一元二次方程方程与实际问题传染病问题--

2.3.1 实际问题与一元二次方程（1）（探究案）1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人（分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。

解：【合作探究】问题1、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌【题型练习】2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛【题型练习】1、参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛2、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共3、某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人【轻松检测】1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，生物兴趣小组共有多少人2、我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台》4、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会头目下家下家下家下家下家下家。

九年级一元二次方程实际问题一、传播问题例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

第一轮传染后，有x + 1个人患流感；第二轮传染后，有x(x + 1) + x + 1个人患流感。

则可列方程：1 + x + x(1 + x) = 1211 + x + x + x^2 = 121x^2 + 2x - 120 = 0(x + 12)(x - 10) = 0解得x_1 = 10，x_2 = -12（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。

二、增长率问题例：某工厂第一年的利润为 20 万元，第三年的利润为 y 万元。

假设每年的平均增长率为x，则 y 与 x 之间的函数关系式为？解析：第二年的利润为20(1 + x)万元，第三年的利润为20(1 + x)^2万元。

所以y = 20(1 + x)^2三、销售问题例：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。

为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。

若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？解析：设每件衬衫应降价x元。

每件利润为(40 - x)元，每天销售量为(20 + 2x)件。

则可列方程：(40 - x)(20 + 2x) = 1200800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200-2x^2 + 60x - 400 = 0x^2 - 30x + 200 = 0(x - 10)(x - 20) = 0解得x_1 = 10，x_2 = 20因为要尽快减少库存，所以x越大越好，故x = 20答：每件衬衫应降价 20 元。

四、面积问题例：用一块长 80cm，宽 60cm 的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为x cm 的小正方形，然后做成底面积为 1500cm²的没有盖的长方体盒子，求x的值。

一元二次方程传染病问题例题假设某传染病的传播模型可以用一元二次方程来描述，我们来解决一个与这个问题相关的实际例题。

假设某城市爆发了一种传染病，病毒的传播速度和人群的接触频率有关。

为了控制疫情，市政府采取了一系列的措施，包括隔离患者、提高人们的卫生意识等。

为了评估这些措施的有效性，我们希望用一元二次方程来模拟传染病的传播情况。

假设疫情爆发后，人们发现每天新增感染人数呈现出一个明显的二次函数规律，即每天新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程来描述。

我们来构建这个一元二次方程。

设t表示时间（天），S(t)表示累计感染人数，每天新增感染人数为S'(t)。

根据已知条件，我们假设新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程表示，即有：S'(t) = at² + bt + c其中a、b、c为常数，需要根据实际情况确定。

为了确定这些常数，我们需要已知的新增感染人数数据。

假设我们收集了连续7天的数据，如下所示：Day 1：新增感染人数为10人Day 2：新增感染人数为20人Day 3：新增感染人数为40人Day 4：新增感染人数为70人Day 5：新增感染人数为110人Day 6：新增感染人数为160人Day 7：新增感染人数为220人我们将这些数据带入方程中，可以得到如下方程组：a +b +c = 10 (1)4a + 2b + c = 20 (2)9a + 3b + c = 40 (3)16a + 4b + c = 70 (4)25a + 5b + c = 110 (5)36a + 6b + c = 160 (6)49a + 7b + c = 220 (7)为了解这个方程组，我们可以采用高斯消元法或矩阵方法进行求解。

在这里，我们采用矩阵方法。

将这个方程组转化成矩阵形式，有：[ 1 1 1 ] [ a ] [ 10 ][ 4 2 1 ] [ b ] [ 20 ][ 9 3 1 ] * [ c ] = [ 40 ][ 16 4 1 ][ 25 5 1 ][ 36 6 1 ][ 49 7 1 ]我们可以使用矩阵的逆来求解这个方程组。

人教版九年级上册数学二元一次方程的应用——传染病问题班级姓名【学习目标】1.会根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，并根据实际意义来确定方程的解；2.让学生进一步经历“问题情景－－－建立模型－－－求解－－－－解释与应用”的过程，掌握解决实际问题的方法和经验。

【学习重点】加强培养学生运用一元二次方程分析和解决有关传播问题的能力。

【学习难点】正确建立一元二次方程解决实际中的传播问题。

【学习过程】思考：有一人患了流感，则第一轮的传染源就是这个人，如果他传染了10人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了10个人，则第二轮后共有人患了流感。

