用函数观点看一元二次方程 优秀教学设计(教案)

用函数观点看一元二次方程的教学设计用函数观点看一元二次方程的教学设计篇一：教学设计与反思1-《用函数观点看一元二次方程》教学设计与教学反思一、学情分析：大部分学生上课能够积极发言，认真完成作业，学习态度端正，但缺乏一定的学习方法，也缺少学习毅力，在某种程度上还是不能够严格要求自己。

二、教学内容分析：1、教学目标①知识与技能：总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

②过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

③情感态度价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想。

2、重点、难点分析：①重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

②难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

三、教学过程设计：（一）创设情境、导入新课问题1 如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t-5t。

考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？22分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t-5t。

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

解：（1）解方程 15＝20t-5t。

t-4t+3=0。

22t1＝1，t2＝3。

《用函数观点看一元二次方程》教学设计单位：玉林市兴业县卖酒镇二中 姓名：龚亚华教学媒体 多 媒 体教 学 目 标知识 技能 1. 理解一次函数与二元一次方程(组)的对应关系。

2. 会用画图象的方法解二元一次方程组。

过程 方法 1、 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法。

2、 体验数形结合思考意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。

情感 态度通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究，培养学生严谨的科学态度以及独立思考的习惯。

教学重点 探究一次函数与二元一次方程（组）的关系。

教学难点灵活运用函数知识解决相关实际问题。

教 学 过 程 设 计教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、情境引入1、已知 2x-y=1，用含x 的代数式表示y ，则y=________2、方程2x-y=1的解有______个。

3、 x=1y=1 是方程2x-y=1的一个解吗？4、（1,1）是否是直线2x-y=1上的一个点？通过上述问题，你认为一次函数与二元一次方程有何关系？二、探究新知1、3x+5y=8对应的一次函数（以x 为自变量）是_________。

2、直线y=53x+58上任取一点（x ，y ）则（x ，y ）一定是方程 3x+5y=8的解吗？为什么？ 3、在同一直角坐标系中画出直线y=2x-1与y=-53x+58的图象并思考： （1）它们有交点吗？ （2）交点的坐标与方程组 2x-y=1 的 解有何关系？ 3x+5y=8 4、当自变量x 取何值时，函数y=2x-1与 y=-53x+58的值相等？这时的函数值是多少？教师给出问题，学生很快作出回答。

学生交流讨论归纳概况，出版认识二元与一次方程的解。

函数有对应关系。

学生独立思考1、2、3，教师巡视，师生共同归纳：每一个二元一次方程对应着一个一次函数。

直线上每一点坐标都是二元一次方程组的解。

教学过程一、复习预习上节课我们学习了二次函数一般式中a，b，c和图像之间的关系、二次函数解析式的确定、二次函数求最值的方法，有细心的同学发现了一个问题：抛物线b2-4ac的符号与x轴交点的个数有某种联系？他说：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0。

这就是我们这节课要讲的内容：用函数的观点看一元二次方程。

二、知识讲解1. 二次函数与x轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数。

由于二次函数与x 的交点纵坐标为0，因此02=++c bx ax 的次方程有几个解就意味着二次函数与x 轴有几个交点。

一元二次方程的解的情况是由ac b 42-来决定的，因此二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数也由ac b 42-来决定。

2.二次函数图象与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的关系： （1）如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根； （2）如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根；（3）如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有公共点，那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有实数根； ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2AB x =.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．3.抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 4.当二次函数c bx ax y ++=2中的y 取一个具体值时（y=m ），就变成了一个一元二次方程m c bx ax =++2。

人教版数学九年级上册22.2《用函数观点看一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《用函数观点看一元二次方程（1）》的内容，是在学生学习了函数和一元二次方程的基础上进行的。

本节课的主要内容是引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程，让学生通过观察、分析和探究，体会一元二次方程与二次函数之间的关系，提高学生解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过函数和一元二次方程的知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但在运用函数的观点来解决实际问题时，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系，会用函数的观点来认识和解决一元二次方程问题。

2.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程。

2.难点：如何引导学生运用函数的观点来解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和探究，发现一元二次方程与二次函数之间的关系。

2.运用案例教学法，让学生在实际问题中体会和运用函数的观点解决问题。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程和二次函数的案例，用于引导学生分析和讨论。

