信号的功率谱分析
1、功率谱密度函数的定义
对于随机信号)(t x ，由于其任一样本函数都是时间的无限的函数，一般不能满足傅里叶变换的存在条件（即积分⎰∞
∞-dt t x )(必须收敛）。
如果将样本函数取在一个有限区间]2
,2[T T -内，如图所示，令在该区间以外的0)(=t x ，则积分⎰∞
∞-dt t x )(收敛，满足傅里叶变换条件，变换后用功率谱密度函数表示。
2、功率谱密度函数（又称功率谱）的物理意义
是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述。
功率谱表示振动能量在频率
域的分解，其应用十分广泛。
功率谱的横坐标是频率，纵坐标是实部、虚部的模
的平方。
功率谱密度函数作为随机信号在频域内描述的函数。
对于随机信号而言，它
不存在频谱函数，只存在功率谱密度函数（功率大小在频谱中反映为频谱的面
积）。
时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。
功率谱分析
则从频域提供相关技术所能提供的信息，它是研究平稳随机过程的重要方法。
3．功率谱密度函数的应用
(1)结构各阶固有频率的测定 工程结构特别是大型结构(如高层楼房、桥梁、
高塔和重要机械设备等)要防止共振引起的破坏，需要测定其固有频率。
如果对
结构加以激励(或以大地的脉动信号作为激励信号)，即可测定结构的响应(振动信
号)，再对响应信号作自功率谱分析，便可由谱图中谱峰确定结构的各阶固有频
率。
(2)利用功率谱的数学特点求取信号传递系统的频率响应函数。
(3)作为工业设备工作状况的分析和故障诊断的依据 根据功率谱图的变化，可以判断机器设备的运转是否正常。
同时．还可根据机器设备正常工作和不正常工作时，振动加速度信号的功率谱的差别，查找不正常工作时，功率谱图中额外谱峰产生的原因以及排除故障的方法。
自功率谱密度函数
定义及其物理意义
假如)(t x 是零均值的随机过程，即0=x μ（如果原随机过程是非零均值的，可以进行适当处理使其均值为零）又假设)(t x 中没有周期分量，那么当∞→τ，
0)(→τx R 。
这样，自相关函数)(τx R 可满足傅里叶变化的条件∞⎰∞
∞- ττd R x )(。
)(τx R 傅里叶变换)(f S x ，ττπτd e R f S j x x 2)()(-∞∞-⎰
=和逆变换 df e f S R j x x πττ2)()(-∞
∞
-⎰=定义)(f S x 为)(t x 的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。
出此可见，
)(f S x 曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，)(f S x 就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称)(f S x 为自功率谱密度函数。
自功率谱密度函数和幅值谱的关系为
2)(1lim
)(f X T
f S x T x →=利用这一种关系，就可以通过直接对时域信号作傅里叶变换来计算功率谱。
自相关分析可以有效地检测出信号中有无周期成分。
自功率谱密度也能用来检测信号中的周期成分。
周期信号的频谱是脉冲函数，在某特定频率上的能量是无限的。
但是在实际处理时，用矩形窗函数对信号进行截断，这相当于在频域用矩形窗函数的频谱sinc 函数和周期信号的频谱——δ函数实行卷积，因此截断后的周期函数的频谱已不再是脉冲函数，原来为无限大的谱线高度变成有限长，谱
线宽度内无限小变成有一定宽度。
所以周期成分在实测的自功率谱密度图形中以陡峭有限峰值的形态而出现。
可以说平稳随机数据最重要的特性描述就是功率谱密度函数，它确定了数据的频率结构。
对于常系数线性物理系统来说，输入功率谱乘系统增益因子的平方等于输出功率谱。
功率谱曲线下的总面积等于均方值。
一般的讲，在任何所考虑的范围内，数据的均方值可以此频率范围为界的功率谱曲线下的面积来确定。
工程上常通过信号的频带宽带（频谱中幅值下降到最大幅值1/10时的频率作为该信号的频带宽度。
简称频宽）
1、幅值谱：幅值谱的横坐标是频率，纵坐标实部、虚部的模。
2、功率谱：功率谱的横坐标是频率，纵坐标实部、虚部的模的平
方。
利用FFT变换求出幅值谱)
X平方求功率谱
(k
X，然后对)
(k
S。
