函数专题练习
1.函数1
()x y e
x R +=∈的反函数是（ )
A ．1ln (0)y x x =+>
B ．1ln (0)y x x =->
C ．1ln (0)y x x =-->
D .1ln (0)y x x =-+>
2.已知(31)4,1
()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩
是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是
(A )(0,1)ﻩ (B ）1
(0,)3 ﻩ(Ｃ)11[,)73
ﻩ
(D )1[,1)7
３．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意
1212,()x x x x ≠,1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有
(A )1()f x x
=
(B )()||f x x = (C )()2x
f x =
(Ｄ）2
()f x x =
4．已知()f x 是周期为２的奇函数,当01x <<时，()lg .f x x =设
63(),(),52a f b f ==5(),2
c f =则
(Ａ）a b c << (B )b a c << (C )c b a << （D )c a b <<
５.
函数2
()lg(31)f x x =
+的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C ． 11(,)33
- D .
1(,)3
-∞-
6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A ．3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C .
,y x x R =∈ D .
x 1
() ,2
y x R =∈
7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点
(0,2)P （如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =
Ａ.4 B .3 C . 2 D .1
8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是
(Ａ)()()f x f x -是奇函数 (Ｂ)()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (Ｄ) ()()f x f x +-是偶函数
)
９、已知函数x
y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则
A .()22()x
f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x =>
C ．()22()x
f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>
1０、设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，
则的值为， (Ａ)0 （B ）１ (C ）2 (Ｄ)3 11、对a ，b ∈R ,记ｍax {a ,ｂ}=⎩
⎨⎧≥b a b b
a a ＜,,，函数f (x )=ｍa ｘ｛|x +１|,｜x －2|}（x ∈Ｒ)的最小
值是
(Ａ)0 （Ｂ)
12 (C ） 3
2
(D ）3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=,给出下列四个命题: ①存在实数k ，使得方程恰有２个不同的实根；
②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．
命题的个数是 A ．０ B ．１ C .2 D ．3 （一） 填空题(4个)
1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_＿_＿＿__＿_____＿_。
２设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =＿_＿_____＿_
3.已知函数()1
,21
x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =____＿_＿_。
4. 设0,1a a >≠,函数2
()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的解集
为 。
（二） 解答题（6个） １. 设函数54)(2--=x x x f .
(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像;
(２）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之
间的关系,并给出证明；
(３)当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.
2、设f(x)＝3ax 0.2=++++c b a c bx b
若,f （0)>0,f （1）>0,求证:
(Ⅰ）a >０且－2<
b
a
<－1； (Ⅱ)方程ｆ（ｘ)＝０在(０，１)内有两个实根.
3. 已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值;
（Ⅱ)若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
4.设函数f (x ）＝,2
2
a
ax x c ++其中a 为实数． (Ⅰ）若f (x )的定义域为R ，求ａ的取值范围;
(Ⅱ）当f (x ）的定义域为R 时,求f （x ）的单减区间.
5. 已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >.设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同. (I )用a 表示b ,并求b 的最大值; (I Ｉ)求证:()()f x g x ≥（0x >).
６. 已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f （x )=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x )的导数;设11a =，1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
(n =1,2，……) (１)求,αβ的值；
（2）证明:对任意的正整数n ,都有n a ＞a ; （3)记ln
n n n a b a a
β
-=-(n ＝1,2，……)，求数列{b n }的前n 项和Ｓn 。
解答:
一、选择题 1解:由1
x y e
+=得:1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求,故选D 。
２解：依题意，有0<a <1且３a －1<0，解得0<ａ<1
3
，又当ｘ<１时，（3a -1)x +4ａ>7a －1,当ｘ>1时，log a ｘ<0,所以７a －1≥０解得x ≥1
7
故选C 3解：2112121212x x 111
|
||||x x x x x x |x x |－－＝＝－|12x x 12∈，（，）12x x ∴>112
1
x x ∴
<1∴ 12
11
|
x x －|<｜x 1－x 2|故选Ａ 4解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时,()lg .f x x =设
644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51
()()22c f f ==＜0,∴
c a b <<，选D .
5解:由1310
1301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B ．
６解：B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;Ｃ在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在
其定义域内不是奇函数,是减函数;故选Ａ. ７解：0)(=x f 的根是=x 2，故选C
8解：Ａ中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，
即函数()()()F x f x f x =-为偶函数,B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定,即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定,
C 中()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数,
D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数
()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案Ｄ。
９解:函数x
y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，所以
()f x 是x
y e =的反函数,即
()f x =ln x ,∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>,选D .
10解:f (ｆ(2）)=f (１)=2，选C
11解:当x <-1时,|x ＋１｜=－x －1,|x -2|＝2－ｘ，因为(-x -1）-(2－x ）=-3<0，所以２-x >-ｘ-1；当－1≤x <
12时,|x +1|＝x +1，|ｘ－２|=2-x ，因为(x ＋1）－(2－x ）＝2ｘ－1<0,x +1<2-x ；当12
≤x <２时,x ＋1≥2－x ;当x ≥2时，|x ＋1|＝x +1，|x －２｜=x -2，显然x +1>x －2；
故2((,1)12([1,))
2
()11([,2))
2
1([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪
⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩
据此求得最小值为32。
选C
１２解:关于x 的方程(
)
0112
2
2
=+---k x x 可化为(
)
2
2
2
11011x x k x x --+=≥≤（－）（或－）…(1) 或(
)
2
2
2
110x x k -+=＋（－）(－1<x <1) (2)
① 当k =-2时,方程（１)的解为
(2)无解，原方程恰有2个不同的实根
② 当k =
1
4
时,方程(１)有两个不同的实根
方程(2）有两个不同的实根
,即原方程
恰有４个不同的实根
③ 当k ＝0时,方程(1)的解为-１，+1,
,方程（２)的解为x =0,原方程恰有5个不同的实
根 ④ 当k =
2
9
时,方程(1)的解为
±3,
±3，方程(2）的解为
±3，
±3即原方程恰有8
个不同的实根 选A
二、填空题。
1解：由()()12f x f x +=
得()()
1
4()2f x f x f x +=
=+,所以(5)(1)5f f ==-，则()()11
5(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-=
=--+。
2解：1ln 2111
(())(ln )222
g g g e ===.
