破译绝对值不等式中地含参问题

破译绝对值不等式中的含参问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ一、填空题 1．不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】 试题分析：x 与1x同号，11x x x x ∴+=+122xx≥=（当且仅当1x =±时取“=”)251,51a a ∴>-+∴-<,解得46a <<,故答案为46a <<． 考点:1、绝对值不等式的解法;2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.2.已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成,求k 的取值范围_____＿____． 【答案】[)12,+∞３.若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为___＿_____． 【答案】(,3]-∞- 【解析】试题分析:121212ax ax ax +>⇔+>+<-或13a a x x ⇔><-或在()1,+∞上恒成立,1a x> 在()1,+∞上不成立,由3a x<-在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点：含绝对值不等式的恒成立问题.４．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是__＿_____． 【答案】【解析】试题分析：本题的几何意义是:存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点．有13a -≤,24a ∴-<<.考点:含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解,对于形如或,利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法,解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 5．已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解,实数c 的取值范围＿_____＿__＿． 【答案】][(),02,-∞⋃+∞６.已知函数．若的解集包含，则实数的取值范围为_＿________.【答案】【解析】f (x )≤|ｘ－4|⇔|ｘ－4|－｜x -2|≥|ｘ+ａ|.当ｘ∈[1,2]时，|x －４|-|ｘ-2|≥|x +a | ⇔4－x -(2-x )≥|x ＋a |⇔-2－a ≤x ≤2-a ．由条件得-2－a ≤1且2-a ≥２， 即-3≤a ≤0.故满足条件的ａ的取值范围为．7．若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3,则实数k 的值为____＿＿_． 【答案】8【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3<0， 原不等式等价于|x ２﹣４x+ｋ|﹣x+3≤５， 即﹣x ﹣2≤x 2﹣４ｘ＋ｋ≤x+２，则 ｘ2﹣5ｘ+ｋ﹣2≤0且x 2﹣3ｘ+ｋ+2≥0解的最大值为3, 设 x ２﹣5x ＋ｋ﹣2=0 的根分别为x 1和x ２，ｘ1<x 2， x 2﹣3x+k+2＝0的根分别为x 3和 x ４，ｘ3<x ４. 则x 2=3,或 x 4=３．若x 2=3,则9﹣15+k ﹣２=0,k ＝８， 若x ４＝3,则9﹣9+k+2=0，k=﹣2. 当k=﹣２时,原不等式无解,检验得:k ＝8 符合题意, 故答案为:８.８．存在,x R ∈使不等式1-2x x a --≤成立，则a 的取值范围是__＿__ 【答案】)[1 ∞-+，【解析】由题意得()min1212121a x x x x x x ⎡⎤≥------≤---=⎣⎦min1211x x a ⎡⎤∴---=-∴≥-⎣⎦9．已知函数的最小值是2,则的值是＿____＿__，不等式的解集是＿_＿＿___＿.【答案】 3 ][(),04,-∞⋃+∞【点睛】与简单的绝对值有关的问题，可用绝对值三角不等式a b a b +≥±得出最小值，要注意等号成立的条件,解绝对值不等式可利用绝对值的定义去绝对值符号,化为不含绝对值的不等式分类求解.1０．若关于x 的不等式()4log 22(0x x a a -++>>且1)a ≠恒成立则a 的取值范围是_＿___＿＿＿_. 【答案】()1,2【解析】关于x 的不等式ｌog a （|x −２|＋|x ＋a |)>2(a ＞0且a ≠1)恒成立, 即有当a ＞1时,可得|x −2|+｜ｘ+ａ｜>a 2恒成立，由｜x −２|+｜ｘ+a ｜⩾|x −２−ｘ−a |=|2+a ｜=2+ａ,当（ｘ−２)(x +ａ)⩾0时,取得等号, 即有ａ2<2+a ,解得−1<ａ<2,即为1<a <2; 当0<ａ<1时,可得|x −2｜+|x +a |＜a 2恒成立，由于|ｘ−2|+|x +ａ|⩾|x −２−x −a |=２＋a ,无最大值，则｜x −2｜+|ｘ+a |＜a 2不恒成立， 综上可得１<ａ<2. 