最新浙江省高考数学试卷(理科)

2024年浙江高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r =即=，故3r =，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则5352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即42sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.31/31而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。

绝密★考试结束前2022年普通高等学校招生全国同一考试〔浙江卷〕数 学〔理科〕本试题卷分选择题和非选择题两局部．全卷共5页，选择题局部1至3页，非选择题局部4至5页．总分值150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题局部〔共50分〕本卷须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=球的外表积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，那么A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，那么A ∩(C R B )＝(1，4)． 【答案】A 2．i 是虚数单位，那么3+i1i-＝ A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 【解析】3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2＝2+4i2＝1＋2i ．【答案】D3．设a ∈R ，那么“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；假设直线l 1与直线l 2平行，那么有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案． 【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A ．假设|a ＋b |＝|a |－|b |，那么a ⊥bB ．假设a ⊥b ，那么|a ＋b |＝|a |－|b |C ．假设|a ＋b |＝|a |－|b |，那么存在实数λ，使得a ＝λbD ．假设存在实数λ，使得a ＝λb ，那么|a ＋b |＝|a |－|b |【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，那么a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：假设a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：假设存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立． 【答案】C6．假设从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，那么取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C =种； 4个都是奇数：455C =种．∴不同的取法共有66种． 【答案】D7．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，那么以下命题错误的选项是．．．．．．A ．假设d ＜0，那么数列{S n }有最大项B ．假设数列{S n }有最大项，那么d ＜0C ．假设数列{S n }是递增数列，那么对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．假设对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，那么数列{S n }是递增数列【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．【答案】C8．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=(a ，b ＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．假设|MF 2|＝|F 1F 2|，那么C 的离心率是 A 23 B 6C 2D 3【解析】如图：|OB |＝b ，|OF 1|＝c ．∴k PQ ＝b c，k MN ＝﹣b c．直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y x c c b y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．∴直线MN 为：y －bc c a +＝﹣b c(x －acc a -+)， 令y ＝0得：x M ＝322c c a -．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝322c c a -，解之得：2232a c e a==，即e 6．【答案】B9．设a ＞0，b ＞0A ．假设2223a b a b +=+，那么a ＞bB ．假设2223a b a b +=+，那么a ＜bC ．假设2223a b a b -=-，那么a ＞bD ．假设2223a b a b -=-，那么a ＜b【解析】假设2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，那么()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除． 【答案】A10．矩形ABCD ，AB ＝1，BC 2∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD 〞，“AB 与CD 〞，“AD 与BC 〞均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的． 【答案】C2022年普通高等学校招生全国同一考试〔浙江卷〕数 学〔理科〕非选择题局部〔共100分〕本卷须知：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分． 11．某三棱锥的三视图(单位：cm)如下列图，那么该三棱锥的体积等于___________cm 3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 11312123⨯⨯⨯⨯=． 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于【答案】112．假设程序框图如下列图，那么该程序运行后输出的值是______________．【解析】T ，i 关系如以下列图： T 1 12 16 124 1120i 23 4 5 6【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．假设2232S a =+，4432S a =+，那么q ＝______________．q 表示的式子．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)． 【答案】3214．假设将函数()5f x x =表示为其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，那么3a ＝______________． 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB AC ⋅＝______________． 【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC 34 cos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅＝cos 29AB AC BAC ⋅∠=【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离， 那么实数a ＝______________．【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x 的距离为：0(4)222d --==C 2到直线l ：y ＝x 的距离为22d d r d '=-== 另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，111()72442422a ad a -++'==⇒=． 【答案】7417．设a ∈R ，假设x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，那么a ＝______________． 【解析】此题按照一般思路，那么可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解． 因为受到经验的影响，会认为此题可能是错题或者解不出此题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：2a =，舍去2a =，得答案：2a = 【答案】2a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题总分值14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cos A ＝23，sin B 5C ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)假设a 2∆ABC 的面积．【解析】此题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的使用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则 A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222•=+ C.y x yx lg lg lg lg 222+=• D.y x xy lg lg )lg(222•=答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法；6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解水平；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•。