例1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：第一轮传染后第二轮传染后解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有________________人患了流感。

列方程得：解方程得：引申：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？四轮传染后又有多少人患流感？练1.有一人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信发送，共有91人手机上获得同一信息，求每一轮发短信平均一个人向几个人发送短信？例2．要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？练2．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？2、独立思考，解决问题（1）．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？(如图)例3．（增长率问题）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？练习：1.2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是2.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率？。

实际问题与一元二次方程一、引入：同学们我们平时可能会经常遇到或听说传染病，你知道传染病是如何传播的吗？我们今天就来专题学习一下。

二、教学流程：在教学实际问题与一元二次方程中的“传染病”问题时，为了控究“传染病”问题的规律，我出示了这样一道题目：例：流感具有传染性，有一个人患流感，在每轮传染中平均一个人能传给5个人，那么经过两轮传染后共有多少人患流感？教师：“你会计算吗？”学生都争先恐后的回答。

学生甲：一轮后：（1+5）=6人二轮后：6+5×6=36人你能说说依据吗？学生说“原来的一个是传染源，经过一轮后一个人就传给了5个人，所以一轮后就有6个人患了流感，在第二轮时，第一轮被传染的6个人，都变成了传染源，所以第二轮就有6+5×6=36人。

教师：“你真聪明！”如果经过三轮传染呢？学生乙：三轮后：36+5×36=216人。

教师：你发现其中的规律吗？学生表示困难。

教师：我们将等式变形：一轮后：（1+5）人。

二轮后：（1+5）+5（1+5）三轮后：（1+5）2+5（1+5）学生丙：我发现了规律，第几轮就是（1+5）的几次方。

教师：你太棒了！大家给他鼓掌！你能总结一个计算公式吗？学生丁：（1+x）n（ x代表每轮传染的人数，n 代表传染的轮数）然后，我出示了例题：流感具有传染性，有一个人患流感，经过两轮传染后共有121人患流感，平均每轮传染中一个人传给了几个人？学生类比前面的问题很快列出方程：解：设每轮传染中平均一个人传给了x个人（1+x）n=121学生集体完成了这道题的解答过程。

然后，我又出示了同种类型题，进行强化，本节课教学效果很好。

我本节课，我改变了教材中例题的呈现方式，遵循了由“特殊到一般”的数学思想，由浅入深，层层递进，符合学生的认知规律，真正达到了深入浅出的目的，事实证明，这种对课程的处理方式很成功，达到了预期的教学效果。

课题实际问题与一元二次方程（一）组长成员导学目标会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。

导学重点会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，导学难点找出等量关系列出方程。

自主学习1. 应用方程解决实际问题的一般步骤：（1）审清题意，找，（2）设未知数，（3），（4），（5）检验作答.2. 两个连续奇数的积是323，求这两个奇数.解：设这两个连续奇数中较小的一个是2n－1，则较大的一个是，根据题意，列方程得．解方程，得n1＝，n2＝．合作探究【探究1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?（1）举例：如果每轮传染中，平均每人传染5人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了人，第一轮传染后共有人患流感；第二轮传染中又传染了人，第二轮传染后共有人患流感；（2）类比：如果每轮传染中，平均每人传染x人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了人，第一轮传染后共有人患流感；第二轮传染中又传染了人，第二轮传染后共有人患流感；（3）建模：怎样用方程思想解决这一问题？解：设每轮传染中，平均每人传染x人，得解方程，得：（4）再思考①如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有多少人患流感？②综上所述，每轮传染后患流感的人数分别为：1、11、121、1331.你发现这组数据的规律了吗？第四轮传染后有人患流感．方程的两个展示交流【例题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？分层达标1．某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？2.假设每位参加宴会的人跟其他与会的人均握一次手，在宴会结束时，所有的与会者总共握了28次手，则与会人士共有多少？3、解下列方程：(1) 2(1)2250x +-= (2) 2(2)(2)49x x x -=--。

一元二次方程的应用题（一）传播与球赛问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

第一轮后共有人患流感；第二轮后共有人患流感。

等量关系：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？分析：设每个支干长出x个小分支。

主干长出支干的数量个，支干总共长出小分支的数量个。

等量关系：解：设每个支干长出x个小分支。

3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑第一轮后被感染的电脑共有台，第二轮后被感染的电脑共有台。