故答案为：(1，2).11．已知函数()()11f x ax a x =---．(Ⅰ）当2a =时,满足不等式()0f x >的x 的取值范围为___＿___＿＿_. (Ⅱ）若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_＿________. 【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：含绝对值不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.12.设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈, ()2f x ≥,则a 的取值范围是________＿＿. 【答案】(][),13,-∞-⋃+∞ 【解析】对(),2x R f x ∀∈≥， ∴只需()f x 的最小值大于等于2,当1a >时， ∴当1x ≤时,()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时, ()1f x a =-，当x a >时, ()211f x x a a =--≥-, ∴只需12a -≥,解得3a ≥;当1a ≤时,当x a ≤时, ()211f x x a a =-++≥-,当1a x <≤时,()1f x a =-,当1x >时， ()211f x x a a =--≥-， ∴只需12a -≥,解得1a ≤-, (][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞,故答案为(][),13,-∞-⋃+∞.二、解答题13．选修4－５:不等式选讲()225f x x x =--+.（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若不等式2x a x m -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)3m =（2）5a ≤-或1a ≥.【解析】试题分析:(１)化简ｆ(x)的解析式,再利用单调性求得函数f(x ）的最小值m ；（2）利用绝对值三角不等式求得|x-a|＋｜x ＋2|≥|a+2|，可得|a+2|≥3，由此求得实数a 的取值范围．点睛:本题主要考查分类讨论去绝对值,不等式恒成立问题，体现了转化的数学思想，关键是利用绝对值三角不等式求出最值即可解决恒成立得到实数a 的范围. 14.已知函数()()240f x x m x m m =--+>. (１)当2m =时，求不等式()0f x ≤的解集；(2）若关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ，求m 的取值范围. 【答案】（1)(]2,-+∞ (２)102m <≤【解析】试题分析:(1)去掉绝对值符号,得到分段函数，然后求解不等式的解集.(２）“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”．试题解析:(1）当2m =时， ()48f x x x =--+.所以()0f x ≤，即为480x x --+≤， 所以48x x -≤+,所以2x ≥-，即所求不等式解集为[)2,-+∞.(２)“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”，因为246x m x m m --+≤, 213t t -++≥．所以63m ≤,即12m ≤,又0m >,所以102m <≤. 1５.函数()12f x x x a =-++． （1)当1a =时，求证: ()13f x x +-≥； （2)若()f x 的最小值为２,求实数a 的值. 【答案】(1)证明见解析；(2） 2a =或6a =-.【解析】试题分析:（1）当1a =时，利用绝对值三角不等式可证: ()13f x x +-≥； （2)分①当12a >-，②当12a <-,③当12a =-时，三种情况分类讨论，去掉绝对值符号,即可得到实数a 的值.②当12a<-,即2a <-时, ()31,1,{1,1, 231,,2x a x a f x x a x ax a x -+-≤=---<<-+-≥-则当2a x =-时， ()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭,故6a =-．③当12a=-时，即2a =-时， ()31f x x =-有最小值0,不符合题意，舍去. 16.已知函数()1f x x a x =-+-， a R ∈(１）当3a =时,求不等式()4f x ≤的解集；（2)若不等式()2f x <的解集为空集，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[]0,4;（2)(][),13,-∞-⋃+∞【解析】试题分析:(1)根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式,分段解不等式即可；(2)根据题意将问题转化为2≤f(x)mi ｎ,由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。