【高三】浙江2021年高考数学理科试卷（附答案和解释）浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分．1．已知i是虚数单位，则(?1+i)(2?i)=A．?3+iB．?1+3i C．?3+3i D．?1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S={xx>?2}，T={xx2+3x?4≤0}，则(?RS)∪T=A．(?2，1]B．(?∞，?4]C．(?∞，1]D．[1，+∞)【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为(?RS)={xx≤?2}，T={x?4≤x≤1}，所以(?RS)∪T=(?∞，1]. 3．已知x，y为正实数，则A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ? 2lgyC．2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ? 2lgy【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ?R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，k?Z，所以选项B正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A．a=4B．a=5C．a=6D．a=7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A6．已知α?R，sin α+2cos α=102，则tan2α=A．43B．34C．?34D．?43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0，解得tan α=3或tanα=?13，于是tan2α=2tan α1?tan2α=?34.7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB?→PC≥→P0B?→P0C，则A．?ABC=90?B．?BAC=90?C．AB=ACD．AC=BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设→AB=4，则→P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB?→PC=→PH→PB=(→PB ?(a+1))→PB，→P0B?→P0C=?→P0H→P0B=?a，于是→PB?→PC≥→P0B?→P0C恒成立，相当于(→PB?(a+1))→PB≥?a恒成立，整理得→PB2?(a+1)→PB+a≥0恒成立，只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1，2)，则A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。

普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

全卷共4页，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页 满分150分，考试时间120钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷（共 50 分）注意事项：1. 答第 1 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2. 每小题选出正确答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号填黑.叁考正式：如果事件 A ， B 互斥，那么P （ A+ B ） = P( A)+ P( B) S=24R πP( A+ B)= P( A)． P( B) 其中 R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概念是p 球的体积公式V=234R π 那么n 次独立重复试验中恰好发生 其中R 表示球的半径 k 次的概率：k n kn n p p C k P +-=)1()(4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（１） 设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=(A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］ （２） 已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I (3)已知0＜a ＜1，log 1m ＜log 1n ＜0，则(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1(4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(A) (B)4(C) (D)2（5）双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则m=（ ） (A)21 (B)23 (C)81 (D)89（6）函数y=21sin2x+sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ (7)“a ＞b ＞c ”是“ab ＜222b a +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件（8）若多项式=+-+++++=+911102910012a ,)1(a )1(a )1(则x x x a a x x(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10（9）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是(A)4π (B)3π (C)2π(D)42π（10）函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2023浙江高考数学试题答案
参考答案
试卷类型：A
2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将
条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.64
14.##
15.
16.##
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（1）
（2）6
18.（1）证明见解析；
（2）1
19.（1）答案见解析
（2）证明见解析
20.（1）
（2）
21.（1）
（2）
（3）
22.（1）
（2）见解析。

