當微分方程练习试卷
3 U A
1.方程X —1 = U 址R _________ I Mett. ir?rt > 微分方仪.
dt-
:.方w —^- = f (xy) ________ ?可以化为tn分Khfi ______________ .
y dx
d'y
s.做分方《■ ——z- —_______________________________ — x = 0 購足条d y(0) = 1, y'(0) = 2 的解“个.
dx
& ????/,?? y" + ay' + fly = ye x的卄解y (x) = e~x + e x + xe x.妙此方n的系型 a = ______________________________________________ . p = ______________ . y = 5.朗躲晰列式W(f)三0Wffittffl召(f),x2(t),^-,x n(t) A a ____________________ 条件. & 方程xydx+(2x2 4- 3y2一2Q)dy = 0 的只号y有关的机分因子为__________________________________ T.已知X' = A(t)X的啊时为0(0的.期A(t) = _____________________________ ~2 0_ 8.方KfflX* = X的星轄第辞为 0 5_ 空*+尸 9._________ 可用变殃紗们为利方程化;MS性方程. 10._____________________________________ 丁—1 足朋方程y m + 2y" 4- 5y r + y = 1 辦“苗条”g * v<4)-v=z2 H.方程』丿的ftJiiWW-Jm ____ 的心式: is.三附常不n齐仪件方丹y"—2y" + y = 0的椅征根乞________________________ 点的曲找方幔.matt任.点仪的wtt^w点血成“.。).找* s.求方程 y = y+sb】x (wifflw. 銓证微分加(cosxsmx-xy2)dx + y(l-x2)dy = 0足恰片方程.并来出它的ia* dy 2.求蔡方f¥ dx x+ y-1 x-y + 3 4.用比tt??k法解方程?才“一 4亡+4才=& -1 dx dx .试耒方 Rm —— = AX 的_个垩解V -^K ①(/).求——=AX 询足初始条件x (0) = rj 的解. at at 三.证明18 1. ?7①(。,田⑴: X' = A (t )X 的删总阵.歩证:布花-个钿异BMHJt 矩阵C .便行W (f )=①a )c 2. ? 0(x) < x 0,x < P)足积分方程 y(Q = >o +『[F 陀)+幻百,x°, x w 9,0] J.g ".U W 壮「. {0, ( Y)} ■': [a. 0] ' 0(X)- "H — [a.0] .71 l :p .试用 E 步iiifiiiiE 明: *:[a,0] W(x)三 0(x). &样 (x )卫⑴昨何(一①他)冷—严(x )¥g 5咖方』也⑴”乜口妙二0沪个仆虬血明 (i) z f? v 丿韓只能肖简皱零点(即衲飲徽与#函救他不能在一成同时为零); (ii) 庶刃和许S )没枫附环 (iii) 05)/3财和林点. ?I.试证:如果(p (t ) ;£ ——- = AX 満足初始条件(p (t 0 ) = //的解.那么0(') = e 羊A (/ —『o )〃 at 答赛 1.二.非找性 z U = XV. — ---------------------- ---------- du = — dx s.无另多-1. a = —3,0 = 2,/ = —1 ?(/(?) +1) x 5 0妥 & y -①'(()①T (f ) e 21 0 z =y~2 0 F w. .V -3 r. ? A = 2 〃= 昨 (1,0) 的第二次近似解. 10. ?r ~ 2 r 厂 _-l 4 時方程 ta x = Ax 的駅從f ),仪0)= 〃 = 71 并求expAt 歹(0)= i,”(o)= 0^"(0)= 0 4# +o>+Q i±7s 2 !.?¥■ ttt?点的net方程.KMttI ff点处的切找与WA*点U.0)的ttttMSSK. y 解:方程为丁— M(x) 切勺为(工刀.vjjftjHjtt(to)的连怨的針申为天—1 .