破译绝对值不等式中地含参问题

一、填空题 1．不等式1

|||5|1x a x

+

>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】

试题分析：x Q 与

1x 同号，11x x x x ∴+=+1

22x x

≥=（当且仅当1x =±时取“=”

）251,51a a ∴>-+∴-<，解得46a <<，故答案为46a <<.

考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.

2．已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成，求k 的取值范围__________． 【答案】[

)12,+∞

3．若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】(,3]-∞- 【解析】

试题分析：121212ax ax ax +>⇔+>+<-或13a a x x ⇔>

<-或在()1,+∞上恒成立,1

a x

> 在()1,+∞上不成立，由3

a x

<-

在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点：含绝对值不等式的恒成立问题.

4．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】

【解析】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点.有13a -≤，

24a ∴-<<.

考点：含绝对值的不等式的解法.

【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如

或

，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择

或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 5．已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解，实数c 的取值范围__________． 【答案】][()

,02,-∞⋃+∞

6．已知函数．若的解集包含，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为

.

7．若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3，则实数k 的值为_______． 【答案】8

【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3＜0， 原不等式等价于|x 2

﹣4x+k|﹣x+3≤5， 即﹣x ﹣2≤x 2

﹣4x+k ≤x+2，

则 x 2

﹣5x+k ﹣2≤0且x 2

﹣3x+k+2≥0解的最大值为3， 设 x 2﹣5x+k ﹣2=0 的根分别为x 1和x 2，x 1＜x 2， x 2

﹣3x+k+2=0的根分别为x 3和 x 4，x 3＜x 4． 则x 2=3，或 x 4=3．

若x 2=3，则9﹣15+k ﹣2=0，k=8， 若x 4=3，则9﹣9+k+2=0，k=﹣2． 当k=﹣2时，原不等式无解，

检验得：k=8 符合题意， 故答案为：8．

8．存在,x R ∈使不等式1-2x x a --≤成立，则a 的取值范围是_____ 【答案】)[1 ∞-+，

【解析】由题意得()min

1212121a x x x x x x ⎡⎤≥------≤---=⎣⎦Q

min

1211x x a ⎡⎤∴---=-∴≥-⎣⎦

9．已知函数的最小值是2，则的值是________，不等式

的解集

是________．

【答案】 3 ][()

,04,-∞⋃+∞

【点睛】与简单的绝对值有关的问题，可用绝对值三角不等式a b a b +≥±得出最小值，要注意等号成立的条件，解绝对值不等式可利用绝对值的定义去绝对值符号，化为不含绝对值的不等式分类求解． 10．若关于x 的不等式()

4log 22(0x x a a -++>>且1)a ≠恒成立则a 的取值范围是_________. 【答案】()1,2

【解析】关于x 的不等式log a (|x −2|+|x +a |)>2(a >0且a ≠1)恒成立， 即有当a >1时,可得|x −2|+|x +a |>a 2

恒成立，

由|x −2|+|x +a |⩾|x −2−x −a |=|2+a |=2+a ,当(x −2)(x +a )⩾0时，取得等号， 即有a 2

<2+a ，解得−1

恒成立，

由于|x −2|+|x +a |⩾|x −2−x −a |=2+a ,无最大值,则|x −2|+|x +a |

不恒成立， 综上可得1

11．已知函数()()11f x ax a x =---．

（Ⅰ）当2a =时，满足不等式()0f x >的x 的取值范围为__________． （Ⅱ）若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭

点睛：含绝对值不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

12．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈， ()2f x ≥，则a 的取值范围是__________． 【答案】(][

),13,-∞-⋃+∞

【解析】Q 对(),2x R f x ∀∈≥， ∴只需()f x 的最小值大于等于2，当1a >时， ∴当1x ≤时，

()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时， ()1f x a =-，当x a >时， ()211f x x a a =--≥-， ∴

只需12a -≥，解得3a ≥；当1a ≤时，当x a ≤时， ()211f x x a a =-++≥-，当1a x <≤时，

()1f x a =-，当1x >时， ()211f x x a a =--≥-， ∴只需12a -≥，解得1a ≤-， (][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞，故答案为(][),13,-∞-⋃+∞.

二、解答题

13．选修4-5：不等式选讲

()225f x x x =--+.

（1）求函数()f x 的最小值m ；