高考理科数学浙江卷试题及答案第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1．limn →∞2123nn ++++L ＝( )(A) 2 (B) 4 (C) 21(D)02．点(1, －1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)23．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩, 则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 25414．在复平面内, 复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中, 含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1216．设α、β 为两个不同的平面, l 、m 为两条不同的直线, 且l ⊂α, m ⊂β, 有如下的两个命题：①若α∥β, 则l ∥m ；②若l ⊥m , 则α⊥β．那么 (A) ①是真命题, ②是假命题 (B) ①是假命题, ②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题7．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长, 则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)8．已知k ＜－4, 则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N ), P ＝{1, 2, 3, 4, 5}, Q ＝{3, 4, 5, 6, 7}, 记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }, Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }, 则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( )(A) {0, 3} (B){1, 2} (C) (3, 4, 5} (D){1, 2, 6, 7}10．已知向量a r ≠e r , |e r |＝1, 对任意t ∈R , 恒有|a r －t e r |≥|a r －e r|, 则 (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分, 共16分把答案填在答题卡的相应位置11．函数y ＝2xx +(x ∈R , 且x ≠－2)的反函数是_________． , 此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B , 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．13．过双曲线22221x y a b -=(a ＞0, b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点, 以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点, 则双曲线的离心率等于_________． 14．从集合{O , P , Q , R , S }与{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O , Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题, 每小题14分, 共84分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤15．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0, π), f (2α)＝41－2, 求sin α的值．16．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称, 且f (x )＝x 2＝2x ．N(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．17．如图, 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点12,F F 在x 轴上, 长轴12A A 的长为4, 左准线l 与x 轴的交点为M , |MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1), P 为1l 上的动点使12F PF 最大的点P 记为Q , 求点Q 的坐标(用m 表示)．18．如图, 在三棱锥P －ABC 中, AB ⊥BC , AB ＝BC ＝kPA , 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点, OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝21时, 求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；(Ⅱ) 当k 取何值时, O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31, 从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12, 将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是25, 求p 的值．20．设点n A (n x , 0), 1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *), 其中a n ＝－2－4n －112n -, n x 由以下方法得到： x 1＝1, 点P 2(x 2, 2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上, 点A 1(x 1, 0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离, …, 点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上,点n A (n x , 0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．2005浙江卷试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分, 满分50分（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分, 满分16分（11）()2,11xy x R x x=∈≠-且；（12）90︒；（13）2；（14）8424 三、解答题：（15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力满分14分解：（1）25125sin,cos 6262ππ==Q ,225252525sin cos 6666f ππππ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭（2）()1cos 2sin 2222f x x x =-+11sin 222242f ααα⎛⎫∴=+-=-⎪⎝⎭ 216sin 4sin 110αα--=,解得sin α=()0,,sin 0απα∈∴>Q故sin α=（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识, 以及运算和推理能力满分14分解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y , 则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时, 2210x x -+≤, 此时不等式无解当1x <时, 2210x x +-≤, 解得12x -≤≤ 因此, 原不等式的解集为11,2⎡-⎢⎣（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角, 点的坐标等基础知识, 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>, 半焦距为c , 则2111,a MA a A F a c c =-=-()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== 221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >, 当00y >时, 120F PF ∠=；当00y ≠时, 22102F PF PF M π<∠<∠<,∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+, 直线2PF 的斜率021y k m =-,021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时, 12F PF ∠最大,(,,||1Q m m ∴>（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识, 同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点, OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面, OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥=Q ，， OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥Q 又 平面, .PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面 OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.又OD PA ∥,∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠,sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中，PBC ∴ PA 与平面所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知, OF PBC ⊥平面, ∴F 是O 在平面PBC 内的射影∵D 是PC 的中点,若点F 是PBC ∆的重心, 则B, F, D 三点共线, ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD,,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴=Q , 即k =反之, 当1k =时, 三棱锥O PBC -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心A方法二：OP ABC ⊥Q 平面, ,OA OC AB BC ==,,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点, 射线OP 为非负z 轴, 建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a =则,0,0,0,,0,,0,0222A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 设OP h =, 则()0,0,P h (Ⅰ)Q D 为PC 的中点,1,0,2OD h ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,又1,0,,,//2PA h OD PA OD PA ⎫=-∴=-∴⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r u uu r u u u r ,OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)12k =Q ,即2,,,0,PA a h PA ⎫=∴=∴=⎪⎪⎝⎭u u u r , 可求得平面PBC的法向量1,1,n ⎛=- ⎝r ,cos ,30||||PA n PA n PA n ⋅∴〈〉==⋅u u u r ru u u r r u uu r r , 设PA 与平面PBC 所成的角为θ, 则sin |cos ,|PA n θ=〈〉=u u u r r, （Ⅲ）PBC ∆的重心1,3G h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,,663OG a a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,,OG PBC OG PB ⊥∴⊥u u u r u u u rQ 平面,又22110,,,0,2632PB a h OG PB a h h a ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,PA a ∴==, 即1k =,反之, 当1k =时, 三棱锥O PBC -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识, 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分解：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+, 设点(),P x y 是1C 上任意一点, 则1||A P ==令()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=, 即()()()222122127270x x x b x-+-+-=又()22,2P x 在1C 上,222127x x b ∴=-+ 解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+ (Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点,则||n A P ==令()()()222n n ng x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n nng x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n nn n x x x a x b xa +++-++++=又1212n n n n n x a x b ++=++Q ,()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥,即()()111220*n n n n n x x a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-, ①当1n =时, 11x =, 等式成立；②假设当n k =时, 等式成立, 即21k x k =-,则当1n k =+时, 由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=,又11242k k a k -=---, 1122112k k k k k x a x k ++-∴==++, 即1n k =+时, 等式成立由①②知, 等式对*n N ∈成立, 故{}n x 是等差数列（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查学生的逻辑思维能力14分解：(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0, 1, 2, 3, ； 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-, 得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)设袋子A中有m个球, 则袋子B中有2m个球由122335m mpm+=, 得1330p=。

浙江2023数学高考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x²3x+1在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A. a≥1B. a≤1C. a≥0D. a≤03. 已知向量a=(2，3)，向量b=(1，2)，则向量a与向量b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模长为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定5. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a10=37，则公差d为（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、判断题（每题1分，共5分）1. 若两个平面垂直，则它们的法向量互相垂直。

（）2. 对数函数的定义域为全体实数。

（）3. 若矩阵A与矩阵B相似，则它们的特征值相同。

（）4. 任何两个实数的和都是实数。

（）5. 在等差数列中，若公差为0，则数列中的所有项相等。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(3，4)，则向量a的模长|a|=______。

