，又，且，∴平面，则平面平面，设三角形的外心为，则.过作底面，且，则.即四棱锥外接球的半径为．∴四棱锥外接球的表面积为.故选：B．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．2. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是斜高为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为．∴几何体的体积为8+．故选A．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．3. “”是“函数是奇函数”的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件参考答案：4. 圆与直线相切于点，则直线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 已知集合,,则A. B. C. D.参考答案：C，所以,选C.6. 数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知=1，且a1=，则tanS n的取值集合是（）A．{0， } B．{0，， } C．{0，，﹣} D．{0，，﹣}参考答案：A【考点】数列的求和．【分析】已知=1，化为[na n+1﹣（n+1）a n]（a n+1+a n）=0，a n，a n+1＞0．可得．可得a n=×n．S n．可得tanS n=tan[]，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵=1，∴na=（n+1）a+a n a n+1，∴[na n+1﹣（n+1）a n]（a n+1+a n）=0，a n，a n+1＞0．∴na n+1﹣（n+1）a n=0，即．∴=…==．∴a n=×n．∴S n=．∴tanS n=tan[]，n=3k∈N*时，tanS n==0；n=3k﹣1∈N*时，tanS n=tan=0；n=3k﹣2∈N*时，tanS n=tanπ=．综上可得：tanS n的取值集合是{0， }．故选：A．7. 已知等比数列{a n}中，a n＞0，a10a11=e，则lna1+lna2+…+lna20的值为（）A．12 B．10 C．8 D．e参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质．【分析】由已知中数列{a n}为等比数列，且a n＞0，根据等比数列的性质，可得a1?a2?…?a20=（a10?a11）10，进而可得lna1+lna2+…+lna20=10ln（a10?a11），结合a10a11=e，可得答案．【解答】解：若数列{a n}为等比数列，且a n＞0，∴lna1+lna2+…+lna20=ln（a1?a2?…?a20）=ln（a10?a11）10=10ln（a10?a11）∵a10a11=e，∴lna1+lna2+…+lna20=10故选：B．8. 为加强食品安全管理，某市质监局拟招聘专业技术人员x名，行政管理人员y名，若x、y满足，则z=3x+3y的最大值为（）B解答：解：将不等式组，对应的平面区域作出，即图中的三角形及其内部设直线l ：z=3x+3y ，将直线l 进行平移，当l 越向上平移时，z 的值越大．当直线l 经过直线y=x 与y=﹣x+4的交点P （2，2）时，z 有最大值，且x ，y 都是正整数 ∴z 的最大值是2×3+3×2=12 故选B ．点评： 本题给出目标函数和线性约束条件，要我们求目标函数的最大值，着重考查了简单线性规划及9. 函数的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．参考答案：A10. 已知集合P={x|x 2﹣x ﹣2≤0}，Q={x|log 2（x ﹣1）≤1}，则（?R P ）∩Q 等于（ ）A ．B ．（﹣∞，﹣1]∪ D ．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞） 参考答案：C考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 函数的性质及应用；集合．分析： 由一元二次不等式的解法求出集合P ，由对数函数的性质求出集合Q ，再由补集、交集的运算分别求出?R P 和 （?R P ）∩Q．解答： 解：由x 2﹣x ﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}， 由log 2（x ﹣1）≤1=得0＜x ﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}所以?R P={x|x ＜﹣1或x ＞2}， 且（?R P ）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]， 故选：C ．点评： 本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数的图象过点，则________________.参考答案：3 略12. 我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里明月和清泉，都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C：x2=y的图象（如图），过交点F作直线l交C于A、B两点，过A、B分别作C的切线，两切线交于点P，过点P作x轴的垂线交C于点N，拖动点B在C上运动，会发现是一个定值，该定值是．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】线段AB 是过抛物线x2=y焦点F 的弦，过A ，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．N 点在抛物线的准线上．根据抛物线的定义知：NF=NP，∴现是一个定值1．【解答】解：线段AB是过抛物线x2=y焦点F的弦，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．N点在抛物线的准线上．下面证明证明：由抛物线x2=y，得其焦点坐标为F（0，）．设A（x1，x12），B（x2，x22），直线l：y=kx+代入抛物线x2=y得：x2﹣kx﹣=0．∴x1x2=﹣…①．又抛物线方程为：y=x2，求导得y′=2x，∴抛物线过点A的切线的斜率为2x1，切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1）…②抛物线过点B的切线的斜率为2x2，切线方程为yx22﹣=2x2（x﹣x2）…③由①②③得：y=﹣．∴P的轨迹方程是y=﹣，即N在抛物线的准线上；根据抛物线的定义知：NF=NP，∴是一个定值1．故答案为：1【点评】本题考查了抛物线的性质，对运算能力的要求比较高，属于难题．13. 已知是虚数单位，使为实数的最小正整数为参考答案：414. 已知，若对任意的，方程均有正实数解，则实数的取值范围是▲ ．参考答案：15. 若数列中的最大项是第项，则=___________参考答案：4本题主要考查了数列的通项及不等式组的求解，计算量比较大，难度中等。

