波函数

区间内是一常数，无物理意义
将kn


2a
n回代k 2

2mE 2
得
En

2kn2 2m

2 2
8ma 2
n2
n 1,2,
20
将 kn 代入 Aeika Be ika 0
i n
i n
则 Ae 2 Be 2 0
B 1 n1 A
nx A eiknx 1 e n1 iknx


c

me4
8 0 2 h3c

1 k2

1 n2

所以：R

me4
8 02h3c

1.097373107
m 1
34
氢原子中的电子可按一 系列轨道运动。轨道半 径越大，原子能量也越 大。这一系列不连续的 能量值称为能级。
高 低，发射光子; 反 子，吸收光子。
缺陷：把电子当经典粒 子来处理，为了要得出 正确的结果，人为的附 加一个量子条件来挑选 定态。
h只有 2D
2
2m U0 E
时
才有明显的穿透率
对于宏观粒子 m , D 很大 p 0
U U=U0
E
U=0
U=0
x
27
扫描隧道显微镜
隧道电流I与样品和 针尖间距离S的关系
I UeA S
1993年（M.F.Crommie) 把蒸发到 铜表面的 48 个Fe原子排列形成 7.13 nm 的“量子围栏”，围栏
3、波函数的归一化：
2
x, y,zdv cx, y,z dxdydz 1
v
v
看来任意一个波函数模的平方对体积积分 不一定等于1
x,y,z v
2
dxdydz

1 c
若另有一个波函数： x, y,z
cx, y,z
2
2
v x, y,z dv v cx, y,z dv 1
这是决定A、B的线行方程组。A、B不会全
等于零（否则 x 0 ）。系数行列式必须
等于零。
eika eika
eika =0 eika
19
用欧拉公式展开 sin2ka=0
2ka n

kn 2a n
n 1,2,
n 不能取零，n=o,k=0 , x 在 x a
2a很大，认为能量是连续的。
3、视为波
24
应在通解 x Aeikx Be ikx
e e i 2 Et
乘上单色因子
h
i 2t
因k 2 2mE 而E p2
2
2m
k 2 p2 k 2
2

p h h
2
i 2 Et
xe h
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
定态轨道半径：
rn

n2
4 02
me 2
33
定态氢原子的能量：
E


me
32 2
4 0
2
h
2
1 n2


me4
8 0 2 h
2
1 n2
能量是分立的。
n增大 则En增大
电子从高能级跃迁到低能级时，就发射一个光子：


En Ek h

me4
8 02h3

1 k2

1 n2

i t
2
2m
2 x2 Ux
一维势场粒子
i t


2 2m

2

U

x

三维势场粒子
10
四、定态薛定谔方程
i 2 px i 2 Et
t,x Ae h e h
定态波函数
一维势场中的粒子
i 2 px
x Ae h
E x

p2 2m
则： x, y,z 称为归一化波函数
模的平方即为几率密度
这两个波函数表示粒子的同一状态， 由它们计算的几率密度是一样的。
7
4、粒子的平均位置可由概率分布算出：
x
xx, y,zdxdydz

三、薛定谔方程的建立
波函数是薛定谔方程的解，实际问题是
先建立薛定谔方程而根据边界条件求解
d2wr 0 dr 2 r a 处出现的概率密度最大
W wrdr
概率最大
概率密度与概率不一样
16
§2 势阱中的粒子
一、 势阱中的粒子：
Ux 设粒子在势场中运动
x a x a
势能为零
势能为U 0
U0
-a 0 +a x
这样的势场称为方势阱，若U0 无限大，称为 无限方势阱。粒子在阱内自由，不能越出阱外。 阱外波函数必为零。
电子受原子核作用力与此类似。
17
解下列定态薛定谔方程：
2 d2

E
2m dx2
a a 0
x a
令
2mE k2
h
2
2
d2 k 2 0
dx 2
其通解为 x Aeikx Beikx
18
利用边界条件求常数A、B
a Aeika Be ika 0 a Aeika Beika 0
波数 即为波长的倒数
含完整波形的数目。
1

，单位长度波列中包
光谱学中常用 来区别不同波长的光
氢原子的光谱项： 29
Tn

R n2
n 1,2,3
R为里德伯恒量，R 1.096776107 m1
对氢原子来说，它所发的光的波数，就是某两
个光谱项的差。
赖 T曼n 线T1系 R：112
Ux
11
2x x 2

x

i
2
h
p 2
令
h
2

x

i
p
2
p2 x 2

2 2m
2x x 2
U xx

E xx
势场中一维定态薛定谔方程 12

2 2m
2x x 2

E x x
一维自由粒子薛定谔方程
a
E1

h2 2
8ma2
1
1 cos x
a 2a
讨论：
1、n=1时的能量为最低能量，也叫基态能量
E 0 否则 E 0 E p2 2m
p0
xp h
x 2a 不附和事实
2、能级差
E