含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。

一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。

对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。

绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。

含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。

1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。

2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。

3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。

例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。

含参数含绝对值不等式的求解举例
广东顺德李伟强职校韦生
问题：如果不等式的解集是，求b的取值范围百度网上给出的答案：R 事实上，上述答案是错的：
例1：求不等式的解集
解：需要分为：和两种情况讨论
1.当时，即时，不等式等价于不等式组。

(1) 或(2)
解（1）得：解集。

解（2）得:或解集
综合：时，原不等式的解集为：
或
2当.即不等式等价于不等式组。

(3) 或(4)
解（3）得：
解（4）得:
综合：即不等式的解为
回到问题的开始：
如果不等式的解集是，求b的取值范围，那么b的取值范围应为:,而不是R
为此，我们可以通过验证来检验。

例2：（1）取b=1>时，不等式：的解集为：
（2）取b=<时，不等式：的解集为或
教学时，学生感觉此题较难，找不到解题思路。

从上面解题过程看，解法是进行二次分类讨论：首先确定b的分类：和；其次绝对值的分类；因此，加强多个知识点的综合应用练习，从而培养综合运用知识能力，更好的适应应考要求。

绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考取不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些种类的题目作以梳理。

绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转变为一般不等式加以解决。

一、绝对值的最值问题1、当绝对值中的系数同样时。

运用三角不等式：例 1：求函数的最值解：，函数的最小值为 1。

例 2：求函数的最值解：，即获得，函数的最小值为，最大值为 2。

2、当绝对值中的系数不同样时。

①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上涨与降落判断最高或最低处），在分界点处求最值。

例：求函数的最值解：当即，即，当。

则有画出草图，或许由每一段的单一性判断直线的上涨或许降落，图像从左往右先降，再降，后升，在处，函数获得最小值3。

二、求绝对值中的参数范围1、恒建立问题例 1：围。

析：先求函数解：由对全部恒建立，求的最小值，a的取值范，得=，则。

例2：对于恒建立，求t 的取值范围。

析：先求函数二次不等式。

的最大值，再解解：因为当即当即则有 f(x)=像在画出草图，或许由每一段的单一性判断直线的上涨或许降落，范围内，在处，函数获得最大值。

则，解图，即得。

2、存在问题例 1：若存在实数x,使建立，求 a 的取值范围。

析：先求函数的最大值，再。

到解：，函数的最大值为，即得2，即，则例 2：若存在实数析：先求x,使，求的最小值，再a 的取值范围。

解：,。

则，得。

例 3：设函数，若存在，使建立，务实数 a 的取值范围。

析：先求的最小值，再。

解：①若，即当当当即即即则得，则有，得。

②若，即当当当即即即则得，则有，得。

综上所述， a 的取值范围为。

含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

解答含参绝对值方程或不等式问题的策略当解答含参的绝对值方程或不等式问题时，我们需要采用一定的策略，以下是一些常用的方法：
1. 求解绝对值方程的一般步骤是：先将绝对值表达式分成两个部分，一个取正，一个取负，然后分别解方程，最后求出所有解并检验。

