关于小波变换及应用图像压缩课件

2. EZW算法
Embedded zero-tree wavelet algorithm
E Z W 算 法 是 Shaprio 等 人 在 1993 年 发 表 的，它是小波图像压缩历史上具有里程碑 意义的一个算法。到目前为止，许多最新 的 算 法 仍 然 还 是 基 于 EZW 的 核 心 思 想 。 该 算法的核心是对小波分解后的子带系数定 义一种零树结构，这种零树结构是基于频 率衰减的假设，即在同一方向上粗糙尺度 子带的系数要比相应位置精细尺度子带的 系数大，然后采用连续逼近量化和熵编码 生成嵌入式码流。
Lena图像的多分辨率表示
上述的分解过程通常采用滤波器组的形式 实现，滤波器组由一个低通滤波器和一个 高通滤波器构成。首先在行的方向上对图 像进行分解，然后再在列方向上对图像进 行分解，这样就得到一个逼近信号和三个 不同方向上的细节信号。逼近信号又可作 为输入进行下一级分解。由小波系数重构 原始图像是上述过程的逆过程。
列
H(Z) 2 G(Z) 2 H(Z) 2 G(Z) 2
N 4
N 4
a2(n1,n2)
d21(n1,n2)
d22(n1,n2)
d23(n1,n2) d11(n1,n2) d12(n1,n2) d13(n1,n2)
LL3 HL3 HL2
LH 3 HH 3
HL1
LH 2
HH 2
LH1
HH 1
图像的多分辨率表示
a LL3
HL 3
d
2 3
?4
d
2 2
LH3 HH3
?4
d
1 3
d
3 3
HL2
d
1 2
d
3 2
LH 2
HH 2
d11
d12
HL1
d13
LH1
HH1
小波系数的树形结构
a
a1
(d
1 3
)
a2
(d
2 3
)
a3 (d33 )
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
1. 图像的小波分解
若2-D滤波器 (n1,n2)可分解为 (n 1 ,n 2 )1 (n 1 )2 (n 2 )，则
可分的2-D DWT，将分解近似图象ai(n1,n2)为一个近似
图象和3个细节图象，即：
L 1 L 1
ai1(n1, n2 )
h(k1)h(k2 )ai (2n1 k1,2n2 k2 )
关于小波变换及应用图像压缩
小波分析因为同时具有好的空间分辨率和好的 频率分辨率，特别适于分析非稳态信号。自然 图像正具有这种非稳态特性，可以看作是能量 空间集中（图像边沿和细节）和频率集中（图 像的平缓变化部分）信号的线性组合[8]。因此， 使用小波分析进行图像压缩可以取得很好的效 果。
基于小波的图像压缩思想来源
EZW 算法根据小波分解后得到的图像的多分 辨率表示的特点，定义了一种树形结构。对 于最低分辨率子带，每一个系数都可与同一 空间位置的水平、垂直、对角线方向的 3 个 小波系数相关联；对于非最高分辨率的其它 子带，每个系数都可与精细尺度的相同方向、 同一空间位置的 4 个小波系数相关联。称粗 糙尺度的系数是其关联的下一级精细尺度系 数的父亲，称精细尺度的系数是与其关联的 上一级粗糙尺度系数的孩子，这样就形成一 系列的子带系数间的父子关系。
(
n1
,
n2
)
g (k1) g (k2 )ai (2n1 k1,2n2 k2 )
k1 0 k2 0
其中H(Z)和G(Z)为1-D小波滤波器，信号ai1(n1,n2) 是 ai(n1,n2) 在低分辨率上的近似，从ai(n1,n2) 籍 低通滤波器和沿行及列2倍下取样计算此近似 信号，信号 di1 1(n1,n2)d ,i2 1(n1,n2)和 di31(n1,n2)包 含 ai(n1,n2) 的细节。信号 di11(n1,n2) 包含垂直高 频（水平边沿）。计算此信号是由水平方向低 通和垂直方向高通滤波 ai(n1,n2) ，信号di21(n1,n2)
Embedded 意即编码器可以在任一希望速率 上停止编码。同样，解码器可在码流的任一 点截断码流，停止解码。 优点：不需要图像预先知识，不用存储其码 表，和不用训练。
EZW算 法 利 用 DW T分 解 ， 在 每 一 i 层的 最 低 带 (band)分 解 为 四 个 子 带 ： Li L 1， Li H 1， Hi1， LHi1H
小波分析因为同时具有好的空间分辨率和好的频 率分辨率，特别适于分析非稳态信号。自然图像 正具有这种非稳态特性，可以看作是能量空间集 中（图像边沿和细节）和频率集中（图像的平缓 变化部分）信号的线性组合。小波图像压缩就是 利用小波变换同时具有好的空间分辨率和好的频 率分辨率的特性，使变换系数的能量同时在频率 上和空间上集中，达到去除像素冗余度的作用。
k1 0 k2 0
L 1 L 1
d
1 i 1
(
n1
,
n2
)
h(k1) g (k2 )ai (2n1 k1,2n2 k2 )
k1 0 k2 0
L 1 L 1
d
2 i 1
(
n1
,
n2
)
g (k1)h(k2 )ai (2n1 k1,2n2 k2 )
k1 0 k2 0
L பைடு நூலகம் L 1
d
3 i 1
包含水平高频（垂直边沿），信号 di31(n1,n2) 包 含两个方向的高频（角）。
2级2-D DWT的上式计算，可由下框图实现：
N N
N 2
N
行
H (Z )
a0(n1,n2)
2
G(Z) 2
行
列
H (Z )
a1(n1,n2)
2
H(Z) 2
G(Z) 2
G(Z) 2
H(Z) 2
G(Z) 2
N 2
N 2
图像经过小波分解后，绝大部分能量集中 在逼近信号子带，该子带的图像可看作原 始图像的一种低分辨率的抽样。而细节子 带则反映了图像在各个尺度的细节，如边 缘、纹理等。因为自然图像的边缘、纹理 通常之存在于小部分区域，所以细节子带 的大部分系数很小，平均能量很低。下图 是 Lena 图 像 经 过 小 波 分 解 得 到 的 多 分 辨 率 表示。
d2
a111 a112 a113 a114 a121a122 a123a124 a131 a132 a133 a134a141a142a143 a144
d1
展开的小波树
注意到每一级的树形节点都对应图像相同 空 间 位 置 的 区 域 。 也 即 a 与a1 、 a 2 、 a 3 表