刈由匕总 可 WtaFMfflHJS: dy _ 2.求解方很~7~ = ax HH -y-=纟工2.令 Z =纟.卿 a_0 Z= _± 稅分裂aictan乙一丄11】(1 + z‘) = In | 歹 | +C dg§-〃g 1+Z2§ 2 V 151 故si方伽翻为arctan = In J(x+1) 2 +(y-2)2 +C x+1 d2x dx 2 3.求解方f¥ X r- + ( ) = U dt dt 色=£_ 2 37= ~ x = c y t + c y (5 = 2c) 兀?所以“就足廉方程的通解.这里1 i为任意帘数. ?.强方涉才一4护站乂 = 0 .的組/】=°’久23二2 心?二 C] + G/+C>' 对炖齐方幔的ifi解为 u 1 J. W. X0) = o 分???.枳分并密理后可符 /=-(A-1)2+C x+y-l x-y + 3 M: x+y-l = 0, in* x-y+3=Q 求彻兀=—1, y = 2, *g_l, y=〃+2, dx —- ~2 = y—^y—^y2 = 0 解令处歹.直接计算可紂曲dx.于是廉方程化为dx?故有 山用比方程. 才"一4左'+4才=& 代亦方晌一力十花加十 b)二8: 利用协沁计/二讥=° 氏方程的均解可以老示为(5° 5* G 堆任总希動 琲)二心 (f) + x 企)二 H + C\ + 6』+ 中/ 5.求方程# = y+sin x 的划解. w.先解 y‘ = y 側遇解为y = ce x . 令 y = c(x)e 乂为廉方程的解? 代入 w c\x)e x + c(x)e x = c(x)e x + sin x. 叭 c'(x) = e~x sin x. 积分n c(x)= 一丄 厂 (sin x + cos x) + c . 所以 y = ce x -丄(sin x +cos x) :w 方很的创. &购证微分方丹 (cos x sill x —xy~ )dx + y(l — x~ )dy = 0址恰气方程.并求岀它的颯解. ?: M M (x, y) = cosxsill x-xy 2 ,N(x, y) = y(l — F).因为—=-2xy =—所以廉方程为”方程 dy ox 把檄方很分顶 tflfm cos x sin xdx - {xy 2 dx + yx 2 dy) + ydy = 0 故尿方翟的 ISM siii~ x —x 2 y~ 4- y 2 = C dx dx ?试求方 Rm —— = AX 的一个垩解垒解却阵①(/). >R —— = AX 消足初始条件x(0) = rj (r)w. at at 设方程的特解IT 形如 x *(/) = at 2 +bt det(A-2E)= ~3~A 1 -4-2 =(几 + 2)(几 + 5) = 0, 求 wnfftn\ = —2, 血 =—5.对总兔 =—2, 2, = —5的符征向最分别为匕 =a in r 1 _ ,%=0 , (G ,0H O). 1 —Z "制?个删如为①(/)= .又何为① t(0) = 2 2 3 1 1 -1 干足.所求的解为 0(f)=①(/)①"(0)〃 = 1 ◎ 严1 卩 1 ■ ■ 1 _ 1 「宀2严 3 e - -2e~5, \ -i -i ~3 严一 4产 XV. .V 或与成 F + dg 巧 2)+班*尸)=() -3 ?. ? A = 2 w. .V "一 1 J /工石(4砂 匸° 1 ' dy 2 L 求方程 —= 2x —1 —3),增过戊(1,0)的第二次近艸. dx ?:令% (x) = 0 .干足 ? (x)=儿 + J ; [2x —1 — 3 號(x)Xx = x 2 -x, x ] 3 3 02(兀)=凡+『[2兀一1一3奸0)肚=仓一%+妒一兀'+空疋一&尹, )3 — 4xy 牛+ 8严=0 的is 解 3 + 8)2 解:方程可化为 dy Y _P‘+8)'2 令 dx 则有 4“ (?). <?)两边对y 求导得 2y (宀对)鲁+窗詁=4心 ? rii 将y 代入<*)得 c 2 叩方程的含移数形式的通解为: c . ?>为歩数: 又屏3 + = 0得 丄 p = (4y2)3 4 3 y = 一 x ? 77 代入得 厶1 也是方程的解. io. n pS) = ?