衡阳县三中2018届毕业班月考试题（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题nn N n p 2,:2>∈∃，则p ⌝为（ ）A ．n n N n 2,2>∈∀B ．2,2≤∈∃n N nC ．nn N n 2,2≤∈∀ D ．nn N n 2,2=∈∃2.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==；则B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10 3.函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3(4.已知命题:p “2>x ”是“1>x ”的充分不必要条件；命题:q 若b a >，则ba 11<，在命题：①q p ∧，②q p ∨⌝，③)(q p ⌝∧，④)()(q p ⌝⌝∧中，真命题是（ ）A ．①B ．② C. ③ D ．④ 5.函数)4(21log)(2-=x x f 的单调递增区间为（ ） A ．)2,(--∞ B ．)0,(-∞ C. ),2(+∞ D ．),0(+∞6.当]1,(--∞∈x 时，不等式024)(2<-⋅-xx m m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．)1,2(- B ．)3,4(- C. )4,3(- D ．)2,1(- 7.如10,1<<<>a b c ，则（ ）A ．c c b a <B ．cc ab ba < C. c b c a a b log log <D ．c c b a log log <8.设⎩⎨⎧≥+<+=0)1(20),(log )(23x t x t x x f x，且6)1(=f ，则))2((-f f 的值为（ ） A ．12 B ．18 C.121 D ．181 9.函数)(x f y =对任意x 都有)1()(),()(+-==-x f x f x f x f ，且在]1,0[上为减函数，则（ ）A ．)57()37()27(f f f << B ．)37()27()57(f f f << C.)57()27()37(f f f << D ．)27()37()57(f f f << 10.已知函数||ln )(x x x f -=，则)(x f 的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．11.函数211log sin )(2+-++=xxb x a x f （b a ,为常数），若)(x f 在)1,0(上有最小值为4-，则)(x f 在)0,1(-上有（ ）A ．最大值8B ．最大值6 C. 最大值4 D ．最大值212.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（ ） A ．2121≤≤-t B ．22≤≤-t C. 21≥t 或21-≤t 或0=t D ．2≥t 或2-≤t 或0=t第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.当),0(+∞∈x 时，幂函数352)1(----=m xm m y 为减函数，则实数m 的值为 ．14.设集合}353|{1+==-x y y A ，集合}21log |{4>=m m B ，若B A ⊆，则x 的取值范围是 ．15.已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域均为],[ππ-，且它们在],0[π∈x 上的图象如图所示，则不等式0)()(<⋅x g x f 的解集是 ．16.函数)(x f 是R 上的偶函数，R x ∈∀恒有)2()()4(f x f x f -=+，且当]0,2(-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若)1)(2(log )()(>+-=a x x f x g a 在区间]6,2(-上恰有3个零点，则a的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题A x p ∈:，且}11|{+<<-=a x a x A ，命题B x q ∈:，且)}23lg(|{2+-==x x y x B .（1）若R B A =⋃，求实数a 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数1)(2++=bx ax x f （b a 、为实数）⎩⎨⎧<->=∈0),(0),()(,x x f x x f x F R x ，（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，①求)(x F 的表达式；②求)(x F 的单调增区间.（2）在（1）的条件下，当]2,2[-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围.19. 如图，在直棱柱1111D C B A ABCD -中，BC AD //，3,1,,901===⊥=∠AA AD BC BD AC BAD .（1）证明：D B AC 1⊥；（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值.20. 已知0(3log 2)(log )(2>-+=m x x x f m m ，且)1≠m（1）当2=m 时，解不等式0)(<x f ；（2）0)(<x f 在]4,2[恒成立，求实数m 的取值范围.21. 定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期4，且)2,0(∈x 时，193)(+=x xx f .（1）求)(x f 在]2,2[-上的解析式；（2）判断)(x f 在)2,0(上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程λ=)(x f 在]2,2[-上有实数解？ 22.已知函数xxx f -+=1ln21)(. （1）求证：存在定点M ，使得函数)(x f 图象上任意一点P 关于M 点对称的点Q 也在函数)(x f 的图象上，并求出点M 的坐标；（2）定义)1()2()1()(11nn f nf n f n i f S n i n -++=∑=-= ，其中*N n ∈且2≥n ，求2016S ；（3）对于（2）中的n S ，求证：对于任意*N n ∈都有321211ln ln nn S S n n ->-++.