En1

En

2n

1 2 2
8ma 2
n , E ;2a , E ;2a , E ;
归一化
单值：在一个地方出现只有一种可能性
连续：不能突变
有限： 某处几率越大，粒子出现的 可能性越大，位置越准确
2、几率密度正比于该处波的强度，振幅 A2 ，波函 数模的平方。
5
2
x, y,z c x, y,z
模的平方也可用共軛复数相乘而得到。
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反 映粒子出现的几率，在这一点上不同于机械波， 电磁波。
a 2a
n不同、能量不同、 波函数不同。
nx
1 sin n x
a 2a
nx 2 为该处粒子 出现的几率
n4
E4 16E1
4
1 sin 2x
aa
n3
E3 9E1
3
1 cos 3x
a 2a
n2
E2 4E1
2
1 sin x
aa
-a
0
n 1
e2 m v2
L
4 0r 2
r
库仑力充当圆周运动的向心力
化简得：
e2 mv2
4 0r
32
原子的能量是动能加势能：
E mv2 e2 e2
2 4 0r 8 0r
r不同,则 E不同.
根据： e2 mv2
4 0r
mvr n
v 2 n22 m2r 2
3
E h p h
i 2 Et px
t,x Ae h
称为波函数
改写
i 2 px i 2 Et
t,x Ae h e h
振幅波函数、定态波函数
4
二、波函数的统计意义
1、几率密度：单位体积内粒子出现的可能性
v x, y,z dxdydz 1
标准条件：
波函数。
d2x dt 2


2
x

0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
2 2 U E
2m
三维势场粒子的薛定谔方程
U E 是 x y z 的函数
13
例：已知氢原子中电子的径向波函数为
r
Ae a
A、ar为常数，求 r r dr
之间电子出现的概率。在何处这个 概率最大？
解：先归一化求出常数A
4r 2r
2
dr

4
Aeikx Be ikx ei2t
Acos 2 t x B cos 2 t x

25
是沿x轴正向、负向传播的波，形成驻波。两端 为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。
n的取值不同,能量不同，波腹的数目不同。波腹 的数目等于n的数目。2a为半波长的整数倍.
A
2

r
2e

2r a
dr

1
0
0
14
A
a3
1 2
归一化波函数
r
1
r
ea
a3
在 r r dr之间出现的概率
Wr

r
2 4r 2dr

4 a3
e

2r a
r
2dr
wrdr
15
dwr dr

4 a3
2re 2r / a 1 r 0 a
y Acos 2 t x

2
上式是波动 方程的解
2 y x2

1 u2
2 y t 2
y Ae 用指数形式表示：
i
2
t


x


取复数实部
ei cos i sin ei cos i sin
对于动量为p、能量为E的微观粒子
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
一、波函数：
微观粒子，具有波粒二象性，为了把波动性和粒子性 统一起来，建立了薛定谔方程，方程的解（波函数） 即能很好的反映微观粒的波粒二象性。
一个沿x轴正向传播的频率一定的平面简 谐波可用下式表示
t,x Ae h
i 2 E
t
h
2 x 2


2
h
2

p2
9
h
h2 2
i
2
t
8 2m x2
一维自由粒子
若粒子处在势场，还应考虑势能：
E

p2 2m
Ux
h
2
2 2 2 2 x2 y2 z2
红外区
30
经典理论无法解释：电子饶核公转，作加速运动 的电子要辐射电磁波，其频率等于公转频率。电 子辐射电磁波，能量逐渐减小，饶核公转的轨道 半径就逐渐减少，频率也随之改变。光谱应是连 续的。 二、玻尔理论解释氢原子光谱：
将普朗克的量子概念应用于原子，假设：
（1）、原子有一系列的具有一定能量的稳定状 态—定态。定态中的电子，虽作加速运动，但不辐 射电磁波。仅当原子从能量大的定态跃迁到能量小 的定态时，才发射一个光子。根据能量守恒，光子
的 能量应等于两个定态的能量差h： En Ek
反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
4、视为粒子：粒子出现的几率为该处归一化波函 数模的平方。
二、遂道效应：
如果势阱深度有限，E
的值不等于零，随 x
U0的而定衰态减波的函。数这在是阱和外经
典物理很不相同的量子效应。只能用波的反射
和透射来解释。
能量低的粒子能穿透有一定宽度的高势垒称为
遂道效应。
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26
穿透概率为
p

e
2D
2mU0 E

1 n2

Tn
T1

R
1 12

1 n2

巴耳末线系：
n 2,3,4
紫外区

T n
T2

R
1 22

1 n2

帕邢线系：
n 3,4
可见光

T n
T3

R
1 32

1 n2

n 4,5
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n

2 A cos
kn x

A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x