水文频率分析
水文频率分析hydrologic frequency analysis
根据某水文现象的统计特性,利用现有水文资料,分析水文变量设计值与出现频率（或重现期）之间的定量关系。自然界的现象按发生情况可分成：必然事件，即在一定条件下必然会发生的事情，如降雨以后就要涨水是必然发生的；不可能事件，即在各条件实现之下永远不会发生的事情，如只在重力作用下的水由低处向高处流是不可能的；随机事件（也称偶然事件），即在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如每条河流每年出现一个流量的年最大值是必然的，但这个最大值可能是这个值也可能是那个值，它在数量上的出现是一种随机事件。频率计算中是以1来表示必然事件出现的可能性（即百分之百出现）,以0表示不可能事件出现的可能性，随机事件出现的可能性介于0与1之间。
水文要素如降雨、流量等在量的出现方面都有随机性的特点，水文变量如年雨量、年最大洪峰流量、枯季最小流量等都属于随机事件，均可用频率分析方法来分析计算。水文频率分析主要包括：利用现有水文资料组成样本系列，选择合适的频率曲线线型和估计它的统计参数，根据所绘制的频率曲线推求相应于各种频率（或重现期）的水文设计值。
样本系列无限个成因相同、相互独立的同类水文变量的集合称为该水文变量的总体。这个总体是未知的，现有水文资料只是过去发生过的和今后可能发生的整个总体中的一个样本。把现有水文资料的水文变量按大小次序排列组成一个系列，称为样本系列，其中所含水文变量的项数（系列长度）叫做样本容量。系列愈长，样本容量愈大。水文频率分析就是通过样本系列的统计特征来估计其总体的统计特征，如各种统计参数、某水文变量的频率等。因此，样本系列是水文频率分析的基础。用样本系列去推估容量很大或无限的总体的情况，会产生因抽样而引起的误差，这就是抽样误差。水文统计分析中所估计出的各种数值（如频率、分析中的各个参数、相关系数等）都有抽样误差。样本的容量越大误差越小，否则误差越大。抽样误差分析方法有两种：①解析法。用统计原理推求出抽样误差的公式，按公式求得抽样误差值。例如,均值的均方（抽样）误差值为，其中Cv为所研究变量系列的离差系数,n为系列的长度或样本容量。②统计试验法。即生成很长的资料系列，来研究样本容量一定时统计分析中各种数值的抽样误差。
经验频率样本系列中某水文变量x大于或等于一定数值xm(即x≥xm)的可能性大小即为频率,一般用符号pm｛x≥xm｝来表示，其值在0与1之间。例如,某河段年最大洪峰流量系列中,出现流量Q≥1000米3/秒的可能性为百分之一，则称Q≥1000米3/秒的频率等于1％。设系列共有n项，其中第m项xm的频率Pm常用下列公式来计算：
水文频率分析中，称上式为经验频率公式，而Pm亦称为系列中第m 项的经验频率。经验频率在绘制频率曲线的适线法中应用。
重现期指某水文变量的取值(x≥xm)在很长时期内平均多少年出现一次。重现期(T)与频率(P)的关系对下列两种情况有不同的表示方法：①当研究防洪治涝的暴雨、洪水时,采用设计
频率P<50％,则T＝1/P(年)。例如，当P=1％时，得T=100年，称为百年一遇的暴雨或洪水。
②当考虑兴利或枯水问题时，采用设计频率P>50％，则T=1/(1-P)（年）。例如,当灌溉的设计频率P=80％时，得T=5年，称为5年一遇的枯水。象暴雨或洪水那样的水文现象并无固定的周期，所谓百年一遇是指大于或等于这样的洪水在很长时期内平均每百年出现一次，而不能理解为恰好每隔百年出现一次。对于具体的100年来说，超过这种洪水可能不止一次，也可能一次都不出现，而只是说明长时期内平均每年出现的可能性为1％。
统计参数资料系列的数量水平和变化幅度等情况的综合特征值称为统计参数。绘制频率曲线，除了需掌握系列各项的经验频率之外，还须了解系列的统计参数。水文频率分析中，常用三个统计参数，即均值（算术平均值的简称）塣、离差系数Cv (也称变差系数)和偏差系数Cs。均值是集中表示系列数量级大小或水平高低的指标，例如对降雨系列，均值大的表示雨量充沛，反之表示雨量稀少。离差系数表示系列中各项值对其均值的相对离散程度的指标，它是系列均方差与均值之比。如果离差系数Cv较大，即系列的离散程度较大，亦即系列中各项的值对均值离散较大，如果Cv较小，则系列的离散程度较小，亦即系列各项的值同均值相差较小。偏差系数是表示系列中各项的值偏于均值左右的情况的相对指标。如果大于均值的各项值占优势称为正偏(Cs>0)；若小于均值的各项值占优势称为负偏(Cs<0)；当大于均值和小于均值的各项值都不偏时称为对称(Cs=0)。
频率曲线把水文变量和频率表达成一定的数学关系式并将它画成图形，即为频率曲线。其线型常用的有：Γ分布或皮尔孙Ⅲ型分布曲线,极值Ⅰ型分布或贡贝尔分布曲线，对数正态分布曲线,对数Γ分布或对数皮尔孙Ⅲ型分布曲线等。频率曲线常画在概率格纸上。这种格纸的纵坐标为均匀分格或对数分格，表示水文变量；横坐标按某种概率分布（一般取正态分布）分格，表示频率。将水文变量同其相应的经验频率关系(称为经验频率点)点绘在概率格纸上，用一定的配线准则，可以配出一条频率曲线。从20世纪60年代以后，中国一般采用皮尔孙Ⅲ型曲线。有时（如在初估时），也有用目估方法通过经验频率点的点群中心徒手绘制频率曲线的（见图）。
频率曲线的绘制方法每种频率曲线均含有一定个数的统计参数,一般有三个,即均值、离差系数和偏差系数。在频率曲线线型选定之后，就要估计这些参数。有了这些参数，就可以绘出频率曲线。统计参数的估计方法常用下列几种：①适线法。在概率格纸上用频率曲线去配合样本系列的经验频率点据，取用配合较佳时的统计曲线。这种方法常用的有目估适线法和优化适线法。目估适线法是通过工作者的目测，以他认为曲线与点据配合较佳时的曲线为准;这种方法具有一定的任意性,不同工作者会得到不同的结果，但它能照顾精度较高或占重要位置的点据。优化适线法要用一定形式的目标函数，使其最小而得，最小二乘法和离差绝对值之和最小法属于此类；这种方法可以避免适线的任意性，在统计试验法中应用较好，而在实测资料的分析中，难以照顾精度较高或占重要地位的点据。②矩法。是用头几阶矩来估计频率曲线统计参数的方法，矩的阶数同统计参数的个数相同。③极大似然法。是使估出的统计参数代入频率曲线的密度函数中，得到系列中各水文值对应的频率密度之乘积为最大。中国主要采用适线法。
成果合理性检查现有的水文观测资料一般较短，至多百年左右。在推求千年一遇或万年一遇水文设计值（如千年一遇或万年一遇的洪峰流量）时，必须把频率曲线外延，外延愈远，估计所得的水文设计值的误差愈大。因此，水文频率分析时，要求尽可能地调查历史上发生过