3. 在直角坐标系中，点A(2，3)关于原点的对称点坐标为______。

4. 已知等差数列{an}的公差为2，且a3=8，则a5=______。

5. 若复数z=3+4i，则z的共轭复数z的实部为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述平面几何中平行线的性质。

2. 求解一元二次方程x²5x+6=0。

3. 计算行列式D=|1 2 3|。

4. 举例说明等比数列的定义及其通项公式。

5. 简述概率的基本性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求函数的最小值。

普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+（B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·（B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率： k n k k n n p p C k P --=)1()(球的表面积公式 S=42R π其中R 表示球的半径求的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知a 是实数，iia +-1是春虚数，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2（2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则（A ()()=A C B B C A u u （A ）∅ （B ）{}0|≤χχ（C ）{}1|->χχ （D ）{}10|-≤>χχχ或 （3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n--21） （7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （8）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- （9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22（10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（A ）圆 （B ）椭圆（C ）一条直线 （D ）两条平行直线普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。

浙江高考数学参考卷(理科)含答案20XX年最新样卷,变化较大!数学(理科)参考试卷一、选择题1．已知a，b是实数，则“| a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若函数f(x) (x∈R)是奇函数，则A．函数f (x2)是奇函数B．函数[f (x) ]2是奇函数C．函数f (x) x2是奇函数D．函数f (x)＋x2是奇函数3．若某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是A．35π cm34．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC BD＝A．b2－a2 B．a2－b2 俯视图22C．a＋b D．ab5．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为x kg，则x的取值范围是A．10≤x≤18 B．10≤x≤30C．18≤x≤30 D．15≤x≤30106π cm3 3C．70π cm3212π cm3 D．3B．正视图侧视图x y 0,6．若整数x，y满足不等式组2x y 10 0,则2x＋y的最大值是y 0,A．11 B．23 C．26 D．30 22xy7．如图，F1，F2是双曲线C：2 2 1(a＞0，b＞0)ab的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝2 : 3 : 4，则双曲线的离心率为A．4 B C．2 D8．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，(第4题图)(第8题图)20XX年最新样卷,变化较大!二、填空题9．设全集U x Nx 2 ，集合A x Nx 10 ，B x Nx2 5，则fn+1 (x)＝f [fn(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为AC．AA∩B，A∪B．10．设等差数列{an}的公差为6，且a4为a2和a3的等比中项．则a1数列{an}的前n项和Sn．U2 x x,x＜0,11．设函数f x 2 则f(f (1) ) ；方程f(f (x) ) = 1的解x≥0. x,是．12．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD AC，，AB=AD=3，则BD的长为，△ABC的面积为．sin∠BACB（第12题图）C13．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R．若e1，e2的夹角为的最大值等于．xπ，则6bx2y214．设直线x－3y＋m＝0 (m≠0)与双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交ab于点A，B.若点P(m，0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是．15．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)20XX年最新样卷,变化较大!(第15题图)三、解答题16．已知函数f (x)＝3 sin2 axax cos ax＋2 cos2 ax的周期为π，其中a＞0．(Ⅰ) 求a的值；(Ⅱ) 求f (x)的值域．17．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2，DE＝1．(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小；1(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，3求CF的长．(第17题图)x2y2 1的左、右焦点，18．如图，F1，F2是椭圆C：2A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M1在直线l：x＝－上．2(Ⅰ) 若B点坐标为(0，1)，求点M的坐标；(Ⅱ) 求F2A F2B 的取值范围．(第18题图)20XX年最新样卷,变化较大!19．设数列a1,a2, ,a20XX年满足性质P：a1 a2 a3 a20XX年0，a1 a2 a3a20XX年1．(Ⅰ) () 若a1,a2, ,a20XX年是等差数列，求an；() 是否存在具有性质P的等比数列a1,a2, ,a20XX年？***-*****(Ⅱ) 求证：a1 a2 a3 ．a20XX年2320XX年20XX年20．已知二次函数f (x) = ax2+bx+c (a0)，方程f(x)－x=0的两个根x1，x2满足0x1x2（Ⅰ）当x (0, x1)时，证明x f (x) x1；1．a20XX年最新样卷,变化较大!（Ⅱ）设函数f (x) 的图象关于直线x = x0对称，证明x0x1．2数学参考试卷(理科)答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A 8．D 二、填空题9．x Nx 10，3,4,5,6,7,8,9 ，x Nx 2 10．-14，3n2-17n 11．01213．2 14三、解答题16．(Ⅰ) 由题意得f (x)＝153(1－cos 2ax)ax＋(1＋cos 2ax)15ax－cos 2ax＋225π＝sin (2ax－)＋．26a＝1．因为f (x)的周期为π，a＞0，所以(Ⅱ) 由(Ⅰ)得f (x)＝sin (2x－所以f (x)的值域为[5π)＋，2637，]．2217．(Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．因为ABCD是矩形，所以(第17题图)20XX年最新样卷,变化较大!BC∥AD，所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得∠AQF＝30°．(Ⅱ) 方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG在直角△BAF中，由ABGH＝sin∠AFB＝，得BFFGGH，xGH所以．，得在直角△DGH中，DGGHDH＝20XX年最新样卷,变化较大!因为cos∠DHG＝所以GH1＝，x，DH3AB．又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=方法二：设CD＝x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E 0，0)，D(－10)，B(－2，0，x)，所以4．5DF＝(10)，BF＝(2，0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n1＝(0，1，0)．设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则2x1 z1x 0,x11 0,所以，可取n2＝1．(第17题图)nn1因为cosn1，n2＝12＝，得|n1| |n2|3x即CD．4. 518．(Ⅰ) 因为点M 是AB的中点，所以可设点A( 1,m).又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=(第18题图)20XX年最新样卷,变化较大!22x2y2 1，得m 代入椭圆方程或m ，222则A点坐标为( 1,22)或( 1,)，所以M点坐标为2212 212 2( ,)或( ,)．2424(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－1，此时2F2A F2B＝11．81，m) (m≠0)，A(x1，y1)，2当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－B(x2，y2)．x12y12 1,由22 得x2 y2 1,2 2(x1＋x2)＋2(y1＋y2)则－1＋4mk＝0，故k＝此时，直线AB的方程为y－m＝即y1 y2＝0，x1 x21．4m11(x＋)，4m28m2 11y＝x＋．8m4m20XX年最新样卷,变化较大! x2y2 1,联立2 消去y，整理得2y 1x 8m 1, 4m8m(8m2 1)2 64m2x＋x＋＝0，4(1 8m2)2(8m2 1)2 64m2故Δ＝1－＞0，即1 8m20＜m2＜所以7，8(8m2 1)2 64m2x1＋x2＝－1，x1x2＝．24(1 8m)于是F2A F2B＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝x1x2＋y1y2＋28m2 118m2 11＝x1x2＋(x1＋)(x2＋)＋28m8m4m4m3(8m2 1)2 8＝．8(1 8m2)令t＝1＋8m2，则1＜t＜8，于是3t2 8F2A F2B＝8t18＝(3t＋)．8t25所以，F2A F2B的取值范围为）．819．(Ⅰ) （。

