普通高等学校招生全国统一考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.“a =1”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=（）.A ．23-B ．32-C ．32D ．233.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）.A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位4.函数|lg |)(x x x f -=在定义域上零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．45.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）.A ．1B ．21C ．31D ．616.一个等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是()A.a11B.a10C.a9D.a87.设函数f(x)=logax(a>0,且a ≠1)满足f(9)=2,则f －1(log92)等于()A.2B.2C.21 D.±28.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a,则三棱锥D —ABC 的体积为()A.63a B.123a C.3123a D.3122a 9.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a+b+c=0，a ·b=b ·c=c ·a=－1,则|a|+|b|+|c|等于()A.22B.23C.32D.3310.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦11.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（）A ．15BC ．3D ．512.设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为（）ABC ．2D二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1、如果∆ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则B 一定等于______.2、已知2tan -=α，71tan =+）（βα，则βtan 的值为______.3．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是______.4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是______.三、大题：(满分70分)1、已知函数3()x x bf x x++=，{}n a 是等差数列，且2(1)a f =，3(2)a f =，4(3)a f =．（1）求{}n a 的前n 项和；（2）求()f x 的极值．2、已知集合A 是由a －2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值4.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．5.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程． 6.已知函数（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x ＞0，且x ≠1时，．参考答案：一、选择题：1-5题答案:CDCCC 6-10题答案:ABDCB 11-12题答案:BA 二、填空题：1、︒60;2、3；3、10；4、4.三、大题：1、【解析】（1）由3()x x b f x x++=得211(1)21b a f b ++===+，3322(2)522b ba f ++===+，3433(3)1033b ba f ++===+，由于{}n a 为等差数列，∴2432a a a +=，即(2)(10)2(5)32b b b +++=+，解得6b =-，∴22624a b =+=-+=-，3655222b a =+=-+=，461010833b a =+=-+=，设数列{}n a 的公差为d ，则326d a a =-=，首项1210a a d =-=-，故数列{}n a 的通项公式为1(1)616n a a n d n =+-=-，∴数列{}n a 的前n 项和为21()(10616)31322n n n a a n n S n n +-+-===-；（2）法一（导数法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，332226262(3)()2x x f x x x x x ++'=+==，当330x +<，即x <()0f x '<，函数()f x 在(,-∞上单调递减，当330x +>，即x >时，()0f x '>，函数()f x 在()+∞上单调递增，故函数()f x 在x =极小值为53(31f =+，无极大值．法二（基本不等式法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，当0x >时，26()1f x x x =-+为单调递增函数，故()f x 在(0,)+∞上无极值．当0x <时，则6x ->，∴2226633()1()()1()()()11f x x x x x x x x =-+=-++=-+++≥+---53131==+，当且仅当23()x x-=-，即x =综上所述，函数()f x 在x =53(31f =+，无极大值．【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和、函数单调性及应用，数列与函数进行结合考查，综合性较强，属于中档题．2、解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.3.参考答案：解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------①---1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点，连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE -②-----3分由①②知，平面//AEF 平面BDGH ----4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD -------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON设2AB BF t ==，,则()()()100,03,0,10B C F t ，，，，，13,,222t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--------6分()131,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z = 110130222n OB x t n OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,3n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ----9分12231|cos ,|23n n t <>==+ ,所以29,3t t ==----10分所以()1,3,3CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ4.参考答案：解：（1）∵OP→·OQ →＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分又P 、Q 在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y122p ·y222p＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2222212144)(||pp y y x x ==∴-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E(a,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y2－2my －2a ＝0∴⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121①设直线PR 与x 轴交于点M(b,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131②--7分由①、②可得32y b y a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4∴a ＝2．故b ＝4．∴831-=y y ∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n=0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR|取最小值245.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y 轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．6.已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．。