2. 求解绝对值不等式的一般步骤是：先将绝对值表达式分成两个部分，一个大于等于0，一个小于0，然后分别解不等式，最后求出所有解并检验。

3. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数是否为0，如果是的话，需要特殊处理。

4. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数是否为正或负数，这将影响分解式子的方向。

5. 如果绝对值方程或不等式中含有分式，需要先将分式化简成通分式，再进行处理。

6. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数的范围，不能出现使得绝对值无意义的情况。

7. 在解绝对值方程或不等式时，可以使用数轴图像法，将方程或不等式的解用数轴表示出来，更加直观和易于理解。

总之，解答含参的绝对值方程或不等式问题需要灵活运用各种数学方法和技巧，才能得出正确的解答。

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§1.2.3 含参绝对值不等式的解法举例课题：绝对值不等式课时：2 使用时间：2012年3月__日备课小组：第二小组执笔人：石慧峰审稿人：杨慧一、旧知复习题组1.(2008上海,1) 不等式11<-x的解集是2. (2009浙江,13) 不等式211x x--<的解集是3.(2009山东,13) 不等式212<---xx的的解集是4.(2011山东，4) 不等式5310x x-++≥的解集是（）A．[-5，7] B．[-4，6] C．(][),57,-∞-+∞D．(][),46,-∞-+∞二、基础题组1.不等式52x m+≥+对任意实数x恒成立，则m的取值范围是2. 已知不等式2x a-≤(0)a>的解集为}{1x R x c∈-≤≤，求ca2+的值3.已知x a b-<的解集为(2,3)-，则a= ,b=三、拓展题组1. 若不等式26ax+<的解集为(1,2)-，则实数a等于（）.A8.B2.C4-.D8-2. 解关于x的不等式：①解关于x的不等式13mx-<；②231x a+-<()a R∈四、检测展示例题：已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围【分析思路】屯留一中导学案（高二数学）【解答过程】【变式拓展】()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是______ ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是_____ ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ______五、学习小结1）一题有多法时，解题时需学会寻找最优解法。

2）构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法屯留一中导学案（高二数学）()f x a≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补。

含参绝对值不等式的解法稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊含参绝对值不等式的解法哟！你们知道吗，这含参绝对值不等式就像个调皮的小精灵，有时候会把咱们弄得晕头转向。

但别怕，咱们一起来征服它！比如说，遇到那种最简单的形式，像 |x a| b 这种。

咱们就可以把它拆分成 b x a b ，然后一步步算出 x 的范围。

是不是感觉还不算太难？可要是参数多起来，那可就有点头疼啦！不过没关系，咱们要冷静，仔细分析。

比如说 |ax + b| c 这种，咱们得先考虑 a 的正负。

如果 a 是正的，那就好办啦，直接像刚刚那样拆开就行。

但要是 a 是负的呢？那咱们得变个号，变成 c ax + b c ，然后再计算。

还有的时候，会碰到像 |x a| > b 这样的，这时候就要分成 x a b 或者 x a > b 两种情况来算。

哎呀，说起来好像有点复杂，但只要咱们多做几道题，多练练手，就会发现其实也没那么可怕啦！加油哟，小伙伴们，相信咱们一定能搞定含参绝对值不等式这个小调皮！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来好好唠唠含参绝对值不等式的解法！一提到这个，是不是有的小伙伴脑袋都大啦？别慌别慌，听我慢慢说。

比如说有个不等式 |2x 3| 5 ，那咱们就可以把它想成 2x 3 在 5 和 5 之间，也就是 5 2x 3 5 ，解出来就是 1 x 4 ，是不是还挺简单的？但要是变成 |ax + b| c ，这里面多了个参数 a ，那就得小心啦。