高考数学最新资料 浙江省考试院20xx 年高考测试理科数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x ) g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列 B ．若a n a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n a n +3＝a n +1a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是ABCD8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．309．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为A B C ．2 D (第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图 xy OA BF 1F 2(第9题图)10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，f n+1 (x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．B．C．D．非选择题部分 (共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

WORD完美格式2021年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数学〔理科〕选择题局部〔共50分〕1.(2021年浙江)集合P={x|-1＜x＜1}，Q={0＜x＜2}，那么P∪Q=〔〕A．〔1，2〕 B．〔0，1〕 C．〔-1，0〕D．〔1，2〕【解析】利用数轴，取P，Q所有元素，得P∪Q=〔-1，2〕.22x y2.(2021年浙江)椭圆+=1的离心率是〔〕9413525 A．B．C．9 333D．9-45【解析】e=3= 3.应选B．3.4.5.6.7.(2021年浙江)某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积〔单位：cm3〕是〔〕〔第3题图〕A．1B．3C．3D．33 12222 3.A【解析】根据所给三视图可复原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而的成合组体，所12π×11以，几何体的体积为V=33××〔π2 +2×2×1〕=2+1故.选A.x≥0，4.(2021年浙江)假设x，y满足约束条件x+y-≥30，那么z=x+2y的取值范围是〔〕x-2y≤0，..整理分享..WORD完美格式A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞〕 D ．[4，+∞〕4.D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值 4，无最大值，选D．25.(2021年浙江)假设函数f(x)=x+ax+b在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m，那么M–m〔〕A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关2a a5.B 【解析】因为最值f〔0〕=b，f〔1〕=1+a+b，f〔- 2〕=b-4中取，所以最值之差一定与b无关.应选B.(2021年浙江)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么“d>0〞是“S4+S6>2S5〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.C 【解析】由S4+S6-2S51d＞0时，有465＞0，=10a+21d-〔25a+10d〕=d，可知当S+S-2S 即S4+S6>2S5，反之，假设S4+S6>2S5，那么d＞0，所以“d>0〞是“S4+S6>2S5〞的充要条件，选C．7.(2021年浙江)函数y=f(x)的导函数y=f′〔x〕的图象如下图，那么函数y=f(x)的图象可能是〔〕..整理分享..WORD完美格式〔第7题图〕7.D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内.应选 D. 18.(2021年浙江)随机变量ξi满足〔i=1〕=i，〔ξi=0〕=1–i，=1，2．假设0<1<2< PξpP pipp，2那么〔〕E ξEξDξDξ)EξEξDξDξA．()＜()，()＜(B．()＜()，()＞( 1212121E ξEξDξDξ)EξEξDξDξC．()＞()，()＜(D．()＞()，()＞( 12121218.A【解析】∵E(ξ1)=p1，E(ξ2)=p2，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，∵D(ξ1)=p1(1-p1)，D(ξ2)=p2(1-p2)，∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)＜0.应选A．9.(2021年浙江)如图，正四面体–〔所有棱长均相等的三棱锥〕，，，分别DABC PQR为AB，BC，CA上的点，AP=PB，BQCR==2，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–PQCRA的平面角为α，β，γ，那么〔〕〔第9题图〕A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α9.B【解析】设O为三角形ABC中心，那么O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此αγβ<<.