(k
)
随机信号的功率谱
由于随机信号一般不具备绝对可积条件，因此通常不能直接进行傅里叶变换。
但是正如同在时域中有自相关函数和互相关函数一样，随机
信号在频域中有自功率谱和互功率谱。
随机信号
一、概述
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时
值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
描述随机信号必须用概率和统计的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数。
样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。
随机过程有平稳过程和非平稳过程之分。
所谓平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。
在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经(遍历性)随机过程。
工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性，有的虽不是严格的各态历经过程，但也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本函数(理论上应为无限多个)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
实际的测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程。
也就是说：在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
二、随机信号的主要特征参数
描述各态历经随机信号的主要特征参数有
1)均值、方差和均方值o
2)概率密度函数o
3)自相关函数。
4)功率谱密度函数。
确定性振动和随机振动：
1、确定性振动的测量分析，可通过幅值分析，时域分析及频域分析得到：
（1）结构振动的各种幅值（峰值，有效值，平均值，瞬时值等）
（2）振动主要谐波分量的频率值；
（3）各谐波分量的幅值比较；
（4）各个振动信号的相位关系；
（5）结构系统的阻尼系数；
求得振动结构的总幅值，可以与结构允许的振动幅值相比较，以确定结构的破坏程度；分析各谐波分量的频率和幅值，可以作振型分析，求得动力系数；分析不同频率对不同对象的响应，查找振源，判定减振措施的效果，以及采取相应的隔振措施。
2、随机振动信号主要考虑概率和统计因素，需要通过幅域分析求幅值概率密度，通过时域分析，求相关系数（相关分析），通过频域分析得到功率谱密度（作谱分析）。
（1）幅域：均值，均方值和均方根值；方差和均方差（标准差）；概率密度函数；概率分布函数等。
（2）时域：自相关函数；互相关函数；
（3）频域：自谱密度函数；互谱密度函数，传递函数或频响函数。
3、按测量与分析的目的分：
（1）振动基本参量的测量：如测量结构上某点的位移、速度、加速度的幅值，以及频率、相位和动应力等。
（2）按结构动力特性的测量：固有频率，阻尼，刚度以及振型等。
（3）随机振动统计特性的测量与分析：功率谱密度，幅值概率密度，相关函数，相
干函数等。
（4）结构系统参数识别与故障诊断：由结构系统动态响应数据建立系统的数学模型，确定系统的模态参数（模态质量，刚度，阻尼，频率，振型等），或由测量信号加以分析，判断结构系统工作是否正常（故障诊断）。
平稳随机信号的能量化表示：――随机信号各频率的能量称为功率谱密度（简称功率谱）。
一个平稳的随机信号的功率谱是确定的，因此，功率谱可以统计表征一个随机过程的谱特性。
一个信号的功率谱是这个信号的自相关函数的傅立叶变换。
功率谱和自相关函数是一个傅立叶变换对，它们相互唯一确定，它们都是信号的一种（二维）统计平均表征，分别从不同域的侧面表征着一个随机过程的最本质的性质。
因此，对于一个观测到的随机信号，重要的是确定它的功率谱密度函数和自相关函数。
对于离散随机信号的概念和表征问题，有：
1)一个随机信号在各时间点上的取值以及在不同点上取值之间的相互关联性只能用
概率特性或统计平均特性来表征，它的确定值是无法实验表达的。
2)一个平均随机信号在各频率点上能量的取值可以用功率谱密度函数与自相关函数
统计描述。