要是 a 大于 0 ，那直接解 c ax + b c 就行。

可要是 a 小于0 呢？这时候得变号哟，变成 c (ax + b) c ，然后再去解。

再比如说 |x a| > b ，这就得分成两种情况，一种是 x ab ，另一种是 x a > b ，分别解出来，再把结果综合一下。

有时候参数会藏得很深，这就需要我们有一双火眼金睛，把它找出来，然后按照规则去处理。

解含参绝对值不等式就像是一场冒险，虽然会遇到一些小困难，但只要我们勇敢向前，多思考，多尝试，就一定能找到宝藏，也就是正确的答案！大家加油哟，相信自己是最棒的！。

不等式组含参问题解法口诀不等式组含参问题是初中数学中比较重要和难点的一部分内容，不等式组含参有多种解法，这里介绍一些方法及其口诀。

一、图像法通过画出不等式组所对应的直线，在图像上判断交点位置的方法称为图像法。

步骤：1、根据不等式求出直线方程。

2、将直线画出。

3、根据问题中的参数值或限制条件，逐一判断交点位置。

4、找出合法的参数范围，即可得到不等式组的解。

口诀：直线而行，标志清晰。

参数解，交点全描。

于原点，交点证。

或无限，一致性。

例如：解不等式组x+y≥2k2x-y≤3k1、由不等式x+y≥2k 可得直线方程y≥-x+2k ，将其画出。

2、由不等式 2x-y≤3k 可得直线方程 2x-3k≤y，将其画出。

图像如下：3、根据参数k的取值，判断交点位置。

当k=0时，两条直线的交点为(0,2)，满足不等式组。

当k=1时，两条直线的交点为(1,1)，满足不等式组。

当k=2时，两条直线的交点为(2,0)，不满足不等式组。

4、所以，该不等式组的解为0≤k<2 。

二、代入法将一部分不等式中的变量用其他变量表示出来，然后代入另一不等式中去，消去被替换的变量，可以得到只含一个变量的不等式，从而求出参数的范围。

步骤：1、将其中一个不等式中的变量用另一个不等式中的变量表示出来。

2、将代入后的不等式化简，得到只含一种变量的不等式。

3、根据这个变量的取值范围，推出原来不等式组的解。

口诀：解纠结，化简薄。

一变化，再推进。

终得范，系统定。

例如：解不等式组m+n≥203m-2n≤151、将第二个不等式中的 n 用第一个不等式中的式子代入，得到 3m-2(m+n)≤15 。

化简得 m-2n+20≤0 。

2、得到只含 m 的一元一次不等式m≤2n-20 。

3、根据该不等式即可推出原来不等式组的解为n≤10,m≤0 或n≥10,m≥0 。

三、函数法通过将不等式中的变量用函数表达式表示出来，然后研究函数的性质，从而得到参数的取值范围。

含参数的一元绝对值不等式的解法一元绝对值不等式是初中数学中的基础之一，但在一些考试中也可能会有一些含参数的不等式，需要我们灵活运用绝对值的性质来解决。

下面是解决含参数的一元绝对值不等式的基本思路：步骤1. 将不等式中的绝对值拆分成正负两种情况。

对于 $|x-a| \leq b$ 这种不等式，我们可以将其拆成 $x-a \leqb$ 和 $x-a\geq-b$ 两种不等式，即：$$\begin{cases}x-a\leq b \\x-a\geq -b\end{cases}$$对于 $|f(x)-g(x)| \leq k$ 这种不等式，同样可以根据 $f(x)-g(x)$ 的正负拆成两个不等式来解决。

不过需要注意的是，$f(x)-g(x)$ 的值域往往并不那么好求。

在遇到这种问题时，我们可以换一种思路，把 $f(x)$ 和 $g(x)$ 拆成不等式，得到：$$\begin{aligned}f(x)-g(x)\leq k \\g(x)-f(x)\leq k\end{aligned}$$2. 求解不等式。

对于 $x-a\leq b$ 和 $x-a\geq-b$ 这种一元一次不等式，我们可以直接通过移项得到 $x$ 的解。

对于 $f(x)-g(x)\leq k$ 和 $g(x)-f(x)\leq k$ 这种带有绝对值函数的不等式，我们需要分类讨论。

- 当 $f(x)\geq g(x)$ 时，$|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)$，此时原不等式可化为 $f(x)-g(x) \leq k$，解得 $x\geq f^{-1}(k+g(x))$。

- 当 $f(x)<g(x)$ 时，$|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)$，此时原不等式可化为 $g(x)-f(x) \leq k$，解得 $x\leq g^{-1}(k+f(x))$。

3. 检验答案。

在求解不等式时，我们需要注意到绝对值函数的值域，确保得到的解符合原来的不等式。

例谈含参数绝对值不等式的解法在解含参数绝对值不等式的问题时，需要根据参数的不同取值情况进行分类讨论，下面就含有参数的绝对值不等式常见题型解析几例，以期对同学们有所帮助。

