伯努利概型与随机变量概念难点共35页

3
PB PAi PB | Ai i 1 0.5 0.95 0.3 0.92 0.2 0.90
0.931
23
定理(全概率公式)
完备事件组
若A1, A2 , , An是互不相容互斥的事件
即Ai Aj i j, 且A1 A2 An , PAi 0i 1,2, , n.则对任一事件B有
所以,使被冒牌者蒙到岗位旳概率及将真正旳行家 拒之门外旳概率都变小测试措施是不存旳.因而,只 能在两者中取其一.
14
例2 某射手每次击中目旳旳概率是0.6,假如 射击5次，求至少击中两次旳概率.
解: 因为每次射击是相互独立旳,且只有击中与 未击中两种成果,故能够按5重伯努利概型计算
事件旳概率.已知 p 0.6, q 0.4,则
5
P(至少击中两次) P(击中k次) k2
1 P(击中0次) P(击中1次)
1
C
0 5
(0.6)0
(0.4)5
C
1 5
(0.6)1
(0.4)4
0.913
15
练习、某导弹旳命中率是0.6，问欲以99%旳把握 命中目旳至少需要配置几枚导弹？
解：设需配置n枚导弹，因为导弹各自独立发射，所以
能够看作n重伯努利试验。设A={导弹命中目的}，
由此可见，一件微不足 道的小事，只要坚持， 就会产生不可思议的结 果。
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重 条件概率 点
回 定义 设两个事件A、B ，且 P(B)>0,
顾
则称 PA | B 为在事件B发生旳
前提下，事件A发生旳条件概率。
计算公式：
PA|
B
PAB PB
同理,若PA 0有
PB
|
A

11
例1.28 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标 各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目 标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少?
解 设A=“甲射中目标”，B=“乙射中目标”，
“目标被击中”= A B ，问题归结于求 P A B ，
即求两个相互独立事件并的概率．
P A B 1 P A B 1 P AB 1 P A P B 1 0.2 0.3 0.94 .
事件中，若其中有一对事件相互独立，则其它三对事件 也分别相互独立．
证 假设 A 与 B 相互独立，则 P(AB) P( A)P B ， 从而 P(AB) P(A) P AB P(A) P A P B P(A)[1 P B] P A P(B) ，
这证明了 A 与 B 相互独立. 同理可证，A 与 B ，A 与 B 也分别相互独立．
注3 A1, A2 ,L , An相互独立
A1, A2,L , An中任意部分事件(个数 2)亦相互独立.
20
思考题
设A,B,C相互独立，证明：A+B与C，AB与C, A-B与C也相互独立.
21
注4 设事件 A1, A2 ,L , An 相互独立，则
P( A1 A2 L
An )
n
1 (1 i1
P(A) P A B P( A) P A B .
(0 P(A) 1,0 P(B) 1)
7
P( A) 0 Ａ与任何事件Ｂ都相互独立；
2º
P( A) 1 Ａ与任何事件Ｂ都相互独立.
Æ和 都与任何事件相互独立． 证 关于第一个蕴涵式．由 P( A) 0 及概率的 单调性知 P( AB) 0 , 从而k21Fra bibliotek3 4
4
C41

P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
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解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有

则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}

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伯努利试验的求解 与应用
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1
伯努利生平
丹尼尔伯努利 ，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利 家族中最杰出的一位。受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他 在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到 圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中 的里卡提方程。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。 1727年，20岁的欧拉(后人将他与阿基米德、艾萨克·牛顿、高斯 并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。
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3
பைடு நூலகம்
伯努利试验应用条件：多为计算独立重复试验中， 事件恰好发生的概率
伯努利试验公式：①如果在1次试验中某事件发生的概 率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发 生k次的概率记作Pn(k)，则C（n，k）p的K次方（1-P） 的n-K次方
有关伯努利试验的求解 : 在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： ( 1 )事件A在第K次试验中首次“发生”的概率； ( 2 )n次试验中事件A恰有K次“发生”的概率；
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11
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率为
Pn(k)

