数学物理方程第一章
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第二类边界条件（Neumann边界条件）：端点所受的垂 直于平衡位置外力的作用。
即：T 0ux (0,t) g1(t),T0ux (l,t) g2 (t) ，这里 g1(t), g2 (t) 已知
可写成 ux (0, t) 1(t), ux (l, t) 2 (t) 这里 1(t), 2 (t) 已知 特殊地：1(t) 2 (t) 0 时，称弦具有自由端。
cos 1 1 ux2
即T (x,t)与 x无关，由上得到 T (x,t) 与 x, t 无关。以下记
之 T0 。 step2：利用牛顿第二定律来建立方程。 张力在u轴方向分量 的代数和为
fu T0 sin 2T0 sin 1 T0 tan 2T0 tan 1
T0 ux (x2,t) ux (x1,t) T0uxx(,t)(x2x1) (x1 x2)
称方程为弦的自由微小横振动方程。
称形如：
utt x1, x2 , xn , t a2u f x1, x2 , xn , t
的方程为n维波动方程，其中 x1, x2, xn 表示位置变量，
t表示时间变量，
n
i 1
2 xi 2
称为n维Laplace算子。
当n=1时，为一维波动方程或弦振动方程，表示弦的振动
T (x,t) 与 t 无关。
进一步设弦上 M1, M 2 两点所受张力的大小分别为T (x1),T (x2)
且弦在 M1, M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为1,2
由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T (x1) cos1 T (x2 ) cos2
ux 1
T (x1) T (x2 )
即：u(x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的位移） ut (x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的速度）
这里 (x),(x) 为已知函数。
2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移
变化。
即：u(0,t) g1(t), u(l,t) g2 (t) 这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 特别地当 g1(t) g2 (t) 0 时，称弦线具有固定端。
2)弦运动： 横振动：弦的运动发生在同一平面内，且弦上各 点的位移与平衡位置垂直。
x 轴，且
弦上各点以横坐标表示。
如右图建立直角坐标系，则在
t 时刻，弦的形状为曲线u u(x,t)
微小：各点的位移小且 ux 1，即相对1可忽略不计 3.建立方程（利用牛顿第二定律和微分中值定理） 复习：微分中值定理：若函数f (x) 在[a,b]连续，(a,b)可 导，则存在c(a,b)有：f (b) f (a) (b a) f (c)
另一方面由于弦段 (x1, x2) 很小，其上各点的加速度相差也
太大，因此可用其中任一点 处的加速度 utt | 代替，
于是该小弦的质量与加速度的乘积为
utt | (x2x1) (x1 x2 )
垂直于平衡位置的力密度 f0 (x,t) 在 (x1, x2) 所产生的力为：
f0 ( ,t)( x2 x1) 由牛顿第二定律有：
第一章 典型方程与定解条件
牛顿第二定律 方程的导出
能量守恒定律
弦振动方程 热传导方程
基本概念：偏微分方程、线性、次、齐、自由项
定解问题的适定性：解的存在、唯一、稳定性
一、牛顿第二定律与弦振动方程
1.物理模型：一根两端固定的拉紧的长为l 的均匀柔软的
细弦，在垂直于平衡位置的外力作用下在平衡位置附近
做微小的横振动，求弦上各点的运动规律。
2.模型的假设说明（：忽略非本质因素，抓住本质）
1)弦本身：
均匀：体密度 (kg / m3)为常数；
线密度
细：弦的横截面直径相对于弦的长 度
(kg / m)
为常数
柔软可：以只忽抗略伸不长计不，抗弦弯近曲似，地即看各成点线的。张力沿各点的切
线方向。（解释：弯皮筋不费力，弯铁丝费力）
step1：证明弦上各点的张力大小T (x,t) 为常数（即与 x, t
无关）。 在弦上各点任取一小段弧 M1M 2 ，设其弧长为 s ，则有：
s
x2 x1
1 ux2 dx
ux 1
s x2 x1 ………（1）
由（1）的这段弦在振动过程中没有伸长，由Hooke定
律得到弦上各点所受张力在运动过程中保持不变，即
T0uxx( ,t) f0 ( ,t) utt (,t)
令 x2 x1 则有：
Tu xx (x, t) f0 (x, t) utt (x, t) utt a2uxx f
其中
a2 T , f f0
………（2）
注： 称(2)为弦的强迫微小横振动方程；若无外力，则(2)式
显然为：utt a2uxx
在空气中的传播，一般写成：
utt x, y, z,t a2 uxxx, y, z,tuyy(x, y, z,t) uzz (x, y, z,t) f x, y, z,t
4.定解条件与定解问题：
一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
第三类边界条件（RobHale Waihona Puke Baidun边界条件）：端点的位移与所 受外力的线性组合。
即：T 0ux (0,t) 1u(0,t) g1(t),这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 T0ux (l,t) 2u(l,t) g2 (t)（i 0,i (i 1,2) 表示弹性系数）
特别地：g1(t) g2 (t) 0 时，表示弦的两端固定在弹性支撑上
3）定解条件: 将初始条件和边界条件称为定解条件 4）定解问题：一个偏微分方程连同相应的定解条件组成一
或声波在管中的传播，也可以表示杆的纵振动（即一均
匀细杆在外力的作用下延长杆方向作微小振动）。
当n=2时，为二维波动方程，表示膜的振动或水面上的水
波的传播，一般写成：
utt x, y,t a2 uxxx, y,t uyy(x, y,t) f x, y,t