例1 设a ＞0，若满足不等式|x-a|＜b 的一切实数x ，也满足|x-2a|＜1，求正实数b 的取值范围。

解析：由|x-a|＜b 得a-b ＜x ＜a+b ，由|x-2a|＜1得2a-1＜x ＜2a+1依题意得⎩⎨⎧+≤+-≥-1212a b a a b a ，即⎩⎨⎧+≤+-≤11a b a b 当a ＞0时，-a+1＜a+1，故可得0＜b ≤-a+1点评：1、本题|x-a|＜b 的解集是|x-2a|＜1解集的子集，故可作图1。

2、关于不等式组⎩⎨⎧+≤+-≥-1212a b a a b a ，可参考图1得到 例2 解关于x 的不等式：a|x-1|＞2+a 解析：（1）当a ＞0时，原不等式化为|x-1|＞a 2+1 ∴x-1＞a 2+1或x-1＜-a2-1 ∴原不等式的解集为{ x|x ＞a 2+2或x ＜-a 2} （2）当a=0时，原不等式化为0＞2，这显然不成立∴此时原不等式的解集为φ（3）当-2≤a ＜0时，原不等式可化为|x-1|＜a 2+1 ∵a2+1≤0而|x-1|≥0，矛盾 ∴原不等式的解集为φ （4）当a ＜-2时，原不等式可化为|x-1|＜a 2+1 ∵a 2+1＞0，∴-a 2-1＜x-1＜a 2+1，即-a 2＜x ＜a2+2 ∴原不等式的解集为{ x|-a 2＜x ＜a2+2} 综上可知，当a ＞0时，原不等式的解集为{ x|x ＞a 2+2或x ＜-a 2}；当-a2≤a ≤0时，原不等式的解集为φ；当a ＜-2时，原不等式的解集为{x|-a 2＜x ＜a2+2＝。

2a-1 a-b a+b 2a+1 图1点评：注意对a 分层次讨论，第一层次，分a ＞0，a=0，a ＜0讨论；第二层次，当a ＜0时，又分a 2+1≤0，a2+1＞0讨论，这样处理才能做到不重不漏。