2.准备多媒体教学设备，用于展示和分析一元二次方程和二次函数的图像。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程。

例如，展示一些二次函数的图像，让学生观察图像与一元二次方程之间的关系。

2.呈现（10分钟）教师展示一些一元二次方程，让学生尝试用函数的观点来解释和解决这些问题。

教师引导学生观察一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

中学数学（学科）教学案课题名称：26.2 用函数观点看一元二次方程年级：九年级课型：新授课编号：主备人：执教人：日期： 2013.12课时分布：一、学习目标：1.了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根。

2.建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象体会数与形的完美结合。

二、教学重点和难点：教学重点：利用二次函数图象解一元二次方程教学难点：将方程转化为二次函数三、教学过程：（课前小测、新知导入、达标检测）知识回顾：1、不解方程判定一元二次方程的根的情况：①2x2－3x+1=0 ②4x2+4x+1=0 ③x2-x+2=02、二次函数的一般式：，______是自变量，____是____的函数。

当y = 0 时，二次函数变形为。

合作探究活动1．二次函数与一元二次方程的关系如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？归纳：一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m 又可以看作已知二次函数的值为m时求自变量x的值．跟踪练习：1、二次函数y＝x2－3x＋2，当y＝0时，x＝_______．当y＝1时，x＝_______2、二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(1,-2)和(3,-2)，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝-2的根是。

活动2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的情况与一元二次方程根的关系下列函数图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的坐标是什么？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2(2)y=x2-6x+9(3)y=x2-x+1归纳:从二次函数的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x=x时，函数值是，因此x=x就是方程的一个根。

第3章不等式3.3从函数观点看一元二次方程与一元二次不等式第1课时从函数观点看一元二次方程1.正确理解函数零点的概念．2.理解一元二次方程与二次函数的关系．3.掌握图象法解一元二次方程．教学重点：掌握图象法解一元二次方程．教学难点：求函数的零点，并判断零点所在区间．一、新课导入问题1：阅读教材P58开头语，思考问题：怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题？师生活动：学生阅读、回忆，老师总结．预设的答案：教材首先由我们初中熟悉的一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的密切联系引入．强调了两点：一、借助函数的图形，可以解一元二次方程；二、通过求解方程可以深入理解函数的性质．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习从函数观点看一元二次方程．（板书：3.3.1 从函数观点看一元二次方程）设计意图：承上启下，引入新课．【探究新知】问题2：类似探究“一次函数、一元一次方程”两者之间的关系的做法，我们能不能将一元二次函数与一元二次方程联系起来找到其求解方法呢?师生活动：学生阅读教材P58，给出答案．预设的答案： 追问：二次函数的零点怎么定义？应注意什么问题？预设的答案：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．注意的问题：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x 轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．设计意图：【巩固练习】例1. 已知关于x 的方程220+-=x kx 的一个根是1,则它的另一个根是（ ）A .3-B . 3C .2-D . 2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：设方程220x kx +-=的另一个根是a ，由韦达定理可得：12a ⨯=-,即2a =-，故选C ．设计意图：理解一元二次方程的根满足韦达定理．例2. 若二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的两个零点分别是2和3，则2a ＋b 的值为________． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：据题意，2+3=－a ，2⨯3= b解之得56a b =-⎧⎨=⎩∴2a ＋b ＝－4． 设计意图：理解二次函数的零点与一元二次方程的根的关系及一元二次方程的根满足韦达定理．例3. 已知α，β(α<β)是函数y ＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )的两个零点，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A.a<α<β<bB.a<α<b<βC.α<a<b<βD.α<a<β<b 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：设g(x)＝(x－a)(x－b)，则g(x)向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，由图易知a<α<β<b．设计意图：理解二次函数的零点与二次函数的图象的关系．【课堂小结】1．板书设计：3.3.1 从函数观点看一元二次方程1. 一元二次方程的解法例12. 由函数的零点求参数的值例23. 由函数的零点求参数的范围例32．总结概括：问题：1.一元二次函数与一元二次方程是什么？2. 二次函数的零点怎么定义？需要注意什么问题？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：1.2.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注意的问题：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确从函数的观点看一元二次方程的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是()A．1 B．2 C．1或2 D．0设计意图：巩固二次函数零点的概念．2. 关于x的函数y＝x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点为x1, x2，且x2－x1＝15，则a＝()A．52B．72C．154D．152设计意图：巩固二次函数零点与一元二次方程的关系．3. 若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为．设计意图：巩固函数零点的概念．4. 求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．设计意图：巩固二次函数零点的概念．参考答案：1. 由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．故选C．2. 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝52．故选A．3. 当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝1a -，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以1a-＝－2 即a＝12，所以实数a的取值集合为1 {0,}2．4．法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，所以函数y＝ax2－x－a有两个零点．法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线，无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)，所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．。