等量关系：解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？分析：此比赛是循环比赛。

设共有x个队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。

A队与B队的比赛和B队与A队是同一场，所以全部的比赛是场。

等量关系：解：设共有x个队参加比赛5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？分析：此比赛是循环比赛。

设共有x队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。

等量关系：解：设共有x队参加比赛6.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?分析：设有x个人参加聚会，每人要与其他个人握手一次等量关系：解：设有x个人参加聚会7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？分析：设这个小组共有x个人，每人要与其他个人互送贺卡等量关系：解：这个小组共有x个人（二）面积问题1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。

21.3 实际问题与一元二次方程传染传播问题一、教学目标知识与技能：1、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.2、通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.过程与方法：学生结合当前的新冠疫情自主探究，建立方程模型，解决实际问题情感态度与价值观：1、通过列方程解决实际问题，进一步体验一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具2、养成良好的思维习惯‘培养良好思维品质二、教学重点：学会用列方程的方法解决传染传播问题三、教学难点：找数量关系四、教学过程：（一）预习导学自学指导阅读教材第19页探究1，完成预习内容.知识探究问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x 人，第一轮后共有(x+1)人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有(x+1)(x+1)人患了流感.则：列方程(x+1)2=121，解得x=10或x=-12(舍)，即平均一个人传染了10个人.再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？（二）合作探究活动1 小组讨论例某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？解：设每个枝干长出x个小分支，则有1+x+x2=91，即x2+x-90=0. 解得x1=9，x2=-10(舍去) . 故每个枝干长出9个小分支.本例与传染问题的区别.活动2 跟踪训练教材第22页第6题.（三）课堂小结列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题（四）当堂训练结合现在的新冠疫情，谈谈怎么做好预防传染病工作？打疫苗的作用？。

实际问题与一元二次方程（1）
传染病类型
学习目标
1、会解决传染病类型应用题。

2、熟记传染病类型应用题的公式。

自我学习（时间：）
1、
目标检测（时间：）
1、有一个人患了流感,，每人每天传染2人，问：
第一天有_____人被传染，第一天后共有_____人患了流感。

>
第二天有_____人被传染，第二天后共有_____人患了流感。

第三天有_____人被传染，第三天后共有_____人患了流感。

2、有一个人患了流感,，每人每天传染5人，问：
第一天有_____人被传染，第一天后共有_____人患了流感。

第二天有_____人被传染，第二天后共有_____人患了流感。

第三天有_____人被传染，第三天后共有_____人患了流感。

3、有一个人患了流感,，每人每天传染x人，问：
第一天有_________人被传染，第一天后共有____________人患了流感。

《
第二天有_________人被传染，第二天后共有____________人患了流感。

4、有一个人患了流感,经过两轮传染后有144人患了流感,
每轮传染中平均一个人传染了几个人
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感
当堂检测
1、有一台电脑中了病毒,经过两轮传染后
有64台电脑中毒。

>
（1）每轮传染中平均一台电脑传染了几台电脑
（2）按照上面的传播速度，三轮过后，
有多少台电脑中毒
（3）若刚开始有a台电脑中毒，每轮传染中
平均一台电脑传染x台电脑，经过n轮传染
后有b台电脑中毒，则该问题如何列方程，
请列出方程。

一元二次方程的应用题（一）传播与球赛问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

第一轮后共有人患流感；第二轮后共有人患流感。

等量关系：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？分析：设每个支干长出x个小分支。

主干长出支干的数量个，支干总共长出小分支的数量个。

等量关系：解：设每个支干长出x个小分支。

3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑第一轮后被感染的电脑共有台，第二轮后被感染的电脑共有台。

等量关系：解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？分析：此比赛是循环比赛。

设共有x个队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。

A队与B队的比赛和B队与A队是同一场，所以全部的比赛是场。

等量关系：解：设共有x个队参加比赛5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？分析：此比赛是循环比赛。

设共有x队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。

等量关系：解：设共有x队参加比赛6.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?分析：设有x个人参加聚会，每人要与其他个人握手一次等量关系：解：设有x个人参加聚会7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？分析：设这个小组共有x个人，每人要与其他个人互送贺卡等量关系：解：这个小组共有x个人（二）面积问题1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。