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§1.3 标量场的梯度
等值面的概念：在标量场中，使标量函数 u(x, y, z)
取得相同数值的点构成一个空间曲面称为等值 面。
等值面方程： u(x, y, z) C C为任意给定的常数。
等值面的特点：
等值面
u=c1
u=c2 u=c3
① 常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，
形成等值面族；
dS e dlrdl ezrsin drd
dS edlrdl e rdrd
dV r2sin drd d
球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元
4、坐标单位矢量之间的关系直角坐ຫໍສະໝຸດ 与eexcos
圆柱坐标系 e sin
ez
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
sin cos
e
0
ey
ez
sin
0
（圆柱坐标系及 球坐标系下相应知识）类似
2、圆柱面坐标系
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 e , e , ez
e e ez e ez e ez e e
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dl ed e d ezdz
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz（1）
dS edldlz eddz （2）
② 若 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 是标量场中的任一点，显然，曲面 u(x, y, z) u(x0 , y0 , z0 ) 是通过该点的等值面，因此标量场的 等值面充满场所在的整个空间；
③ 由于标量函数 u(x, y, z) 为单一值，一个点只能在一个等值面上，
因此标量场的等值面互不相交（两个等值面不能有相同的c值）
（矢量） 右手法则
方向：垂直与包含 A 和B 的面
矢量点积服从： A B B A
（交换律）
A (B C) A B A C （分配律）
矢量叉积服从：
A B B A （不服从交换律）
A (B C) A B A C （分配律） 标量三重积
A (B C) B (C A) C ( A B)
dSz ezdlxdly ezdxdy
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dS y eydxdz
o
dy
dx
dSx exdydz
y
体积元
dV dxdydz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
知识脉络:
场
标量场
矢量场
等值面 方向导数
矢量线
通量
环流
梯度
散度定理 散度 旋度
亥姆霍兹定理 斯托克斯定理
A
矢量: 数学上：一般的三维空间中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意义；或者说一个既有大小又
有方向的物理量。常用黑斜体字母或带箭头的字母如A或
A 如速度、电磁场等.
场： 物理量在时空中的确定分布. 标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标 量场，用标量函数表示为
直角坐标系中
A矢量：
B矢量：
A ex Ax ey Ay ez Az B ex Bx ey By ez Bz
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
A B Ax Bx Ay By Az Bz ex ey ey
A B ex (AyBz AzBy ) ey (AzBx AxBz ) ez (AxBy AyBx ) Ax Ay Az Bx By Bz
如物体的温度分布T(r,t)、电位分布(r,t)等
矢量场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢 量场，用矢量函数表示 F(x, y, z,t) 既具有大小又具有方向的场。如电场 E(r, t)
静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场 称为静态场。
动态场（或时变场）：物理量随时间变化，则所 确定的场称为动态场。
A B C A B C (结合律)
A B A (B)
1.1.3矢量的运算 （点积、叉积）
①标量与矢量乘积 k A ②矢量与矢量乘积
kA k A eA
模 kA
点积（标积） •
叉积（矢积）
点积：
A B A B cos (0 ) （标量）
﹛ 叉积： A B
A B sin 大小
例题 求二维标量场 u(x, y) = y2 - x 的等值面
cos
0
0
1
e
ez
0
cos
0 sin
1
0
直角坐标与 球坐标系
ex
ey
ez
er sin cos sin sin cos
e cos sin cos sin sin
e sin
cos
0
y
e
ey
e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系
矢量三重积 A (B C) B(A C) C(A B)
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系。
dSz ezdldl ez dd
（3）
dV dddz
13 2
3、球面坐标系
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 er , e , e
位置矢量
r err
er e e e e er e er e
线元矢量 面元矢量
体积元
dl erdr e rd e rsin d
dSr erdl dl err2sindd
1.1.1
矢量的表示形式:一个矢量可以用一条有方向的线
段来表示,线段的长度表示矢量的模,箭头指向表
示矢量的方向.
A
A A •eA A•eA
P
矢量的模：表示矢量的大小 A
A矢量的方向； eA A A
1.1.2矢量的运算 （加法/减法）
矢量加/减法遵循平行四边形法则 ,其运算满足: A B B A (交换律)
1、直角坐标系
坐标变量
x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
ex ey ez ey ez ex ez ex ey
位置矢量
r ex x ey y ez z
线元矢量
dl exdx eydy ezdz
面元矢量
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