人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》这部分内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法的基础上进行教学的。

这部分内容主要是让学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程，培养学生运用函数观点解决问题的能力。

教材通过引入函数的概念，让学生理解一元二次方程和函数之间的关系，从而提高学生解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，包括一元二次方程的解法。

但是，对于如何从函数的角度来理解和认识一元二次方程，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。

2.培养学生运用函数观点解决问题的能力。

3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解一元二次方程和函数之间的关系。

2.难点：如何引导学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，通过师生互动，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。

2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的解法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程。

让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与一元二次方程相关的问题，引导学生运用函数观点解决问题。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用函数观点解决问题的能力。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了用函数观点看待一元二次方程，还可以用其他方法来理解和解决问题吗？激发学生的思维，培养学生的创新能力。

《用函数的观点看一元二次方程》的教案_模板《用函数的观点看一元二次方程》的教案一、教学目标：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

二、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

三、教学方法：启发引导合作交流四：教具、学具：课件五、教学媒体：计算机、实物投影。

六、教学过程：[活动1] 检查预习引出课题预习作业：1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解.师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。

设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。

[活动2] 创设情境探究新知问题1．课本P16 问题.2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m?（结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。

）师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。

《用函数观点看一元二次方程(1)》教学设计三、教学重点、难点：难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想.四、学法指导：发现法、练习法、合作学习五、教学方法：“尝试指导，效果回授”教学法六、教学准备：多媒体课件七、教学流程安排：活动流程图活动内容和目的活动1创设情境，导入新课以复习回顾的知识为载体，以被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等为背景创设问题情境，在揭示章课题的同时帮助学生认识数学与生活的密切关系，激发其求知欲；通过问题1故旧导新，帮助其发掘新知固着点。

活动2诱导尝试，探究新知播放课件展示问题让学生参与讨论活动3变式训练，巩固新知播放课件展示问题学以致用活动4全课小结，内化新知知识系统内化，拓展提高及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救、长善救失。

活动5推荐作业，深化新知分类推荐、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外八、教学流程设计：问题与情境师生活动媒体使用与教学评价活动一创设情境，导入新课(10分钟)在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。

如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等．利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。

本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。

问题1:如图,以40 m /s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2考虑下列问题:(1)球的飞行高度能否达到15 m ? 若能,需要【教师活动】出示问题?【学生活动】（1）阅读理解问题1，观察,尝试表示该问题（2）同桌相互交流，探索不同表示方法之间的相等关系。

（3）独立尝试解决问题2，3,4,并交流共享。

【媒体使用】1）出示问题1及各种解答结果。

26.2用函数观点看一元二次方程教学任务分析教学目标知识技能了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根．数学思考建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合．解决问题1．通过实际问题，体会一元二次方程解的实际意义，发展数学思维．2．求解过程中，学会合作、交流.情感态度1．通过对小球飞行问题的分析，感受数学的应用，激发学生学习热情．2．在求解过程中，体会解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点利用二次函数图象解一元二次方程难点将方程转化为二次函数教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 问题引入活动2 方程与函数活动3 巩固、应用活动4 小结、布置作业通过对小球飞行问题的求解，激发学生对一元二次方程根的探索兴趣．观察、分析二次函数的图象，判断一元二次方程根的情况，发展学生分析问题的能力．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，激发探索精神．回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1]问题：如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h (单位: m)与飞行时间t 出示问题，学生分析理解．注意学生对高度、时间的理解．分析：h是t的二次函数；当h取具体值时，得到关于t的一元二次方程；从小球飞行问题寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．(单位: s)之间具有关系：2520tth-=．（1）球的飞行高度能否达到15 m?若能,需要多少时间?如何求解一元二次方程的根呢？（2）球的飞行高度能否达到20 m?若能,需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少时间?（4）球从飞出到落地要用多少时间?图26.2－1242010515O图26.2－1－1[活动2]问题：下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有,求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？（4）如何理解一元二次方程与二次函数的关系？在本次活动中，教师应关注：（1）学生对问题从函数到方程的转换；（2）学生对根的理解；（3）方程的解与函数中自变量的关系．解方程：略．在本次活动中，教师应关注：（1）一元二次方程的解法；（2）函数图象的应用；（3）方程与函数的联系．教师展示问题，学生讨论合作完成：分析：如何作出函数的图象；利用图象确定函数的值；由函数图象，能得出相应的一元二次方程的根吗？利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合给学习带来的方便．使学生掌握通过函数图象判断方程的根，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中．1)3(96)2(2)1(222+-=+-=-+=xxyxxyxxyyx。