应选B...整理分享..WORD完美格式(2021年浙江)如图，平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点→→→→→→〕O，记I=OA·OB，I=OB·OC，I=OD，那么〔123OC·〔第10题图〕A．I1＜I2＜I3C．I3＜I1＜I210.C【解析】因为∠B．I1＜I3＜I2D ．I2＜I1＜I3AOB=∠COD＞90，°OA ＜OC ，OB ＜OD ，所以→OB·O→C＞0＞→OA·→OB＞→ →O C·OD 故.选C.非选择题局部〔共100分〕11.(2021年浙江)我国古代数学家刘徽创立的 “割圆术〞可以估算圆周率 π，理论上能把π的值计算到任意精度． 祖冲之继承并开展了 “割圆术〞， 将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术〞的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S =．6336个等边三角形，那么S6 ×〔111.【解析】将正六边形分割为2=62×1×1×sin60°〕 3 ． 222 2，12.(2021年浙江)，∈R，〔a+bi 〕=3+4i 〔i 是虚数单位〕那么a+b=a b=___________.ab2-b2=3，2=4，2【解析】由题意可得a2+2abi=3+4i，那么a a2-bab=2，解得22-b+b=5，ab=2.b2=1，那么a2=1，那么a..整理分享..WORD 完美格式3 254 3 213.(2021年浙江)多项式〔 12345，，那么a4，x+1〕〔x+2〕=x+ax+ax+ax+ax+a=5 ．a=13.164【解析】由二项式展开式可得通项公式为Cr3x2-m2-mr+m=Cr3Cm2··2·x ，rCm2·2rCm2·22=4．分别取r=0，m=1和r=1，m=0可得45a=4+12=16，取r=m ，可得a=1×214.(2021年浙江 )△ABC ，AB=AC=4，BC=2． 点D 为AB 延长线上一点， BD=2，连结CD ，那么△BDC 的面积是 ，cos∠BDC=___________.1510BE114.24【解析】取BC中点E，由题意，AE⊥BC，△ABE中，cos∠ABE=AB=4，∴cos1∠115115∵∠∠，∠DBC=-，DBC=1-16=4，∴S △BCD×××∠2.4sin=2BDBCsinDBC=ABC=2BDC2110104，解得cos∠BDC=4或cos∠BDC=-4〔舍去〕.∴cos∠ABC=cos∠2BDC=2cos∠BDC-1=1510综上可得，△BCD面积为2，cos∠BDC= 4.15.(2021年浙江)向量a，b满足|a|=1,|b|=2,那么|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是．15.4，2 5【解析】设向量 a，b的夹角为θ，由余弦定理有|a-b|= 12+2-21×2×cosθ= 5-4cosθ，|a+b|= 12+2-2×1×2×cos(π-θ)= 5+4cosθ，那么|+|+|-|=5+4cosθ+5-4cosθ，令y=5+4cosθ+5-4cosθ，那么ababy2=10+225-16cos 2θ∈[16,20]，据此可得(|+|+|-|)max=202=10+225-16cosabab =25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4，即|a+b|+|a-b|的最小值是4，最大值是25．16.(2021年浙江)从6男2女共8名学生中选出长队1人，副队长1人，普通队员2人组..整理分享..WORD完美格式成4人效劳队，要求效劳队中至有少1名女生，共有种不同的选法．〔用数字作答〕660【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队〞中的选择方法为C48C1×4C1×3〔种〕方法，其中“效劳队中没有女生〞的选法有C46C1×4C1×3〔种〕方法，那么满足题意的选法有C48C1×4C1×3-C4 6×C14C1×3=660〔种〕.17.(2021年浙江)aR，函数f〔x〕=|x+-a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，那么 a 的取值范围是．17.〔-∞，92【解析】∈a≥5时，f〔x〕=a-x-][1,4],x+∈[4,5]，分类讨论：①当4x44+a=2a-x-，函数的最大值2a-4=5，∴a=，舍去；②当a≤4时，f〔x〕=x+-a+a=x+xx x≤5，此时命题成立；③当4＜a＜5时，[f(x)]max|4-a|+a≥|5-a|+a，=max{|4-a|+a,|5-a|+a}，那么|4-a|+a=5或|4-a|+a＜，9 9-∞，9|5-a|+a解得a=或a ＜.综上可得，实数a 的取值范围是〔 2|4-a|+a=52 2]．23sinxc os〔∈R〕．–cos –218.(2021年浙江)函数〔〕=sinxxxx1〕求f 〔2π〕的值．32〕求f 〔x 〕的最小正周期及单调递增区间．18.解：〔1〕由sin2π=32π13，cos=-2π 323，1122-23×f 〔〕=〔〕-2×〔-23 〔-2〕 〕．22-〔-2π〕=2．得f 〔32x-sin 2x 与sin2x=2sinxcosx ，〔2〕由cos2x=cos得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin(2x+π)．6所以f(x)的最小正周期是π．由正弦函数的性质得ππ3π+2kπ，k∈Z，+2kπ≤2x+≤226π3π+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤2 6所以，f〔x〕的单调递增区是间[π3π，∈．