3解：函数1().21x f x a =-
+若()f x 为奇函数，则(0)0f =,即0
1021a -=+，a =2
1
. ４解:由0,1a a >≠,函数2
()log (23)a f x x x =-+有最小值可知a >１，所以不等式
log (1)0a x ->可化为x －１>１，即ｘ>2．
三、解答题 1解:（1)
(2）方程5)(=x f 的解分别是4,
0,142-和142+,由于)(x f 在]1,(-∞-和
]5,2[上单调递减,在]2,1[-和),5[∞+上单调递增,因此
(][)
∞++-∞-=,142]4,0[142, A .
由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142．
（3）［解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f . )54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x
436202422
+--
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--=k k k x , ∴>,2k 12
4<-k
． 又51≤≤-x , ① 当1241<-≤
-k ，即62≤<k 时,取24k
x -=
, min )(x g ()[]
64104
1436202
2---=+--=k k k .
064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ,
则0)(min >x g . ② 当
12
4-<-k
，即6>k 时,取1-=x , min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .
因此,在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ［解法二］ 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .
由⎩⎨⎧++-=+=,
54),3(2
x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x , 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ,
在区间]5,1[-上，当2=k 时,)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(; 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点.
如图可知,由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-,当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.
2(I )证明:因为(0)0,(1)0f f >>,所以0,320c a b c >++>． 由条件0a b c ++=,消去b ，得0a c >>；
由条件0a b c ++=,消去c ，得0a b +<,20a b +>. 故21b
a
-<
<-． (ＩI )抛物线2
()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2
3(,)33b ac b a a
--, 在21b a -<
<-的两边乘以13-，得12
333
b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a
c ac
f a a
+--=-
< 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -
与(,1)3b
a
-内分别有一实根。
故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．
3解:(Ⅰ)因为()f x 是奇函数,所以(0)f ＝０,即1
11201()22
x
x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f (1）＝ -f （－1）知1112
2 2.41
a a a --=-⇒=++
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知11211
()22221
x x x f x +-==-+++,易知()f x 在(,)-∞+∞上
为减函数。
又因()f x 是奇函数,从而不等式： 2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于2
2
2
(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数,由上式推得：
2222t t k t ->-.即对一切t R ∈有：2320t t k -->，
从而判别式14120.3
k k ∆=+<⇒<-
解法二:由（Ⅰ)知
1
12()22
x
x f x +-=+．又由题设条件得： 2
2
222221
21
1212022
22
t t
t k
t t t k ---+-+--=
<++，
即 :2
2
2
2
21
221
2(22)(12)(22)(12)0t
k t
t
t
t t
k
-+--+-+-++-<，
整理得 2
3221,t
t k
-->因底数2>1,故:2320t t k -->
上式对一切t R ∈均成立,从而判别式14120.3
k k ∆=+<⇒<-
４解:(Ⅰ）()f x 的定义域为R ,2
0x ax a ∴++≠恒成立，2
40a a ∴∆=-<,
04a ∴<<,即当04a <<时()f x 的定义域为R .
（Ⅱ)22
(2)e ()()
x
x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤． 由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又
04a <<,
02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；
当2a =时,()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<,
即当02a <<时,()f x 的单调减区间为(02)a -，
； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，
． ５解：(Ⅰ)设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同.
()2f x x a '=+∵，2
3()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=.
即2
20002
00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，由200
32a x a x +=得:0x a =,或03x a =-(舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-. 令22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-.于是
当(13ln )0t t ->，即13
0t e <<时，()0h t '>; 当(13ln )0t t -<，即13
t e >时，()0h t '<.
故()h t 在130e ⎛⎫
⎪⎝⎭，为增函数,在1
3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，
于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12
333
2
h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．
（Ⅱ)设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->， 则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x
-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数,在()a +，∞为增函数,
于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=. 故当0x >时,有()()0f x g x -≥,即当0x >时，()()f x g x ≥. 6解析：(１)∵2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>,
∴αβ=
=
; (２）'()21f x x =+,21
115
(21)(21)12
442121
n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ ＝5114
(21)4
212n n a a ++
-
+,∵11a =
，∴有基本不等式可知20a ≥>
（当且仅当1a 时取等号)
，∴20a >
>同,
样3a ,……
,n a α>=(n =1，2,……），
(3)1()()(1)2121
n
n n n n n n n a a a a a a a a αββ
ββα+----=--=++++,而1αβ+=-,即1αβ+=-,
21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+,12n n b b +=,
又11ln 1b βα-===-
2(2n n S =-四、创新试题
１解：依题意,有ｘ1=5０＋x 3-５5＝x 3-5,∴x 1<x 3，同理，ｘ2＝30＋ｘ１－20＝x 1＋１0∴ｘ１<x ２,同理，x 3=30+x 2-35=x 2-5∴x ３<x 2故选C
2解:令c=π,则对任意的x ∈R ，都有f (x ）＋ｆ(x −c ）＝2,于是取2
1
==b a ,ｃ＝π,则对任意的x ∈R ,a ｆ(x ）＋bf (x −ｃ)=1，由此得
1cos -=a
c
b 。
选C 。