(*)例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一 人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的 概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求 飞机被击落的概率.
解: 设B={飞机被击落}，
Ai={飞机被i个人击中}, i=1,2,3
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理5.1.2 若两事件A、B独立，则 A与B, A与B, A与B 也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(A B)= P(A - A B)
= P(A)- P(AB)= P(A)- P(A) P(B)
例3：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有 2n个元件，其中系统Ⅰ先串联后并联，系统 Ⅱ 先并联后串联。求两个系统的可靠性大小 并加以比较。
A1 A2
An
A1
A2
B1 B2
Bn
B1
B2
系统Ⅰ
解：Ⅰ.设Ai表示第i个元件正常工作。 A：Ⅰ中第一条支路正常工作，
B：Ⅰ中第二条支路正常工作，
A∪B：表示Ⅰ系统正常工作
问事件A、B是否独立？
解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2
P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B)
因此，事件A、B独立.
本问题也可以通过条件概率来解决:
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 所以事件A、B独立.
练：投掷一枚均匀的骰子。 （1）设A表示“掷得点数小于5”，B表示“掷 得 奇数点”，问A,B是否独立？ 独立。 （2）设A表示“掷得点数小于4”，B表示“掷 得奇数点”，问A,B是否独立？ 不独立。

问题:(1)上述测试方法使公司被冒牌者蒙到岗位的概率有多大?
(2)上述测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率有多大? (3)能否设计出测试方法使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的 行家拒之门外的概率都变小?
计算机数学
7
伯努利概型
设随机试验满足
(1)在相同条件下进行n次重复试验;
(2)每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; (3)在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=P; (4)各次试验是相互独立的. 则称这种试验为n重伯努利（Bernoulli）试验。
即冒牌者在品尝测试中能通过测试(蒙对7次以上) 的概率仅为17.19%, 所以机会是很小的.
计算机数学
12
(2)若应聘者真是行家,则其在每次品尝测试中的判断 正确的概率为0.9,即 P(A)=0.9,根据公式有:
计算机数学
4
思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A={抽
到K}，B={抽到的是红色的}，问事件A,B是否独立？
分析1：
分析2：
4 1 26 1 2 1 P ( A ) ,P52 2 52 26 从而 P ( A ) P ( B ) P ( AB ) ，故 A ,B 相互独立。
P { k 7 } P { k 7 } P { k 8 } P { k 9 } P { k 10 }
( 120 45 10 1 )( 0 . 5 ) 0 . 1719 17 . 19 %
77 3 88 2 99 1 10 10 C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) C ( 0 . 5 ) 10 10 10 10 10

m m m m Cn P ( A) P n m ( A ) C n p (1 p) n m
第三讲 伯努利概型
注解：由于n次独立试验所有可能的结果就是事件 A恰好发生0， 1， 2， ....... ，n次，这些结果互斥，所以
P (m ) 1
m 1 n
m m n m n 因为Cn p q 恰为二项式（q px） 的展开式的x m的系数
特殊地，当P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p时， P ( B1 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p n .
（2）对于并联系统： 令 B2 表示右图并联系统正常工作,则
n n
1
2
B2 Ai ,系统B2的可靠性P ( B2 ) P ( Ai )
【分析】 由于第4次射击恰好是第 2次命中目标，所以第 4次 是必定命中目标的。前 3次是3次独立试验，即贝努里 概型。 因此：设A : 命中目标；B : 前3次恰命中 1次；C : 第4次命中 1次， 则B为3次独立试验事件A发生1次，C为 1次试验A发生1次。
第三讲 伯努利概型
P(第4次射击恰2次命中目标) P( BC ) P( B) P(C ) 1 2 2 2 P3 (m 1) P ( m 1 ) C p ( 1 p ) p 3 p ( 1 p ) . 故选(C ) 1 3
第三讲 伯努利概型
的概率，也就是“ n个房间进行独立试验有m 个房间
m 发生Ai ”的概率。这样的事件共有C n 个结果 结果1 ：首先, 选择前m 个房间发生A, 选好房间后，各个房
间是否发生A的事件依次为A1、 Am、Am 1、 An，由于n个 房间同时独立试验，所以，前m 个房间发生A的事件为它 们的积A1 Am Am 1 An。

P( Bk ) P( ) Cnk p k q nk
Bk
事件A在n次试验中发生k次的概率为
Pn (k ) Cnk p k q nk
0 k n
这个概率常称为二项概率，记为 bk ; n, p
k k nk pq 即： b(k；n, p) Cn
k=0，1，2，…，n
解：50千瓦电力可用时供给5台机床开动，因而10台机床中 同时开动的台数为不超过5台时都可以正常工作，而每 台机床只有“开动”与“不开动”的两种情况，且开动 的概率为12/60=1/5。不开动的概率为4/5。设10台机床 k 1 k 4 10 k 中正在开动着的机床台数为 ，则 P ( k ) C10 ( ) ( ) 0 k 10
1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林 科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。 许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题 （1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线” （1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题” （1700年）等。 雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685 年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著 《推测术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。 最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺 线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变 换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极 点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到 的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对 数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺 线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用 以象征死后永