+kπ，π+2k]kZ 62(2021年浙江)如图，四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．..整理分享..WORD完美格式PEDAB C〔第19题图〕1〕证明：CE∥平面PAB；2〕求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．19.解：〔1〕如图，设PA中点为F，连接 EF，FB．因为E，F分别为 PD，PA中点，1所以EF∥AD且EF=AD，21又因为BC∥AD，BC=AD，2所以EF∥BC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB．〔2〕分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接 MQ. 因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD...整理分享..WORD完美格式由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN．过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=2得CE=2，1在△PBN中，由PN=BN=1，PB=3得QH=，41在Rt△MQH中，QH=，MQ=2，4所以sin∠QMH=，82所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．820.(2021年浙江)函数()=〔–2x-1〕e1fxx〕．-x〔x≥2-x〔x≥〔1〕求f(x)的导函数；12〕求f(x)在区间[，+∞)上的取值范围．220.解：〔1〕因为〔1，〔e--x，–2x-1〕′=1-x2x-1x〕′=-e-x〕′=-e-x所以f〔x〕=〔1-1(1-x)(2x-1-2)e1 2x-12x-1(x＞).-x-〔–2x-1〕e-x=2〕ex-x-〔–2x-1〕e-x=x-x〔2〕由f′(x)=(1-x)(2x-1-2)e=02x-15解得x=1或x=．2因为1155x〔，1〕1〔1，〕2222f′(x)–0+0〔〕11x25〔2，+∞〕–5-2-1e↘e2↘0↗21又f〔x〕=〔2x-1-1〕2e-x≥0，2..整理分享..WORD 完美格式所以f 〔x 〕在区间[1[0，1，+∞)上的取值范围是 221e]．21.(2021年浙江)如图，抛物线x113 91，，22=y ，点A 〔-〕，〔Bp(x,y)(-2=y ，点A 〔-〕，抛物线上的点24243＜x ＜2)．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．〔第 19题图〕1〕求直线AP 斜率的取值范围；2〕求|PA|·|PQ|的最大值．解：〔1〕设直线AP的斜率为k，11422-，2-k ==x-1x+23 1因为-22斜率的取值范围是〔，〕．＜x＜，所以直线AP-1111kx-y+k+=0，〔2〕联立直线AP与BQ的方程243x+ky-42k-=0，-kQ的横坐标是2+4k+3解得点xQ=2(k2+1)．因为|PA|=1+k122(x+21+k )=(x+2(k+1)，2(k+1)，|PQ |=2，1+k Q(k-1)(k+1)2(x-x)=-k2+1 2(x2+1所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3．3令f(k)=-(k-1)(k+1) ，因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2，所以11f(k)在区间(-1,,1)上单调递减，2)上单调递增，(2 ..整理分享..WORD完美格式1 27因此当k=时，|PA||PQ|·取得最大值．2 1622.(2021年浙江)数列{xn}满足x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)〔n∈N *〕．*证明：当n∈N时，〔1〕0＜xn+1＜xn；xnxn+1〔2〕2xn+1- xn≤2；1 1〔3〕n-1≤xn≤n-2．2 222.解：〔1〕用数学归纳法证明xn＞0．当n=1时，x1=1>0．假设n=k时，xk>0，那么n=k+1时，假设x≤0，那么0＜x=x +ln〔1+〕≤0，矛盾，故x＞0．k+1k k+1k+1k+1因此xn＞0〔n∈N*〕．所以xn=xn+1+ln〔1+xn+1〕＞xn+1，因此0＜xn+1＜xn〔n∈N*〕．2〕由xn=xn+1+ln 〔1+xn+1〕，得xx-4x+2x=x+〔x+2〕ln 〔1+x 〕.nn+1n+1nn+1n+1 n+1n+12-2x2-2x记函数 f 〔x 〕=x2-2x+〔x+2〕ln 〔1+x 〕〔x≥0〕，2x2+xf′〔x 〕= +ln 〔1+x 〕＞0〔x ＞0〕，x+1函数f 〔x 〕在[0，+∞]上单调递增，所以 f 〔x 〕≥f〔0〕=0，因此xn+1n+1〔 n+1〕ln〔n+1〕〔n+1〕≥ ， 2-2x+x+2 1+x=fx2-2x故2xn+1nxnxn+1〔n∈N-x≤*〕．*〕．23〕因为xn=xn+1+ln 〔1+xn+1〕≤x n+1+xn+1=2xn+1，1所以xn ≥ n-1， 2 xnxn+1 由≥2x n+1-xn ，123 241得-≥x n+121所以-xn12〔-2xn〕＞0，11111≥2〔-2x-2n-2，2x〕≥?≥2〕=2n-11n-1〔n-2，n-1〔..整理分享..(word版)浙江高考理科数学试题和解析WORD完美格式1故xn≤n-2．211综上，≤xn≤〔n∈Nn-1n-22*〕．*〕．2..整理分享..31 / 3131。