当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波
即：T 0ux (0,t) g1(t),T0ux (l,t) g2 (t) ，这里 g1(t), g2 (t) 已知
可写成 ux (0, t) 1(t), ux (l, t) 2 (t) 这里 1(t), 2 (t) 已知 特殊地：1(t) 2 (t) 0 时，称弦具有自由端。
cos 1 1 ux2
即T (x,t)与 x无关，由上得到 T (x,t) 与 x, t 无关。以下记
之 T0 。 step2：利用牛顿第二定律来建立方程。 张力在u轴方向分量 的代数和为
fu T0 sin 2T0 sin 1 T0 tan 2T0 tan 1
T0 ux (x2,t) ux (x1,t) T0uxx(,t)(x2x1) (x1 x2)
称方程为弦的自由微小横振动方程。
称形如：
utt x1, x2 , xn , t a2u f x1, x2 , xn , t
的方程为n维波动方程，其中 x1, x2, xn 表示位置变量，
t表示时间变量，
n
i 1
2 xi 2
称为n维Laplace算子。
当n=1时，为一维波动方程或弦振动方程，表示弦的振动
T (x,t) 与 t 无关。
进一步设弦上 M1, M 2 两点所受张力的大小分别为T (x1),T (x2)
且弦在 M1, M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为1,2
由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T (x1) cos1 T (x2 ) cos2
ux 1
T (x1) T (x2 )
即：u(x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的位移） ut (x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的速度）
这里 (x),(x) 为已知函数。
2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移
变化。
即：u(0,t) g1(t), u(l,t) g2 (t) 这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 特别地当 g1(t) g2 (t) 0 时，称弦线具有固定端。
2)弦运动： 横振动：弦的运动发生在同一平面内，且弦上各 点的位移与平衡位置垂直。
x 轴，且
弦上各点以横坐标表示。
如右图建立直角坐标系，则在
t 时刻，弦的形状为曲线u u(x,t)
微小：各点的位移小且 ux 1，即相对1可忽略不计 3.建立方程（利用牛顿第二定律和微分中值定理） 复习：微分中值定理：若函数f (x) 在[a,b]连续，(a,b)可 导，则存在c(a,b)有：f (b) f (a) (b a) f (c)
另一方面由于弦段 (x1, x2) 很小，其上各点的加速度相差也
太大，因此可用其中任一点 处的加速度 utt | 代替，
于是该小弦的质量与加速度的乘积为
utt | (x2x1) (x1 x2 )
垂直于平衡位置的力密度 f0 (x,t) 在 (x1, x2) 所产生的力为：
f0 ( ,t)( x2 x1) 由牛顿第二定律有：
第一章 典型方程与定解条件
牛顿第二定律 方程的导出
能量守恒定律
弦振动方程 热传导方程
基本概念：偏微分方程、线性、次、齐、自由项
定解问题的适定性：解的存在、唯一、稳定性
一、牛顿第二定律与弦振动方程
1.物理模型：一根两端固定的拉紧的长为l 的均匀柔软的
细弦，在垂直于平衡位置的外力作用下在平衡位置附近
做微小的横振动，求弦上各点的运动规律。
2.模型的假设说明（：忽略非本质因素，抓住本质）
1)弦本身：
均匀：体密度 (kg / m3)为常数；
线密度
细：弦的横截面直径相对于弦的长 度
(kg / m)
为常数
柔软可：以只忽抗略伸不长计不，抗弦弯近曲似，地即看各成点线的。张力沿各点的切
线方向。（解释：弯皮筋不费力，弯铁丝费力）
step1：证明弦上各点的张力大小T (x,t) 为常数（即与 x, t
无关）。 在弦上各点任取一小段弧 M1M 2 ，设其弧长为 s ，则有：
s
x2 x1
1 ux2 dx
ux 1
s x2 x1 ………（1）
由（1）的这段弦在振动过程中没有伸长，由Hooke定
律得到弦上各点所受张力在运动过程中保持不变，即
T0uxx( ,t) f0 ( ,t) utt (,t)
令 x2 x1 则有：
Tu xx (x, t) f0 (x, t) utt (x, t) utt a2uxx f
其中
a2 T , f f0
………（2）
注： 称(2)为弦的强迫微小横振动方程；若无外力，则(2)式
显然为：utt a2uxx
在空气中的传播，一般写成：
utt x, y, z,t a2 uxxx, y, z,tuyy(x, y, z,t) uzz (x, y, z,t) f x, y, z,t
4.定解条件与定解问题：
一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
第三类边界条件（RobHale Waihona Puke Baidun边界条件）：端点的位移与所 受外力的线性组合。
即：T 0ux (0,t) 1u(0,t) g1(t),这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 T0ux (l,t) 2u(l,t) g2 (t)（i 0,i (i 1,2) 表示弹性系数）
特别地：g1(t) g2 (t) 0 时，表示弦的两端固定在弹性支撑上
3）定解条件: 将初始条件和边界条件称为定解条件 4）定解问题：一个偏微分方程连同相应的定解条件组成一
或声波在管中的传播，也可以表示杆的纵振动（即一均
匀细杆在外力的作用下延长杆方向作微小振动）。
当n=2时，为二维波动方程，表示膜的振动或水面上的水
波的传播，一般写成：
utt x, y,t a2 uxxx, y,t uyy(x, y,t) f x, y,t
当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波