``？用函数观点看一元二次方程教学设计教学目标：知识与技能：1、理解二次函数y=a x² +bx + c与x轴有交点，则一元二次方程ax² +bx + c = 0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根2、知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况.3、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解过程与方法：通过对一元二次方程根的不同情况下，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法.情感、态度与价值观：由实际问题引入，激发学生应用数学的意识，通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.教学重点、教学难点：重点如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系.难点让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤.教学方法与教学手段：教学方法采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学.教学手段 为了使学生的活动更加充分有效，增强教学直观性，利用多媒体、来辅助教学教学程序设计（环节一）情景导入球场上，一球员打出一杆球，如果球的飞行路线将是一条抛物线球的飞行高度为y(m) 与飞行时间为x (s)之间满足y= -5x ²+20x问题：⑴球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？⑵球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？⑶球的飞行高度能否达到25m ？为什么？活动方式：学生独立思考，列出一元二次方程并交流做出的判断.设计意图：通过实际问题的引入，列出一元二次方程，为探所二次函数与一元二次方程的的关系做铺垫，从而引出课题.（环节二）探究新知一 、从解析式探索函数与一元二次方程的关系1、从实际问题列出的三个方程出发，在解决完提出的三个问题之后，观察三个方程根的情况，并首先以第一个方程为例，剖析函数与方程的关系.y= -5x ²+20x函数值为15 根为x 1=1, x 2=3（对应自变量的值）-5x ²+20x = 152、对比上述分析，让学生结合方程根的情况，说出另外两个方程与函数之间的关系.设计意图：通过对第一个方程与函数之间关系的探索，让学生明确方程的根为函数值为15时，对应的自变量的值（也可理解为当自变量的值为1或3是函数值为15），让学生体会它们之间的关系，并通过对另外两个方程的对比分析，让学生进一步巩固加深认识，有效渗透转化的数学思想. 二、从图象探索函数与一元二次方程的关系通过对一个高度问题的探索，引出从图象角度探索函数与一元二次方程的关系，学生再次以由实际问题引出的第一个方程为例，从图象的角度说明：（1）纵坐标为15的点构成直线y=15与抛物线若有交点，则方程-5x ²+20x = 15有根，有几个交点就有几个根.（2）通过观察发现，方程的根即为交点的横坐标. （3）对比上述分析，让学生结合方程根的情况，从图象角度说出另外两个方程与函数之间的关系.设计意图：学生从图象角度出发，去探索函数值一定时，得出一元二次方程的根，即为两图象交点的横坐标，并发现交点的个数为方程根的个数，在这个环节，我并没有急于进行归纳总结，而是在接下来的环节，以例题的形式一组方程让学生巩固刚刚得出的这些结论. （环节三）应用总结一、例题讲解解方程：（1）x ²+x -2=0（2）x ²-6x +9=0（3）x ²-x +1=0 解：（1） x 1=1, x 2=-2 （2）x 1=x 2=3 （3）方程无实数根1 3 o xy15 y= x ²+x -2 y= x ²-x +1 y= x ²-6x +9 o yx二、总结归纳函数与一元二次方程的关系 1、若二次函数y=a x² + bx + c 与x 轴有交点，则一元二次方程ax² + bx + c = 0 有实数根，若与x 轴无交点，则方程无实数根.2、若二次函数y=a x² + bx + c 与x 轴有两个交点、一个交点、无交点，对应一元二次方程ax² + bx + c = 0有两个不相等的实数根、有两个不相等的实数根 没有实数根.3、让学生再从方程的角度（根的情况）去判断函数图象与x 轴的交点情况. 活动方式：学生独立思考后并合作交流完成，然后师生评价共同总结.设计意图：学生通过例题解决，能较为熟练地掌握了用图象法法解一元二次方程，对二次函数与一元二次方程的关系有了更为深刻的认识，让学生体会了转化及数形结合的数学思想方法.三、能力提升将例题中的第一个方程进行变形，先让学生求其根，再让学生从图象角度 求出它的解.x ²+x -2=0 x ²+x =2x ²= -x +2从图象上可以看出，它们交点的横坐标都是-2和1. 活动方式：本环节要求学生小组合作，分工交流完成并，教师巡视并适时点拨.然后汇报展示.师生共同评价.设计意图：通过两种不同方程表现形式的对比，以及两种不同形式方程的相互转化，体现了转化的数学思想，发现方程变形后，根没有发生变化，并引导学生用图形的方法求方程的近似解，允许学生判断出其准确根，也在参与学生的y= x ²+x 1 -2 2 o y xy= x ² y= -x +2 1 -2 2 o y x小组活动时，说明近似根也是合理的，毕竟作图有误差，并通过画图比较后面的两种变形，在画图象求解时难易程度是有区别的，向学生渗透优化的意识.（环节四）反思总结y=ax² +bx + c若有根（根为与x轴交点的横坐标）函数值为0ax² +bx + c = 0活动方式：师生共同总结，反思提升.设计意图：通过解法流程图的演示，让学生再一次体会二次函数与一元二次方程之间的关系，让学生从函数的解析式及图象上掌握与方程的关系，期望学生通过本节课的学习，能对一元二次方程给予更深的认识，并能用图像法求的方程的根.（环节五）作业布置作业布置：1、教科书第75页复习巩固第1题2、解方程：利用函数的图象求方程x2-2x-2 =0的实数根（精确到0.1）.设计意图：第一题通过作业的布置，及时反馈学生的学习效果，通过设置课后思考试题，不仅巩固本节课所学的知识，更拓展学生的思维空间.。