2022浙江高考数学理科【一】:2022年高考浙江理科数学试题及答案(精校版)2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一。

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设全集U{N，2}，集合A{N，25}，则CUA（）A。

B。

{2}C。

{5}D。

{2,5}2、已知i是虚数单位，a,b R,则“a b1”是“(a bi)22i”的（）A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件3、几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是()A。

90cmB。

129cmC。

132cmD。

138cm4、为了得到函数y in3co3图像，可以将函数2222y图像（）A。

向右平移个单位B。

向左平移个单位44C。

向右平移个单位D。

向左平移个单位121264mn5、在(1)(1y)的展开式中,记y项的系数f(m,n)，则f(3,0f)(2f,1)f(=1（）A。

45B。

60C。

120D。

2106。

已知函数f()3a2b c，且0f(1)f(2)f(3)3（）A。

c3B。

3c6C。

6c9D。

c97。

在同一直角坐标系中，函数f()(0)，g()loga图像可能是（）a8。

记ma{,y},y y,y，min{,y}，设a,b为平面向量，则（）y,y,yA．min{，a b，,，a b，}min{，a，,，b，}B。

min{，a b，,，a b，}min{，a，,，b，}C。

ma{，a b，2,，a b，2}，a，2，b，2D。

ma{，a b，2,，a b，2}，a，2，b，29。

已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球(m3,n3)，从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中。

（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2)。

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q = （ ） A.[0,1) B. (0,2] C. (1,2) D. [1,2]2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）A.38cmB. 312cmC. 3323cmD. 3403cm 3、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A.10,0n a d dS >>B. 10,0n a d dS <<C. 10,0n a d dS ><D. 10,0n a d dS <>4、命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 5、如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） A. 11BF AF -- B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 6.设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card AB card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8、如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。