【师】这 10 次试验之间是什么关系? 【生】它们之间是相互独立的。 6 【师】这 C10 种情况中每一种情况发生的概率为多少？ 【生】为 P（A） ·P（A） ·…·P（A） ·P（ A ） ·…·P（ A ）=0.25 ·0.75 【师】那 P（K=6）为多少？ 6 【生】P（K=6）= C10 P（A） ·P（A） ·…·P（A） ·P（ A ） ·…·P（ A ）
五、小结
六、作业
课 堂 教 学 安 排
教学过程 复习旧知 1. 独立事件 主 要 教 学 内 容 及 步 骤
事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两 个事件叫做相互独立事件． 2. 乘法公式 两个相互独立的事件同时发生时的概率等于每个事件发生的概率的积。 P（A·B）= P（A） ·P（B） 3.推广：如果事件 A1，A2，…An 相互独立，那么这 n 个事件的积的概率， ： 等于每个事件的概率的积， 即：P（A1A2…An）= P（A1）P（A2）…P(An)。
讲授新课
创设情境， 创设情境，引入课题 一次测试，试卷上是 10 道 4 选 1 的选择题，所给的 4 个供选择的答案 A、B、 C、D 中只有一个正确的。一位平时不努力的学生，面对试卷一筹莫展，他想 碰一下运气，跟着感觉走，就对每一道题随机地选 A、B、C、D 之一。请问 他能及格的概率有多大？ 分析情境， 分析情境，引出概念 【师】我们先剖析一下上面提到的那位碰运气同学所进行的试验的特点。 1. 每次试验的结果与其他各次试验的结果有没有关系？ 【生】每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，即每次试验都是独立的。 2. 每次试验的结果是什么？ 【生】试验的结果只有两个（ “选对”或“选错”。记 A={选对}，B={选错}。 ） 3. 每次试验的结果的概率有什么特点？ 1 【生】每次试验结果出现 A 的概率均为 。 4 【师】试验的目的，是探索这样的问题：在这样的试验中，A（选对）发生 K 次（K≤10）的可能性有多大？即求事件 A 恰好发生 K 次的概率问题，称为伯 努利概型或独立重复试验概型。大家小结一下伯努利概型的特点? 【生】伯努利概型的特点是： 伯努利概型的特点是： 伯努利概型的特点是 次试验是独立的； 1.n 次试验是独立的； 2.每次试验只有 不发生两种可能结果； 2.每次试验只有 A 发生和 A 不发生两种可能结果； 3．每次试验 A 发生的概率是相同的。 ． 发生的概率是相同的。 【师】古典概型的基本假设是什么? 【生】在一次试验中，1.只有有限个基本事件； 2.每个事件出现的可能性相同。 【师】注意不要把古典概型与伯努利概型的假设相混。 启发提问， 启发提问，探索公式 【师】 在上述情境中这位学生所期望的是选对的愈多愈好， K≥6.那他及格 即 的概率有多大？我们所先讨论一下那些情况下他能及格？ 【生】他能及格的情况有选对 6 道、7 道、8 道、9 道、10 道，它们是互斥的。 即我们要求 P（K≥6）=P（K=6）+P（K=7）+P（K=8）+P（K=9）+P（K=10） 。 【师】所先我们分析 K=6 时的情况，即 10 道题中选对 6 道有多少种情况？ 6 【生】有 C10 种情况。

C p (1 p)
k n k
n k

e
k
k!
其中 np
实际计算中， n
100, np 10 时近似效果就很好
请看演示
二项分布的泊松近似
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二项分布与泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性 , 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
泊松定理: 设随机变量X~B(n,p). 当 n很大时，p 很小. 有以下近似式：
P ( X k ) e



k
k!
, k0,1,2,,
k
E X xk pk ke e
k 0
k 0
k!
k 1k 1 !Fra bibliotekk
e

k 1 !
k 1


k 1

P ( X k ) e
E X

k(1-p)1-k,k=0,1 P ( X = k )= p 称X服从参数为n和p的二项分布，记作 称X服从0-1分布
n
k 0
X~B(n,p)
例 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏 的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)，

END

重点伯努利概型与随机变量概念难点
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
伯努利概型与全概公式 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非