传热学第三章-非稳态导热-2

常数A、B和β可由下边定解条件确定。
（a）
0,
t 0
-t
0
(1)
x 0, x 0
(2)
x , - x h (3) x
由边界条件（2），得 B=0
于是（a）式成为 (x, ) ea 2 [ Acos(x)] （b）
把边界条件（3）代入(b) ，得 tg() h
（c）
将 tg() h 右端整理成：
n
cos(n
x
) exp(Fon2 )
而
Bi h
x — 无量纲距离
于是，最后可得到解得形式为： (x, ) f (Bi, Fo, x )
定义无量纲的热量 Q / Q0
0
其中Q 为 0 时间内传导的热量（内热能的改变量）
为初始时刻至无穷时间内的总传导热量
Q0 c0V （物体内能改变总量）
于是有:
Q c V t0 t(x, )dV
Q0
cV (t0 t )
1 V
t0 t (t t )dV
V
t0 t
1
1
dV
V V 0
1
0
这里:
1 V
V (t t )dV
是 时刻物体的平均过余温度。
3-3-2 非稳态导热的正规状况阶段
当Fo > 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故 当Fo > 0.2时,由:
h h 1 Bi
注意，这里 Bi数的尺度为平板厚度的一半。
显然，β是两曲线交点 对应的所有值。式(c) 称为特征方程。 β称 为特征值。分别为β1、 β2…… βn。
至此，我们获得了无穷个特解：
1(x, ) ea12 [ A1 cos(1x)]
2 (x, ) ea22 [ A2 cos(2 x)]
中心温度的差别小于5%，可以近似认为整个平壁温度是
均匀的。这就是3-2节集总参数法的界定值定为Bi < 0.1
的原因。
由式
ln
0
(1
)
2
Fo
ln
1
2sin 1 sin 1 cos1
c
os
1
x
两边对时间求导，得
1
a12
上式左边是过余温度对时间的相对变化率，称为冷却
率（或加热率）。
上式说明，非稳态导热进入正规状况阶段后，物体所有 各点的冷却率或加热率都相同，且不随时间而变化，其 值仅取决于物体的物性参数、几何形状与尺寸以及表面 传热系数。
上式说明，当 Fo > 0.2,平壁内所有各点过余温度的对数
都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等,这一温 度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。
ln(/0)
Fo > 0.2时，任一点过余温度与
中心过余温度m之比为
正规状况阶段
x/=0
(x, ) m ( )
cos(1
)
x
（e）
x/=1
Fo
§3-3 一维非稳态导热的分析解
当几何形状及边界条件都比较简单时, 可获得分析解。
3-3-1 无限大的平板的分析解
考察厚度 2 的无限大平壁 得情况。设、a为已知常数； =0时温度为 t0；突然把两 侧介质温度降低为 t并保持
不变；已知壁表面与介质之
间的表面传热系数为h。
两侧冷却情况相同、温度分 布对称。中心为原点。
50 100
1 0.0998 0.221 0.311 0.653 0.860 1.314 1.429 1.540 1.555 1.571
为了分析这时温度分布的特点，将上式取对数，得：
ln
0
(1
)2
Fo
ln
1
2sin 1 sin 1 cos1
c
os
1
x
式右边第一项是时间 的线性函数， 的系数只与 Bi 有 关，即只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。 而右边第二项只与Bi、x/ 有关，与时间 无关。
(x,
0
)
n 1
n
2sin( n ) sin n cos
n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
得:
0
1
2sin(1 ) sin(1 ) cos(1
)
e( 1 )2 Fo
cos1
x
（d）
其中 1 是第一特征值，是 Bi 的函数。
Bi 0.01 0.05 0.1 0.5 1.0 5.0
10
当时间τ趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达
到周围环境温度，所以 D 必须为负值，否则物体温度
将无穷增大。
令
D 2
则有
1 dT 2 aT d
以及
1 X
d2X dx2
以上两式的通解为： T C1ea 2
X C2 cos(x) C3 sin( x)
于是，得
(x, ) ea 2 [ Acos(x) B sin( x)]
2sin( n ) sin( n ) cos(n
)
cos(n x) exp(an2 )
令 βnδ=μn
最后得：
(x, )
0
n 1
n
2sin( n ) sin n cos n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
由于
Fo a 2 （傅立叶数）
得
(x, ) 0
n 1
n
2sin( n ) sin n cos
0.2
即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数) 有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布 如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入 正规状态或充分发展阶段。
令x = ，还可以计算平壁表面温度和中心温度的比值。
( , ) m ( )
cos(1
)
（f）
另外，由表3-1可知，当Bi < 0.1时，1 < 0.3111，从 而cos(1) > 0.95。即当Bi < 0.1时，平壁表面温度和
….
n (x, ) ean2 [ An cos(n x)]
将无穷个解叠加，得：
(x, ) ean2 [ An cos(n x)] n1
An可利用初始条件
0,
t0-t
0
求取
An
0
n
2sin( n ) sin( )n cos(n
)
于是，得到解的最后形式为：
(x,
)
0
n 1
n
则导热微分方程为：
t
a
2t x 2
初始条件： 0, t t 0
边界条件：
x 0, t x 0
x , - t x h(t t ) 引入： t(x, ) t — 过余温度
则，导热方程可改写为：
定解条件可改写为：
2
a
x2
0, t -t
0
பைடு நூலகம்
0
x 0, x 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：取 X (x) T ( )
则由：
2
a
x2
得：
1 dT 1 d 2 X
aT d
X
dx2
于是有： 1 dT 1 d 2 X
aT d
X
dx2
D
X只为x的函数 T只为的函数
只能为常数
对
1 aT
T
D积分
得到
T C1eaD
式中C1是积分常数，常数值D的正负可以从物理概念 上加以确定。