第1讲 圆的基本性质讲义

初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。

其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。

点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则d>r时，点P在__________d=r时，点P在__________d<r时，点p在__________< p="">圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：以C、D为端点的弧，记作，读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等弧。

同圆或等圆的半径相等。

圆心角、弧、弦之间的关系：1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。

在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。

3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

圆心角与圆周角的关系：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。

垂径定理：1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧确定圆的条件：1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。

第1讲圆的概念和性质知识目标模块一圆的有关概念例1难度：★★模块二圆的有关性质例2、例3、例4、例5、例6、例7难度：★★★★模块一圆的有关概念1．圆的定义圆的形成性定义圆的集合性定义圆的本质属性示意图在一个平面内，线段OA 绕它的固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形（轨迹）叫做圆，记作“⊙O ”，读做“圆O ”，其中固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径．1．圆上各点到定点的距离都等于定长．2．到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．确定一个圆，必须有两个条件：．决定它的，决定它的．2．圆有关的概念示意图圆的有关概念弦连接圆上任意两点的线段叫做弦．如图，AB 、AC 是弦．直径经过圆心的弦叫做直径．如图，AB 是直径．弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A 、B 为端点的弧记作⌒AB ，读做“圆弧AB ”或“弧AB ”半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧与劣弧大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的⌒ABC ）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的⌒AC ）叫做劣弧．等圆能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆，同圆或等圆的半径相等．等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．易错总结判断下列说法的正误，并说明理由．（1）直径是弦，弦是直径．（）（2）过圆心的线段是直径．（）（3）直径只有一条．（）（4）过圆内一点只能作一条直径．（）（5）半圆是弧，弧是半圆．（）（6）圆中的弧分为优弧和劣弧．（）（7）长度相等的弧是等弧．（）例1（1）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在圆上，︒=∠110BOC ，AD ∥OC ，则AOD ∠的度数为．（2）如图，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，︒=∠60B ，︒=∠70C ，则BOD ∠的度数为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（3）如图，正方形ABCD 与BEFG 彼此相邻且内接于半圆O ，若正方形BEFG 的面积为16，则半圆O 的半径为.【练习】（1）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若DE AB 2=，︒=∠18E ，则AOC ∠的度数为．（第1题图）（第2题图）（2）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设a BC =，b EF =，c NH =，则c b a 、、的大小关系为．【拓展】（1）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．（2）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．模块二圆的有关性质题型一垂径定理示意图垂径定理推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，'AA 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，'AA CD ⊥于点M ，则M A AM '=，⌒AD =⌒A `D ，⌒AC =⌒A `C ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，'AA 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD AA <'，'AA 与CD 交于点M ，M A AM '=，则'AA CD ⊥，⌒AD =⌒A `D ，⌒AC =⌒A `C ．圆是图形，它有对称轴，每一条过的直线都是它的对称轴．垂径定理“知二求三”：BO 、BC 、BA 、CO 、CA 五条线段，知道其中任意两条的长，可以求出其余三条线段的长.【例2】（1）如图，P 是⊙O 的弦上的点，6=PA ，2=PB ，⊙O 的半径为5，则=OP ．（第1题图）（第2题图）（练习题图）（2）如图，在Rt △ABO 中，∠O=90°，AO=2，BO=1，以O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点P ，则PB=.【练习】如图，在⊙O 中，AB 为直线，P 为AB 上一点，过点P 作弦MN ，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN=.【例3】（1）如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：BD AC =．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上一点，且PB 平分∠CPD ，求证：PC=PD.【练习】如图，圆O 的弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠BPO.【例4】（1）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是⌒AC 的中点，AB MN ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．（2）如图，P 是⊙O 外一点，过点P 作两条割线PAB 和PCD ，点M 、N 分别是⌒AB 、⌒CD 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，求证：PEF ∆为等腰三角形．题型二圆周角定理一、圆心角定理示意图圆心角的定义圆心角定理推论1推论2顶点在圆心，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆心角．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，（圆心角）所对的弧相等．圆是以为对称中心的图形．实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形，这种性质叫做圆的旋转不变性．圆既是图形，又是图形．如上图，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ；②AB ＝CD ；③⌒AB =⌒CD 中有一个等式成立，则其它两个等式也成立．一般的，用“知一推二”来记忆圆心角定理及推论．注意：由② ①③时，要确定弦所对的是优弧、劣弧还是半圆．二、圆周角定理示意图圆周角的定义圆周角定理推论1推论2顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长也相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．同一条弧所对的圆周角有个．如上图，我们可以得到：∠AOB ＝∠ACB ．三、圆内接四边形示意图圆内接多边形性质如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图，四边形ABCD 是ʘO 的内接四边形，ʘO 是四边形ABCD 的外接圆．圆内接四边形的对角互补．如图，∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°．四、圆周角导角思路：1.利用同弧或等弧转化角2.利用直径构造直角三角形转化角3.利用圆的内接四边形转化角4.利用特殊数量关系构造特殊角转化角.【例5】（1）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠OAC 的度数为．（2）如图，已知C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，⌒BC =⌒BD ，∠CAB ＝24°，则∠ABD 的度数为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（3）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为．（4）如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且⌒CE =⌒BE ，∠A ＝20°，则∠C ＝．【例6】（1）如图，AB 是半圆O 的直径，D 为弧AC 的中点，∠B ＝40°，则∠C 的度数为．（2）如图，△ABC 内接于⊙O ，CH AB 于H ，连OC ，若∠HCB ＝15°，则∠ACO ＝．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（3）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知∠C ＝57°，∠D ＝45°，则∠CEB ＝．（4）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长线交AC 于E ，若∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠AEB＝．【例7】（1）如图，在⊙O 中，∠AOC ＝100°，则∠ABC 的度数为．（2）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，如果它的一个外角∠DCE ＝64°，那么∠BOD 的度数为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（3）如图，⊙O 的半径为1，弦AB ACB ＝．（4）如图，⊙O 的半径为1，弦AB AC ，则∠BOC ＝．第1讲圆的概念和性质A基础巩固1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝87°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝90°，则∠BCD的度数为（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE的值为4．如图，CD为⊙O的直径，CDCE，则=DE，2=AB⊥于E，8=AB．5.如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为径，弦CD⊥AB，垂足是E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE，则⊙O1的半径为6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∠BOC＝70°，则∠A的大小为（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）7．如图，点O是优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D的大小为8．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为B综合训练9．如图，AB、CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM、ON．如果AB=CD，求证：OM=ON．10.如图，AB是圆O的弦，半径OC、OD分别交AB于E、F，且AE=BF，求证：OE=OF11.已知：如图，在△ANBC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F.（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=5，AB=5，求AE的长.数学故事蝴蝶定理蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。

圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。

其中，O为圆心，OA为半径。

集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。

其中，定点为圆心，定长为半径。

圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。

确定一个圆的要素是圆心和半径。

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。

表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。

表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

注意：同弧或等弧对应的弦相等。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。

（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。

例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。

圆的基本性质讲义知识点1点和圆的位置关系：P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

知识点2圆的确定：不在同一直线上的三点确定一个圆。

1.过一点的圆有________个2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都在上.3.过三点的圆有________个4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）知识点3圆的轴对称性：既是轴对称又是中心对称垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧推论：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧弦的垂直平分线一定经过圆心，并平分弦所对的另一条弧平行弦所夹的弧相等判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）知识点4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中：如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

知识点5圆周角与圆心角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径。

圆周角与弧同弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等知识点6圆的公式周长：C=2πr 面积：S=πr2 弧长：扇形面积计算公式：圆锥的侧面积和全面积圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

S 全=S 侧+S 底1802360rn r n l ππ=⋅=2360r n s π⋅=lr s 21=或2rra ππ+=5．（2010年无锡）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是A ．220cmB ．220cm πC ．210cm πD ．25cm π1．（2010昆明）已知圆锥侧面展开图的扇形面积65π，扇形的弧长为10πcm ，则圆锥母线长是( ) A ．5cm B ．10cm C ．12cm D ．13cm7. （2010年郴州市）如图，AB 是O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ， 则下列结论中不成立．．．的是 Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．CE DE = Ｃ．90ACB ∠= Ｄ．CE BD =4、（山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ D ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个6．（2010湖北省咸宁市）如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 A ．35︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒10．（桂林2010）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．1311（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且AB 的长为…【 】A 、2B 、3C 、4D 、5 12．（2010·绵阳）如图，等腰梯形ABCD 内接于半圆D ，且AB = 1则OA =（ ）．A ．231+ B ．2 C ．323+ D ．251+第7题第9题图C B A O 14．（2010年长沙）已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于 度．13．（2010年成都）如图，在ABC ∆中，AB 为O 的直径，60,70B C ∠=∠=，则BOD ∠的度数是_____________度．10.（2007年遵义） 如图20，C 是⊙O 上一点，O 是圆心， 若80AOB =∠，则A B +=∠∠ ．25．（2010年眉山）如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A =40°，则∠OBC 的度数为_______ 11．（2010宁夏）矩形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b 的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 ．宁夏11、 眉山25（2010年眉山）17．已知圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2．11. (2007年东营)如图21，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BC 等于 ．1.（2007山东枣庄）如图24，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交于D ．(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．BC20．（2010年济宁市)如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠ 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .(1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.25. （2010年怀化市） 如图8，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AB CD ⊥于D,且AB=8,DB=2. （1）求证：△ABC ∽△CBD;（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，参考数据73.13,14.3≈≈π）.8、（2008乌鲁木齐）．如图9，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在上．（1）求的大小；（2）写出两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．图8A B C EFD(第20。

圆一、圆的概念和性质1、圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定是端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆上各点到圆心的距离都等于定长。

到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是对称轴。

圆心是对称中心。

圆的确定：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

我们把圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

2、、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理包含5各元素：直径、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧。

课堂练习（1）、如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）。

A、CE=DEB、弧BC=弧BDC、∠BAC=∠BADD、AC＞AD（2）、⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）。

A、4B、6C、7D、83、、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

由此可见：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

课堂练习1、如果两个圆心角相等，那么（）A、这两个圆心角所对的弦相等B、这两个圆心角所对的弧相等C、这两个圆心角所对的弦和弧都分别相等D、以上说法都不对2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A、弧AB=2弧CDB、弧AB>弧CDC、AB<2CDD、不能确定4、、圆周角定义：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。

A ODBCAO圆的基本性质讲义1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

3.直径：经过圆心的弦叫直径。

注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”.(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。

如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母).(4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作A C B ⋂(用三个字母).6.垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

这五条中可以“知二推三”7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.12.圆周角定理及其推论（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半；（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。