人教版数学九年级上册22.2《用函数观点看一元二次方程（2）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2《用函数观点看一元二次方程（2）》这一节主要让学生了解一元二次方程在函数图像上的表现形式，培养学生运用函数观点解决实际问题的能力。

教材通过实例引导学生从函数图像的角度去理解一元二次方程的解法，使学生能够更好地把握一元二次方程的性质。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一元二次方程的基本概念和解法，但对一元二次方程在函数图像上的表现形式还不够了解。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过实例分析、小组讨论等方式，引导学生从函数图像的角度去理解一元二次方程。

三. 教学目标1.让学生了解一元二次方程在函数图像上的表现形式，提高学生运用函数观点解决问题的能力。

2.培养学生通过合作、交流、探讨等方式解决问题的意识，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在函数图像上的表现形式。

2.难点：如何引导学生从函数图像的角度去理解一元二次方程的解法。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生了解一元二次方程在函数图像上的表现形式。

2.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和交流能力。

3.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生分析一元二次方程在函数图像上的表现形式。

2.准备多媒体教学设备，用于展示函数图像和讲解相关概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的函数图像，让学生观察并分析图像与方程之间的关系。

引导学生发现函数图像与一元二次方程的解法之间的联系。

3.操练（10分钟）教师提出问题，引导学生运用函数图像解决实际问题。

学生分组讨论，共同完成任务。

教师巡回指导，解答学生的问题。

22.2 用函数的观点看一元二次方程教学时间课题22.2用函数的观点看一元二次方程〔2〕课型新授课教 学 目 标知 识和 能 力 复习稳固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解 过 程 和 方 法 让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解。

情 感 态 度 价值观提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

教学重点 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力 教学难点 提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教学准备教师多媒体课件学生“五个一〞课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、复习稳固 1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解? 2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解。

(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解。

教学要点1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。

解：略函数y ＝2x 2－3x －2的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－12和x 2＝2，所以一元二次方程的解是x 1＝－12和x 2＝2。

二、探索问题问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。

唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和y ＝12x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32和2就是原方程的解．提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么? 让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。