试卷答案一、选择题1-5:CDBCA 6-10:DDABA 11、12：AD二、填空题13. 1- 14. )2,(-∞ 15. ),3()0,3(πππ⋃-16. ]2,4(3三、解答题17.解：（1）由题意知，1|{}023|{2<=>+-=x x x x x B 或}2>xR B A =⋃ ，且21,2111},11|{<<∴⎩⎨⎧>+<-∴+<<-=a a a a x a x A 即所求实数a 的取值范围是)2,1(.（2）由（1）知，1|{<=x x B 或}2>x ，且}11|{+<<-=a x a x A ，q ⌝ 是p ⌝的充分条件，p ∴是q 的充分条件， 11,≤+∴⊆∴a B A 或0,21≤∴≥-a a 或3≥a ，即所求实数a 的取值范围是0|{≤a a 或}3≥a . 18.解：（1）（i ）01,0)1(=+-∴=-b a f ① 又)(x f 得值域为),0[+∞0>∴a 且0=∆即042=-a b ②由①②可知，2,1==b a ，12)(2++=∴x x x f ，⎩⎨⎧<--->++=∴0,120,12)(22x x x x x x x F ，（ii ）单调增区间为),0(),1,(+∞--∞，单调减区间为)0,1(-. （2）1)2()()(2+-+=-=x k x kx x f x g 对称轴22-=k x ， 要使)(x g 在]2,2[-上是单调函数，则222≥-k 或222-≤-k . 即6≥k 或2-≤k .19.解：（1） 1111D C B A ABCD -是直棱柱，⊥∴1BB 面ABCD ，且⊂BD 面ABCDAC BB ⊥⇒1，又BD AC ⊥ ，且⊥∴=⋂AC B BB BD ,1面1BDB .⊂D B 1 面D B AC BDB 11,⊥∴.（2）AD BC C B ////11 ，∴直线11C B 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ，建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为Y 轴正半轴，AD 为X 轴正半轴. 设)0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(1y C y B D D A ，则→→→→⊥-==BD AC y BD y AC ),0,,3(),0,,1()3,0,3(),0,3,1(.30,003012→→→→=∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC .设平面1ACD 的法向量n ，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→001AD n AC n 平面1ACD 的一个法向量)0,0,3(),3,1,3(=-=→AD n∴平面1ACD 的一个法向量7213733|cos |sin )0,0,3(),3,1,3(=⋅=>⋅<=⇒=-=→→AD n AD n θ 所以1BD 与平面1ACD 夹角的正弦值为721. 20.解：（1）当2=m 时，解不等式0)(<x f ，得03log 2)(log 2<-+x x m m ，即1log 32<<-x ， 故不等式的解集为}281|{<<x x ； （2）由0)(<x f 在]4,2[恒成立，得1log 3<<-x m 在]4,2[恒成立，①当1>m 时，有⎩⎨⎧<<-12log 2log 3m m ，得4>m ，②当10<<m 时，有⎩⎨⎧<<-12log 4log 3m m ，得3410<<m ，故实数m 的取值范围),4()41,0(3+∞⋃.21.解：（1）设)0,2(-∈x ，则)2,0(∈-x)2,0(∈x 时，xx xxx f 3131193)(+=+=xx x f 3131)(+=-由函数)(x f 为奇函数可得，)()(x f x f -=xx x f 3131)(+=∴0)0(=f ，周期为4且为奇函数，)2()2()2(f f f =-=-0)2()2(==-∴f f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈+-±=∈+=+=---)0,2(,3312,0,0)2,0(,331331)(x x x x f x x x x xx （2）设2021<<<x x 令xx x g 313)(+=， 则21122122113333)33(313313)()(21x x x x x x x x x x x g x g ⋅-+-=--+=-)3311)(33(2121x x xx ⋅--=,2021<<<x x ,)()(21x g x g <∴∴函数)(x g 在)2,0(单调递增，且0)(>x g)(x f ∴在)2,0(单调递减.（3）由（2）可得当20<<x 时，xx x f -+=331)(单调递减故21)(829<<x f ， 由奇函数的对称性可得，)0,2(-∈x 时，829)(21-<<-x f 当0=x 时，0)0(=f关于方程λ=)(x f 在]2,2[-上有实数解21829<<∴λ或82921-<<-λ或0=λ. 22.解：（1）显然函数定义域为)1,0(，设点M 的坐标为),(b a ，则b aax x axx x a x a x x x a f x f 22122ln 1212ln 211ln21)2()(22=-++-+-+=+--++-+=-+ 对于)1,0(∈x 恒成立，于是⎩⎨⎧==-,21,021b a 解得21==b a所以存在定点)21,21(M ，使得函数)(x f 在图象上任意一点P 关于M 点对称的点Q 也在函数)(x f 的图象上.（2）由（1）得1)1()(=-+x f x f ，)1()2()2()1(nn f n n f n f n f S n -+-+++= ① )1()2()21()11(nf n f n f n f S n ++-+-=∴ ②①+②，得12-=n S n ，),2(21*N n n n S n ∈≥-=∴，故220152016=S . （3）当*N n ∈时，由（2）知)11ln(lnln ln 1212nS S S S n n n n +==-++++， 于是321211ln ln n n S S n n ->-++等价于)11ln(n +3211n n ->. 令)1ln()(23x x x x g ++-=，则xx x x g +-+='1)1(3)(22，∴当),0[+∞∈x 时，0)(>'x g ，即函数)(x g 在),0[+∞上单调递增，又0)0(=g .于是，当),0(+∞∈x 时，恒有0)0()(=>g x g ，即0)1ln(23>++-x x x 恒成立. 故当),0(+∞∈x 时，有32)1ln(x x x ->+成立，取),0(1+∞∈=nx ， 则由3211)11ln(nn n ->+成立.。