3.4 人造卫星宇宙速度
重点和难点
人造卫星的分析
知识要点分析
1. 天体的运动是指由于受到中心天体的万有引力作用，绕中心天体所做的匀速圆周运动。它的特点是万有引力提供向心力：
2. 天体质量M、平均密度ρ的估算：测量出其它天体绕中心天体圆运动的半径R和周期T，若中心天体的半径为R0，则
∴中心天体质量
中心天体密度
3. 重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。由于地球自转，地面上的物体随地球一起做匀速圆周运动，其旋转中心是地轴上的某点。旋转时所需向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力。但重力和万有引力差别很小，一般可认为二者相等。
4. 人造地球卫星一般是沿椭圆轨道运行，为使问题简化，我们认为卫星以一个恰当的速率绕地心做匀速圆周运动，地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力。
5. 卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T都与轨道半径r有关：
由，得，可见r越大，v越小。当卫星贴地球表面绕行时，其速度最大，约为7.9km/s；
由，得，可见r越大，ω越小；
由，得，可见r越大，T越大。当卫星贴地球表面绕行
时，其周期最短，约为84分钟。
以上分析说明，轨道半径r是关键量，解决这类问题，抓住半径，就抓住了解题的关键。
6. 运行速度与发射速度：对于人造地球卫星，由算出的速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度却越大。
关于第一宇宙速度的两种推导方法：（1）由，R为地球半径，M为地球质量，可得第一宇宙速度。（2）由，g为地表重力加速度，R为地
球半径，可得第一宇宙速度。
7. 地球同步卫星的特点：所谓同步卫星是指卫星与地球以同一角速度旋转，则卫星运行周期等于地球自转周期24小时。为了维持这种同步状态，卫星的轨道平面必定与地球的赤道平面重合。通过计算可知，地球同步卫星的轨道高度，在赤道上空36000km处。
例题分析
1. 已知地月距离r＝60R（R为地球半径），计算月球相对于地球的引力加速度g’。
分析：我们认为天体表面上物体所受的万有引力等于它在该星体上的重力，由此可以找到引力加速度的表达式，从而求解。
解答：设月球质量为m，地球质量为M，则由万有引力定律有
对于地球表面上质量为m0的物体，在忽略地球自转影响的情况下，重力等于地球对它
的万有引力，即
联立上述两式可解得
m/s2m/s2
说明：1. 由关系式可知，随圆运动半径的增大（即随距天体表面高度的增大），
引力加速度逐渐变小。
2. 在地球表面引力加速度g＝9.8m/s2,所以前面关系式可以变形为GM＝gR2（M为地球质量，R为地球半径）。这是一个重要的关系式，常常用在不知地球质量，已知地球半径时进行替换。
3. 特别注意关系式中的质量符号分别代表那个天体的质量，这是一个易错点。
4. 在一些天体运行方面的估算题中，要注意隐含条件，例如地球自转周期为24小时，
公转周期365天，月球绕地球运动的周期约为30天等。
2. 在天体演变的过程中，红色巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星（电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子），中子星具有极高的密度。（1）若已知该中子星的卫星运行的最小周期为1.2×10－3s，求该中子星的密度；（2）中子星也绕自转轴自转，为了使该中子星不因自转而被瓦解，则其自转角速度最大不能超过多少？
分析：（1）中子星的卫星绕中子星做圆周运动，其万有引力提供向心力：
由此可知，说明轨道半径越小，卫星的周期越小，故对应卫星运行的最小周期，r＝R。（R为中子星的半径）
（2）中子星的各个部分都绕其自转轴做匀速圆周运动，由知，其“赤道”表面处部分做匀速圆周运动所需向心力最大，因此，只要“赤道”表面处不发生瓦解，其它部分也一定不发生瓦解。对应的临界条件就是：中子星“赤道”表面处质点所受万有引力等于其所需要的向心力。
解答：（1）对于中子星的卫星，因万有引力提供向心力，设中子星质量为M，半径为R，其卫星的质量为m，根据向心力公式有：
解得：
由密度公式知中子星的密度为：
kg/m3
（2）
rad/s
说明：1. 充分理解“最小周期”的意义，从而确定卫星的轨道半径r等于中子星的半径R是本题的关键所在。
2. 星球上物体跟随星球自转所需向心力是由万有引力提供的，但具体是多少与自转的角速度和半径有关，即F＝mω2r，其最大值可等于万有引力。星外物体绕星球运行时所需向
心力则等于全部的万有引力，即。所以环绕运行的加速度与自转加速度是有区别的。
3. 可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（）
A. 与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆
B. 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C. 与赤道表面的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D. 与赤道表面的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
分析：只有参与地球自转的物体的运行轨道才可能与某一纬度线（非赤道）是共面同心圆，而人造地球卫星的圆轨道必须以地心为圆心，所以选项A错误。
若发射一颗极地卫星，其圆轨道必永远与赤道平面垂直，而某一经度线所决定的圆是随地球自转而转动的，所以选项B错误。
不论发射的是否为同步卫星，只要其圆轨道与赤道表面的赤道线是共面同心圆，其圆心都为地心，都是可以实现的。这其中只有同步卫星（距地表高度为36000km）是相对地球表面静止的，其它高度上的卫星相对地球表面是运动的。所以选项C、D正确。
解答：选项C、D正确。
说明：本题是一道关于卫星轨道的问题，在这个问题上容易造成概念模糊。卫星的轨道不论是同步轨道、极地轨道还是任意轨道，其圆心必为地心，只有这样万有引力作为向心力才能时刻指向圆心。
4、用m表示地球同步卫星的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度。则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小等于（）
A. mg0
B. mω2h
C. mω2(R+h)
D. mR2g0/(R+h)2