>椅征方机 〃= “2 -1 4 A-2 试求方程组 x = 的"他/), 0(°) = " = ["']并求 ex ?At -1 2-4 =22 -62 + 9 = 0 入 2 = 3 耳= 2 ?tm ' ?此时k=i. 1 夬)=0 乞+⑺-3砂 /=0 ' ? 71 〃 2 〃 1+『(一771 + 〃2) 由公式expAt= w. .V exp At = e 3t [E + t(A - 3E)] = e 3t 三、证明JB 1. ?, 足 X' = A(t)X 的4m 鮮.求证:俐:个非商斤的借歌矩阵C ■ =①(/)C 证,①(/)址垒解矩阵?故C>_1 (t)帝 MJ x(t) niwn det x(r)h o.易知w(f)=①(/)x(r). 所以 W'(f) =①'(/)X(f) +①(/)X'(F) = 4(f)① U)X(r) + ①(f)X'(f) = 4(/)中(。+①(/)X'(f) 而 W'(/) = 4(r)W(f).所以0>(/)X'(f) = 0 X'(/) = 0, X(f) = C (卅碗阵〉.故 W(f)=①(f)C 2. ? 0(x) < x 0,x < P)足积分方程 y(x) = >o +『[F y@) +f]百,x°, x w 9,0] J.g ".U W 壮「. {0, ( Y)} ■': [a. 0] ' 0(X)"H — [a.0] .71 l :p .试用 E 步iiifiiiiE 明: *:[a,0] w(x)三 0(x). X 证…呃“肖 (x)三 y° + J[gW@)+g]dg, X %(兀)=儿, 0”(兀)三儿 + j[F0n~?) +级歹,兀o,兀w[a,0] (” = 1,2,…) 下而只藏区何x 0 < x < p 上讨论.对于 a < x < x Q 的w 论完全-样. 因为 10(兀)一0。(兀)$ J (严丨 0(F) 1 + 1^ |)昭 X 。 所以 10(x) - % (x) IS J (鬥 0(g) - % (纟)I )d 歹"J M (g - x°)d 加土 (x - 如)2, 10(小一0"丿ivj (孑 10(切—血/切i 丿d& ]^^-x Q yd^ = -^-(x-x 0r 1 , Ao n ("+ J 故由归瞬?对一切正整敕R ?# 1 0 -1 1 + t > =e 0 1 ?— -1 1 典中厶= max{x 2 } at 对正整B : n 引 | ?(x) — 0”_] (x) |< ME'~ l n\ (X-X o )n .wir ML 而上不零式的Gifilfetta 的正顼级敛的妞顼.故予 K —》°0 ?.;.它一> 0 怖函时列{%(X )} ftX 0 0(x )三 0(x ). X O (x ),q (x )昨间(一卩佃)咖林? H 讽对,讥工)5线你”?*(e+?(x"二0的_个辱細试咧 卩(x )和怦(X )鄒只能有简单.点(即函欽忸与导函IMft 不能在一点同时为*); ")M 0 (XG (-00,-K?)) 柿在怎€ (-00,2).使/(勺)=讥心)=°.闻列式性窗严E ) = 0 .林即 e (X )2$只能肖筒m 牢点.同理对忖(X )灯同样的rt?.故(0邯证. 若“在“0 € (一8,+00)姻矽(兀0)= 0>a )= 0册市列式性质可咼用(心)=°.刊.即e (x )与怦(X )无共同辛点.M ( 柿在怎€ (—00,2).婶G (比)=0(孔)=0.阴柚两性阿册%) = ° ?林. ⑴0(6严5无共比.故祸盹 ?I.试证:如果(p(t) j£ ——- = AX 満足初始条件(p(t Q ) = 1]的解.a ;么(p(t ) = e 羊A(/ —『o )〃 dt dx 田 B :因为①(/) = exp 如址—-—=AX 的财解炬陈.(p(t) j£H*.所以他帕st C (tuh 伙t ) = exp At - C. dt 令t = t 0 . w : /? = e?q)At 0 C. 所以 C = (e?q)At 0 )~1 /]. 故 (/)( t ) = expAt-(expAt Q )T l 7] = exp At ? exp( —At Q )7] = expA( t —t Q )r/ e (x )和肖(x )没枫附钿: (iii) B (X )相帜(无) 没有共同的寺成. 证明: 卩(对理(X )的伏朗痕行列式为 r (x )= 俘U ) 疔 (X ) 0(x )忖 3