绝对值不等式的解法教案教学目的：(1)巩固ax b c与ax b c(c 0) 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；(2)培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；(3)激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式．教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题．授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：(略)教学过程：一、复习引入：x a与x a(a 0) 型不等式ax b c与ax b c(c 0) 型不等式的解法与解集不等式x a(a 0) 的解集是x a x a不等式x a(a 0) 的解集是{x x> a或x< - a}不等式ax b c(c 0)的解集为x| c ax b c (c 0)不等式ax b c(c 0) 的解集为{x|ax+ b< - c或ax+ b> c}(c> 0)二、讲解范例：例1 解不等式1 |2x-1|<5分析：怎么转化？怎么去掉绝对值？方法１：原不等式等价于|2x 1| 5 |2x 1| 12x 1 5 2x 1 5 2x 1 5 ① 或 2x 1 5 ② 2x 1 1 2x 1 1解①得： 1 x<3 ；解②得： -2<x 0∴原不等式的解集为 {x|-2<x 0 或 1 x<3}方法 2：原不等式等价于 1 2x-1<5 或 –5<2x-1 -1即 2 2x<6 或 –4<2x 0解得 1 x<3 或 –2<x 0∴原不等式的解集为 {x|-2<x 0 或 1 x<3}小结 ：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的 依据是 a |x| b a x b 或 -b x -a(a 0)37 练习：解下列不等式： 2 2x 5 7 x| 1 x 或 x 6 22例 2 解不等式： |4x-3|>2x+1分析：关键是去掉绝对值4x 3 0 4x 3 0 方法 1：原不等式等价于 或 ， 4x 3 2x 1 (4x 3) 2x 11∴原不等式的解集为 {x|x>2 或 x< } 3方法 2：整体换元转化法分析：把右边看成常数 c ，就同 ax b c(c 0) 一样∵|4x-3|>2x+1 4x-3>2x+1 或 4x-3<-(2x+1) x>2 或 x< ，31∴原不等式的解集为 {x|x>2 或 x< }3例 3 解不等式： |x-3|-|x+1|<1分析：关键是去掉绝对值方法 1：零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)x 4 或 x23 4， 1 3∴ x>2 或 x< 1①当x 1时，x 3 0,x 1 0∴ (x 3) (x 1) 1 ∴ 4<1 x②当1 x 3时11∴(x 3) (x 1) 1 x ，∴ {x| x 3}22③当x 3 时(x 3) (x 1) 1 -4<1 x R ∴{x|x 3}综上，原不等式的解集为{x|x1}2也可以这样写：x 1 1 x 3解：原不等式等价于① 或② 或③(x 3) (x 1) 1 (x 3) (x 1) 1x3(x 3) (x 1) 11①的解集为φ，②的解集为{x| <x<3} ，③的解集为{x|x 3} ，21∴原不等式的解集为{x|x> }2方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到3 和-1 两点的距离之差小于1 的点．-1 O 1 2 3 x1∴原不等式的解集为{x|x> }2练习：解不等式：|x+2|+|x|>4分析1：零点分段讨论法．解法1：①当x -2 时，不等式化为-( x+2) -x>4 即x<-3，符合题意．②当–2<x<0 时，不等式化为x+2-x>x 即2>4，不合题意，舍去．③当x 0 时，不等式化为x+2+x>4 即x>1 ，符合题意．综上，原不等式的解集为{x|x<-3 或x>1}分析2：从形的方面考虑，不等式|x+2|+|x|>4 表示数轴上到-2 和0 两点的距离之和大于4 的点．解法2：因取数轴上点1右边的点及点-3 左边的点到点-2、0的距离之和均大于4．∴原不等式的解集为{x|x<-3 或x>1}例4 解关于x 的不等式① x a(a R),② x a(a R)解：∵ a R ，分类讨论如下①Ⅰ 当a 0时，解集为 ,Ⅱ当a 0时，解集为 {x| a x a},①Ⅰ 当a 0时，解集为 R,Ⅱ当a 0时，解集为 {x|x 0},Ⅲ当a 0时，解集为 {x| x a或x a},例5 解关于x 的不等式2x 3 1 a(a R)解：原不等式化为：2x 3 a 1，在求解时由于a+1 的正负不确定，需分情况讨论．①当a+1 0 即a -1 时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为a 4 a 2②当a+1>0 即a>-1 时，-(a+1)<2x+3<a+1=> <x<22综上得：① a 1时，解集为；②a 1时，解集为{ x | a24 x a22}练习：课本第16 页练习1、2备用例题例1．解下列不等式：(1) 2 2x 5 7 (2) x2 1 x2 1解(1) x R| 1 x 3或7x 6 ；(2) x R| x 0例2．已知不等式x 2 a (a 0) 的解集为x R| 1 x c ，求a 2c的值(a 3,c 5)例3．解关于的不等式2x 3 1 a (a R)三、课内练习：课本第16 页练习1、2四、小结：1．对含有绝对值的不等式的解法，通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值，而去掉绝对值，则需要对绝对值中的零点进行讨论，一般来说一个零点分两个范围，两个零点分三个零点，依次类推．2．对于含有绝对值的不等式，如果其中含有字母参数，则根据基本的绝对值不等式的解法进行分类讨论，讨论时，不重复，也不要遗漏．五、作业：课本第16页习题4，课本第42 页复习参考题7六、板书设计： (略)七、教学反思：重点讲清含一个绝对值不等式的零点分段法；讲清绝对值连不等式的解法．含有两个绝对值的不等式暂不涉及为宜．。

绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。

绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。

一、绝对值的最值问题1、当绝对值中x 的系数相同时。

运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。

例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。

2、当绝对值中x 的系数不相同时。

①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。

例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。

则有f(x)={−3x, x≤−2−x+4, −2<x<13x, x≥1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。

