中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(6)-圆外一点引圆的切线和直径的垂线
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圆压轴题八大模型题(六)
泸州市七中佳德学校 易建洪
引言:与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题
的位置上,是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结论,破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧,就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型5 圆外一点引圆的切线和直径的垂线
如图, 点P 是⊙O 外的一点,过点P 作PA 与⊙O 相切于点A ,PO ⊥BO 于点O ,交AB 于点C.
(1)求证:CP =AP ;
(2)延长BO 交⊙O 于点D ,连结AD ,过点P 作PE ⊥AB 于点E ,找出与△BOC 相似的三角形. (3)若⊙O
,OC =1,求PA 的长.
【分析】(1)如图3连接OA 得OA =OB ,∴∠OAB =∠B ,由等角的余角相等得∠PCA =∠PAC ,∴PC =P A.
(2)由∠APE =∠CPE =∠B 得:△BOC ∽△BAD ∽△PCE ≌△PAE .
(3)在Rt △OPA 中,设PC =PA =x ,则有(x +1)2=1+x 2
.解得PA =x =2.
基本图形及其变式图
1. 如图1~6,PA 与圆O 相切于点A ,PD ⊥BO (或BO 的延长线)于点D ,直线AB 与PD 相交于点C ,求证:PA =P C.
O P C B A
P
E
P A O C B 图1 图(1)
图3
图(2)
图(3)
图2 E A B C P O
【典例】
(2018 湖北随州)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点,CN 为⊙
O 的切线,OM ⊥AB 于点O ,分别交AC 、CN 于D 、M 两点. (1)求证:
MD =MC ; (2)若⊙O 的半径为5,AC
=4,求MC 的长.
【分析】(1)连接OC ,利用切线的性质证明即可; (2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.
解:(1)连接OC ,∵CN 为⊙O 的切线, ∴OC ⊥CM ,∠OCA +∠ACM =90°, ∵OM ⊥AB ,∴∠OAC +∠ODA =90°, ∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA , ∴∠ACM =∠ODA =∠CDM , ∴MD =MC ;
(2)由题意可知AB =5×2=10,AC =4,
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°, ∴BC =
,
∵∠AOD =∠ACB ,∠A =∠A ,∴△AOD ∽△ACB , ∴
,即
,可得:OD =2.5,
设MC =MD =x ,在Rt △OCM 中,由勾股定理得:(x +2.5)2
=x 2
+52
, 解得:x =, 即MC =
.
C
(D )
图(4) 图(5)
图(6)
图6-1
图a
【点拨】
连半径,造等腰三角形,借等角的余角相等再证边等。由切线的性质、直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形三线合一找直角三角形、等腰三角形、相似三角形,运用比例线段、勾股定理和相似三角形面积关系解决问题.
【变式运用】
1. (2018⋅江苏连云港)如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC 交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=___44°___.
2.(2016•兰州)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OD⊥AB于点O,分别交AC、CF于点E、D,且DE=D C.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,BC
=,求DE的长.
证明:连接OC,∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,∵OD⊥AB,
∴∠A+∠AEO=90°,∵DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE,∵∠AEO=∠DEC,
∴∠AEO=∠DCE,∴∠OCE+∠DCE=90°,
∴∠OCF=90°,∴OC⊥CF,
∴CF是⊙O切线.
(2)作DH⊥AC于H,则∠EDH=∠A,
∵DE=DC,∴EH=HC=1
2 EC,
∵⊙O的半径为5,BC
=
∴AB=10,AC=
3
∵△AEO∽△ABC,∴AO AE AC AB
=,
∴AE
3
=,∴EC=AC﹣AE
=,
∴EH=1
2
EC
=
3
,∵∠EDH=∠A,∴sin∠A=sin∠EDH,
图
6-2
图b
图
6-3
∴BC EH
AB DE
=,∴DE=
AB EH
BC
1020
3
=
3.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙A相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2)若PC=25,求⊙O的半径和线段PB的长;
(3)若⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.
解:(1)AB=A C.理由如下:如图c,连接OB,
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,
∵OP=OB,∴∠OBP=∠OP B.
∵∠OPB=∠APC,∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=A C.
(2)如图d,延长AP交⊙O于D,连接BD,
设圆半径为r,则由OA=5得,OP=OB=r,PA=5-r.
又∵PC=
AB2=OA2-OB2=52-r2,
AC2=PC2-PA2=(
2-(5-r)2,
∵由(1)知AC=AB,
∴52-r2=(
2-(5-r)2,
解得:r=3,即⊙O的半径是3;
∴AB=AC=4.∵PD是直径,∴∠PBD=90°=∠PA C. ∵∠DPB=∠CPA,∴△DPB∽△CP A.
∴CP AP
PD BP
=,
2
BP
=,解得PB
.
(3)作线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN,
则OE=1
2
AC=
1
2
AB=
1
2
图d
图c
图
6-4