二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。

析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。

解答含参绝对值方程或不等式问题的策略含参绝对值方程或不等式是高中数学中常见的一类问题，其解题方法相对比较复杂，需要掌握一定的策略和技巧。

下面介绍几种解答含参绝对值方程或不等式问题的策略：1. 利用绝对值的定义进行分段讨论对于含参绝对值方程或不等式，通常可以利用绝对值的定义进行分段讨论。

我们可以将方程或不等式分为两种情况，即x≥0和x<0。

当x≥0时，|x|=x，方程或不等式可以表示为一个关于x的一元二次方程或不等式，解法和常规的一元二次方程或不等式相同。

当x<0时，|x|=-x，方程或不等式可以表示为一个不等式或方程组，也可以采用类似上述的方法解决。

2. 利用绝对值的性质进行转化绝对值有一些特殊的性质，可以利用这些性质进行转化，简化问题的求解。

具体来说，绝对值的性质包括：（1）|a|=|-a|（2）|a|≥0，当且仅当a=0时，|a|=0（3）|ab|=|a||b|（4）|a+b|≤|a|+|b|，即绝对值的三角不等式（5）|a-b|=|b-a|（6）|a-b|≤|a-c|+|c-b|，即绝对值的三角形不等式利用上述性质，我们可以将含参绝对值方程或不等式进行转化，消去绝对值符号，从而得到更简单的方程或不等式。

例如：|x-2|+|x-5|=5可以利用绝对值的三角不等式，得到：|x-2|+|x-5|≥|2-5|=3然后再进行分段讨论，即可得到方程的解。

3. 利用图像理解解题思路含参绝对值方程或不等式的解法在某些情况下可能比较复杂，此时可以利用图像的方式来理解问题的解题思路。

我们可以利用数学软件或手绘图形，将含参绝对值方程或不等式所表示的函数的图像画出来，然后找到其零点或拐点的位置，进而推导出解的范围和特征。

总之，解答含参绝对值方程或不等式问题需要掌握一定的基本原理和方法，灵活运用各种数学工具和技巧，根据具体情况选择最优的解法。

通过不断练习和实践，我们可以更好地掌握这一类问题的解题思路和技能，提高数学解题的能力和水平。

不等式含参题型及解题方法初一下册不等式含参是初中数学中的一个重要内容，熟练掌握不等式含参的题型及解题方法对于学习数学有很大的帮助。

本文将从不等式的基本概念、不等式含参的基本形式和解题方法等方面展开介绍，旨在帮助学生掌握不等式含参的相关知识。

一、不等式的基本概念不等式是数学中的一个重要概念，它是指两个数之间的大小关系。

不等式中常见的符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于），分别表示“小于”、“大于”、“小于等于”和“大于等于”的关系。

例如，3 < 5表示3小于5；8 > 6表示8大于6；4 ≤ 5表示4小于等于5；7 ≥ 5表示7大于等于5。

在不等式中，两个数之间用不等号连接，不等式的左边称为左端，右边称为右端。

二、不等式含参的基本形式不等式含参是指在不等式中含有未知数（或变量），通常以字母表示。

不等式含参的基本形式可以分为一元一次不等式和二元一次不等式两种。

1.一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。

其一般表示形式为ax + b > c（或ax + b < c），其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

例如，2x + 3 > 7就是一个一元一次不等式，其中未知数为x。

解一元一次不等式的基本方法是通过一系列的化简和推导，最终确定未知数的取值范围。

具体解题步骤可分为以下几步：（1）将不等式化简为形如ax > b（或ax < b）的形式；（2）确定未知数的取值范围，并得出结论。

2.二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次不等式。

其一般表示形式为ax + by > c（或ax + by < c），其中a、b、c为常数，且a ≠ 0，b ≠ 0。

例如，3x + 2y ≤ 6就是一个二元一次不等式，其中未知数为x 和y。

解二元一次不等式的基本方法是通过一系列的化简和推导，最终确定两个未知数的取值范围。